商不变的性质教学课件

商不变的性质欢迎来到四年级数学除法专题课程！在这个课件中，我们将一起探索商不变的性质这个重要的数学概念通过这堂课，我们将探索数学规律，归纳本质，并学习如何解决实际问题商不变的性质是理解除法运算的关键，掌握它将帮助你简化计算，提高解题效率让我们一起踏上这段数学探索之旅！学习目标理解商不变的性质概念我们将学习商不变性质的定义、特点和应用条件，掌握其数学本质和内涵能运用性质进行简便运算通过练习，学会如何灵活运用商不变性质简化计算过程，提高计算效率和准确性培养归纳总结与迁移能力学习如何从具体例子中归纳数学规律，并将这种思维方式迁移到其他数学问题中核心问题引入思考问题当我们进行除法运算时，如果改变被除数和除数，结果会发生什么变情境一化？假设我们有一些苹果要平均分给几个孩子，如果苹果数量和孩子数量同6个苹果分给3个孩子，每人得到几个？时变化，每个孩子能得到的苹果数会改变吗？情境二12个苹果分给6个孩子，每人得到几个？什么是除法？除法的基本概念603除法是将一个数平均分成若干份的运算在除法算式中•被除数要被分配的总量被除数除数•除数分成的份数要被分配的总量分成的份数•商每份的数量20商每份的数量复习乘法与除法的关系乘除关系乘法除法是乘法的逆运算如果a×b=c，那么c÷b=a或c÷a=b理解3×4=12这种关系有助于我们更好地掌握商不变的性质乘法的交换律告诉我们a×b=b×a，但除法没有交换律这一点对理除法解商不变性质也很重要12÷3=4逆运算12÷4=3商不变的现象初探观察现象让我们观察以下两个除法算式•6÷3=2•60÷30=2你发现了什么？在第二个算式中，被除数和除数都比第一个算式扩大了10倍，但商却保持不变！这就是我们将要探讨的商不变的性质观察发现规律猜想提出假设验证表格探究一让我们通过一个表格来探究商不变的性质请观察下面的数据，思考被除数和除数之间的关系，以及它们与商之间的关系被除数除数商关系描述原始数据8421682被除数和除数都乘以224122被除数和除数都乘以3422被除数和除数都除以2通过表格我们可以发现，无论被除数和除数同时乘以或除以什么数（0除外），商都保持不变这就是商不变的性质的初步表现表格分析讨论更多实例分析被除数除数商变化倍数让我们再看一组例子100÷4=25和200÷8=25原始数据80204在这个例子中，被除数从100变成了200（扩大2倍），除数从4变成了8（也扩大2倍），而商仍然是25，没有改变40104÷2你能找出更多这样的例子吗？尝试填写下面的表格，验证商不变的性160404×2质824÷10归纳规律（口头表达）提问被除数和除数同时乘以相同的数，商会发生变化吗？回答不会变化，商保持不变提问被除数和除数同时除以相同的数，商会发生变化吗？回答不会变化，商保持不变通过观察和讨论，我们可以口头表达商不变的性质当被除数和除数同时乘以或除以相同的数（不包括0），商不变这是一个非常重要的数学规律，它可以帮助我们简化计算规律归纳（书面表达）商不变的性质观察现象被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变通过多个具体例子，观察被除数和除数同时变化时，商的变化情这个性质可以表示为如果a÷b=c，那么a×k÷b×k=c或a÷况k÷b÷k=c，其中k≠0发现规律发现被除数和除数同时乘以或除以相同数时，商不变形成定理归纳总结出商不变的性质，形成准确的数学表述观察反例思考为什么是特例？为什么不能作为除数？00如果被除数和除数同时乘以0，会发生什么？•从数学定义看，除法是求一个数平均分成若干份，每份是多少•如果除数为0，意味着分成0份，这在现实中没有意义例如8÷4=2，但8×0÷4×0=0÷0，这是一个无意义的表达式•从代数角度，如果a÷0=b，则b×0=a，但任何数乘以0都等于0，这与a可以为任意非0数矛盾所以我们必须排除乘以0的情况正确表述商不变的性质完整表述重要条件在除法运算里，被除数和除数同时乘•被除数和除数必须同时操作或除以相同的数（0除外），商不变•乘或除的数必须相同•不能是0（0不能作除数）原理解释这一性质背后的原理是，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，它们之间的比例关系保持不变，因此商也不变理解这一性质的完整表述，对于正确应用商不变的性质至关重要特别是要记住0是一个特殊情况，不适用于这一性质用字母公式表示代数表示实例验证原始算式变形算式k值12÷3=424÷6=4k=2其中，k≠0，b≠0这个公式是商不变性质的代数表达它告诉我们，分数的分子和分母同15÷5=33÷1=3k=1/5时乘以相同的非零数，分数的值不变100÷25=410÷

