应用数学基础教学课件

应用数学基础教学课件欢迎进入应用数学基础课程！本课程旨在建立坚实的数学基础，为计算机科学和工程领域的应用奠定基础我们将探索线性代数、微积分、概率统计和优化理论等核心数学概念，并通过实际案例展示它们在现代技术中的应用价值应用数学简介定义与研究范围应用数学是数学与实际问题解决的桥梁，专注于将数学理论应用于现实世界的科学、工程和技术领域主要应用领域从人工智能到金融建模，从图像处理到网络安全，应用数学无处不在，为创新提供基础框架和解决方案与计算机科学的结合在大数据时代，数学工具与计算机科学的结合正在创造前所未有的技术突破和应用场景线性代数基础概念向量与矩阵定义向量是具有大小和方向的量，可表示为有序数组矩阵则是由数字组成的矩形阵列，是线性代数的核心数据结构矩阵运算规则矩阵加减法要求维度相同，而矩阵乘法需要前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数，结果维度为前矩阵行数×后矩阵列数线性变换简介矩阵可视为线性变换的表示，描述了空间中点的映射关系，保持向量加法和标量乘法的特性矩阵的性质关键性质•行列式衡量矩阵变换对体积的缩放比例，值为零表示矩阵不可逆•秩矩阵中线性无关的行或列的最大数量，反映矩阵包含的独立信息量•逆矩阵满足A·A⁻¹=I的矩阵，仅当行列式不为零时存在•转置矩阵行列互换的矩阵，表示为A^T•特征值与特征向量描述矩阵变换中保持方向不变的向量及其伸缩比例矩阵分解方法分解奇异值分解（）分解LU SVDQR将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘将矩阵分解为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ将矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积积A=LU这种分解简化了线性方程组的求解过是对角矩阵SVD在数据压缩、降维和噪声过滤中A=QR在最小二乘问题和特征值计算中有广泛应程，计算高效且广泛应用于数值分析具有重要应用用线性方程组求解主要求解方法线性方程组Ax=b的求解是线性代数中最基本的问题之一，具有广泛的实际应用1高斯消元法通过初等行变换将增广矩阵[A|b]转化为行阶梯形式，然后使用回代法求解未知数计算复杂度为On³2矩阵求逆法当A可逆时，解为x=A⁻¹b虽然概念简单，但在实际计算中往往不如高斯消元法高效3数值稳定性在计算机实现中，需注意舍入误差和条件数问题，选择合适的数值算法如LU分解或迭代法向量空间与子空间基底与维度基底是向量空间中的线性无关向量集，能生成整个空间向量空间的维度即为基底中向量的数量，是空间大小的重要度量向量空间定义满足加法和标量乘法封闭性的向量集合，需满足八条公理在计算机科学中，向量空间提供了表示和处理高维数据的理论框架子空间与正交性子空间是满足向量空间所有条件的子集重要子空间包括核空间和像空间正交性描述了向量间的垂直关系，是投影和分解的基础线性代数在机器学习中的应用主要应用领域•数据降维（PCA）使用特征值分解降低数据维度，保留最大方差方向，减少计算复杂度并消除噪声•线性回归模型使用矩阵运算求解参数，寻找最小化误差平方和的最优解•支持向量机利用核函数将数据映射到高维空间，寻找最优分离超平面•深度学习矩阵运算是神经网络前向传播与反向传播的基础•推荐系统利用矩阵分解技术预测用户偏好微积分基础极限与连续性极限是微积分的基础概念，描述函数在某点附近的行为当x→a时，函数fx的极限表示为limx→afx函数在点a连续，当且仅当limx→afx=fa导数定义与计算导数表示函数在某点的变化率，定义为fx=limh→0[fx+h-fx]/h基本函数的导数公式和四则运算、复合函数的求导法则是微积分的核心内容函数的微分法则微分是函数变化的线性近似，与导数密切相关主要微分法则包括u±v=u±v,uv=uv+uv,u/v=uv-uv/v²和链式法则fgx=fgx·gx多元微积分核心概念多元微积分扩展了单变量微积分的概念到多维空间，处理多变量函数的微分与积分•偏导数函数对单一变量的导数，