人教版反比例教学课件

反比例函数教学目标理解反比例函数概念与基本性质掌握反比例函数图象与表达式能用反比例函数解决实际问题掌握反比例函数的定义、表达式和基本能够根据反比例函数表达式绘制图象，培养数学建模能力，学会识别生活中的特征，能够区分反比例函数与其他函数理解参数k的几何意义，掌握图象的基本反比例关系，并应用反比例函数解决实类型特性际问题课程目录实际应用与拓展

3.图象与性质

2.探索反比例函数在现实生活中的应用，学习反比例函数定义

1.掌握反比例函数的图象特征、绘制方法以及建立数学模型解决实际问题学习反比例函数的基本概念、通式表达及其反比例函数的基本性质与其他函数的区别复习函数与常见类型在学习反比例函数之前，让我们先回顾一下已经学过的几种常见函数类型•一次函数y=kx+b，图象是一条直线•正比例函数y=kx，图象是一条过原点的直线•二次函数y=ax²+bx+c，图象是一条抛物线这些函数类型各有特点，在应用场景和性质上有很大区别我们即将学习的反比例函数是另一种重要的基本函数类型，它与以上函数有着本质的不同不同函数图象对比反比例函数定义

1.1反比例函数是形如y=k/x x≠0的函数，其中•k是常数，称为比例系数•x是自变量，其取值不能为零•y是因变量，随x的变化而变化反比例函数表达了两个变量之间的特殊关系当一个变量增大时，另一个变量按比例减小，它们的乘积保持不变，即xy=k恒成立反比例函数的本质特征是两个变量的乘积恒为常数这与正比例函数两个变量的比值恒为常数形成鲜明对比反比例函数的数学表达式和图象反比例函数举例当k=3时，y=3/x当k=-2时，y=-2/x这是一个k为正值的反比例函数其图象分布在第

一、三象限，表示当x为正这是一个k为负值的反比例函数其图象分布在第

二、四象限，表示当x为正值时，y也为正值；当x为负值时，y也为负值函数图象是一条双曲线，曲线值时，y为负值；当x为负值时，y为正值函数图象也是一条双曲线，曲线上上任意点的坐标满足xy=3任意点的坐标满足xy=-2反比例函数与正比例函数对比正比例函数反比例函数y=kx y=k/x•图象是一条过原点的直线•图象是一条双曲线，不经过原点•k为斜率，决定直线的倾斜程度•k决定曲线的开口方向和与坐标轴的距离•定义域和值域都是全体实数•定义域和值域都是非零实数•单调性k0时单调递增；k0时单调递减•单调性在定义域的每个连续区间上单调•对称性图象关于原点对称•对称性图象关于原点中心对称图象基础坐标系中作图反比例函数y=k/x的图象是一条双曲线，具有两个分支，不与坐标轴相交绘制反比例函数图象的基本步骤

1.确定函数的表达式和k值

2.判断图象分布的象限k0时在第

一、三象限；k0时在第

二、四象限

3.选取适当的x值，计算对应的y值，得到一系列点

4.在坐标系中标出这些点

5.连接这些点，注意曲线的渐近趋势

6.标注函数表达式反比例函数的坐标作图示例图象与性质

1.2k0时的图象k0时的图象当k0时，反比例函数y=k/x的图象分布在第

一、三象限这意味着x和y同当k0时，反比例函数y=k/x的图象分布在第

二、四象限这意味着x和y异号当x0时，y0；当x0时，y0图象是一条双曲线，且与坐标轴不相号当x0时，y0；当x0时，y0图象同样是一条双曲线，且与坐标轴交不相交图象绘制详细步骤以y=2/x为例，详细展示反比例函数图象的绘制步骤

1.确定k值k=20，图象在第

一、三象限

2.列表计算一系列点的坐标x124-1-2-4y=2/x

210.5-2-1-

0.

51.在坐标系中标出这些点

2.连接各点，注意曲线渐近趋势

3.标注函数表达式y=2/x的图象绘制过程反比例函数的定义域和值域定义域值域反比例函数y=k/x的定义域是除零以外反比例函数y=k/x的值域也是除零以外的所有实数，即的所有实数，即定义域分为两个区间，是因为x=0时函值域之所以不包含0，是因为无论x取何数无定义（除数不能为零）值（不为0），y=k/x永远不会等于0性质对称性反比例函数y=k/x具有重要的对称性质图象关于原点对称这意味着如果点a,b在函数图象上，那么点-a,-b也在函数图象上数学验证若点a,b满足y=k/x，则b=k/a对于点-a,-b，代入函数得等式成立，证明点-a,-b也在函数图象上图象关于原点的对称性反比例函数零点与截距零点截距函数的零点是指函数值等于0的自变量x y轴截距是指函数图象与y轴的交点的纵的值对于反比例函数y=k/x来说坐标对于反比例函数由于k≠0，上述方程无解，因此反比例这是一个无意义的式子（除数不能为函数没有零点0），因此反比例函数没有y轴截距几何意义反比例函数的图象不与x轴相几何意义反比例函数的图象不与y轴相交交反比例函数中的常数的作用kk的符号决定开口方向|k|的大小决定图象疏密当k0时，函数图象位于第

