复变函数教学课件

复变函数课程导论欢迎来到复变函数课程！本课程将带领你探索数学中最美丽的分支之一，它不仅具有深刻的理论意义，还拥有广泛的应用领域复变函数是高等数学的重要组成部分，它研究复数域上的函数，将实变函数的概念推广到复平面上通过本课程，你将了解复变函数的基本性质、解析函数理论、复积分与留数理论等核心内容，并学习如何应用这些理论解决物理、工程等领域的实际问题学习复变函数需要扎实的数学基础和抽象思维能力建议你积极参与课堂讨论，认真完成习题，通过几何直观理解抽象概念，将复变函数的美妙之处尽收眼底复数与复平面复数的表示形式复平面几何意义极坐标与指数形式复数是形如的数，其中、是实数，复平面是表示复数的二维坐标系，横轴表示实复数还可以用极坐标表示z=a+bi a b z=rcosθ+是虚数单位（）称为实部，记作部，纵轴表示虚部每个复数对应，其中为模，为辐角对应的指数形i i²=-1a z=a+bi isinθrθ；称为虚部，记作复数扩展了平面上点，形成实数到平面点的一一对应式为，这种表示方式在复数乘除运Rez bImz a,b z=re^iθ数系，使得所有多项式方程都有根关系这种表示法使我们能够直观地理解复数算中特别有用，使乘除运算转化为模的乘除和运算辐角的加减复数的性质复共轭与模复数的共轭为̄，几何上表示为关于实轴的对称点复数的z=a+bi z=a-bi模，表示复数点到原点的距离有重要关系̄，这在|z|=√a²+b²z·z=|z|²很多计算中非常有用复数的几何运算加减法对应点的平行四边形法则；乘法模相乘、辐角相加，几何上表示为伸缩旋转；除法模相除、辐角相减这些几何解释帮助我们直观理解复数运算的本质欧拉公式简述欧拉公式是连接复数极坐标形式与指数形式的桥梁，被誉e^iθ=cosθ+isinθ为数学中最美的公式当时，得到著名的等式，它优雅θ=πe^iπ+1=0地连接了数学中五个最重要的常数复变函数基本概念复变函数定义复变函数的示例映射的几何直观复变函数是指从复平面到复平面的映射，形常见的复变函数有多项式函数₀复变函数可以看作从平面到平面的映射fz=a z w式为，其中是自变量，₁；有理函数或变换例如，函数将平面上的点w=fz z=x+yi+a z+...+a zⁿRz=w=z²zₙ是因变量这里和是和的，其中和是多项式；指映射到平面上的点，实现了平面到平面的w=u+vi u v x y Pz/Qz Pz Qz w实函数，即，复变数函数；三角函数、等这些变换理解这种映射关系是学习复变函数的u=ux,y v=vx,y e^z sin z cos z函数将一个复数映射到另一个复数，建立了函数都是实变函数在复平面上的自然推广关键，它帮助我们直观把握函数的性质两个复平面点之间的对应关系复变函数的极限与连续极限定义当趋向于₀时，若无限接近于某确定复数，则称为当₀时的极限，z z fz AA fz z→z记为₀在复平面上，这意味着当在任意路径上趋近₀时，limz→z fz=A z z fz都趋近于同一值A极限的性质复变函数极限具有与实变函数类似的性质唯一性、局部有界性、保序性、四则运算法则等但由于复平面是二维的，所以复变函数的极限更为严格可沿无穷多条不z同路径趋近₀，所有路径上极限必须相同z连续性条件复变函数在点₀连续，当且仅当₀₀这等价于要求函数的fz z limz→z fz=fz实部和虚部都是和的连续函数复变函数在点处连续意味着函数值与自变量的微小xy变化连续相关经典例子分析函数在整个复平面上连续；函数在除原点外的复平面上连续，但fz=z²gz=1/z在处有间断点理解这些基本例子有助于我们掌握复变函数连续性的概念z=0复变函数的导数复导数定义复变函数在点₀的导数定义为₀₀₀，前提是这个极限存在且与趋向fz z fz=limΔz→0[fz+Δz-fz]/ΔzΔz零的方向无关可导与解析的关系函数在区域内每点可导，则称函数在该区域内解析或全纯解析函数是复变函数理论的核心研究对象复变函数可导的必要条件若在点₀可导，则和在该点必须满足柯西fz=ux,y+ivx,y zu v-黎曼条件复变函数的导数与实变函数导数有本质区别实变函数导数只要求左右极限相等，而复变函数导数要求从任意方向趋近时极限都相同，这一条件非常严格，导致可导的复变函数具有许多优良性质柯西黎曼（）条件-CR解析函数与全纯性解析函数定义局部全纯性如果复变函数在点₀的某个邻域内处处fz z函数在点₀的某个邻域内解析，则称函数在z可导，则称在点₀解析或全纯如果fz z fz₀处局部全纯局部全纯性是讨论函数性质z在区域内每点都解析，则称在区域内D fz