保持其他变量不变•梯度由所有偏导数组成的向量，指向函数增长最快的方向•雅可比矩阵多元函数的一阶偏导数组成的矩阵•海森矩阵二阶偏导数组成的矩阵，用于判断临界点类型•链式法则复合函数求导的扩展形式•隐函数定理确定隐函数存在条件并计算其导数积分基础积分类型与应用积分是微积分的第二大支柱，代表了累加过程和面积计算不定积分函数的原函数集合，表示为∫fxdx=Fx+C，其中Fx=fx，C为常数基本积分公式和换元法、分部积分法是求解的基础定积分函数在区间上的累积效应，定义为∫[a,b]fxdx=limn→∞ΣfxiΔx微积分基本定理将定积分与不定积分联系∫[a,b]fxdx=Fb-Fa多重积分扩展到多维空间的积分，如二重积分∫∫fx,ydxdy计算三维空间中的体积在概率论中，多重积分用于计算联合概率分布微积分在优化中的作用函数极值与最优化通过导数分析函数的极值点当fx=0且fx0时为极小值；当fx=0且fx0时为极大值在多元函数中，梯度为零且海森矩阵正定时为极小值点梯度下降法原理沿着负梯度方向迭代更新参数x_k+1=x_k-α∇fx_k，其中α为学习率这种方法在机器学习算法中广泛应用于最小化损失函数凸函数与凸优化凸函数满足fλx+1-λy≤λfx+1-λfy，其中0≤λ≤1凸优化问题具有全局最优解，可以使用高效算法求解，是机器学习中的重要模型概率论基础基本概念概率论是研究随机现象统计规律的数学分支，为不确定性建模提供了理论基础•概率空间由样本空间Ω、事件集合F和概率测度P组成的三元组Ω,F,P•事件样本空间的子集，表示可能的结果组合•条件概率事件A在事件B已发生条件下的概率，PA|B=PA∩B/PB•独立性事件A和B独立当且仅当PA∩B=PAPB•随机变量从样本空间到实数集的函数，将随机现象映射为数值•分布描述随机变量取值可能性的数学表达常见概率分布离散分布离散随机变量的概率分布，通过概率质量函数PMF描述二项分布Bn,p描述n次独立重复试验中成功k次的概率；泊松分布Poisλ适用于描述单位时间内随机事件发生次数连续分布连续随机变量的概率分布，通过概率密度函数PDF描述正态分布Nμ,σ²是最重要的连续分布，具有钟形曲线特征；指数分布Expλ常用于描述事件之间的等待时间分布函数累积分布函数Fx=PX≤x描述随机变量不超过特定值的概率，对离散和连续随机变量都适用概率密度函数是分布函数的导数fx=Fx，用于计算区间概率数学期望与方差期望随机变量的平均值或中心位置，离散情况下EX=∑x·PX=x，连续情况下EX=∫x·fxdx期望的性质•线性性EaX+bY=aEX+bEY•独立随机变量的乘积EXY=EXEY方差与标准差方差VarX=E[X-EX²]=EX²-[EX]²衡量随机变量的离散程度标准差σ=√VarX与原随机变量具有相同单位协方差与相关系数协方差CovX,Y=E[X-EXY-EY]测量两个随机变量的线性相关性相关系数ρ=CovX,Y/σₓσy将协方差归一化到[-1,1]区间大数定律与中心极限定理大数定律当样本量足够大时，样本平均值将接近总体期望值形式上，对于独立同分布的随机变量序列X₁,X₂,...,X，当n→∞时，样ₙ本均值X̄以概率1收敛到期望μₙ中心极限定理对于独立同分布的随机变量，其均值的分布随样本量增大将近似服从正态分布，无论原始分布的形状如何形式上，√nX̄-ₙμ/σ趋近于标准正态分布N0,1在数据分析中的重要性这些定理构成了统计推断的理论基础，支持了参数估计、假设检验和置信区间构建，使我们能从有限样本推断总体特征统计推断基础参数估计方法假设检验简介从样本数据推断总体参数的技术点估计给出评估关于总体的假设是否成立的框架通常设单一最佳值，常用方法包括最大似然估计置原假设H₀和备择假设H₁，基于样本数据MLE基于最大化观测数据的概率；矩估计基计算检验统计量并与临界值比较p值表示在于样本矩与总体矩的对应关系；贝叶斯估计结H₀为真时观测到当前或更极端结果的概率，合先验信息与样本数据小于显著性水平α时拒绝H₀置信区间计算给出参数可能取值范围的区间估计1-α置信区间的含义是若从同一总体重复抽样多次，约有1-α比例的区间会包含真实参数值常见的95%置信区间形式为估计值±

