常量和变量教学课件

常量和变量教学课件本课件适用于初中数学教学，聚焦常量与变量这一数学基础概念通过系统化的讲解和丰富的实例，帮助学生掌握这些核心概念及其在实际生活和数学问题中的应用我们将从定义出发，通过生活实例、数学公式和互动练习，逐步建立学生对常量与变量的深入理解学习目标掌握常量和变量的科学定义辨识生活与数学中的常量与变量理解常量和变量的基本概念，能够用自己的话准确表述其定义，并能够在日常生活情境和数学问题中正确识别常量和变量，培养数学能够从数学角度理解二者的本质特征思维与实际应用相结合的能力理解二者的区别与联系应用常量变量解决实际问题明确常量与变量之间的本质区别，同时认识到它们在特定条件下可能够运用常量和变量的概念分析和解决实际问题，为后续学习函数、能存在的相互转化关系，建立系统性认知方程等内容奠定基础课程目录七大知识模块基本概念导入常量与变量的定义

1.概念辨析区分常量与变量的关键特征

2.实例展示生活中的常量与变量

3.数学应用公式中的常量与变量

4.学科交叉物理、化学等学科中的应用

5.实践活动互动练习与小组讨论

6.知识拓展概念延伸与高阶思考

7.预期学习收获场景导入生活中的量在我们的日常生活中，处处充满了各种各样的量有些量我们可以直接观察到，有些则需要通过测量或计算来获得请思考以下几个日常生活中常见的量气温一天内的气温会随着时间变化而升高或降低，夏季和冬季的气温差异也很大速度汽车行驶过程中的速度会根据道路情况、交通状况而不断调整变化思考问题身高在上述例子中，哪些量会随着某些条件的变化而变化？•哪些量在特定条件下保持不变？•儿童的身高会随着年龄增长而增加，成年后身高则基本保持不变是什么因素决定了一个量会变化或保持不变？•班级人数在没有学生转入转出的情况下，班级人数保持不变；若有变动则会增减量的分类在数学研究中，我们需要对不同类型的量进行分类和研究根据数值是否变化，我们可以将量分为两大类常量和变量思辨问题一个量是永远不变的，还是在某些情况下不变？•变量一定是时刻变化的吗？•同一个量在不同场景下，可能扮演不同角色吗？•理解量的分类不仅是掌握数学概念的基础，也是培养数学思维的重要一步量的分类帮助我们简化问题，找出问题中的已知和未知，从而更有效地解决问题在数学语言中，我们通常用字母来表示各种量按照惯例，我们常用字母表开头的字母（如）表示常量•a,b,c字母表靠后的字母（如）表示变量•x,y,z概念一常量常量的定义常量的例子常量是指在某一特定过程或问题中，其数值保持不变的量圆周率π常量是数学和科学中的重要概念，它们为我们理解和描述自然规律提供了稳定的，表示圆的周长与直径的比值，是一个恒定的无理数π=

3.

14159...参考点常量的不变性是相对于特定问题或过程而言的，并不意味着它在所有情况下都是不变的一周的天数常量的特点一周恒为天，这是一个在时间计算中保持不变的量7在特定过程中数值固定不变•通常用字母表前几个字母表示（如）•a,b,c可以是已知确定的数值，也可以是未知但固定的数值重力加速度•g在数学处理中可以当作具体数值处理•在地球表面附近，，在特定位置可视为常量g≈