D的基础，许多重要定理都基于此概念解析基本结论全域全纯性解析函数具有无穷可微性；解析函数的和、差、函数在整个复平面上解析，则称为整函数例积、商（除去分母为零的点）仍是解析函数；如多项式函数、指数函数等都是整函数，e^z复合函数在解析且在fgz gzfw w=gz它们在复平面上处处可导解析时也是解析函数常见初等复变函数z^n e^z Log z幂函数指数函数对数函数形如的函数，其定义为定义为fz=z^n e^z=e^xcos y+Log z=ln|z|+i中为常数当为正整数，其中，是多值函数主值n ni sin y z=x+iy Arg z时，在全平面解析；当为指数函数在全复平面上解对数函数n ln z=ln|z|+i负整数或分数时，在适当析，且满足₁₂在割开的复平面上是e^z+z=arg z区域内解析₁₂单值解析函数e^z·e^z三角函数和在复平面上是整函数，与指数函数有密切关系sin zcos zsin z=e^iz，反三角函数如则是多值函数，-e^-iz/2i cosz=e^iz+e^-iz/2arcsin z需要通过分支切割来研究其性质分式与有理函数有理函数两个多项式的商1Rz=Pz/Qz基本性质2除极点外处处解析零点分析3的根Pz=0极点分析4的根Qz=0有理函数是复变函数中一类重要的函数，它是两个多项式的商有理函数在除去分母多项式的零点（即函数的极点）外的区域内都是解析的在复分析Qz中，有理函数的零点和极点的分布对函数的性质有决定性影响零点是函数值为零的点，对应多项式的根；极点是函数趋向无穷的点，对应多项式的根通过分解和为线性因式的乘积，可以清晰地表示Pz QzPzQz出有理函数的零点和极点的位置及其阶数，这对后续学习留数理论有重要意义复变函数的反函数与单值性反函数存在条件函数的反函数⁻存在的充分必要条件是是单射（一一映射）这意味fz f¹w fz着对于不同的值，函数值也必须不同，即函数是单值的且没有重复的函数值z fz局部反函数定理如果在点₀解析且₀，则存在₀的一个邻域，使得在此邻域内fz z fz≠0z fz是一一映射，因此反函数⁻在相应的函数值邻域内存在且解析这是复变f¹w函数中重要的局部反函数定理单值与多值现象很多复变函数在复平面上是多值的，例如对数函数和平方根函数Log z√z通过引入分支切割和选择主值，可以将多值函数转化为单值函数理解单值与多值的概念对研究复变函数的性质至关重要分支与分支切割多值函数概念多值函数是指对一个值可能对应多个函数值的函数典型的多值函数包括多值对z数函数，幂函数（不是整数），反三角函数如等这类函数在Log z z^ααArcsin z复分析中需要特殊处理分支的定义分支是多值函数的一个单值解析部分例如，对数函数的Logz=ln|z|+i Argz主值分支定义为，其中∈通过选择辐角的不同ln z=ln|z|+i argz argz-π,π]范围，可以得到对数函数的不同分支分支点与分支切割分支点是多值函数解析性破坏的点，如对数函数的分支点是分支切割是从分支z=0点引出的一条曲线，用来分隔不同的分支对于对数函数，通常选择从原点沿负实轴延伸到无穷远处的射线作为分支切割实际应用示例在求解复变函数的积分或展开级数时，正确选择分支切割至关重要例如，计算∮时，需要先确定适当的分支切割，然后在切割平面上进行积分，以保z^1/2dz证结果的正确性复变函数积分的概念复平面上的曲线复平面上的曲线可以表示为参数方程，∈，其中和是实参数的实函数若函数满足一定的连续性条件，则称该曲线为光滑zt=xt+iyt t[a,b]xt ytt zt曲线复积分通常沿着这样的曲线进行路径与定向积分路径是有向曲线，正向通常规定为沿着路径前进时，区域在左侧闭合路径的正向是逆时针方向路径的定向对积分结果有重要影响，改变路径方向会导致积分值变号复积分的定义设函数在曲线上连续，则沿的积分定义为∮∮，其中积分范围为参数从到这个定义将复积分转化为参数的实积分，便fz C fz C fzdz=fztztdt tabt于计算复积分的计算参数法计算原函数法计算复积分的性质利用定义∮∮，将复积如果在包含积分路径的单连通区域内解析，复积分具有线性性质、路径可加性等特别地，fzdz=fztztdt fz分转化为实参数的积分首先将路径表示为参且存在解析函数使得，则如果在闭合路径围成的单连通区域内处处Fz Fz=fz fz C数方程，然后代入被积函数，∮这是复解析，则∮，这就是著名的柯西定zt=xt+iyt fzdz=Fz|_a^b=Fb-Fa fzdz=0最后对参数积分这是最基本的复积分计算积分中的牛顿莱布尼茨公式，与实积分类似理的简单形式，是复变函数理论的基础t-方法柯西定理定理形式适用条件结论简单闭合曲线在及其内部单连通∮fz