1.96×标准误应用统计方法实用统计方法•回归分析研究变量间关系的统计方法，线性回归模型y=β₀+β₁x₁+...+βx+ε通过最ₚₚ小二乘法估计参数•贝叶斯统计基于贝叶斯定理Pθ|X∝PX|θPθ的统计推断方法，结合先验知识与观测数据•统计学习结合统计方法与算法设计的机器学习分支，包括监督学习和无监督学习•实验设计通过控制变量和随机化来减少偏差，提高统计分析效力•生存分析研究时间至事件数据的特殊统计方法•多元分析同时考虑多个变量的统计方法，如主成分分析和因子分析优化理论基础约束与无约束优化无约束优化仅考虑目标函数的最小化，常用方法包括梯度下降、牛顿法和拟牛顿法约束优化需要在满足约束条件的前提下最小化目标函数，方优化问题的数学描述法包括拉格朗日乘数法和罚函数法优化问题的标准形式为最小化目标函数fx，同时满足约束条件gx≤0和hx=0目标函数表示需要最小化的量，约束条件限定了可行解的最优性条件范围KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件）是约束优化问题的必要条件，包括梯度条件、原始可行性、对偶可行性和互补松弛性对于凸优化问题，KKT条件也是充分条件线性规划线性规划基础线性规划是优化理论中的重要分支，研究线性目标函数在线性约束条件下的最优解线性规划模型构建标准形式为最小化c^Tx，约束条件Ax=b且x≥0其中c和x是n维向量，A是m×n矩阵，b是m维向量将实际问题转化为此形式是建模的关键步骤单纯形法简介由George Dantzig提出的求解线性规划的经典算法，通过在多面体可行域的顶点间移动，寻找目标函数的最优值虽然最坏情况下复杂度为指数级，但在实践中表现优异应用案例资源分配非线性优化梯度法与牛顿法凸优化与非凸优化常见算法比较梯度法使用一阶导数信息，沿负梯度方向更新凸优化问题的目标函数和约束集都是凸的，具有唯除基本的梯度下降和牛顿法外，常用的优化算法还x_k+1=x_k-α_k∇fx_k牛顿法利用二阶导数一的全局最优解，可高效求解非凸优化问题可能包括拟牛顿法BFGS避免计算海森矩阵；共轭梯海森矩阵信息，更新公式为x_k+1=x_k-存在多个局部最优解，求解更加困难，通常需要使度法适合大规模问题；随机梯度下降适用于大数据[∇²fx_k]^-1∇fx_k牛顿法收敛更快，但每用启发式算法或多次随机初始化来寻找更好的解集；遗传算法和模拟退火适合非凸问题；内点法高步计算成本更高效求解约束优化问题凸优化简介基本概念•凸集任意两点间的线段完全包含在集合内形式上，若x,y∈C，则λx+1-λy∈C，其中0≤λ≤1•凸函数函数图像上任意两点间的线段位于图像上方形式上，fλx+1-λy≤λfx+1-λfy，其中0≤λ≤1•凸优化问题最小化凸目标函数，同时满足凸约束条件凸优化问题性质•局部最优解即为全局最优解•KKT条件是最优性的充要条件•存在高效的多项式时间算法•对偶问题提供了另一种求解视角应用示例支持向量机SVM训练可表述为凸二次规划问题，目标是找到最大间隔超平面，有高效求解算法优化软件工具介绍中的包优化工具箱实际案例演示Python cvxpyMatlabCVXPY是Python中流行的凸优化工具包，提供简MATLAB的优化工具箱提供了全面的优化算法集考虑投资组合优化问题目标是在给定风险约束下洁的语法定义和求解凸优化问题支持多种求解器合，包括线性规划、非线性规划、整数规划等函最大化回报使用CVXPY可以简洁地表达均值-方（如MOSEK、ECOS、SCS等），可处理线性规数如linprog、fmincon、intlinprog等易于使差优化模型，添加多种实际约束，如杠杆限制和部划、二次规划、锥规划等多种问题类型适合教学用，支持约束和无约束优化图形界面允许交互式门暴露度限制，并快速求解得到最优资产配置方和研究使用，有丰富的文档和示例问题定义和结果可视化，适合原型设计和研究案偏微分方程基础PDE定义与分类偏微分方程PDE是包含未知多变量函数及其偏导数的方程与常微分方程相比，PDE的解通常是定义在多维区域上的函数常见PDE类型•椭圆型方程如拉普拉斯方程∇²u=0，描述稳态现象，如热平衡或电位分布•抛物型方程如热传导方程∂u/∂t=α∇²u，描述扩散过程和热传导•双曲型方程如波动方程∂²u/∂t²=c²∇²u，描述波的传播边界条件与初值条件求解PDE需要附加条件边界条件指定了解在区域边界上的行为；初值条件给出了初始时刻的函数值和/或导数值这些条件确保了解的唯一性椭圆方程与方程PoissonPoisson方程的物理意义Poisson方程∇²u=f描述了许多物理系统中的平衡状态在电磁学中，表示电荷密度f产生的电势u；在流体力学中，描述速度势；在热传导中，代表稳态温度分布拉普拉斯方程∇²u=0是其特例边界值问题求解方法解析方法包括分离变量法、格林函数法和傅里叶变换分离变量法将多变量PDE转化为多个常微分方程；格林函数提供了特解构造方法；傅里叶变换适用于特定几何形状的问题数值解法简介有限差分法用网格离散化区域，将微分算子近似为差分；有限元法将区域分割为小单元，使用分段函数近似解；谱方法利用正交函数系展开这些方法各有优缺点，适用于不同问题类型方法Level-set定义与基本思想Level-set方法是一种隐式表示演化曲面或界面的数值技术它将n维曲面表示为n+1维函数φ的零水平集Γ={x|φx=0}界面的运动通过求解level-set方程∂φ/∂t+v·∇φ=0，其中v是速度场优势•自然处理拓扑变化（分裂和合并）•易于计算几何特性（如曲率）•扩展到高维空间直接•基于固定网格，避免了重新网格划分应用领域图像处理分割、修复、重建计算流体力学多相流和界面跟踪计算机视觉形状检测和跟踪形状优化结构设计优化算法框架初始化level-set函数φ，通常使用带符号的距离函数计算速度场v，根据应用需求定义求解level-set方程更新φ周期性重新初始化φ以保持良好性质数值方法PDE有限差分法基于泰勒展开，用差分代替微分在均匀网格上近似导数∂u/∂x≈ux+h-ux/h（前向差分）或∂²u/∂x²≈ux+h-2ux+ux-h/h²（中心差分）实现简单，但处理复杂几何和变系数问题困难有限元法基于变分原理，将解表示为基函数的线性组合，通过最小化能量泛函求解将问题区域分割为小单元（如三角形或四面体），在每个单元上使用简单的多项式近似适合处理复杂几何和多物理场耦合问题稳定性与收敛性数值方法的关键性质包括一致性（截断误差趋于零）、稳定性（误差不会无限放大）和收敛性（数值解趋近真实解）根据Lax等价定理，一致性加稳定性保证了收敛性CFL条件是显式时间步进方法的常见稳定性准则应用泛函分析基础泛函与算子泛函是从函数空间到实数（或复数）的映射F:X→ℝ算子是从一个函数空间到另一个函数空间的映射T:X→Y这些概念扩展了函数的概念，允许我们处理无限维空间中的问题赋范空间与内积空间赋范空间是配备了范数‖·‖的向量空间，范数衡量大小内积空间具有内积〈·,·〉，定义了向量间的角度和正交性完备的内积空间称为希尔伯特空间，是泛函分析的核心研究对象常见函数空间•L²[a,b]平方可积函数空间，内积为〈f,g〉=∫fxgxdx•Sobolev空间具有弱导数的函数空间，如H¹•C[a,b]连续函数空间，配备最大值范数变分方法变分原理简介变分方法研究泛函的极值问题物理系统往往遵循最小作用量原理，即系统状态使某个泛函达到极值例如，光线传播路径使光程最短；弹性体变形使总势能最小变分法提供了求解这类问题的框架Euler-Lagrange方程泛函J[y]=∫Lx,y,ydx的驻点满足Euler-Lagrange方程∂L/∂y-d/dx∂L/∂y=0这是泛函极值的必要条件，将变分问题转化为微分方程问题对于多变量泛函，方程变为偏微分方程工程应用案例结构优化确定最小重量或最大刚度的结构形态；动力学系统利用Hamilton原理求解运动方程；图像处理基于能量最小化的图像分割和重建；材料科学相场模型中的界面演化；有限元方法基于变分原理的弱形式推导泛函分析在数学建模中的应用主要应用领域优化问题的泛函框架控制理论中的应用将优化问题表述为泛函极值问题，如状态空间表示、可观测性和可控制性最优控制理论中，目标是找到最小化分析、反馈控制设计都依赖于泛函分成本泛函的控制函数这种框架允许析概念特别是，无限维系统（如分使用变分法和Pontryagin最大原理等布参数系统）的控制理论严重依赖泛工具求解函分析工具机器学习中的核方法核方法利用Reproducing KernelHilbert SpaceRKHS将数据映射到高维特征空间，支持向量机和核主成分分析等算法都基于此框架这种方法利用了希尔伯特空间的性质，实现非线性模式识别计算工具与环境介绍科学计算库使用资源获取与管理Python Jupyter Notebook GitHubNumPy提供高效的多维数组对象和操作函数，支持交互式计算环境，将代码执行、结果输出、可视化GitHub是代码托管和版本控制平台，存储大量开源向量化计算，是科学计算的基础SciPy建立在和解释性文本整合在一个文档中支持Python、项目和学习资源可通过git clone获取代码库，NumPy基础上，提供更多专业模块，包括积分、优R、Julia等多种语言代码可分块执行，便于实验fork创建个人副本，pull request贡献改进使用化、信号处理、线性代数、统计等Matplotlib是和调试Markdown支持使其成为理想的教学和研issues跟踪问题，GitHub Pages展示项目文档强大的绘图库，创建高质量数据可视化究工具，可轻松分享计算结果和分析过程提供团队协作功能，是现代软件开发的核心工具线性代数实战练习矩阵运算代码示例import numpyas np#创建矩阵A=np.array[[1,2],[3,4]]B=np.array[[5,6],[7,8]]#基本运算C=A+B#矩阵加法D=A.dotB#矩阵乘法E=np.linalg.invA#求逆矩阵det_A=np.linalg.detA#行列式#特征值分解eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eigAprint特征值:,eigenvaluesprint特征向量:,eigenvectors奇异值分解应用演示奇异值分解SVD是矩阵分解的强大工具，将矩阵分解为U·Σ·V^T在图像压缩中，通过保留最大的k个奇异值及对应的奇异向量，可以得到原图像的低秩近似，大幅减少存储需求实战项目将使用Python实现基于SVD的图像压缩，比较不同压缩比例下的图像质量和存储需求，理解奇异值的物理意义微积分实战练习梯度计算与优化示例import numpyas npfrom scipy.optimize importminimize#定义目标函数def fx:return x