9.8m/s²光速c真空中的光速，是物理学中的基本常量c=299,792,458m/s概念二变量变量的定义变量的例子变量是指在某一特定过程或问题中，其数值可以改变的量气温T变量是数学和科学研究中的核心概念，它们使我们能够描述和分析事物之间的变化关系变量的可变性同样是相一天内气温会随时间变化，是一个典型的变量不同时刻测量得到的值不同对于特定问题或过程而言的，它可以在某个范围内取不同的值变量的特点圆的半径r在特定过程中数值可以变化•不同的圆有不同的半径，即使是同一个圆，在不同问题中半径也可能变化通常用字母表后几个字母表示（如）•x,y,z可以在某个范围内取不同的值•时间在数学处理中常作为未知数或自变量t•变量之间可能存在函数关系•时间是一个持续变化的量，在研究运动或变化规律时常作为自变量考试分数S不同学生或同一学生在不同考试中的分数可能不同，是一个变量辨析常量与变量的区别常量和变量是数学中两个基本概念，它们有着明确的区别，但这种区别是相对的，取决于具体的研究过程或问题情境特征常量变量数值特点在特定过程中保持不变在特定过程中可以改变数学表示通常用等字母表示通常用等字母表示a,b,c x,y,z在方程中的角色通常作为已知条件或参数通常作为未知数或自变量取值范围单一固定值可在一定范围内取不同值在函数中的角色通常为系数或常数项通常为自变量或因变量相对性在某过程中为常量的量可能在另一过程中为变量在某过程中为变量的量可能在另一过程中为常量重要提示常量和变量的属性不是绝对的，而是依赖于具体研究的过程或问题一个量是常量还是变量，取决于在特定问题中我们如何看待和处理它例如，在计算一个特定圆的面积时，半径是一个常量；但在研究不同半径的圆的面积变化规律时，半径则成为一个变量这种相对性是理解常量和变量概念的关r r键变量和常量的相对性以圆面积公式为例S=πr²在这个公式中始终是一个常量，值约为•π

3.

14159...半径可以是常量也可以是变量，取决于问题情境•r面积可以是常量也可以是变量，取决于问题情境•S情境分析情境一计算半径为厘米的圆的面积这里是常量，是需要计算的常量5r=5S情境二研究圆的半径与面积的关系这里是变量，随的变化而变化，也是变量r Sr情境三已知圆的面积为平方厘米，求半径这里是常量，是需要求解的常量100S=100r理解这种相对性，有助于我们更准确地分析和解决数学问题生活实例快递收费1情境变化带来的角色转换标准收费情境p为常量（10元/件），n为变量，T随n变化而变化例如寄3件物品，费用为10×3=30元；寄5件物品，费用为10×5=50元促销活动情境当引入件数越多，单价越低的促销活动时，p不再是常量，而成为与n相关的变量例如p可能变为pn=10-

0.5n-1（件数每增加1件，单价降低

0.5元）固定预算情境如果客户有固定预算T（如50元），则T成为常量，而n成为需要求解的变量此时我们需要解方程10×n=50，得到n=5件这个生活实例清晰地展示了常量和变量的相对性，以及它们如何随着问题情境的变化而转换角色理解这种转换有助于我们灵活应用数学知识解决实际问题生活实例工资计算2小时工工资计算模型假设小明在一家餐厅做兼职服务员，工资标准为每小时元，工作小时后可获得总工资元25t m我们可以建立数学模型×m=25t元小时25t小时工资工作时长在合同期内保持不变，是一个常量不同日期或不同员工的工作时长各异，是变量元m总工资随工作时长的变化而变化，是变量t情境分析情境一小明一周内各天工作时长不同，计算每天的工资周一小时，工资×元周二小时，工资×4=254=1006=256=150元周三小时，工资×元这里元小时是常量，和是变量5=255=12525/t m数学实例圆的周长1不同半径下的周长计算半径周长计算周长r cmL=2πr Lcm×12π1≈

6.

286.28×22π2≈

12.

5712.57×32π3≈

18.

8518.85×52π5≈

31.

4231.42×102π10≈

62.

8362.83从上表可以观察到，当半径增大时，周长也相应增大，且它们之间存在线性关系这种关r L系可以通过函数来描述，其中是常数系数，是自变量，是因变量L=2πr2πr L圆周长公式理解这种常量和变量在公式中的角色，有助于我们分析和预测圆的周长如何随半径变化这圆的周长计算公式为L=2πr也是数学建模和函数概念的基础其中，表示圆的周长，是圆周率（约等于），表示圆的半径Lπ

3.