2.5=4k=1/10典型例题1例题原式已知48÷6=8，若两数同时乘以2，计算结果是多少？48÷6=8解答思路同乘

21.根据商不变的性质，被除数和除数同时乘以相同的数，商不变

2.48×2=96，6×2=1248×2÷6×

23.所以，96÷12=8结果96÷12=8典型例题2例题原式已知80÷10=8，若两数同时除以2，计算结果是多少？80÷10=8解答思路同除

21.根据商不变的性质，被除数和除数同时除以相同的数，商不变

2.80÷2=40，10÷2=580÷2÷10÷

23.所以，40÷5=8结果40÷5=8快速判断练习下面的算式中，哪些可以用商不变的性质来简化计算？请快速判断并给出简化后的算式12240÷80360÷90可以用商不变性质被除数和除数同时除以80，得到3÷1=3可以用商不变性质被除数和除数同时除以90，得到4÷1=434125÷25360÷40可以用商不变性质被除数和除数同时除以25，得到5÷1=5不易用商不变性质（因为360和40没有较大的公约数）分步练习题1练习题分析计算120÷15=观察被除数和除数有什么共同因数，发现3是一个公约数提示试试用商不变的性质，将两数同时除以3进行简化应用商不变性质被除数和除数同时除以3120÷3=40，15÷3=5计算简化后的算式40÷5=8得出结论所以，120÷15=8分步练习题2练习题观察分析计算250÷50=250÷50，我们想将除数变成100，便于计算提示这次我们尝试用商不变的性质，将两数同时乘以2来解决同乘2将被除数和除数同时乘以2250×2=500，50×2=100简化计算500÷100=5根据商不变的性质，250÷50=500÷100=5加深理解何时适用？分数化简调整除数被除数和除数同时除以最大公约数，使算式更将除数变成整

10、整100等，使计算更方便简单特殊数值验证计算将算式转化为包含1的除法，如a÷b变为用商不变性质验证除法计算是否正确a÷b÷1商不变的性质在不同场景下有不同的应用方式灵活选择合适的变形方法，可以让计算更加简便选择的关键是找到能使被除数或除数变得更简单的方法与简便计算结合复杂除法的简便计算原式面对复杂的除法式子，我们可以灵活运用商不变的性质，将原式转化为632÷8=更容易计算的形式关键在于找出被除数和除数的公约数，或将它们同时变形为便于计算的数同时变形例如436÷4可以变形为436×25÷4×25=10900÷100=109632×125÷8×125=79000÷1000简化结果79000÷1000=79典型错因分析1错误情况只对被除数操作有些同学在应用商不变性质时，只对被除数进行操作，而忘记对除数同时进行相同的操作这会导致计算结果错误例如24÷6=4，如果只将被除数乘以2，变成48÷6，结果会变为8，这显然与原来的结果不同错误示范正确做法24÷6=424×2=4848÷6=8❌24÷6=424×2=48,6×2=1248÷12=4✓典型错因分析2错误情况被除数和除数用不同数操作另一种常见错误是对被除数和除数使用不同的数进行操作商不变的性质要求两者必须同时乘以或除以相同的数例如36÷9=4，如果被除数乘以2，除数乘以3，变成72÷27，结果会变成

