初中生线上培训数学课件

初中数学在线课程本课程系统梳理初中数学核心知识点，适用于

七、

八、九年级学生通过模块化教学与丰富的例题，帮助学生掌握代数、几何、函数等关键内容，提升解题能力与数学思维课程结构与学习目标课程模块代数基础有理数、整式、分式、方程•几何体系图形、角度、三角形、四边形•函数概念一次函数、二次函数及应用•实际应用数据统计、建模与生活问题•综合提升解题思路、典型题与备考技巧•能力目标理解基础数学理论与概念•掌握各类题型的解题方法•培养逻辑思维与分析能力•提高数学应用与实践能力•代数基础有理数及运算有理数基本概念正数与负数的定义与比较方法•数轴表示法与大小比较•绝对值概念与几何意义•基本运算法则典型例题同号相加，异号相减•乘除法符号判定同号得正，异号得负计算•-3×-4÷2-5=零与任何数相乘得零•解析先算乘除，再算加减-3×-4÷2-5=12÷2-5=6-5=1有理数的混合运算运算顺序规则先乘除，后加减；有括号先算括号内；有幂先算幂括号处理技巧去括号时注意符号变化减号后的括号去掉时，括号内各项符号全部变号分数混合运算分数加减需先通分；分数乘法分子乘分子，分母乘分母；分数除法用倒数相乘常见失误括号前是负号时忘记改变括号内各项符号；通分错误；混合运算顺序错误建议使用验算法检查结果，特别是在处理复杂计算时整式概念与加减整式的分类单项式仅由数字和字母的乘积组成，如•3a²b多项式由多个单项式相加减构成，如•3x²+2x-5合并同类项同类项字母部分完全相同的项（指字母及其指数都相同）合并方法系数相加减，字母部分不变例题演示化简5a²b+3ab²-2a²b+ab²解析找出同类项5a²b-2a²b=3a²b3ab²+ab²=4ab²答案3a²b+4ab²整式运算进阶1括号展开法则2去括号注意事项3多步混合运算技巧单项式乘以多项式单项式分别与多项正号前括号直接去掉先去括号，再合并同类项，注意符号变a+b-c=a+b-c式中各项相乘化负号前括号内各项符号全部变号a-b-如例2a3b-c+d=6ab-2ac+2ad c=a-b+c2x-3x-4y+5y-x=2x-3x+4y+5y-x=2x-3x-x+4y+5y=-2x+9y代数式与代入代数式的实际意义代数式是用字母表示数量关系的式子，可以表示现实问题中的各种数量关系•长方形面积S=ab（a为长，b为宽）•圆面积S=πr²（r为半径）•速度、时间与路程v=s/t数值代入计算分式基础与分类真分式分子的次数小于分母的次数例如、x+1/x²+23/x-1分式定义其值在取很大的值时接近于零x分式是分子或分母中含有字母的分数一般形式（，、为整式）A/B B≠0A B分母不能为零，因此需要注意分母中字母的假分式取值范围分子的次数大于或等于分母的次数例如、x²+1/x x³-2/x-1可以通过除法转化为整式与真分式之和分式运算及应用分式的基本运算•约分分子分母的公因式约去•通分将异分母分式转化为同分母分式•加减法通分后分子相加减，分母不变•乘法分子相乘，分母相乘•除法乘以除数的倒数一元一次方程概念方程的定义含有未知数的等式称为方程一元一次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1一般形式（）ax+b=0a≠0等式的性质性质一等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立性质二等式两边同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立解方程的基本思想通过等式性质将方程变形为某数的形式x=方程的解就是使方程成立的未知数的值解方程的过程就是利用等式的性质找出方程的解的过程一元一次方程恰好有一个解一元一次方程解法与典型例题解方程步骤