[0]**2+x

[1]**2+2*x

[0]*x

[1]#定义梯度def gradientx:return np.array[2*x

[0]+2*x

[1],2*x

[1]+2*x

[0]]#使用梯度下降优化result=minimizef,x0=[1,1],method=BFGS,jac=gradientprint最优解:,result.xprint最小值:,result.fun实战项目将实现函数拟合，使用最小二乘法拟合实验数据，评估不同模型的适用性数值微分与积分数值微分使用有限差分近似导数中心差分:fx≈[fx+h-fx-h]/2h前向差分:fx≈[fx+h-fx]/h误差分析对理解精度至关重要概率与统计实战数据生成与分布拟合统计推断实现实战项目分类器性能评估Python使用numpy.random生成符合各种分布的随机数使用scipy.stats实现假设检验，包括t检验、Z检构建基于概率模型的分类器，如朴素贝叶斯或逻辑据，如正态分布、指数分布、泊松分布等使用验、方差分析等计算p值评估统计显著性，构建置回归使用混淆矩阵计算准确率、精确率、召回率scipy.stats进行分布拟合，通过最大似然估计或矩信区间估计参数使用statsmodels实现回归分和F1分数实现ROC曲线和AUC评估分类器性能估计确定分布参数，用K-S检验或卡方检验评估拟合析，评估模型参数的统计显著性，进行模型诊断和使用交叉验证估计泛化误差，比较不同算法在相同优度比较数据集上的表现优化算法实战梯度下降代码实现import numpyas npimportmatplotlib.pyplot asplt#定义目标函数和梯度def fx:return x**2+5*np.sinxdef dfx:return2*x+5*np.cosx#梯度下降实现def gradient_descentstart,learn_rate,n_iter:x=start x_history=[x]for iin rangen_iter:x=x-learn_rate*dfx x_history.appendx returnx,x_history#执行优化optimal_x,hist=gradient_descent