2.67，与原来的结果4不同错误示范正确做法36÷9=436×2=72,9×3=36÷9=436×2=72,9×2=2772÷27=

2.67❌1872÷18=4✓商不变与单位转换应用于单位转换分米单位1商不变的性质在单位转换的除法计算中非常有用例如，当我们需要将6分米÷2分米=3长度单位从分米转换为厘米时，可以应用这一性质2同时转换（）×10例4分米÷2分米=2如果将单位统一转换为厘米40厘米÷20厘米=2商保持不变将分米转换为厘米6分米=60厘米，2分米=厘米单位320厘米60厘米÷20厘米=34验证结果商保持不变3=3练习简便运算综合1题目计算420÷35=分析请尝试用商不变的性质，将这个除法转化成更简便的形式观察被除数和除数，发现它们的最大公约数是35提示寻找被除数和除数的最大公约数，或者尝试将除数变成10的整数倍应用商不变性质被除数和除数同时除以35420÷35=12，35÷35=1简化计算12÷1=12验证420÷35=12练习简便运算综合2题目计算320÷80=观察分析请尝试用商不变的性质，将这个除法转化成更简便的形式发现被除数和除数都是10的倍数，且有公约数40提示思考被除数和除数的最大公约数，或者尝试将两个数都变得更小同除40320÷40=8，80÷40=2简化计算8÷2=4根据商不变的性质，320÷80=8÷2=4生活中的应用1实际问题12020班里有120本书，要平均分给几个小组，每组6人，需要分成几组？原始书本数原始小组数这个问题可以用除法表示为120÷6=20组如果班级人数扩大一倍，书的数量也相应增加一倍，变成240本书，每组需要分给6人一组的小组120÷6=20仍然是6人，需要分成几组？24040增加后书本数新小组数需要分给6人一组的小组240÷6=40在这个例子中，我们看到，当被除数增加一倍而除数不变时，商也会增加一倍这不是商不变的性质，而是比例关系的体现生活中的应用2旅行分队伍学校组织180名学生去春游，每队9人，需要分成几队？这个问题可以用除法表示为180÷9=20队如果春游要求每队都有2名老师带队，那么学生和老师总人数为180+40=220人如果每队现在是11人（9名学生+2名老师），需要分成几队？学生分组180÷9=20队老师数量20×2=40名老师总人数分组与极端数的关系作为除数的讨论被除数和除数都为的情况00我们已经知道，0不能作为除数，因为任何数除以0都没有意义这也是如果被除数和除数都是0，如0÷0，这在数学上是没有意义的，称为未为什么在商不变的性质中，我们明确指出乘或除的数不能是0定义但如果被除数是0呢？例如0÷5=0在这种情况下，商不变的性质仍为什么？假设0÷0=x，那么0=0×x但任何数乘以0都等于0，所以x然适用0÷10=0，商依然是0可以是任何数，这导致结果不唯一，因此数学上认为它是未定义的这也是商不变性质的一个重要限制条件商不变与数学思想等价转化思想数形结合的意义商不变的性质体现了数学中重要的等价转化思想通过对算式进行等价商不变的性质也可以通过图形来理解例如，将一个长方形的长和宽同变换，我们可以将复杂问题转化为简单问题，这是数学思维的核心能力时扩大或缩小相同倍数，长和宽的比值（即形状）保持不变之一这种数与形的结合，帮助我们从多角度理解数学概念，形成更丰富的数在解决实际问题时，善于寻找等价关系，可以大大简化解题过程商不学思维方式数形结合是学习数学的重要方法之一变的性质就是这种思想的具体体现探究性思考题1变式固定被除数和除数分析问题如果被除数和除数已经确定，我们能否利用商不变的性质使计算更简84÷4中，除数是4，不是很复杂，但可以使用商不变性质将除数变便？为1思考84÷4的计算，我们能否利用商不变的性质简化？应用商不变性质被除数和除数同时除以484÷4=21÷1简化计算21÷1=21，直接得出结果通过这个例子，我们看到商不变的性质可以用来将除数化为1，使计算变得非常简单只要被除数和除数有公因数，都可以使用这种方法探究性思考题2商不变能否用于小数或分数？小数例子1商不变的性质不仅适用于整数除法，也适用于小数和分数的除法运算

1.5÷

0.3=5这扩展了商不变性质的应用范围，使它成为一个更加普遍的数学规律2同时乘以10让我们通过实例来验证这一点

1.5×10÷

0.3×10=15÷3=5分数例子32/3÷1/6=44同时乘以22/3×2÷1/6×2=4/3÷1/3=4小数中的商不变小数除法的简化原式在处理小数除法时，商不变的性质尤其有用我们可以通过同时乘以

2.4÷

0.6=

10、100等，将小数转化为整数，使计算更简便例如

2.4÷

0.6=同乘10利用商不变的性质，我们可以将被除数和除数同时乘以10，得到24÷

2.4×10÷

0.6×10=24÷66=4结果24÷6=4小数除法是商不变性质的重要应用场景通过合适的倍数变换，我们可以避免小数计算的麻烦，大大简化运算过程分数中的商不变分数除法的简化原始分数除法分数除法也可以应用商不变的性质例如3/4÷1/2应用商不变性质我们可以将被除数和除数同时乘以2，将除数变为整数同时乘以23/4×2÷1/2×2化简计算6/4÷1=6/4=3/2在分数除法中，商不变的性质可以帮助我们将分数除法转化为整数除法，或者将分母变为1，从而简化计算过程这是解决分数除法问题的有效策略变式题目巩固11计算