1.去分母（有分式时）两边同乘以各分母的最小公倍数

2.去括号按括号展开法则去括号

3.合并同类项将含有未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边

4.求解用等式性质解出未知数的值

5.验算将解代入原方程检验（可选步骤）例题解方程2x-1-3x+2=4x-15解一元一次方程组方程组概念两个或两个以上的方程联立求解，称为方程组二元一次方程组一般形式ax+by=cdx+ey=f（其中、、、、、为常数，且）a bc de fad-bc≠0代入法将一个方程中的一个未知数用另一个表示代入另一个方程，得到一元一次方程求出一个未知数后，代回求另一个消元法通过加减运算消去一个未知数解出另一个未知数代回求另一个未知数变元与参数问题变元设置方法解实际问题时，合理设置变量是关键的第一步•设未知数根据问题找出需要求解的量•建立方程根据已知条件列出等量关系•检验变量确保变量与问题要求匹配参数问题例题甲乙两数之和为30，它们的比是2:3，求这两个数几何入门图形与角基本几何图形角的概念与度量点、线、面是几何的基本元素角由一个顶点和两条射线组成点没有大小，只有位置角的度量单位是度（）°线只有长度，没有宽度一周角，平角，直角=360°=180°=90°面有长度和宽度，没有高度锐角＜＜0°θ90°钝角＜＜90°θ180°线段、射线、直线基本概念区分•线段有两个端点，长度有限•射线有一个端点，向一个方向无限延伸•直线没有端点，向两个方向无限延伸符号表示•线段AB表示为AB或BA•射线AB表示为AB（A为端点）•直线AB表示为AB或BA线段长度与中点线段AB的长度表示为|AB|如果点M是线段AB的中点，则|AM|=|MB|=|AB|/2线段的并、交与集合的并交类似，表示线段的合并与公共部分相交线与平行线相交线的角度关系平行线与截线相交线产生四个角平行线两条直线在同一平面内不相交对顶角相等∠∠，∠∠截线（又称割线）与两条平行线相交的直线1=32=4相邻角互补∠∠平行线与截线产生的关系1+2=180°同位角相等•内错角相等•同旁内角互补•平移与对称变换平移变换将图形沿着一定的方向移动一定的距离，形状和大小不变平移后图形与原图形全等平移的性质保持图形的形状、大小、方向不变三角形的基础知识三角形的分类三角形的角度关系按边分类三角形内角和定理三个内角之和等于180°等边三角形三边相等外角定理三角形的外角等于与它不相邻的•两个内角的和等腰三角形两边相等•不等边三角形三边不相等三边关系任意两边之和大于第三边，任意•两边之差小于第三边按角分类锐角三角形三个角都是锐角•直角三角形有一个直角•钝角三角形有一个钝角•三角形的性质与应用三角形全等的判定边角边（）两边及其夹角分别相等•SAS角边角（）两角及其夹边分别相等•ASA边边边（）三边分别相等•SSS角角边（）两角及一边分别相等（其中这边不是两角的夹边）•AAS三角形相似的判定角角角（）三个角分别相等•AAA边角边（）两边比例相等且夹角相等•SAS边边边（）三边比例相等•SSS三角形的全等与相似在几何证明题中有广泛应用，通过已知条件判定三角形全等或相似，进而推导出未知量四边形与圆平行四边形矩形定义两组对边分别平行的四边形定义有一个角是直角的平行四边形性质对边相等；对角相等；对角线互相平分性质四个角都是直角；对角线相等且互相平分圆菱形定义平面上到定点（圆心）距离相等的所有定义四边相等的平行四边形点的集合性质对角线互相垂直平分；对角线平分对角基本元素半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角几何综合应用题几何问题解题策略

