高教版中职数学拓展模块一下册：6.1.1 两角和与差的余弦公式（教案）

两角和与差的余弦公式

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1.1以学习目标知识能力与素养1培养学生逆向思维,数形结合的意识和习惯；1使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公2培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；式的推导；2使学生能够从正反两个方向运用公式解3培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习决简单应用问题.能力必学习重难占重点难点探索过程的组织和适当引导学习评价设计.通过探索得到两角差的余弦公式；两角和的余弦公式的探究.教材分析两角和与差的余弦具有承上、启下的作用它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和与差的正弦、正切和二倍角公式的基础对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用._@学情分析学生的自主概括能力有待提高，故采用主讲练结合式教学，提高学生对知识的整体把握能力.教学课件◎课时安排2课时公教学过程两角和与差的余弦公式

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1.1

（一）创设情境，生成问题在基础模块，我们学习了三角函数的诱导公式:sin2Z a=sin a；sinn+a=-sina；sin asina；兀+兀一尸cos2k7i+a=cos a；cosn+a=-cosa；cos a=—cosa兀-；tan2Z tana.tan n+a=tana.tan7i-a=-tana兀+=现实中，很多与三角函数有关的实际问题常常涉及两个任意角的和（或差）的三角函数.为此，我们进一步学习两角和与差的三角函数公式.早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式.cos（6Z+,）=cos acos j3-sina sin pcos（a-/）=cos acos/+sin asin/3随着时间的推移和研究的深入,现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式,再通过诱导公式得到两角和的余弦公式.那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？【设计意图】利用特殊到一般的方法说明和角公式解决的问题，结合数学史激发学生学习兴趣.

（二）调动思维，探究新知如图所示，设单位圆与X轴的交点为P,角G、£和4-G的终边与单位圆的交点分别为尸和P,1234则点尸、P、尸、P的坐标分别为1,

0、cosa,sina、12cos夕,sin夕、cos伊一a,sin0-a.34P0P不在同一条直线上时，当、、23/ii1尸4,anaZP OP=ZP OP=a-s COM23419且\0P\=\0P\=\OP\=\OP1=1,1234t/匕一%埠因此\P OP\P OP,丝111JTO2314一\p p\=\p p\.2314所以当P、、P在同一条直线上时，容易看出也有232314根据两点之间的距离公式，可得yl cos p-cos a2+sin/7-sin a2=^/[cos/--1]2+[sin/-a-0]2整理可得cosy5+a=cos°cos a—sin/sin a由诱导公式cos—a=cosa,得cosa—3=cos acos/+sin crsin3在上式中，以-，代替，，得到cos[a--/]=cos6zcos-/7+sin asin一4即cosa+/=cos acos£一sin asin p于是，我们得到两角和与差的余弦公式cosa+£=cosacos£-sinasin夕Ca+Bcosa/二cosacos^+sinasin夕Ca-p【设计意图】利用解析法研究两角和与差的余弦公式，解析法对近代数学的机械化证明提供了有力的工具.三巩固知识，典例练习【典例1］求cosl5的值.解:cosl5°=cos45°-30°=cos45°cos30°+sin45°sin30°血石板1V6+V2------x--------1-----x——=-------------.22224【设计意图】如果一个角可以化成两个特殊角的和或差，就可以用和角公式求解.—35【典例2]已知sin a=-,cos/=—，并且、夕都是第一象限角，求cosa+£的值.135解因为sina=3cos/=±,并且、£都是第一象限角，513所以cos6z=/1-sin2a=—,sin p=-cos2pAcosa+/=cos acos,一sin asinp因此4531216______\z__—__—___Y-513513-65,12jr13[典例3]证明cos——a=sin a.证明因为cos---a=cos-cos a+sin—•sin a222二O-cos a+1-sin a=sin a所以cos^-a=sin a.【设计意图】与本节开始复习的诱导公式相呼应.探究与发现化简1cos-夕cosp-sina-/sin/;2cosa+pcosp+sina+psin/;

（四）巩固练习，提升素养cos37°cos23°-sin37°sin23=解cos37°cos23°-sin37°sin23°=cos（37°+23°）=cos60°=

1.故选A.【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

（五）巩固练习，提升素养

1.求下列各式的值.1cos105°；2cos75°；3cos55°cosl0o+sin55osinl0°；4cos

222.5°-sin

222.5°.

2.已知sin=[,且ae],»,求©05+

2、050—2的值.、713,证明cos—+a=-sin a六课堂小结，反思感悟

1.知识总结:

2.自我反思1通过这节课，你学到了什么知识？2在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？3你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些【设计意图】培养学生反思学习过程的能力七作业布置，继续探究⑴读书部分教材章节

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1.1；2书面作业P10习题

6.1的12,3,

22.八教学反思。