3.6÷

0.09应用商不变性质，将被除数和除数同时乘以

1003.6×100÷

0.09×100=360÷9=402计算24÷

0.8应用商不变性质，将被除数和除数同时乘以1024×10÷

0.8×10=240÷8=303计算4/5÷2/15应用商不变性质，将被除数和除数同时乘以154/5×15÷2/15×15=12÷2=6这些变式题目帮助我们巩固商不变性质在不同类型数据中的应用，包括小数除法和分数除法通过选择合适的变换倍数，我们可以大大简化计算过程变式题目巩固2糖果分享问题布料裁剪问题披萨分享问题小红有

2.4千克糖果，要平均分给

0.6千克一份，一块布料长

5.6米，要裁成长

0.8米的小段，可以3/4个披萨要平均分给每人1/6个，可以分给几可以分成几份？应用商不变性质

2.4×10÷裁几段？应用商不变性质

5.6×10÷

0.8×人？应用商不变性质3/4×6÷1/6×6=

0.6×10=24÷6=4份10=56÷8=7段

4.5÷1=

4.5人，即可以分给4人，还剩1/2人份趣味挑战题1数字谜题利用商不变填数分析在下面的除法算式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数根据商不变性质，如果AB÷C=DB÷DC，那么AB/C=DB/DC字请找出每个字母代表的数字寻找关系根据性质，DB=AB×K，DC=C×K，其中K是某个数提示根据商不变的性质，两个分数相等，说明它们的分子和分母同时乘以或除以了相同的数确定答案一种可能的解A=2,B=4,C=3,D=7，验证24÷3=8，74÷73=8趣味挑战题2小明除苹果问题设苹果总数小明有一些苹果，他想将这些苹果平均分给12个同学但是后来又来了12设小明有x个苹果个同学，所以现在要分给24个同学小明发现，如果每人少分2个苹果，正好可以分完请问小明原来有多少个苹果？建立方程原来每人分到x÷12个，现在每人分到x÷24个且满足x÷12=x÷24+2解方程x÷12-x÷24=2x÷24=2x=48这道题巧妙地应用了商的变化规律当除数从12变为24（扩大了2倍）时，如果被除数不变，那么商会变为原来的1/2题目告诉我们商减少了2，由此我们可以求出原来的商和苹果总数拓展计算器上的商不变电子计算器与商不变使用计算器的技巧电子计算器可以帮助我们验证商不变的性质例如，我们可以先计算12面对复杂小数除法，可以先观察是否可以同时放大到整数，心算得÷4=3，然后计算120÷40=3，验证结果是否相同出结果，再用计算器验证对于小数除法，计算器也能显示商不变的性质例如，

1.2÷

0.4=3，与12÷4的结果相同设计验证活动自己设计一系列除法算式，通过计算器验证商不变的性质，加深对这一性质的理解反思学习思考计算器虽然方便，但了解商不变的性质为什么还很重要？它如何帮助我们理解数学本质？小组讨论活动自编问题交换解答每组学生自编2-3个应用商不变性质的除法小组之间交换问题，互相解答对方出的题问题，可以是纯计算题，也可以是实际应目，并说明解题思路和应用商不变性质的用题过程展示分享选出最有创意或最具挑战性的问题，在全班展示并讲解解题思路，分享对商不变性质的理解小组讨论活动不仅能巩固学生对商不变性质的理解，还能培养学生的创造性思维和合作能力通过自编题目和相互解答，学生能够从不同角度理解这一性质，并加深对其应用的掌握教学要点归纳1概念和运用要点运算顺序是否影响商不变？•商不变的性质被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商思考如果先计算除法，再对商进行操作，与应用商不变的性质先对被不变除数和除数操作，再计算除法，结果是否相同？•适用条件被除数和除数必须同时操作，且操作的数必须相同，不能例如对于24÷6=4，如果我们先计算得到4，再将4乘以3得到12；与是0将24和6先都乘以3得到72÷18=4，结果是不同的•主要应用简化计算，特别是涉及小数、分数的除法这说明商不变的性质必须在除法计算前应用，而不能在计算后应用教学要点归纳2典型易错点1只对被除数或只对除数进行操作，忘记两者必须同时操作例如将24÷6错误地变形为24×2÷6=8，结果变了典型易错点2对被除数和除数使用不同的数进行操作例如将24÷6错误地变形为24×2÷6×3=48÷18=

2.67，结果变了典型易错点3忽略0的特殊情况例如将8÷4错误地变形为8×0÷4×0，导致0÷0，这是无意义的注意事项在选择乘或除的数时，应考虑计算的便利性，选择能使被除数或除数变为整数、10的倍数等易于计算的数单元过关练习1计算

