人教版植树问题教学课件

植树问题教学课件人教版五年级数学上册植树问题专题教学本课件旨在帮助学生理解植树问题的数学模型，掌握不同情境下的计算规律，培养学生的数学思维能力教学内容与目标本课教材位置人教版数学五年级上册第106页教学目标•使学生理解并掌握植树问题中间隔数与树木棵数之间的关系•培养学生的数学模型抽象能力与实际应用能力•提高学生分析问题、解决问题的能力生活中的数学现象在我们的日常生活中，植树问题其实随处可见最简单的例子就是我们的手指和手指之间的空隙，这就是一种数量关系的体现每年的3月12日是我国的植树节，人们通过植树活动为环境美化做出贡献在规划植树时，人们需要合理计算树木的数量，这正是我们今天要学习的数学问题情境导入手指数与间隔数1让我们先来观察一个简单的现象当我们伸开一只手的五指时，有几根手指？有几处空隙？我们可以数出•手指数5根•手指之间的空隙4处通过观察，我们发现手指数=间隔数+1这个简单的规律正是我们理解植树问题的基础情境导入实际植树场景2想象一下校园小路的一边需要种树•每隔5米栽一棵树•路的两端都要栽树这是一个典型的植树问题在这种情况下，我们需要计算出总共需要多少棵树，才能合理安排资源这种问题在生活中很常见，比如学校绿化、小区美化等场景都会遇到解读题目在解决植树问题时，我们首先需要明确已知条件•全长小路的总长度（米）•间隔距离相邻两棵树之间的距离（米）还要特别注意题目中的条件描述两端都种或一端种等，这些条件会直接影响计算方法的选择植树问题模型建立植树问题的核心是理解树木与间隔之间的啮合关系•树木和间隔像齿轮一样咬合在一起•不同的边界条件会导致不同的计算公式常见的问法包括•已知路长和间隔，求树的棵数•已知树的棵数和间隔，求路长•已知路长和树的棵数，求间隔类型一两端都种确定间隔数间隔数=总路长÷间距计算树的棵数棵树数=间隔数+1这是最基本的植树问题类型在一段直线路径上，路的两端都要种树此时，树的数量总是比间隔数多1类型一图示如图所示，当两端都种树时•每棵树之间形成一个间隔•如果有n个间隔，就需要n+1棵树•第一棵和最后一棵树分别位于路段的起点和终点通过图示可以直观理解树与间隔的关系，帮助学生建立正确的数学模型例题两端都种1例题有一条20米长的小路，计划每隔5米栽一棵树，路的两端都要栽树，需要多少棵树？解析

1.间隔数=总路长÷间距=20÷5=4（个间隔）

2.棵树数=间隔数+1=4+1=5（棵）通过计算，我们知道需要5棵树类型二只种一端在这种类型中，题目会明确说明一端要栽，一端不栽此时的计算公式为•棵树数=间隔数=总路长÷间距这种情况下，树的数量等于间隔数，没有多出的那一棵类型二图示如图所示，当只在一端种树时•第一棵树位于路段的起点•最后一棵树不在路段的终点，而是在倒数第一个间隔处•此时树的棵数恰好等于间隔数注意观察图中路段末端没有树，这是此类型的关键特征例题一端要栽2例题有一条35米长的小路，计划每隔5米栽一棵树，只在路的一端栽树，需要多少棵树？解析

1.间隔数=总路长÷间距=35÷5=7（个间隔）

2.棵树数=间隔数=7（棵）通过计算，我们知道需要7棵树类型三绕操场（首尾相连）第三种类型是环形或闭合路径，例如操场跑道周围种树特点•起点和终点重合，形成环形•没有明显的两端，所有树都处于相同位置•每棵树之间的间隔是均等的环形公式推导在环形路径上种树，由于首尾相连，特殊之处在于•每棵树都有前后两个间隔•树的数量恰好等于间隔数计算公式棵树数=总路长÷间距这与一端栽的公式相同，但原理不同环形是因为首尾相连，而一端栽是因为一端没有树例题环形种树3例题学校操场周长为100米，计划每隔5米栽一棵树，需要多少棵树？解析

1.由于操场是环形的，首尾相连

2.棵树数=总路长÷间距=100÷5=20（棵）通过计算，我们知道需要20棵树类型四多段路径现实生活中还有更复杂的情况，例如多条小路交汇时的植树问题特点•多条路径可能共用某些端点•需要注意避免端点重复计算•应将问题分解为多个基本类型处理解析复杂端点情况解决多段路径植树问题的关键是

1.标注出所有的端点和交叉点

2.确定每段路径上的树木数量

3.合并共用的端点，避免重复计算计算公式总棵数=各段计算之和-重复端点数例题多端点问题4例题有一条十字交叉的小路，东西向长30米，南北向长40米，每隔5米栽一棵树，路的所有端点都要栽树，需要多少棵树？解析