1.分析已知条件理清已知量与未知量

2.作辅助线添加合适的辅助线有助于分析问题

3.寻找关键性质利用三角形、四边形、圆的性质

4.建立等量关系通过全等、相似或其他性质建立等式

5.逐步推导按照逻辑顺序推导未知量典型例题如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD是角平分线，∠BAC=50°，∠ADB=70°，求∠ADC的度数解析由于AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD=25°在△ABD中，∠BAD=25°，∠ADB=70°所以∠ABD=180°-25°-70°=85°由于∠ADC+∠ADB=180°（直线上的角），所以∠ADC=180°-70°=110°图形面积与周长S=ab S=a²S=½bh长方形正方形三角形面积长宽面积边长面积底高=×=²=½××周长长宽周长边长周长三边之和=2×+=4×=S=πr²圆面积半径=πײ周长半径=2π×复合图形的面积计算将复合图形分解为基本图形，分别计算面积后相加减例如，可以将不规则图形分解为三角形和矩形的组合，或者通过减法计算（如环形面积大圆面=积小圆面积）-空间几何初探常见立体图形长方体个面，条棱，个顶点•6128正方体特殊的长方体，所有棱长相等•圆柱体由两个平行的圆形和一个柱面组成•圆锥体由一个圆形底面和一个顶点组成•球体空间中到定点距离相等的点的集合•体积与表面积公式长方体，V=abc S=2ab+bc+ac正方体，V=a³S=6a²圆柱体，V=πr²h S=2πr²+2πrh圆锥体，V=⅓πr²h S=πr²+πrl球体，V=⅔πr³S=4πr²数据与概率初识概率的基本概念频率与统计随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件频数事件发生的次数概率表示随机事件发生可能性大小的数值频率频数与总次数的比值，可作为概率的近似值概率公式事件该事件发生的次数总次数统计通过收集、整理、分析数据得出结论的方法P=/概率范围，其中表示不可能发生，表示一定发生常用统计量平均数、中位数、众数、极差、方差0≤P≤1P=0P=1统计图表与实用题常见统计图表•条形图用长短不同的条表示数量大小，适合比较不同类别的数量•折线图用折线表示数量随时间的变化趋势，适合显示发展趋势•扇形图将圆分成若干扇形，表示部分与整体的关系，适合显示构成比例•散点图用点的位置表示两个变量之间的关系，适合分析相关性函数初步变量与函数变量的概念变量在一定范围内可以取不同值的量自变量可以任意取值的变量因变量随自变量变化而变化的变量函数的定义函数两个变量之间的对应关系，对自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的值函数的表示法解析法用公式表示，如y=2x+1列表法用表格表示对应关系图像法用坐标系中的曲线表示一次函数基础一次函数定义与表达式一次函数y=kx+b（k≠0），其中k、b为常数特殊情况当b=0时，y=kx，称为正比例函数一次函数图像特点•图像是一条直线•k决定直线的倾斜程度，|k|越大，倾斜程度越大•k0时，函数单调递增；k0时，函数单调递减•b是直线与y轴的交点的纵坐标（y轴截距）直线的画法

1.确定两点如截距点0,b和另一点一次函数典型应用斜率的物理意义斜率表示因变量随自变量变化的快慢程度k y x物理意义速度（时间路程）、单价（数量总价）、效率（时间产量）等---例速度对应的函数，斜率表示每小时行驶千米v=60km/h s=60t6060截距的实际意义轴截距通常表示初始值或固定值y b物理意义初始位置、固定成本、起始温度等例成本函数，截距表示固定成本为元C=5x+200200200实际应用举例出租车计费起步价里程单价行驶里程y=+×温度转换华氏温度（为摄氏温度）F=

1.8C+32C手机流量费用总费用月租费超出部分单价超出流量=+×二次函数初识二次函数的定义与表达式二次函数（），其中、、为常数y=ax²+bx+c a≠0a bc标准形式，其中是抛物线的顶点y=ax-h²+k h,k二次函数图像特点图像是一条抛物线•时，抛物线开口向上；时，开口向下•a0a0越大，抛物线开口越窄•|a|抛物线的对称轴是•x=-b/2a顶点坐标是•-b/2a,f-b/2a抛物线的画法确定顶点坐标

1.-b/2a,f-b/2a确定对称轴

2.x=-b/2a计算轴交点当时，

3.yx=0y=c计算轴交点当时，解方程

4.x y=0ax²+bx+c=0计算更多点，并连成光滑曲线

5.二次函数与实际问题最值问题实际应用举例当时，函数的最小值在顶点处取得抛物线运动物体抛出后的高度a0h=v₀t-½gt²当时，函数的最大值在顶点处取得面积优化在周长固定的情况下，求最大面积a0最值利润最大化根据产量和成本函数求最大利润=f-b/2a=c-b²/4a例求函数的最小值例一块长方形农田，周长固定为米，如何确定长和宽使面积最大？y=2x²-4x+5100解，所以函数有最小值解设长为，则宽为，面积a=20x100-2x/2S=x100-2x/2=50x-x²当时，面积最大，平方米x=-b/2a=--4/2×2=1x=25S=625最小值=f1=2×1²-4×1+5=3方程不等式进阶一元一次不等式的概念一元一次不等式含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式1一般形式（或、、），其中ax+b0≥≤a≠0不等式的性质两边同时加减同一个数，不等号方向不变•两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变•两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向相反•解不等式的步骤去分母有分式时两边乘以分母（注意分母可能为负）