C fzdz=0区域内解析D多连通区域在多连通区域内解∮（沿边界fz D fzdz=0析所有闭合曲线积分之和）同伦形式₁和₂同伦，在∮₁C Cfz Cfzdz=区域内解析∮₂Cfzdz柯西定理是复变函数理论中最基本、最重要的定理之一它指出如果函数在闭合fz曲线及其内部单连通区域内处处解析，则沿着的积分等于零，即∮C D Cfzdz=0这个定理的几何解释是解析函数沿闭合路径的积分为零，表明复积分只依赖于路径的起点和终点，而与具体路径无关，这体现了解析函数的一种保守场性质柯西定理的一个重要应用是路径积分的简化当两条路径₁和₂有相同的起点和终C C点，且在区域内可以连续变形为彼此（即同伦），而在内解析，则沿这两条路径D fz D的积分相等这大大简化了复积分的计算柯西积分公式柯西积分公式是复变函数理论中的核心结果，它指出如果函数在闭合曲线及其内部区域内解析，那么对于区域内任意点₀，有₀∮₀，其中fz Cz fz=1/2πi fz/z-z dz积分沿逆时针方向进行C这个公式的几何意义是解析函数在区域内任一点的值可以由其在边界上的值完全确定这体现了解析函数的非局部性函数在一点的值依赖于其在整个边界上的行为，这与调和函数的平均值性质有关柯西积分公式是解析函数理论的重要工具，它不仅用于计算复积分，还是证明解析函数许多性质的基础，如泰勒级数展开、刘维尔定理等这个公式将解析函数的局部性质与其整体行为联系起来，体现了复分析的深刻内涵柯西积分公式的推广高阶导数公式推导过程如果函数在闭合曲线及其内部区域内解fz C通过对柯西积分公式中₀的次求导，并交1z n析，则对于区域内任意点₀，函数的阶导z n换积分和求导的顺序（这在解析函数情况下是数为₀∮f^nz=n!/2πi fz/z-允许的），可以得到高阶导数的积分表达式₀z^n+1dz实例分析应用意义利用高阶导数公式可以方便地计算复杂函数的这一推广使我们能够通过边界上的积分计算函导数值，如在处的阶导数等数在内部点的任意阶导数，体现了解析函数的fz=e^z z=0n于非局部性质1解析函数的重要性质1无穷可导性如果函数在区域内解析，则它在内具有任意阶导数，即解析函数是无穷可微的这fz D D一性质源于柯西积分公式的推广，表明解析函数具有极高的光滑性，这与实变函数理论有很大不同2调和性若在区域内解析，则和都是内的调和函数，即满足拉普拉斯fz=ux,y+ivx,y DuvD方程和这一性质在物理问题中有重要∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0∂²v/∂x²+∂²v/∂y²=0应用3最大模原理非常值解析函数在有界闭区域内的最大模总是在边界上达到，区域内部不可能出现最大模这一性质反映了解析函数的刚性，对复变函数的估计有重要意义4唯一性定理如果两个在区域内解析的函数在内的某个点集上取相同的值，且该点集在内有一个聚D D D点，则这两个函数在整个区域内完全相同这体现了解析函数的全局性质D洛朗级数展开存在条件函数在环形区域₀fz a|z-z|求解步骤确定函数的解析区域和奇点位置；选择合适的环形区域；利用公

1.

2.

3.式∮₀计算系数；写出级数展a=1/2πi fz/z-z^n+1dz

4.ₙ开式例题详解如求函数在和区域的洛朗展开对于fz=1/[zz-1]0|z|1|z|1，可分解为，得到展开式；对于，0|z|1fz=-1/z+1/z-1|z|1可得到另一种展开形式孤立奇点的分类可去奇点极点本性奇点如果函数在点₀的邻域内除₀外处处解析，如果函数在点₀的邻域内除₀外处处解析，如果函数在点₀的邻域内除₀外处处解析，fz z z fz z z fz z z且极限₀存在有限值，则₀称为且极限₀，则₀称为的且₀既不是可去奇点也不是极点，则₀称为limz→z fz z limz→z|fz|=∞z fz zz的可去奇点此时可以通过定义₀极点若洛朗级数中负幂项只有有限项，且最低的本性奇点洛朗级数中含有无穷多个负幂fz fz=fz₀使函数在₀处解析洛朗级数次项为₀，则称₀为阶极点极项在本性奇点的任意小邻域内，函数几乎取遍limz→z fz zz-z^-m z m中，负幂项系数全为零点是研究留数最重要的奇点类型了复平面上的所有值（大定理）解析延拓解析延拓的概念延拓的唯一性解析延拓方法解析延拓是将定义在某区域₁上的解析函解析延拓的重要性质是其唯一性如果存在常见的解析延拓方法包括幂级数法D

1.数₁延拓到更大区域₂上的过程，使两个解析函数，它们在某区域的一部分上取通过收敛的幂级数表示函数，然后扩大其收f zD延拓后的函数₂在₁上与原函数一致，相同的值，那么在这两个函数共同解析的整敛域；函数方程法利用函数满足的关f zD