14159...r常量与变量分析始终保持不变的数学常数，是常量•π系数，也是常量•2可以取不同的值，是变量•r随着的变化而变化，也是变量•L r数学实例面积关系2正方形面积公式三角形面积公式正方形的面积计算公式为三角形的面积计算公式为××S=a²S=½a h其中，表示面积，表示正方形的边长其中，表示面积，表示底边长度，表示高S a S ah在这个公式中当研究特定正方形时，是常量，也是常量•a S当研究不同边长的正方形时，是变量，随变化而变化，也是变量•aSa例如，当时，；当时，a=3cm S=3²=9cm²a=5cm S=5²=25cm²在这个公式中是常数系数，始终保持不变，是常量•½实验互动练习区别量的类型小组讨论活动现在我们将进行一个互动练习，请大家分成3-4人小组，完成以下任务

1.每个小组列举生活中常见的3个变量和3个常量

2.解释为什么这些量分别属于变量或常量

3.找出一个在某些情况下是常量、在其他情况下是变量的例子

4.准备向全班分享你们的发现讨论时间5分钟分享时间每组1-2分钟这个活动旨在帮助你们将理论知识应用到实际生活中，培养辨识常量和变量的能力参考示例类型生活例子解释常量水的沸点在标准大气压下，水的沸点恒为100°C常量一元人民币的价值在不考虑通货膨胀的短期内，1元钱的面值固定常量足球场的标准尺寸按规定，标准足球场长度和宽度有固定范围变量人的体重会随着饮食、运动等因素变化变量汽车油箱中的油量随着行驶和加油而变化实战题表格辨识1气温教室座位数书本数量商品价格气温在一天中不断变化，早晚温差教室内的座位数通常是固定的，在书架上的书本数量会随着借出、归商品价格可能随市场供需、促销活可达°以上在研究天气变化没有调整座位布局的情况下保持不还、购买新书等行为而变化，因此动、通货膨胀等因素变化，因此在10C时，气温是典型的变量变，因此在大多数情况下是常量通常是变量长期研究中是变量但在特定时刻测量特定地点的气温但当比较不同教室或随时间改变布但在清点特定时刻的库存时，书本但在短期内进行特定交易时，价格时，获得的读数是一个常量局时，座位数可视为变量数量是一个确定的常量通常是固定的常量思考与讨论上述例子再次说明常量和变量的相对性一个量是常量还是变量，取决于我们研究的问题和时间尺度请思考在你的日常生活中，还有哪些类似的例子，可以根据不同情境被视为常量或变量？数学公式中的常量变量一次函数及其表达式1情境一已知具体函数一次函数的一般形式为y=kx+b当我们研究具体函数如时y=2x+3其中，是自变量，是因变量，是斜率（一次项系数），是截距（常数项）x y k b和是确定的常量•k=2b=3是自变量，可以取不同值，是变量•x随的变化而变化，也是变量•y x2情境二研究系数变化当我们研究斜率对函数图像的影响时k成为研究对象，是变量•k可能固定为某个值，如，此时是常量•b b=0可能固定在某个范围内考察，此时每个值对应的值会随变化•x xyk3情境三解方程求参数当已知函数图像通过特定点，求系数和时k b和是需要求解的未知数，但它们是常量•k b已知点的坐标₁₁、₂₂等是常量•x,yx,y一次函数是学习常量和变量概念的理想场景，通过分析不同情境下各参数的角色，可以加深对这些概念的理解，为后续学习函数知识打下基础在这个公式中，常量和变量的角色可能随问题情境变化物理应用速度公式匀速运动基本公式在物理学中，匀速运动的基本公式为v=s/t其中，v表示速度，s表示路程，t表示时间这个简单的公式是理解常量和变量在不同学科应用的绝佳例子根据研究的问题不同，三个量的角色可能发生变化情境一匀速行驶的汽车一辆汽车以60km/h的速度行驶•v=60km/h是常量•t是变量（可以考察不同时间）•s随t变化而变化，也是变量例如行驶1小时，路程s=60km；行驶2小时，路程s=120km情境二固定路程问题从北京到上海的距离约为1200km与变化关系的链接从变量到函数当我们研究两个或多个变量之间的关系时，就引入了函数的概念函数描述了变量之间的依赖关系，即一个变量如何随另一个变量的变化而变化例如，在一次函数y=kx+b中•x是自变量（可以自由取值的变量）•y是因变量（随x变化而变化的变量）•k和b是参数（在特定函数中为常量）函数关系可以用图像、表格或方程式来表示，它们都描述了变量之间的变化规律一次函数的特点一次函数是最简单的函数类型之一，它具有以下特点•图像是一条直线•斜率k表示y随x变化的快慢和方向•截距b表示当x=0时y的值分组活动举出身边例子现在请同学们分成小组，在生活、数学和物理三个场景中，各举一个例子，明确指出其中的常量和变量生活场景数学场景物理场景示例超市购物示例长方形面积示例单摆周期购买同一种苹果，单价为元（常量），购买重量千克（变量），需支付长方形的面积公式×，其中为长，为宽单摆周期公式，其中为摆长，为重力加速度8/kg wS=a ba bT=2π√L/g Lg金额元（变量）m当研究特定长方形时，和都是常量在地球表面的实验中，为常量a bg≈