1.去括号按照代数运算法则去括号

2.移项、合并同类项将含的项移到一边，常数项移到另一边

3.x系数化为两边同除以的系数（注意系数正负）

4.1x写出解集用区间或数轴表示

5.不等式组与数轴不等式组的求解数轴表示法一元一次不等式组由多个一元一次不等式组成的不等式系统开区间a,b a求解步骤闭区间[a,b]a≤x≤b，数轴上用实心点表示端点

1.分别求解每个不等式半开区间[a,b或a,b]一边包含端点，一边不包含

2.在数轴上表示各个不等式的解集无穷区间a,+∞xa，在数轴上从a向右射线

3.取这些解集的交集无穷区间-∞,b x例解不等式组{3x-21,2x+39}解3x-213x3x1⟹⟹2x+392x6x3⟹⟹常见数学模型一行程问题行程问题的基本公式路程s=速度v×时间t速度v=路程s÷时间t时间t=路程s÷速度v常见行程问题类型•追及问题计算两个运动物体相遇的时间或位置•相遇问题计算相向而行的物体相遇的时间或位置•流水行船问题考虑水流速度对船只实际速度的影响•平均速度问题不同速度段的平均速度计算解题技巧与例题例甲从A地出发以5m/s的速度向B地走，同时乙从B地出发以4m/s的速度向A地走已知A、B两地相距18km，求甲乙相遇时距离出发多长时间？解设相遇时间为t小时甲走的路程5t乙走的路程4t由于甲乙相遇时路程之和等于总路程18km5t+4t=18常见数学模型二浓度问题浓度的基本概念混合问题稀释与浓缩浓度溶质的质量溶液的质量两种溶液混合后的溶质总量各部分溶质量之和稀释加入溶剂，浓度降低，溶质量不变=÷×100%=溶质质量浓度溶液质量混合后浓度混合后溶质总量混合后溶液总量浓缩蒸发溶剂，浓度升高，溶质量不变=×=÷溶液质量溶质质量溶剂质量溶质量守恒=+c₁×m₁=c₂×m₂例题将克的盐水与克的盐水混合，得到浓度为的盐水，求的值10020%x5%10%x解设混合后溶液的质量为克100+x溶质质量守恒100×20%+x×5%=100+x×10%20+

0.05x=10+

0.1x

0.05x-

0.1x=10-20-

0.05x=-10克x=200投资理财与数学简单利息计算简单利息只计算本金的利息，不计算利息的利息利息=本金×利率×时间本利和=本金+利息=本金×1+利率×时间复利计算复利既计算本金的利息，也计算利息的利息n年后本利和=本金×1+年利率^n复利增长比简单利息更快，符合指数增长规律数学在生活中的应用一折扣计算打折后价格=原价×折扣折扣一般表示为小数，如七折为

0.7例一件衣服原价200元，打八折后多少钱？解200×

0.8=160元利润与成本利润=售价-成本利润率=利润÷成本×100%例一台电脑成本5000元，利润率为20%，售价是多少？解利润=5000×20%=1000元售价=5000+1000=6000元税率计算税额=应税金额×税率含税价=不含税价×1+税率例一件商品不含税价为100元，增值税税率为13%，含税价是多少？解含税价=100×1+13%=113元数学在生活中的应用二面积计算应用•房屋面积计算墙面漆料、地板、瓷砖用量•农田面积计算种子、肥料、灌溉用水量•土地面积计算建筑成本、土地价值例一间长4米、宽3米、高