2.且在₂上仍保持解析性通过解析延拓，个区域内，它们必然完全相同这源于解析系式进行延拓；反射原理利用共轭调D

3.可以得到函数在其原定义域之外的性质函数的唯一性定理和函数关系进行延拓留数的定义₋₁Res alim留数基本概念洛朗展开法极点留数计算函数在孤立奇点₀处将函数展开为洛朗级数若₀是的阶极点，fz z fzz fz m的留数，定义为其洛朗级₀，则留则留数可以通过公式计算=Σa z-z^nₙ数展开中₀项数等于₋₁这种方法适₀z-z^-1a Res[fz,z]=1/m-的系数，记作用于容易展开为洛朗级数₀Res[fz,1!limz→z[d^m-₀留数可以通过积分公的函数，但计算过程可能z]1/dz^m-1z-式计算₀较为繁琐₀特别地，Res[fz,z]=z^m·fz]∮，其中积对于一阶极点，留数等于1/2πi fzdz分沿着包含₀的小闭合曲₀₀zlimz→z[z-z·fz]线逆时针方向进行留数定理留数定理表述解析函数沿闭合曲线的积分等于曲线内所有奇点留数之和的倍2πi数学表达式2∮fzdz=2πi·ΣRes[fz,z]ₖ应用领域3实积分计算、傅里叶变换、拉普拉斯变换等留数定理是复变函数理论中最强大的工具之一，它将闭合曲线上的复积分转化为对曲线内部奇点留数的计算具体而言，如果函数在闭合曲线内fzC除有限个孤立奇点₁₂外处处解析，那么∮到z,z,...,z fzdz=2πi·Σk=1n Res[fz,z]ₙₖ这个定理的意义在于通过计算有限个留数，可以得到原本可能非常复杂的曲线积分的精确值留数定理是柯西积分定理和柯西积分公式的自然推广，它将复变函数的局部性质（留数）与全局性质（闭合曲线积分）联系起来计算留数的技巧一阶极点若₀是的一阶极点，则₀₀₀若zfz Res[fz,z]=limz→z[z-z·fz]fz=，且₀，₀，₀，则₀gz/hz hz=0hz≠0gz≠0Res[fz,z]=₀₀这是最常用的留数计算公式gz/hz高阶极点若₀是的阶极点，则₀₀zfzm Res[fz,z]=1/m-1!limz→z[d^m-₀对于形如的函数，若在1/dz^m-1z-z^m·fz]fz=gz/hz hz₀有阶零点，则可利用该公式计算留数zm本性奇点若₀是的本性奇点，则需要通过洛朗级数展开求取₀项的系数例zfzz-z^-1如函数在处有本性奇点，可展开为洛朗级数后确定留数fz=e^1/zz=0无穷远点函数在无穷远点的留数可通过公式计算，fzRes[fz,∞]=-Res[f1/w/w²,0]其中无穷远点的留数也等于洛朗展开中项系数的负值w=1/zfzz^-1留数定理在积分中的应用计算实变积分许多形如₍₀⁾的积分可以通过替换，利∫^2πRcosθ,sinθdθz=e^iθ用留数定理计算这类积分在平面上对应单位圆的积分，可以直接应用留数定z理求解穿越极点的处理对于积分路径穿过极点的情况，可以使用主值积分的概念，即沿略微变形的路径积分，通常会产生额外的₀项这种情况在计算带有对数或πi·Res[fz,z]分式的积分时经常遇到闭合路径法对于形如₍₋⁾的无穷积分，常常可以构造一个包含实轴和上∫∞^∞Rxdx半平面（或下半平面）大半圆的闭合路径，然后应用留数定理计算这种方法的关键是选择合适的闭合路径和正确估计路径上的积分值留数法求无穷积分正弦积分示例高斯型积分示例考虑积分₍₀⁾这类积分可以转化为复积分考虑积分₍₋⁾构造函数I=∫^∞sin ax/xdx I=∫∞^∞e^-x²/1+x²dx fz=e^-问题构造函数，在上半平面考虑包含实轴和上半圆的，在上半平面考虑闭合路径在上半平面有一个极点fz=e^iaz/zz²/1+z²fzz=闭合路径注意到在有一阶极点，留数为，其留数为Cfzz=0Res[fz,0]=1i Res[fz,i]=e^-i²/2i=e^1/2i由于在上半圆弧上的积分当半径趋于无穷时趋于零，根据留数定理，由于大半圆上的积分趋于零，根据留数定理，I=2πi·Res[fz,i]=∮分解积分得到原积分，这种方法可以处理许多含有指数、三角函数和有理函数的无穷积fzdz=2πi·Res[fz,0]=2πi I=π/2π·e^1这是一个经典结果分，展示了复变函数在数学物理中的强大应用幂级数展开与收敛性解析延拓和幂级数应用幂级数与解析函数有着密切联系在收敛圆内，幂级数所表示的函数一定是解析的；反之，解析函数在其解析区域内的任一点邻域都可以展开为幂级数这一性质使得幂级数成为研究解析函数的强大工具泰勒级数是幂级数的特例，它将解析函数在点₀的邻域内表示为到₀₀常见的泰勒级数包括到，fzzfz=Σn=0∞f^nz/n!z-z^n e^z=Σn=0∞z^n/n!sin z=到，到Σn=0∞-1^nz^2n+1/2n+1!cosz=Σn=0∞-1^nz^2n/2n!