1.东西向30÷5=6个间隔，需要7棵树

2.南北向40÷5=8个间隔，需要9棵树

3.交叉点重复计算了1次，需要减去

4.总棵数=7+9-1=15（棵）总结不同类型1两端都栽2一端栽3环形首尾相连/棵树数=间隔数+1=总路长÷间距+1棵树数=间隔数=总路长÷间距棵树数=间隔数=总路长÷间距例50米路，每隔10米栽，两端都栽→例50米路，每隔10米栽，一端栽→5例50米环形路，每隔10米栽→5棵5+1=6棵棵植树问题规律表类型公式适用情境两端都栽间隔数+1直线段两端都能种树一端栽间隔数直线段一端不种树环形/首尾相连间隔数闭合回路（操场等）此规律表可作为解题参考，帮助学生快速判断问题类型并选择正确的计算公式常用知识点归纳核心计算公式间隔数=总长÷间距树木数取决于端点情况•两端都栽间隔数+1•一端栽/环形间隔数端点数是决定使用哪种公式的关键因素理解端点的概念，能够帮助学生正确选择计算方法画图找规律解决植树问题的有效方法是先画图

1.画出小路

2.标记树的位置

3.标注间隔

4.观察树与间隔的关系

5.推断计算规律这种方法特别适合初学者，能够帮助直观理解问题常见错误提醒忽略两端是否种树这是最常见的错误解题前必须明确路的两端是否都要种树，这直接影响计算公式的选择间隔数与棵树数混淆许多学生容易混淆间隔数和树的棵数记住间隔数是固定的（总长÷间距），而棵树数则取决于具体情况忽视公式适用条件简单套用公式而不分析具体情况每种公式都有其适用范围，应根据问题特点选择错例剖析常见错误示例错误使用长度÷间距+1解决环形场景例题操场周长100米，每隔5米种一棵树，需要多少棵？错误解法100÷5+1=21棵正确解法环形路径使用公式总长÷间距100÷5=20棵学生互动练习1提问一条长50米的小路，计划每隔10米栽一棵树，路的两端都要栽树，需要多少棵树？思考步骤

1.判断题型两端都要栽→使用间隔数+1公式

2.计算间隔数50÷10=5（个间隔）

3.计算棵树数5+1=6（棵）学生讨论分析引导学生通过以下步骤分析植树问题

1.仔细审题，确定是哪种类型的植树问题

2.画出示意图，标注树木和间隔

3.计算间隔数总长÷间距

4.根据题型选择正确公式计算树的棵数

5.检查答案是否合理小组合作探究分组活动

1.每组选择一种植树问题类型

2.创建一个实际场景（校园、公园等）

3.画出详细的分布图

4.计算所需树木数量

5.向全班展示分析过程通过小组合作，学生能够更深入地理解不同类型的植树问题课本例题精讲（例）P1061课本例1校园有一条36米长的小路，准备每隔4米种一棵树，路的两端都要种，需要多少棵树？解析

1.判断题型两端都要种→使用间隔数+1公式

2.计算间隔数36÷4=9（个间隔）

3.计算棵树数9+1=10（棵）答需要10棵树难点突破模型抽象植树问题的难点在于从具体场景抽象出数学模型•识别边界条件（两端是否种树）•理解间隔与树木的啮合关系•将实际问题转化为数学公式练习找出生活中类似的数学模型问题，如栅栏问题、灯杆排布、商店橱窗等难点突破规律探寻帮助学生通过递推思维探寻规律

1.从简单情况开始（例如5米路每隔1米种树）

2.逐步增加复杂度（增加路长或改变间隔）

3.观察数据变化，总结规律

4.验证规律的普适性鼓励学生举一反三，尝试自己推导公式延伸应用实际操作走廊挂彩灯旗杆排布栅栏安装学校走廊挂彩灯，每隔一定距离挂一个，需要计国旗旗杆的排布，需要考虑间距与数量的关系安装栅栏时，每个栅栏柱之间的距离与柱子数量算灯的数量的关系拓展多种间距组合1在实际应用中，可能会遇到多种间距组合的情况•不同路段使用不同的间距•树木分组种植（如3棵一组，组间距离较大）解决方法

1.将问题分解为多个标准问题

2.分段计算，然后合并结果

3.注意避免重复计算交界处的树拓展不等间距植树2更复杂的植树问题不等间距植树•第一段每隔3米种一棵•第二段每隔5米种一棵•第三段每隔4米种一棵解决策略

1.分段计算各自的树木数量

2.确定段与段之间是否共用树木

3.合并结果，避免重复计算日常生活数学建模节日路灯装饰城市绿化带城市在节日期间安装装饰灯，需要计算灯具数量和间距城市道路两侧的绿化带植树，需要考虑美观性和成本植树问题的数学思想在我们的日常生活中有着广泛的应用，培养这种数学建模能力对学生未来解决实际问题有很大帮助巩固练习1练习题有一条60米长的小路，计划每隔6米栽一棵树，路的两端都要栽树，需要多少棵树？解答