2.8米的房间，四壁需要粉刷（不包括门窗），门的面积是2平方米，窗的面积是

1.5平方米，需要粉刷的面积是多少？解四壁总面积=2×4+3×

2.8=

39.2平方米需粉刷面积=

39.2-2-

1.5=

35.7平方米阅读理解与应用题理解问题仔细阅读题目，理解已知条件和问题要求划出关键词和数字，明确数量关系必要时画图或列表辅助理解提取条件找出已知量和未知量识别数量之间的关系（如相等、比例、函数关系等）区分条件中的显性信息和隐性信息建立模型设未知数，用代数式表示其他量根据条件列出方程或不等式选择合适的解题模型（如行程问题、工程问题等）解答验证求解方程或不等式检查答案是否满足所有条件解答是否符合实际情况综合能力提升解题思路指导常用思维方法•化归法将复杂问题转化为已知的简单问题•分析法从已知条件分析推导未知量•综合法从假设出发，通过推理得到结论•逆向思维从问题答案反推条件•特殊值法通过代入特殊值简化问题•极端情况法考虑问题的极限情况解题步骤示例例一个数比另一个数的2倍少4，这两个数的和是26，求这两个数典型压轴题梳理一函数与几何结合题代数复合问题函数图像与几何图形结合的题目是中考常见的压轴题涉及多个代数知识点的综合应用题例题抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C已知|AB|=6，|OC|=3（O为原点），求抛例题已知关于x的方程m-3x²+m+1x+2=0的两根互为相反数，求m的值物线的解析式解题思路解题思路

1.设方程的两根为x₁和x₂，由题意知x₁+x₂=0，x₁·x₂=c/a

1.分析几何意义A、B为方程ax²+bx+c=0的两根，C点坐标为0,c

2.根据韦达定理，x₁+x₂=-m+1/m-3=

02.由|OC|=3知c=±3，因为C与x轴交点是负的，所以c=-

33.所以m+1=0，即m=-

13.由韦达定理知两根之积为c/a=-3/a

4.验证代入m=-1，方程变为-4x²+0x+2=

04.两根之和为-b/a，差为6，两根之积为-3/a

5.两根为x=±√2/4=±√1/2，互为相反数，符合题意

5.解得a=1/2，b=0，c=-3典型压轴题梳理二几何证明题例题在△ABC中，D是BC边上一点，AD是△ABC的角平分线，已知AB=6，AC=8，BD=3，DC=4，求AD的长解题思路与步骤

1.利用角平分线定理AB/AC=BD/DC

2.代入已知数据6/8=3/

43.验证成立，说明AD确实是角平分线

4.使用角平分线长公式AD=2·AB·AC·cos∠BAC/2/AB+AC

5.需计算cos∠BAC/2，利用余弦定理求∠BAC

6.BC=BD+DC=7，利用余弦定理BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC

7.解得cos∠BAC=47/96，再求cos∠BAC/

28.最终计算得AD=4√2非选择题答题技巧解答题书写规范清晰标注题号和小问序号分步骤列出解题过程，每个步骤另起一行关键步骤要有必要的文字说明结果要明确标出，并注明单位（如有）字迹工整，数字清晰，特别是容易混淆的数字如和、和1706常见丢分点计算错误尤其是正负号、小数点位置单位错误或漏写单位方程、不等式两边同时除以含未知数的式子推导过程跳步太大，缺少必要的说明图形题中漏画辅助线或标注答非所问解答与题目要求不符选择题与填空题技巧选择题解题技巧•排除法先排除明显错误的选项•代入法将选项代入原题检验•特值法选择特殊值简化计算•分类讨论对不同情况进行讨论•反证法假设某选项正确，推导是否矛盾注意即使是选择题也应该有必要的演算过程，不要只凭直觉选择数学常用符号与书写规范常用数学符号集合符号∈,∉,∪,∩,∅,⊂,⊃数量关系=,≠,≈,,,≥,≤,∝运算符号+,-,×,÷,·,/,√,∑,∏几何符号∠,△,⊥,∥,≅,∽,°代数符号|x|（绝对值）,x²（平方）,fx（函数）格式规范分数分子分母大小适中，分数线要水平根式根号大小适当，被开方数清晰可辨坐标横纵坐标轴垂直，刻度均匀，标注清晰函数图像曲线光滑，特殊点标注，箭头表示方向几何图形比例适当，标注角度、边长、线段名称答题示范解答过程