通过解析延拓，可以将函数的定义域从其幂级数的收敛圆扩展到更大的区域例如，函数的泰勒级数在内收敛，但通过解析延拓，函数的定义可以扩展到整个复fz=1/1-z|z|1平面（除了点）解析延拓在函数论、微分方程和数学物理中有广泛应用z=1共形映射概念几何直观理解保角性的数学表达共形映射在几何上可以理解为局部看来是共形映射定义保角性可以通过导数来理解若在相似变换，即由伸缩和旋转组成的变换这w=fz共形映射是保持角度大小和方向的映射在点₀可导且₀，则₀表示局部的使得共形映射成为解决边界值问题的强大工zfz≠0fz复分析中，如果函数fz在点z₀解析且线性近似，它将z平面上的小向量旋转具，特别是在将复杂区域转化为简单区域fz₀≠0，则fz在z₀附近是共形的共形|fz₀|角度并伸缩|fz₀|倍因此，任意（如圆盘或上半平面）时尤为有用映射保持两条曲线相交时的角度，这一性质两条通过₀的曲线，它们的夹角在映射后保z在物理和工程问题中有重要应用持不变典型共形映射例子w=1/z w=e^z w=z²反演映射指数映射平方映射函数将复平面上函数将带状区域映函数将角度翻倍，w=1/z w=e^zw=z²除原点外的点映射到复平射到去掉原点的复平面，将上半平面映射到整个复面，且将原点映射到无穷具体而言，它将矩形平面（除非负实轴）这{z=x远点这个映射将圆映射映射到个映射在解决含有角的+iy:0≤y2π}2π为圆（包括直线，可视为除原点外的整个复平面，问题中特别有用通过无穷远点的圆），将并且是周期性的内部和外部互换共形映射在物理和工程问题中有广泛应用，如流体力学、热传导和电场分析通过适当选择映射函数，可以将复杂边界条件转化为简单边界条件，从而更容易求解例如，茹科夫斯基变换在气动力学中用于研究翼型周围的流场共形映射应用边界值问题转换上半平面到单位圆映射共形映射最重要的应用之一是将复杂区域上的边界值问题转换为简单区域上的问题例如，函数将上半平面映w=z-i/z+i Imz0拉普拉斯方程∇在共形映射下保持形射到单位圆，将实轴映射到单位圆周²u=0|w|1式不变，这使得我们可以将复杂区域上的边界这个映射在解决边界值问题中非常有用，因为值问题转换为单位圆或上半平面上的问题许多问题在圆盘上更容易求解热传导问题流体力学应用稳态热传导问题可以归结为拉普拉斯方程的边在理想流体流动问题中，复速度势函数是解析界值问题通过共形映射，可以将复杂几何形的，流线和等势线构成正交网络共形映射将状下的温度分布问题转化为简单区域上的问题，保持这种正交性，因此可以用来研究复杂边界从而更容易求解条件下的流体流动映射定理简介Riemann定理内容定理意义黎曼映射定理是共形映射理论中最基黎曼映射定理的重要性在于，它简化本的定理之一，它指出任何单连通了复杂区域上的问题求解对于任何区域（除了整个复平面本身）都可以单连通区域上的边界值问题，我们可通过共形映射一一对应到单位圆盘以先找到将该区域映射到单位圆盘的|w|这个定理保证了我们可以将任共形映射，然后在单位圆盘上解决对1意合理的区域通过适当的解析函数应的问题，最后通过反映射得到原问映射为标准的单位圆盘题的解应用举例例如，在流体力学中，我们需要研究复杂形状边界周围的流场通过黎曼映射定理，可以将这些复杂边界共形映射为圆，在圆周围的流场容易分析，然后通过反映射得到原边界周围的流场这大大简化了计算过程，是解决实际工程问题的强大工具解析延拓与单叶映射概念定义特性单叶函数在区域内一一映射的解局部保角、全局一一对应D析函数单叶性判定在内解析且必要但非充分条件fz D fz≠0柯比定理内单叶函数的系数提供单叶函数的增长界限|z|1限制单叶函数是指在定义域内一一映射的解析函数，即对于定义域内任意两个不同的点₁和z₂，都有₁₂单叶性保证了映射的可逆性，使得原象可以唯一确定，这在共zfz≠fz形映射应用中至关重要函数在区域内解析且导数处处不为零是单叶的必要条件，但不是充分条件例如，函数fz在整个复平面上解析且，但它不是单叶的，因为判断函数=e^zfz≠0fz+2πi=fz是否单叶通常需要更深入的分析单叶函数理论在解析函数论中占有重要地位，柯比定理、面积定理等是研究单叶函数的重要工具这些理论不仅有纯数学意义，在流体力学、热传导等应用领域也发挥着关键作用，为解决实际问题提供理论基础函数与函数Gamma Beta函数定义函数的性质Beta函数联系Gamma Gamma函数是阶乘函数在复平面上的解析延函数在复平面上除了负整数点外处处函数定义为₍₀⁾Gamma