16.8÷

0.12应用商不变性质，被除数和除数同时乘以

10016.8×100÷

0.12×100=1680÷12=1402计算3/5÷1/10应用商不变性质，被除数和除数同时乘以103/5×10÷1/10×10=6÷1=63计算

4.5÷

1.5应用商不变性质，被除数和除数同时乘以

104.5×10÷

1.5×10=45÷15=34计算280÷70应用商不变性质，被除数和除数同时除以10280÷10÷70÷10=28÷7=45计算

2.4÷

0.08应用商不变性质，被除数和除数同时乘以

1002.4×100÷

0.08×100=240÷8=30课堂互动问答老师提问1如果被除数和除数同时乘以5，商会变成原来的几倍？2学生回答商不变，仍是原来的1倍老师提问3如果只将被除数乘以3，商会变成原来的几倍？4学生回答商变为原来的3倍老师提问5如果只将除数除以2，商会变成原来的几倍？6学生回答商变为原来的2倍通过这些互动问答，帮助学生深入理解商不变的性质，并区分不同情况下商的变化规律这种快速反馈的方式可以检验学生的理解程度，及时纠正可能的误解拓展延伸商不变能否用于方程解法？分数方程商不变的性质在解方程时非常有用，特别是涉及分数系数的方程通过x/5-2/15=1/3将方程两边同时乘以相同的数，可以消去分母，简化计算例如，方程x/4+1/2=3/4可以两边同时乘以4，变成x+2=3，然后通分转换解得x=1找到分母最小公倍数15同乘15两边同时乘以153x-2=5解方程3x=7，x=7/3家庭作业布置基础练习完成课本第25页练习题1-5，运用商不变的性质进行计算应用题完成课本第26页的应用题1-3，将实际问题转化为除法，并应用商不变的性质解决创新题自编一道与生活相关的应用题，要求使用商不变的性质解决，并写出解题思路挑战题思考如果被除数扩大3倍，除数扩大2倍，商会变成原来的几倍？用实例验证你的结论总结升华1商不变的性质的重要作用商不变的性质是数学中一个重要的规律，它不仅在计算中有广泛应用，还在生活和学习中有重要意义通过掌握这一性质，我们可以•简化复杂的除法计算，特别是小数和分数除法•理解单位换算中的数量关系•培养等价转化的数学思维11计算工具简化复杂运算思维方法培养等价转化思想生活应用总结升华2除法基础商不变的性质是理解除法本质的基础分数与小数商不变的性质扩展到分数和小数的运算百分数与比例商不变性质与比例、百分数的计算紧密相连代数方程商不变性质在解方程中的应用更多数学领域这一思想延伸到更高级的数学概念中商不变的性质不仅是一个孤立的知识点，它是连接不同数学领域的桥梁通过深入理解这一性质，我们可以更好地掌握后续的数学知识，形成系统的数学思维历年考试真题回顾典型考点分析真题示例1商不变的性质在考试中常以以下形式出现计算

7.2÷

0.36=解析应用商不变性质，同时乘以100，得到720÷36=

201.直接计算题要求运用商不变的性质简化计算

2.填空题给出原式和变形后的式子，填写中间过程真题示例

23.选择题判断哪些式子可以用商不变的性质进行变换

4.应用题将实际问题转化为除法，并使用商不变的性质解决一桶油重15千克，装了油的重量是空桶的5倍，求空桶的重量解析设空桶重x千克，则x+油重=15，且x+油重=5x，解得x=

3.75千克学习收获与反思知识收获能力提升反思不足通过本课学习，我掌握了商不变的性质的定义、我提高了分析问题和简化计算的能力，学会了如在学习过程中，我发现自己在应用商不变性质适用条件和应用方法我能够运用这一性质简化何从多个角度思考问题，寻找最优解法这种思时，有时会忘记条件限制，或者未能选择最简便除法计算，特别是涉及小数和分数的除法维方式不仅适用于数学，也适用于其他学科和生的变换方法今后需要更加注意细节，多做练习活巩固结束与寄语本课总结鼓励主动思考、灵活应用，学好数学，从发现规律开始！在本课中，我们探讨了商不变的性质这一重要的数学概念我们学习了数学的美妙之处在于发现规律和解决问题希望大家能将商不变的性质它的定义、条件、应用方法以及在不同场景下的运用通过大量的例题融入到数学思维中，不断探索、发现更多数学规律，享受数学带来的乐和练习，我们深入理解了这一性质的本质和价值趣和智慧商不变的性质不仅是一个计算工具，更是数学思维的体现它教会我们让我们带着好奇心和探索精神，继续我们的数学之旅！如何通过等价转化简化复杂问题，这是数学思维的精髓所在。