1.设未知数...（清晰表明设未知数的含义）

2.根据题意列方程...（解释方程的来源）

3.解方程...（展示详细步骤）

4.验算...（检查答案是否符合题意）

5.答...（明确标出最终答案）网课学习方法建议高效听课技巧•课前预习浏览课程内容，了解知识框架•专注听讲排除干扰，集中精力•互动参与积极回答问题，提出疑问•笔记技巧记录关键点和难点，不求全记•复习巩固课后及时回顾，加深理解在线作业与自测如何高效查漏补缺1建立错题本记录错题的题目、解法、错误原因和正确答案按知识点分类整理，便于系统复习定期翻阅错题本，检验是否真正掌握2知识图谱梳理绘制知识脑图，理清知识点之间的联系标记出自己的薄弱环节和易错点按照知识体系进行有针对性的强化训练3针对性练习针对薄弱环节进行专项训练从基础题到提高题，循序渐进定期进行自我检测，评估进步情况4反思与总结每次练习后进行反思，总结学习心得记录学习过程中的疑难问题和解决方法定期回顾总结，形成个人学习方法论考试备考时间规划长期规划（一学期）•基础阶段（2个月）掌握基本概念和方法•提高阶段（2个月）强化训练，拓展思维•冲刺阶段（1个月）模拟训练，查漏补缺•临考阶段（2周）复习重点，调整状态周计划安排制定每周学习目标和重点合理分配各科学习时间安排1-2次模拟测试预留时间进行错题订正和复习心态调整与考试技巧考前心态调整考场策略保持自信相信自己的准备和能力通读试卷快速浏览全卷，了解题型分布适度紧张保持一定紧张感有利于发挥合理分配时间按照分值比例分配解题时间放松训练深呼吸、肌肉放松等简单方法先易后难先做有把握的题目，建立信心考前一天适当休息，不要熬夜突击遇到难题先标记，继续做下一题，避免时间浪费积极暗示告诉自己我已经准备好了检查时间预留分钟检查答案5-10答卷检查技巧检查题号确保每题都已作答，无漏题检查计算重点检查计算步骤和结果检查单位确保填写了正确的单位检查转抄审核是否有抄错数字或符号检查答案合理性结果是否在合理范围内常见问题答疑方程与不等式问一元二次方程没有实数解是什么条件？答判别式Δ=b²-4ac0时，方程ax²+bx+c=0没有实数解问解不等式时如何确定解集？答当系数为正时，不等号方向不变；当系数为负时，不等号方向改变然后将所有解集在数轴上表示，求交集或并集函数与图像问如何判断函数的单调性？答对于一次函数y=kx+b，当k0时单调递增，k0时单调递减对于二次函数y=ax²+bx+c，当x-b/2a时，a0单调递减，a0单调递增；当x-b/2a时，a0单调递增，a0单调递减问如何求函数的最值？答对于二次函数，当a0时，最小值在x=-b/2a处取得；当a0时，最大值在x=-b/2a处取得几何与代数问如何判断三角形的全等与相似？答全等判定边角边SAS、角边角ASA、边边边SSS、角角边AAS相似判定角角角AAA、边角边SAS、边边边SSS问如何理解代数式的因式分解？答因式分解是将多项式表示为若干多项式乘积的形式常用方法有提取公因式、公式法、分组分解法等如x²-4=x+2x-2总结与提升建议核心知识点回顾本课程系统梳理了初中数学的核心内容，包括•代数基础有理数、整式、分式、方程与不等式•几何体系平面图形、三角形、四边形、圆、空间几何•函数概念变量关系、一次函数、二次函数•实际应用统计与概率、数学建模、生活数学•解题策略思维方法、答题技巧、考试准备学习提升路径进一步提升数学能力的建议

1.夯实基础反复练习基本运算和概念应用

2.拓展思维尝试解决不同类型的数学问题

3.培养兴趣探索数学在实际生活中的应用

4.预习高中了解高中数学的基本概念和方法

5.参加竞赛通过数学竞赛拓展数学视野

6.跨学科应用结合物理、化学等学科理解数学。