Gamma Beta Bp,q=∫^1t^p-拓，定义为₍₀⁾解析，在负整数点有简单极点它满足反射公，其中，Γz=∫^∞t^z-1e^-11-t^q-1dt Rep0Req，其中对于正整数，有式，以及倍数公式函数与函数有密切关系tdt Rez0nΓnΓz·Γ1-z=π/sinπz0Beta Gamma函数满足重要的递推关系如等这一关系使得=n-1!GammaΓ2z=2^2z-1·Γz·Γz+1/2/√πBp,q=Γp·Γq/Γp+q，这使得函数可以延这些性质使函数在特殊函数论中占有函数的许多性质可以通过函数推Γz+1=z·Γz GammaGammaBetaGamma拓到除负整数外的整个复平面核心地位导出来，简化了特殊函数的研究傅里叶变换前导傅里叶变换的定义傅里叶变换将时域函数变换为频域函数₍₋⁾，逆变换为ft FωFω=∫∞^∞fte^-iωtdt ft=₍₋⁾1/2π∫∞^∞Fωe^iωtdω傅里叶变换的作用傅里叶变换将复杂的时域信号分解为不同频率的简谐分量，使信号分析和处理变得更加直观和有效复变函数的支持复变函数理论为傅里叶变换提供了强大工具，如留数法可用于计算某些3类型的傅里叶积分傅里叶变换的存在条件涉及到函数的绝对可积性，即₍₋⁾在实际应用中，许多信号可能不满足这一条件，这时需要引入广义函∫∞^∞|ft|dt∞数或分布理论来处理，如函数的傅里叶变换等复变函数的解析性质和留数理论为研究傅里叶变换的性质和计算提供了强大工具δ复变函数与物理建模热传导问题电磁场问题流体力学应用二维稳态热传导问题可表示为拉普拉斯方程∇在二维静电场中，电势满足拉普拉斯方程∇在二维无旋流体流动中，复速度势²Tφ²φwz=φx,y，其中是温度场若定义复势函数若定义复势函数，其中是是解析函数，其中是速度势，是流=0T wz==0Fz=φ+iψψ+iψx,yφψ，其中是温度场，是热流函流函数，则是解析函数电场强度可表示为函数复速度由给出，流线对应于常ux,y+ivx,y uv Fz wzψ=数，则是解析函数通过研究的性质，∇，对应于的共轭这种表示方法数的曲线通过适当选择，可以模拟各种流wz wzE=-φFzwz可以得到各种边界条件下的温度分布大大简化了电磁场问题的求解动情况，如绕流、源流等变换简介Laplace定义与基本性质拉普拉斯变换定义为₍₀⁾，其中是复变量Fs=∫^∞fte^-stdt s=σ+iω拉普拉斯变换将时域函数映射为复平面上的函数变换存在的条件是满足ft Fs ft一定的增长限制，即存在常数使得M,a|ft|≤Me^at物理意义拉普拉斯变换在物理和工程中有广泛应用，尤其是在分析线性时不变系统时变换后的域表示可以将微分方程转化为代数方程，大大简化求解过程变换参数的实部s sσ表示衰减系数，虚部表示振荡频率ω复变函数的支撑作用复变函数理论为拉普拉斯变换提供了坚实的数学基础例如，拉普拉斯变换的收敛域与复平面上的解析性有关；反演公式涉及到复积分和留数理论；函数的奇点分布决定了系统的稳定性和响应特性典型应用领域拉普拉斯变换广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析和微分方程求解在这些领域中，拉普拉斯变换提供了一种强大的工具，使得复杂的时域分析可以转化为相对简单的域分析s典型反变换Laplace反演公式拉普拉斯反变换的基本公式到1ft=1/2πi∫γ-i∞γ+i∞Fse^stds留数法利用复平面上的闭合路径和留数理论计算反变换积分查表法利用标准拉普拉斯变换对照表进行反变换部分分式法将展开为部分分式，然后对各项分别反变换Fs拉普拉斯反变换是指从求解原函数的过程其基本方法是利用积分公式到，其中是一个使Fs ftBromwich ft=1/2πi∫γ-i∞γ+i∞Fse^stdsγ积分收敛的实数在实际计算中，常通过留数理论简化这个积分具体解题过程通常如下首先将分解为部分分式形式；然后找出所有奇点（极点）；接着计算各极点处的留数；最后应用留数定理得到例如，对于Fsft，其极点为±，通过计算留数可得，Fs=1/s²+a²s=ai ft=1/asinat t0反射原理Schwarz原理内容施瓦茨反射原理指出如果函数在上半平面内解析，且在实轴上fz Imz0连续，并且在实轴上取实值，则可以解析延拓到整个复平面，延拓函数为fz，满足̄̄这意味着关于实轴对称Fz Fz=Fz