9.8m/s²数学模型m=8w当研究周长一定的长方形面积变化时，和都是变量，且满足常数当研究不同长度的单摆时，为变量，随变化而变化，也是变量a b2a+b=L TL思考如果超市实行买二送一促销活动，单价还是常量吗？思考如果在不同星球上做实验，哪些量会变成变量？思考周长固定为的长方形，其面积最大值是多少？20cm活动要求每组选择三个不同场景，各举一个例子

1.明确指出例子中的常量和变量

2.解释为什么这些量分别是常量或变量

3.尝试写出数学模型（如果适用）

4.提出一个与例子相关的思考问题

5.活动时间分钟讨论，分钟分享105概念总结图示基本定义主要特征常量在特定过程中数值不变的量常量固定数值，提供稳定参考••变量在特定过程中数值可变的量变量可取不同值，描述变化关系••概念联系典型例子与函数概念紧密相连常量重力加速度光速••π,g,c是理解变化关系的基础变量温度时间距离••T,t,s主要应用相对性数学函数关系方程求解•,同一量在不同问题中角色可变•物理运动规律能量转换•,判断依据特定研究过程或问题•生活成本计算时间规划•,这个思维导图总结了常量和变量的核心概念、特征、例子、应用以及它们之间的相对性和联系理解这些概念及其相互关系，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题错误辨析与易混点常见误区1误区一经常变的量就是变量变量的定义不是基于变化的频率，而是基于在特定研究过程中是否取不同值例如地球自转周期虽然极其稳定（约24小时），但在研究不同行星自转周期时，它是变量2误区二一切量都能变意味着没有常量虽然世间万物都在变化，但在特定研究过程中，我们需要将某些量视为不变的参照系例如光速c虽然也是测量得到的（理论上可能有误差），但在大多数物理问题中被视为常量3误区三常量一定是已知数值常量可以是已知具体数值的量，也可以是未知但固定的量例如在方程2x+b=10中，如果b是未知的但在求解过程中保持不变，则b是常量辨析要点错误观点正确理解创新问题一变量常量转化问题中的角色A母鸡数量变量（可以考察不同数量）n单鸡产蛋量常量（假设为固定值，如个天）m