2.0,

0.1,100printf最优解:x={optimal_x},fx={foptimal_x}#可视化优化过程plt.plothistplt.title梯度下降优化过程plt.xlabel迭代次数plt.ylabelx值plt.show线性规划求解示例使用scipy.optimize.linprog求解线性规划问题fromscipy.optimize importlinprog#目标函数系数c=[-1,-2]#最大化问题转换为最小化#约束条件系数和常数项A=[[2,1],#2x+y=20[1,3],#x+3y=30[1,1]]#x+y=10b=[20,30,10]#求解result=linprogc,A_ub=A,b_ub=b,bounds=[0,None,0,None]print最优解:,-result.funprintx=,result.x

[0],y=,result.x

[1]偏微分方程数值模拟Poisson方程有限差分实现对Poisson方程∇²u=f在二维区域上进行数值求解使用中心差分离散化拉普拉斯算子∇²u≈ui+1,j+ui-1,j+ui,j+1+ui,j-1-4ui,j/h²构建线性方程组Au=b，其中A是稀疏矩阵，使用scipy.sparse和迭代求解器高效求解大规模系统Level-set方法代码示例实现二维Level-set方法进行界面演化初始化带符号距离函数φ，根据曲率和外部速度场定义演化方程∂φ/∂t+V|∇φ|=0使用TVD Runge-Kutta方法进行时间积分，使用高阶WENO格式离散化空间导数周期性重新初始化φ以保持距离函数性质，提高数值稳定性实战项目图像分割使用Level-set方法实现图像分割算法基于Chan-Vese模型，将分割问题表述为能量最小化问题目标函数包括图像内部和外部区域的均值差异，以及轮廓长度正则化项使用梯度流方法迭代演化Level-set函数，自动检测图像中的目标区域和边界泛函分析与变分方法实战简单变分问题Python实现我们将使用符号计算库sympy求解Euler-Lagrange方程，找到泛函极值import sympyas sp#定义变量和函数x=sp.Symbolxy=sp.Functionyy_prime=yx.diffx#定义拉格朗日量L和泛函J[y]#例如J[y]=∫[yx²+yx²]dxL=y_prime**2+yx**2#Euler-Lagrange方程#∂L/∂y-d/dx∂L/∂y=0EL_eq=L.diffyx-sp.diffL.diffy_prime,xprintEuler-Lagrange方程:,EL_eq#求解微分方程sol=sp.dsolveEL_eqprint解:,sol优化问题的泛函表达许多优化问题可以表述为泛函极值问题，特别是在连续空间上的优化例如，找到连接两点的最短曲线，或者最小化弹性体的应变能实现方法•将问题表述为泛函极值•推导Euler-Lagrange方程•求解得到的微分方程•应用边界条件确定解的常数实战案例分析我们将实现变分方法求解弹性杆变形问题，最小化总势能泛函，并与有限元解进行比较，分析误差和计算效率应用数学在机器学习中的综合应用概率统计与模型训练最大似然估计是许多模型的训练基础贝叶斯方法提供了处理不确定性的框架交叉熵和KL散度是基于信息论的损失函数正则化技术基于先验线性代数与深度学习分布假设Bootstrap和交叉验证用于估计模型性能统计假设检验评估模型改进的显著性矩阵运算是神经网络的核心权重矩阵W与输入向量x的乘积形成网络的基本计算SVD用于网络压缩和权重初始化卷积运算可表示为特殊的优化算法与参数调优矩阵乘法主成分分析PCA用于特征提取和可梯度下降及其变体（SGD、Adam、视化批量矩阵计算提高训练效率RMSprop）是模型训练的基础凸优化用于支持向量机和逻辑回归非凸优化处理深度网络的复杂损失景观学习率调度策略基于优化理论二阶方法如牛顿法和L-BFGS在某些应用中提供更快收敛应用数学在计算机视觉中的案例特征提取与矩阵运算计算机视