一、三象限；当k0时，函数图象位于第

二、四|k|的值越大，曲线与坐标轴的距离越远；|k|的值越小，曲线越接近坐标轴象限k的符号决定了函数图象的分布象限，也就是曲线的开口方向可以理解为|k|控制了双曲线的胖瘦或疏密程度例题已知函数，判断的符号1k问题函数y=-5/x的图象分布在哪些象限？k的符号是什么？分析与解答对于反比例函数y=k/x•当k0时，图象分布在第

一、三象限•当k0时，图象分布在第

二、四象限本题中，k=-50，所以函数y=-5/x的图象分布在第

二、四象限y=-5/x的图象分布在第

二、四象限例题求特定点对应的2k问题已知点2,-4在反比例函数y=k/x的图象上，求k的值分析与解答由于点2,-4在函数图象上，所以它的坐标满足函数关系式代入点2,-4的坐标解得点2,-4所在的反比例函数图象实际问题与反比例函数

1.3速度与时间面积与边长工作效率在匀速运动中，如果路程固定，那么速度与所需对于面积固定的长方形，长与宽成反比例关系对于固定工作量的任务，工作效率与完成时间成时间成反比例关系速度越快，所需时间越短；如果面积为S，则长l与宽w的关系可以表示为l=反比例关系效率越高，完成时间越短；效率越反之，速度越慢，所需时间越长这种关系可以S/w或w=S/l增加长度会导致宽度按比例减低，完成时间越长类似地，工人人数与完成同用反比例函数v=s/t或t=s/v表示，其中s是固定小，反之亦然，但它们的乘积（面积）保持不一工作所需时间也成反比例关系路程变例题工作效率问题3问题某工程队需要完成一项工程，如果安排10人工作，需要12天完成如果希望8天完成同样的工程，应安排多少人工作？分析与解答设完成该工程的总工作量为k，则

1.每人每天的工作效率为相同的常数c

2.x人工作y天完成的工作量k=x·y·c

3.已知10人工作12天可以完成工程，即k=10×12×c=120c工人数量与完成时间的反比例关系

4.设需要安排x人，工作8天完成工程，则k=x×8×c=8xc

5.两式相等120c=8xc，解得x=120÷8=15（人）例题面积与长度4问题一个长方形的面积是24平方厘米1如果长为x厘米，宽为y厘米，请写出y与x的函数关系式2当长为3厘米时，宽是多少？3当宽为2厘米时，长是多少？分析与解答1根据长方形面积公式S=x·y，已知S=24，则长方形的长与宽的反比例关系这是一个反比例函数，比例系数k=242当x=3时，y=24÷3=8（厘米）3当y=2时，x=24÷2=12（厘米）反比例模型的应用步骤明确变量关系首先确定问题中的两个变量，分析它们是否满足乘积为常数的特征判断依据当一个变量增大时，另一个变量是否按比例减小，且它们的乘积是否保持不变建立函数表达式确定比例系数k的值，通常可以通过已知的一组对应值计算得出然后写出反比例函数表达式y=k/x或xy=k注意明确自变量和因变量的实际意义解题与验证利用建立的函数关系，结合问题条件进行计算求解得出结果后，检验答案是否符合实际情况，是否满足问题的各项约束条件图象调整与参数变化参数k变化对图象的影响当反比例函数的参数k发生变化时，函数图象会相应变化•k的符号改变图象从第

一、三象限移动到第

二、四象限，或反之•|k|增大图象整体远离坐标轴•|k|减小图象整体接近坐标轴例题k由3变为6时的图象变化当k由3变为6时，|k|增大了一倍，函数图象会远离坐标轴，但仍然保持在第

一、三象限图象变得更胖，与坐标轴之间的最小距离变大k=3（蓝色）和k=6（红色）的图象对比巩固提升题1练习给出k，画出对应反比例函数请在坐标系中画出以下反比例函数的图象•y=4/x•y=-2/x解答思路