1.5/总产蛋量×变量（随变化而变化）T=n mn问题中的角色B初始母鸡数量常量（给定的固定值）100单鸡产蛋量常量（假设为固定值，如个天）m

1.5/目标总产蛋量常量（给定的固定值）180需增加的母鸡数量需要求解的变量n在问题中，母鸡数量被视为变量，可以取不同值；而在问题中，我们需要基于其他条件求解增加的母鸡数量，A nB此时原有的只母鸡是已知常量100这个例子展示了同一个量在不同问题中可能扮演不同角色，理解这种转化有助于我们更灵活地分析和解决问题在不同问题情境下，同一个量可能扮演不同的角色，有时是常量，有时是变量这种角色转换是理解数学问题的关键案例分析养鸡场问题考虑以下两个问题问题一个养鸡场有只母鸡，每只母鸡平均每天产蛋个，问一天总共产蛋多少个？A nm问题一个养鸡场有只母鸡，每只母鸡平均每天产蛋个，如果想要每天总产蛋量达到个，需要增加B100m180多少只母鸡？拓展应用科学公式化学应用生物学应用化学反应方程式2H₂+O₂→2H₂O种群增长模型dN/dt=rN1-N/K1摩尔质量1种群数量NH₂的摩尔质量为2g/mol，O₂的摩尔质量为32g/mol，H₂O的摩尔质量为18g/mol这些摩尔质量在计算时是常量种群的数量随时间变化，是变量2反应物数量2内禀增长率r不同实验中使用的H₂和O₂的量可能不同，是变量但它们之间的反应比例是固定的常量（2:1）在特定环境条件下，种群的自然增长率r通常视为常量如果有n摩尔的H₂参与反应，则需要n/2摩尔的O₂，会生成n摩尔的H₂O3环境容纳量K环境能够支持的最大种群数量，在短期内通常视为常量在遗传学中，某些性状由固定的基因决定（常量），而表型的表达可能受环境影响而变化（变量）理解常量和变量在各学科中的应用，有助于我们建立学科间的联系，形成综合性的科学思维这也体现了数学作为科学通用语言的重要性历史故事常数的发现π圆周率的历史探索π圆周率π是最著名的数学常数之一，它表示圆的周长与直径的比值人类对π的探索有着悠久的历史，体现了常量概念的发展历程古埃及时期（约公元前1650年）1《莱因德纸草书》中，古埃及人使用16/9²≈

3.16作为π的近似值2古巴比伦时期（约公元前1900-1600年）巴比伦人使用3+1/8=

3.125作为π的近似值古希腊时期（约公元前250年）3阿基米德使用多边形逼近法，确定π在

3.1408和

3.1429之间4中国南北朝时期（约公元5世纪）祖冲之计算出π≈355/113≈

3.14159292，精确到小数点后7位现代计算机时代5截至2021年，π已被计算到超过50万亿位小数小测试快速判断题判断以下各量在给定情境中是常量还是变量1情境1计算长方形面积一个长方形，长为5厘米，宽为3厘米，求其面积•长常量（5厘米）•宽常量（3厘米）•面积常量（需计算得出）2情境2水温变化实验研究水在加热过程中温度随时间的变化•时间变量（可取不同值）•温度变量（随时间变化）•水的质量常量（实验过程中保持不变）3情境3汽车行驶问题一辆汽车从A城开往B城，两地相距300公里•距离常量（300公里）•时间变量（取决于速度）•速度变量（可能不断变化）更多判断题1情境4分数计算问题在函数y=3x+2中，当x=4时，求y的值•x常量（在此题中固定为4）•y常量（需计算得出）•系数3和常数项2常量2情境5成本计算问题制作一批玩具，每个成本为20元，计算不同数量下的总成本•单个玩具成本常量（20元）•玩具数量变量（可取不同值）课堂小结本课重点内容3基本概念常量在特定过程中数值不变的量变量在特定过程中数值可变的量概念辨析理解常量与变量的区别和联系认识到它们的相对性3实例应用生活中的常量与变量数学公式中的常量与变量物理等学科中的应用问题分析能够在具体问题中辨识常量和变量理解它们在不同情境下的角色转换知识连接学习路径回顾与函数概念的联系

1.通过生活场景引入常量和变量的概念与其他学科知识的融合

2.介绍基本定义和特征

3.通过对比分析理解两者的区别和联系

4.结合具体实例深化理解

5.通过互动练习和思考题巩固应用

6.拓展至其他学科和更复杂的情境常考点提示•区分某一情境中的常量和变量巩固练习基础练习进阶练习练习1判断下列量在给定情境中是常量还是变量练习3一个长方形的周长固定为20厘米