觉中的许多任务都依赖于线性代数工具进行特征提取和表示•主成分分析PCA用于降维和特征提取•奇异值分解SVD用于图像压缩和重建•矩阵分解用于背景建模和前景检测•傅里叶变换用于频域图像处理•特征值分析用于图像纹理描述图像分割中的PDE方法偏微分方程提供了处理图像边界和区域的强大工具•水平集方法实现活动轮廓和边界跟踪•各向异性扩散用于边缘保持平滑•全变差模型用于图像去噪和重建优化算法在图像处理中的应用图像处理任务常可表述为优化问题•凸优化用于图像复原和超分辨率•马尔可夫随机场优化用于图像分割•稀疏编码和压缩感知用于图像重建应用数学在自然语言处理中的案例统计语言模型线性代数在词向量中的应用优化方法提升模型性能概率论为文本建模提供了基础框架n-gram模型使向量空间模型将词表示为高维空间中的向量词-文语言模型训练依赖优化算法随机梯度下降处理大用条件概率Pwn|w1,...,wn-1预测下一个词贝叶档矩阵和TF-IDF加权衡量词的重要性潜在语义分规模文本数据Adam优化器自适应调整学习率，斯方法用于文本分类，如朴素贝叶斯分类器隐马析LSA使用SVD降维捕获语义关系Word2Vec加速收敛L1/L2正则化防止过拟合批量归一化稳尔可夫模型用于词性标注，基于状态转移概率和观和GloVe使用浅层神经网络学习词嵌入，保持语义定训练过程学习率调度提高训练效率注意力机测概率平滑技术处理稀疏数据问题，如拉普拉斯相似性词向量支持语义操作，如king-man+制优化通过软对齐改进序列建模，是Transformer平滑和Good-Turing估计woman≈queen模型的核心课程复习与知识体系梳理重点知识回顾线性代数基础矩阵运算、特征值分解、奇异值分解、线性变换的几何解释、向量空间理论微积分核心单变量和多变量微积分、极值理论、梯度和海森矩阵、定积分与多重积分应用概率与统计概率分布、随机变量、期望与方差、大数定律与中心极限定理、统计推断优化理论无约束与约束优化、凸优化、线性规划、最优性条件、数值优化算法典型问题解析每个主题领域的代表性问题解题思路•矩阵分解应用于数据分析•优化问题建模与求解•随机过程的统计特性分析•偏微分方程的数值方法实现学习方法建议构建数学概念的直观理解，培养应用数学工具解决实际问题的能力，将理论知识与编程实践相结合，形成系统化的数学思维方式课程作业说明作业内容与提交要求本课程共有5次编程作业和1次期末项目，涵盖线性代数、微积分、概率统计、优化理论和偏微分方程各个方面的应用•每次作业包含理论问题和编程实现部分•使用JupyterNotebook格式.ipynb提交•需包含代码、运行结果、图表和解释性文字•通过课程平台在截止日期前提交•禁止抄袭，引用他人代码需明确注明来源编程实现与报告格式编程部分要求•代码简洁高效，有适当注释•模块化设计，函数和类结构清晰•提供测试用例验证算法正确性•分析算法复杂度和性能报告部分要求•问题分析与数学建模过程期中考试复习指导重点章节•线性代数矩阵运算、特征值和奇异值分解•微积分多元函数求导、最优化条件•概率论条件概率、随机变量及其分布题型分布•选择题30%，测试基本概念理解•填空题20%，考察公式和定理应用•计算题30%，解决具体数学问题•应用题20%，数学模型的实际应用复习资料•课程讲义和作业题解•推荐教材相关章节•网络公开课视频补充•历年考题与模拟试卷考试技巧•掌握核心概念和定理的准确表述•理解算法原理而非仅记忆步骤•练习解题速度，合理分配时间•整理常用公式和计算方法•关注应用问题的建模思路期末考试准备复习计划建议距离期末考试4周，建议按以下步骤进行系统复习第1周知识回顾1系统复习各章节内容，整理笔记，识别薄弱环节2第2周习题强化大量做习题，尤其是历年考题，巩固理论知识应用第3周模拟测试3完成2-3套模拟试卷，控制时间，模拟真实考试环境4第4周查漏补缺针对模拟考试暴露的问题进行有针对性复习，最后整理公式卡片典型试题解析课程拓展资源推荐教材与参考书目《线性代数及其应用》-Gilbert Strang《数值分析》-Timothy