1.判断题型两端都要栽→使用间隔数+1公式

2.计算间隔数60÷6=10（个间隔）

3.计算棵树数10+1=11（棵）答需要11棵树巩固练习2练习题有一条48米长的小路，计划每隔4米栽一棵树，只在路的一端栽树，需要多少棵树？解答

1.判断题型一端栽→使用间隔数公式

2.计算间隔数48÷4=12（个间隔）

3.计算棵树数12（棵）答需要12棵树巩固练习3练习题学校操场周长为36米，计划每隔6米栽一棵树，需要多少棵树？解答

1.判断题型环形/首尾相连→使用间隔数公式

2.计算间隔数36÷6=6（个间隔）

3.计算棵树数6（棵）答需要6棵树巩固练习4错题再现某校操场周长100米，计划每隔5米栽一棵树，需要多少棵树？错误解法100÷5+1=21棵请独立纠错

1.识别题型环形/首尾相连

2.应用正确公式棵树数=总路长÷间距

3.计算100÷5=20（棵）正确答案需要20棵树课堂互动反馈快问快答环节

1.植树问题中，间隔数怎么计算？

2.两端都种树时，树的棵数与间隔数的关系是？

3.环形路径种树时，应该用哪个公式？

4.一端种树时，树的棵数与间隔数的关系是？

5.解决植树问题的第一步是什么？通过快速问答，检验学生对核心公式的掌握情况数学知识升华植树问题体现了数学抽象能力的重要性•从具体生活场景中提炼数学模型•识别变量之间的关系和规律•用简洁的公式表达复杂的问题•应用数学知识解决实际问题这种能力在学习更高级的数学和解决实际问题时都非常重要小结核心规律1一端栽棵树数=间隔数适用于直线路径，只在一端种树的情况两端都栽棵树数=间隔数+1应用于直线路径，路的两端都要种树的情况闭合路径棵树数=间隔数适用于环形路径，如操场周围种树的情况掌握这三种基本规律，就能解决大多数植树问题小结判定题型小口诀2记忆口诀全长÷间隔看端点，多加一棵别乱算解析•全长÷间隔计算间隔数的方法•看端点根据端点情况选择公式•多加一棵别乱算两端都种时才加1主题延伸更复杂的建模问题植树问题的思想可以延伸到更复杂的建模问题•社区绿化规划不同区域采用不同种植密度•大型道路绿植规划考虑美观性和实用性•园林景观设计多种植物交错种植这些复杂问题需要综合应用多种数学知识，是数学建模能力的进一步提升实践活动建议班级道路规划活动

1.设计一个包含多种路径的小区绿化方案

2.考虑直线路径、环形路径和交叉路径

3.标注每条路径的长度和树木间距

4.计算总共需要的树木数量

5.估算成本和维护需求通过这个活动，学生能够综合运用所学知识解决实际问题学法指导画遇到植树问题，先画出路径和树木的示意图，直观理解问题数数出间隔数和树木数，观察它们之间的关系归纳根据观察归纳出公式，理解不同情况下的计算规则用应用所学公式解决各种类型的植树问题，不断练习巩固这四步学习法能够帮助学生系统掌握植树问题的解题思路学情自查自评掌握度

1.我能计算两端都种树时需要的树木数量吗？

2.我能判断环形路径种树的特点吗？

3.我能解决多段路径组合的植树问题吗？评分标准•完全掌握能独立解决各种类型问题•基本掌握能解决基本类型，但复杂问题有困难•需要提高基本概念不清晰，公式混淆典型作业布置课后练习

1.学校操场是一个长方形，长80米，宽40米，计划在操场四周每隔5米栽一棵树，需要多少棵树？

2.小区有三条小路呈品字形排列，每条小路长30米，计划每隔3米栽一棵树，路的各端都要栽树，需要多少棵树？

3.一条100米的公路，计划每隔8米安装一个路灯，两端都要安装，需要多少个路灯？资源推荐拓展学习资源•奥数网植树问题专题提供更多变式题目和解析•人教版数学五年级上册配套练习册系统巩固课本知识•《趣味数学》丛书了解更多数学模型的生活应用•数学建模入门网站学习更高级的数学建模方法课堂总结与展望理解模型掌握植树问题的数学模型，理解间隔与树木数量的关系会分类能够根据题目条件判断是哪种类型的植树问题，选择正确的公式能应用将所学知识应用到实际问题中，解决各种类型的植树问题举一反三从植树问题延伸到其他类似的数学模型，提高数学思维能力数学源于生活，而数学模型又能反哺实践植树问题虽然简单，但蕴含着丰富的数学思想，值得我们深入探索。