1.确定k值和图象分布象限

2.选取适当的x值，计算对应y值

3.在坐标系中标出这些点

4.连接各点，绘制双曲线

5.利用对称性完善图象y=4/x（蓝色）和y=-2/x（红色）的图象巩固提升题2综合题建模并解答某种气体在温度不变的情况下，压强P与体积V成反比例关系已知当压强为200千帕时，体积为5立方米1写出压强P与体积V的函数关系式2当体积增加到8立方米时，压强是多少？3如果希望压强减小到150千帕，体积应该是多少？解答1设P=k/V，代入已知条件200=k/5，解得k=1000所以函数关系式为P=1000/V气体压强与体积的反比例关系2当V=8时，P=1000/8=125（千帕）3当P=150时，V=1000/150=

6.67（立方米）拓展反比例与二次函数的区别二次函数反比例函数y=ax²+bx+c y=k/x•图象是抛物线•图象是双曲线•具有对称轴，形如x=h•关于原点中心对称•有顶点h,k•没有特殊点如顶点•可能与坐标轴相交•不与坐标轴相交•定义域是全体实数•定义域是非零实数•函数图象是连续的一条曲线•函数图象由两个分支组成拓展阅读反比例函数在现实中的应用物理学经济学工程技术除了波义耳定律外，反比例关系在物理学中还有在经济学中，商品的需求量与价格往往成反比例在工程设计中，齿轮传动比、滑轮组的机械优很多应用例如，光的强度与距离的平方成反比关系价格上升，需求量下降；价格下降，需求势、电路中的电阻与电流关系等，都可以用反比（平方反比定律）；电场强度与距离的平方成反量上升这种关系可以用反比例函数来近似描例函数来描述这些应用展示了反比例函数在工比；磁场强度与距离的平方成反比等这些都是述，是市场经济中的基本规律之一程技术领域的重要性反比例函数在描述自然规律中的重要应用易混知识点总结不能代入与一次函数、正比例函数的区别图象分支与对称性x=0反比例函数y=k/x的定义域是除零以外反比例函数与一次函数、正比例函数在反比例函数的图象由两个分支组成，分的所有实数在解题时，一定要注意x不图象和性质上有本质区别一次函数y=布在不同的象限这与连续一条曲线的能取0，因为这会导致函数无定义（除数kx+b的图象是直线，可能与坐标轴相函数（如一次函数、二次函数）不同不能为零）这与一次函数、二次函数交；正比例函数y=kx是一次函数的特同时，反比例函数图象关于原点中心对等可以取x=0的函数不同例，图象是过原点的直线；而反比例函称，这种对称性与其他函数也有所不数y=k/x的图象是双曲线，不与坐标轴同相交学习误区警示误区1忽视图象分支与对称性误区3忘记反比例函数无零点和截距很多学生在绘制反比例函数图象时，只注意到一个分支而忽略另一个分支，一些学生习惯于寻找函数图象与坐标轴的交点，但反比例函数的图象不与坐或者没有正确体现图象的对称性正确做法是明确反比例函数图象由两个标轴相交这是反比例函数的重要特征，不要与其他函数混淆分支组成，且关于原点中心对称误区4错误代入x=0或将0作为函数值误区2混淆正负k对应的象限在应用反比例函数解题时，一定要注意x≠0且y≠0不能将0代入函数，也部分学生在判断函数图象分布的象限时容易混淆正确记忆是k0时，图不能将0作为函数值这是反比例函数的定义域和值域决定的象分布在第

一、三象限；k0时，图象分布在第

二、四象限课堂小结反比例函数定义函数性质反比例函数形如y=k/x x≠0，其中k是常数反比例函数表达了两个定义域和值域都是非零实数；函数在定义域的每个连续区间上单调；图变量的乘积为常数的关系，即xy=k象关于原点中心对称；函数没有零点和截距图象特征实际应用双曲线，由两个分支组成；k0时，分布在第

一、三象限；k0时，分速度与时间、面积与边长、工作效率等实际问题中的反比例关系；应用布在第

二、四象限；坐标轴是图象的渐近线步骤明确变量关系，建立函数表达式，解题并验证课后作业与思考基础练习应用题

1.判断下列函数中哪些是反比例函数

1.某人骑自行车从甲地到乙地，如果速度是每小时15千米，需要4小时到达如果希望3小时到达，速度应该是每小时多少千米？•y=5/x

2.某种商品的需求量q与价格p满足反比例关系已知当价格为20元时，需求量为500件•y=2x+3•写出需求量q与价格p的函数关系式•y=-4/x-1•当价格上涨到25元时，需求量是多少？•y=x²

2.已知反比例函数y=k/x的图象经过点2,3，求k的值•如果希望销售800件，应该将价格定为多少？

3.画出反比例函数y=-6/x的图象探究任务进阶思考在日常生活中寻找至少3个反比例关系的例子，并尝试用数学语言描述它们

1.如果反比例函数y=k/x的图象经过点a,b和c,d，证明ab=cd

2.探究当k取不同值时，反比例函数y=k/x的图象有什么变化规律？。