Sauer《概率论与数理统计》-陈希孺《凸优化》-Stephen Boyd《偏微分方程数值解法》-K.W.Morton《应用数学方法》-G.B.Arfken在线课程与讲座MIT线性代数公开课-Gilbert Strang斯坦福大学凸优化-Stephen BoydKhan Academy数学系列课程Coursera数据科学数学基础专项课程3Blue1Brown视频教程线性代数的本质吴恩达机器学习数学基础开源项目与代码库NumPy/SciPy文档与教程TensorFlow数学基础教程GitHub:numerical-tours数值算法教程Math-of-ML机器学习数学基础Applied-Math-Code-Examples应用数学代码示例Julia语言数学计算示例库学术研究与应用前沿最新研究动态简介应用数学研究持续推动科学和技术创新，近期热点包括•随机偏微分方程在金融和气候建模中的应用•稀疏表示和压缩感知在信号处理中的突破•拓扑数据分析用于复杂数据集的结构发现•随机优化算法在大规模机器学习中的改进•高维数据分析的新型降维和流形学习方法•图论和网络科学在复杂系统建模中的应用学生项目展示深度学习中的优化算法比较该项目系统比较了不同优化算法在神经网络训练中的性能实现了SGD、Momentum、RMSprop、Adam等算法，分析了收敛速度、稳定性和泛化性能通过可视化损失景观，揭示了不同优化器的行为特点结果表明，自适应学习率方法在训练初期表现更好，而SGD在后期可能有更好的泛化性能基于PDE的图像修复算法该项目实现了基于偏微分方程的图像修复技术使用全变分模型和曲率驱动扩散模型处理受损图像，实现了边缘保持的修复效果项目比较了不同数值方法的精度和效率，开发了GPU加速版本提高处理速度结果显示，该方法在保持纹理和结构信息方面优于传统方法，特别适合大面积缺损修复随机过程在金融衍生品定价中的应用该项目探讨了随机微分方程在金融衍生品定价中的应用实现了Black-Scholes模型和蒙特卡洛模拟方法，开发了交互式工具用于期权定价和希腊字母计算项目还考察了跳跃扩散过程对尾部风险的建模能力结果表明，结合统计学习方法可以改进传统金融模型的预测精度，特别是在市场波动较大时期课程反馈与改进学生意见收集我们重视您对课程的反馈，这是持续改进的关键请通过以下渠道分享您的想法•期中/期末课程评估问卷•每次作业后的微反馈表单•课程讨论区的建议板块•办公时间直接交流•学生代表定期反馈会议重点关注内容难度、教学节奏、实践活动设计、学习资源质量和评估方式等方面教学改进计划基于上学期收集的反馈，我们已实施以下改进•增加更多实际应用案例和编程实践•开发交互式可视化工具辅助理解抽象概念•优化作业难度梯度，提供更详细的反馈•引入同伴学习和小组项目环节•改进在线资源组织，提供更多补充材料互动答疑环节每周五下午2-4点在线上答疑室解答学习疑问，提前在论坛提交问题可获优先回答总结与展望应用1解决实际问题实践2编程实现与验证理解3掌握数学原理及应用条件基础4掌握核心概念、定理和方法本课程涵盖了应用数学的核心领域线性代数、微积分、概率统计、优化理论和偏微分方程，以及它们在计算机科学和数据科学中的应用应用数学的学习是一个持续发展的过程建议从基础概念开始，逐步深入理论，通过编程实践巩固知识，最终应用于解决实际问题保持好奇心和实践精神，不断探索数学与其他学科的交叉应用希望本课程为您打开应用数学的大门，培养数学思维和问题解决能力，为后续专业学习和研究奠定坚实基础数学之美不仅在于其内在逻辑，更在于其强大的应用价值致谢与联系方式感谢参与与支持衷心感谢所有学生的积极参与和宝贵反馈，这是课程持续改进的动力特别感谢•教学助理团队的辛勤工作•计算机系提供的技术支持•图书馆提供的丰富学习资源•学校教务处的课程支持•各位同行的宝贵建议期待您在数学学习之旅中取得更大进步！教师联系方式主讲教师张教授办公室理学院5号楼304室电子邮箱zhang@math.university.edu.cn办公时间周

一、周三14:00-16:00课程资源获取途径。