1.计算正方形面积时，边长a=5厘米

1.写出长方形面积S与长a的关系式

2.研究不同半径圆的面积时，圆周率π

2.在这个关系式中，哪些是常量，哪些是变量？

3.研究自由落体运动时，重力加速度g

3.当长方形变为正方形时，面积取什么值？

4.一元二次方程ax²+bx+c=0中的a、b、c

5.一元二次方程3x²+5x-2=0中的x练习2某商店销售一种商品，进价为每件50元，售价为每件80元

1.写出利润y与销售数量x的关系式

2.在这个关系式中，哪些是常量，哪些是变量？

3.如果商店实行买二送一促销活动，请重新分析常量和变量拓展阅读视频推荐/数学趣味读物推荐在线资源推荐1视频资源《数学乐》频道《常量与变量的奥秘》系列视频•《万门大学》《高中数学思维方法》中的函数与变量部分•《三分钟数学》《数学中的不变量》短视频系列•2互动学习网站可视化函数变化的交互式几何软件•GeoGebra《数学，为什么是这样》《圆周率的故事》慕课网《初中数学思维训练》在线课程π•小猿搜题常量与变量专题练习•这本书通过生动的故事和例子，解释了数学概念背后的这本书讲述了人类探索圆周率的历史，从古埃及到现π原理和逻辑，包括常量和变量的本质适合初中生阅读，代计算机时代，展示了常量概念如何在人类文明发展中能够激发对数学的兴趣和好奇心演化和完善3数学思想延伸变量思想如何用变量描述现实世界中的变化•函数观念理解变量之间的依赖关系•不变量与守恒律物理学中的常量思想•这些拓展资源将帮助你从不同角度深入理解常量和变量的概念，建立更全面的数学思维体系数学不仅是一种工具，更是一种思考方式，它能帮助我们更好地理解和描述这个复杂而美丽的世界《数学思维导论》本书介绍了数学思维的基本方法和技巧，包括如何识别问题中的常量和变量，如何建立数学模型，以及如何分析变化关系开放性讨论你如何理解变量和常量？以下是一些引导思考的问题，没有标准答案，旨在促进深度思考和讨论1本质思考1创新思考常量和变量的本质区别是什么？是否存在绝对的常量？如果你要设计一个游戏或故事，如何创造性地运用常量和变量的概念？••在数学抽象和现实世界之间，常量和变量的概念有何不同？•在编程或人工智能领域，常量和变量的概念有何应用？为什么数学需要常量和变量的概念？没有这些概念会怎样？••未来的数学教育中，如何更直观地教授常量和变量的概念？•2应用思考2哲学思考在你学习的其他学科中，能找到常量和变量的例子吗？•变化是永恒的这句话中有矛盾吗？如何从常量和变量的角度理人类社会中，有哪些可以视为常量的价值观或原则？•——•解？在快速变化的世界中，寻找和依赖常量有何意义？•人的个性中，哪些部分可视为常量，哪些可视为变量？•从历史发展来看，数学常数（如）的发现过程告诉我们什么？•π,e请用几分钟时间思考这些问题，然后与同学分享你的想法记住，在这个讨论中没有对错之分，重要的是深入思考和交流不同的视角这种开放性讨论有助于培养批判性思维和创造性思维，让数学概念超越课本，与现实世界和其他知识领域建立联系感谢与展望本课要点回顾掌握了常量和变量的基本定义和特征•理解了常量和变量的相对性•学会了在各种情境中识别常量和变量•了解了常量和变量在数学公式和其他学科中的应用•培养了灵活运用数学概念解决实际问题的能力•下一节课预告一次函数初步在下一节课中，我们将学习一次函数的基本概念和性质一次函数是形如的函数，其中和是常量，是自变量，y=kx+b kb x是因变量y一次函数是研究变量之间线性关系的重要工具，在科学、经济和日常生活中有广泛应用本节课学习的常量和变量概念将是理解一次函数的基础问题收集与解答现在我们留出一些时间来回答大家对本节课内容的疑问如果你有任何不理解的地方，或者想要进一步探讨的话题，请举手提问常见问题可能包括如何快速判断一个量是常量还是变量？•常量和变量的概念在高中数学中会如何拓展？•学习这些概念对今后学习有什么帮助？•如果课后还有问题，欢迎通过以下方式继续交流课后辅导时间每周

二、四下午•3:30-4:30在线学习平台的讨论区•预习下一节课的相关内容，带着问题来上课•。