Fz解析延拓应用反射原理提供了一种有力的解析延拓方法例如，当我们只知道函数在上半平面的定义时，可以通过反射原理将其延拓到下半平面这在边界值问题中特别有用，可以将边界上的条件转化为函数的解析性质应用例题考虑在单位圆内解析的函数，且在单位圆周上取纯虚值通|z|1fz|z|=1过施瓦茨反射原理的变形，可以将延拓到区域，延拓函数满足̄fz|z|1F1/z̄这种技术在处理边界条件为特定类型的问题中非常有效=-Fz调和函数与调和映射解析函数的最大模原理原理内容最小模原理最大模原理指出如果函数在有与最大模原理相对应，若在有界fz fz界闭区域内解析，且在内部不恒等闭区域内解析且在内不取值为零，D DDD于常数，则的最大值只能在区域则的最小值也只能在边界上达到|fz||fz|的边界上达到，不可能在内部的点这是因为也是区域内的解析函DD1/fz达到最大值这意味着非常值解析函数，适用最大模原理，从而的最|fz|数的模在区域内部没有极大值小值对应于的最大值|1/fz|常见结论最大模原理的一个重要推论是如果两个解析函数在区域的边界上相等，则它们在整个区域内完全相同这一结论常用于解析函数的唯一性证明另一个应用是解析函数的模估计要估计解析函数在区域内的最大模，只需考察其在边界上的行为解析函数的零点与唯一性解析函数的零点具有孤立性如果在区域内解析且不恒为零，则的零点在内是孤立的，即每个零点都有一个不包含其他零点的邻域这一性质源于解析函数的泰勒展开若fz DfzD₀且不恒为零，则在₀附近₀，其中是零点的阶数，₀fz=0fzzfz=z-z^m·gz m≥1gz≠0零点结构定理指出若在区域内解析且不恒为零，则对于内任意闭合曲线，曲线内部的零点数等于∮，这就是著名的辐角原理这一定理不仅可以fzDDCfz1/2πi fz/fzdz用来计算零点个数，还可以应用于根的分布问题唯一性定理是解析函数的一个基本性质如果两个在区域内解析的函数和在内的某个点集上相等，且该点集在内有一个聚点，则在整个内成立这表明解析函Dfzgz DDfz≡gz D数被其在很小区域内的值完全确定，体现了解析函数的刚性因子分解定理Weierstrass定理简述魏尔斯特拉斯因子分解定理指出对于整函数，若其全部零点为₁fzz,₂包括重复零点，则可以表示为，z,...fz fz=e^gz·ΠEz/z,pₙₙ其中是整函数，是初等因子，是与零点相关的适当选择的整gz Ez,p pzₙₙ数初等因子初等因子定义为，用于确Ez,p Ez,p=1-zexpz+z²/2+...+z^p/p保无穷乘积的收敛性不同的整函数需要选择不同阶数的初等因子，阶数与p p函数的增长速度有关应用举例魏尔斯特拉斯分解定理在函数论中有重要应用，如证明三角函数可以表sinπz示为，其中取遍所有非零整数这一分解揭示了函数的零点结z·Π1-z/n²n构与函数本身表达式之间的深刻联系椭圆函数初探函数类型定义特征主要应用椭圆函数双周期解析函数积分计算、微分方程魏尔斯特拉斯函数典型椭圆函数非线性振荡问题P雅可比函数另一类椭圆函数椭圆积分计算椭圆函数是复变函数中一类特殊的函数，它们具有两个线性独立的周期这意味着若fz是椭圆函数，则存在两个复数₁和₂，满足₂₁，使得₁ωωImω/ω≠0fz+ω=₂椭圆函数在复平面上形成了周期性的格点结构fz+ω=fz最著名的椭圆函数是魏尔斯特拉斯函数，定义为℘₁₂P z;ω,ω=1/z²+Σ[1/z-₁₂₁₂，其中求和遍历所有整数对函mω-nω²-1/mω+nω²]m,n≠0,0P数满足微分方程℘℘₂℘₃，其中₂和₃是与周期有关[z]²=4[z]³-gz-g gg的常数椭圆函数在数学物理中有广泛应用，如非线性振荡问题、可积系统理论等在应用中，椭圆函数常常用于求解含有平方根的积分，即所谓的椭圆积分通过适当的变换，许多复杂的积分可以归结为椭圆函数的形式，从而得到解析解复变函数典型应用举例信号处理复变函数在信号处理中扮演核心角色傅里叶变换将时域信号转换为频域表示，便于分析信号的频率特性；变换用于分析离散时间系统，是数字滤波器设计的基础；拉Z普拉斯变换简化了连续时间系统的分析这些变换都基于复变函数理论，利用复平面上的解析性和奇点分布分析系统性能电子工程在电路理论中，复阻抗概念源自复变函数，用于分析含有电阻、电容和电感的交流电路传递函数在复平面上的极点和零点分布决定了系统的稳定性和频率响应特性滤波器设计中的巴特沃斯、切比雪夫等近似方法都依赖于复变函数理论，将所需的频率响应特性转化为复平面上的极点分布问题控制理论在控制系统分析中，系统的稳定性可通过检查特征方程在复平面上的根分布来判断根轨迹法研究闭环极点随增益变化的轨迹；奈奎斯特稳定判据基于复平面闭合曲线的映射性质；波德图分析利用复变函数的频率响应特性这些方法都建立在复变函数理论基础上，是现代控制理论的核心工具作业与习题解析

（一）123复数运算柯西黎曼条件复积分计算-计算解法首先计算分子验证函数是否解析计算∮，其中是以原点为中心、半径2+3i4-5i/1+i fz=e^xcos y+i sin y z²+zdz C解法设，，计算为的圆解法被积函数在整个复2+3i4-5i=8-10i+12i-15i²=u=e^x·cos yv=e^x·siny2fz=z²+z；然后计算分母模的平方偏导数，平面解析，根据柯西定理，闭合曲线内部解析函8+2i+15=23+2i∂u/∂x=e^x·cos y∂u/∂y=-e^x·sin；最后得到结果，，数的积分为零，因此∮|1+i|²=1²+1²=2y∂v/∂x=e^x·siny∂v/∂y=e^x·cos yz²+zdz=0可以验证且，23+2i/21-i=23+2i1-i/2=23-∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x满足柯西黎曼条件，因此在全平面解析23i+2i-2i²/2=23-21i+2/2=

12.5--fz

10.5i作业与习题解析

（二）留数计算题解析延拓题计算∮，其中是以原点为中心、半径为的圆计算处的留数e^z/z²z-1dz C2z=1Res[fz,1]=limz→1z-1·e^z/z²z-1=limz→1e^z/z²=e/1=e解法被积函数在处有阶极点，在fz=e^z/z²z-1z=02z=1处有阶极点由于，积分路径包含了两个奇点根据留数定理，∮1|z|=21fzdz=2πiRes[fz,0]+Res[fz,1]=2πi-1+e=2πie-1计算处的留数z=0Res[fz,0]=证明题证明函数将映射到什么区域解法设1/1!limz→0d/dz[z²·e^z/z²z-1]=fz=z+1/z|z|1w，则对于任意，有limz→0d/dz[e^z/z-1]=limz→0[e^zz-1-e^z/z-=fz=z+1/z|z|1|w|=|z+1/z|≥|z|-通过参数方程可以进一步证明，当1²]=limz→0[z-1e^z]/z-1²-e^z/z-1²=-1|1/z|=|z|-1/|z||z|-10时，表示复平面上除去之外的全部点|z|1w=fz[-2,2]常见易错点与解题建议易混淆概念解析与可微复变函数的可微要求导数对方向无关，比实变函数要求更严；单连通与多连通区域柯西定理在单连通区域形式更简单，多连通需考虑所有边界；留数与极点留数是洛朗级数项系数，与极点阶数有关z^-1但不等同常见错误验证解析性时只检查一个方向的导数；计算留数时忽略高阶极点的特殊处理；在非单连通区域直接应用简单形式的柯西定理；混淆多值函数的不同分支；在计算复积分时选择不合适的积分路径，导致计算复杂化解题小贴士熟练掌握典型函数的性质和展开式；善用几何直观理解抽象概念；解题前先分析函数的奇点分布和解析区域；灵活运用柯西定理简化积分路径；对于复杂函数，尝试分解为简单函数的组合；重视分支切割的选择，确保函数的单值性拓展内容与学术前沿复分析在数论中的应用几何函数论复变函数理论在数论研究中发挥着重要作用，几何函数论研究复变函数的几何性质，如单叶尤其是在素数分布研究中黎曼猜想关于黎曼函数、拟共形映射等猜想（现Bieberbach函数非平凡零点的分布是当代数学最著名的已证明）关于单叶函数系数的估计是该领域的ζ未解决问题之一，其解决将对素数定理有深远经典问题这些研究对于保距映射、极值问题影响等有重要应用推荐教材物理学中的复分析国内外优秀教材包括《复变函数论》（张筑复分析在量子场论、弦理论等现代物理学中扮生），全面系统介绍基础理论；《复分析》演核心角色共形场论利用复分析研究二维量（拉尔夫伯斯），强调几何直观；《复分·P·子场的性质，这对理解相变和临界现象至关重析导论》（康威），注重应用；《复分析整要体视角》（施滕恩伯格），提供现代观点课程总结与复习建议核心内容回顾本课程围绕复变函数的基本理论展开，包括复数运算、解析函数、复积分、级数展开、留数理论和共形映射等我们学习了如何判断函数的解析性（柯西黎曼条件）、如何计算-复积分（柯西积分公式和留数定理）、如何展开函数（泰勒级数和洛朗级数）以及如何应用这些理论解决实际问题学习路径建议复习时建议先牢固掌握基础概念，如复数运算、解析性判断等，再深入理解柯西定理和积分公式，它们是整个理论的核心之后重点关注留数理论及其应用，这是解决实际问题的强大工具共形映射部分注重几何直观理解建议结合例题和习题，加深对理论的理解和应用能力经典题型梳理重点掌握以下题型判断函数解析性并求导数；计算复积分（路径积分、留数法）；函数展开为泰勒级数或洛朗级数；求解奇点类型和留数；应用留数定理计算实变积分；求解简单的共形映射问题考试中常见综合性题目，需要灵活运用多种理论和方法。