数学期望教学课件

数学期望教学课件概率论与数理统计是现代数学的重要分支，而数学期望作为其核心内容，在理论与应用方面都具有深远影响本课件将系统讲解数学期望的基本概念、计算方法及其广泛应用，帮助学生掌握这一强大的数学工具我们将通过理论与实际相结合的方式，深入浅出地探讨数学期望如何帮助我们理解随机现象，并为解决实际问题提供有力支持无论是在金融、保险、工程还是日常决策中，数学期望都是不可或缺的分析工具课程目标掌握基本概念熟练计算方法应用与建模理解数学期望的定义、物理意义及系统掌握离散型和连续型随机变量学习期望在实际问题中的建模思路其在概率论中的重要地位，建立随期望的计算公式与技巧，能够处理与应用技巧，提升解决现实问题的机变量期望值的直观认识各类期望计算问题能力课程内容预览数学期望基础及历史发展探讨数学期望的起源、发展历程及其在概率论中的基础地位离散与连续随机变量期望计算系统讲解不同类型随机变量期望的计算方法与技巧经典例题与应用场景通过丰富的例题和现实应用，加深对期望概念的理解深入性质与理论拓展探讨期望的高级性质及其与其他统计量的关系引入现实中的期望保险赔付保险公司如何根据事故发生概率和赔付金额计算保费，确保既能为客户提供保障又能保证公司盈利彩票奖金彩票发行机构如何设置奖金结构，使得平均支出保持在一定比例，同时提供足够吸引力质量检测通过抽样检测评估整批产品的平均质量，计算可能的损失并制定合理的质量控制策略这些看似不同的领域，都运用了数学期望这一核心概念期望值帮助我们在不确定性中找到平均趋势，为决策提供科学依据随机变量回顾随机变量的本质随机变量的分类随机变量是概率论中的核心概念，它将随机试验的结果与实离散型随机变量取值为有限个或可列无限个的随机变量，数对应起来，使我们能够用数学语言描述随机现象简单来如抛硬币正面朝上的次数说，随机变量就是随机试验各种可能结果的数量化表示连续型随机变量取值为某区间内任意值的随机变量，如人的身高、等待时间等概率分布举例概率分布是描述随机变量取值规律的数学表达对于离散型随机变量，我们用概率分布列或分布函数表示；对于连续型随机变量，则用概率密度函数或分布函数表示如硬币抛掷中，正面朝上的概率为，反面朝上的概率也为；掷骰子时，到点出现的概率各为；在抽奖活动中，每

0.

50.5161/6个奖项有不同的中奖概率这些都是我们日常生活中常见的概率分布实例什么是数学期望加权平均数总体水平数学期望本质上是随机变量期望反映了随机变量的平均各个取值的加权平均数，权水平或中心位置，是对整体重就是相应取值的概率趋势的度量长期平均从频率角度看，期望是随机试验无限重复时结果的平均值虽然单次随机试验的结果可能与期望值相差很大，但当试验次数足够多时，结果的平均值会越来越接近期望值这就是期望在实际应用中如此重要的原因数学期望的历史与发展世纪世纪1719期望概念源于法国数学家帕斯卡和费马解决赌博问题的通高斯将期望应用于误差分析，为现代统计学奠定基础，期信中，他们试图分析未完成的赌局如何公平分配赌金望概念在保险和经济学中广泛应用1234世纪现代18伯努利家族和拉普拉斯进一步发展了期望理论，将其应用期望理论已成为概率论的核心内容，在计算机科学、人工于更广泛的科学问题智能、金融工程等领域发挥重要作用数学期望的定义离散型——离散型随机变量的期望是将每个可能的取值乘以其对应的概率，然后求和得到的这个定义直观地体现了加权平均的思想其中期望存在的条件是级数绝对收敛当\sum_{i}|x_i|p_i表示离散型随机变量随机变量的取值范围有限时，期望一定存在•X表示随机变量可能的取值•x_i表示取值对应的概率•p_i x_i离散型随机变量举例抛两次硬币求正面数的期望可能的结果个正面、个正面、个正面012对应概率1/4,1/2,1/4期望计算E[X]=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1骰子点数期望可能的结果点1,2,3,4,5,6对应概率各为1/6期望计算E[X]=1×1/6+2×1/6+...+6×1/6=

3.5这些例子说明，期望值不一定是随机变量的可能取值之一如骰子点数的期望是，但骰子不可能掷出点期望代表的是长期平均结果，而非单次试

3.

53.5验的结果计算步骤演示（离散型）列举所有可能取值确定随机变量的所有可能取值₁₂X x,x,...,xₙ计算对应概率计算每个取值对应的概率₁₂，确保ᵢp,p,...,p∑p=1ₙ乘积求和计算₁₁₂₂E[X]=x p+x p+...+x pₙₙ例某商店每天顾客数的概率分布为，X PX=5=

0.1，，计算每日平均顾客PX=10=

0.3PX=15=

0.4PX=20=

0.2数的期望值解E[X]=5×

0.1+10×

0.3+15×

0.4+20×

0.2=

0.5+3+6+4=（人）

13.5常见离散分布的期望分布名称概率分布期望公式说明二项分布次独立重复PX=k=E[X]=np n试验中成功次Bn,p Cn,kp^k数1-p^n-k泊松分布单位时间内随λPX=k=E[X]=机事件发生次λPe^-数λλ^k/k!几何分布首次成功所需PX=k=E[X]=1/p试验次数1-p^k-1p超几何分布不放回抽样中PX=k=E[X]=抽到特定类型CM,kCN nM/N的数量-M,n-k/CN,n数学期望定义连续型——对于连续型随机变量，我们用积分替代求和这里的是fx概率密度函数，它本身不是概率，但其在某区间上的积分等于随机变量落在该区间的概率其中期望存在的条件是积分收敛\int_{-\infty}^{+\infty}|x|fx dx表示连续型随机变量•X是的概率密度函数•fx X积分区间是的取值范围•X连续型随机变量举例均匀分布区间上的均匀分布，[a,b]E[X]=a+b/2指数分布参数为的指数分布，λλE[X]=1/正态分布参数为的正态分布，μσμ,E[X]=连续型随机变量的期望具有与离散型随机变量期望相似的性质和解释它代表随机变量的平均水平或中心位置，反映长期平均结果在某些分布中，期望与分布的参数直接相关，如正态分布的期望就是其位置参数μ计算步骤演示（连续型）确定概率密度函数写出随机变量的概率密度函数及其定义域X fx设置积分根据公式设置积分，积分区间为的取值范围∫xfxdx X计算积分运用微积分方法求解积分得到期望值例随机变量的概率密度函数为，求X fx=2x0≤x≤1E[X]解₀₀₀E[X]=∫¹x·2x dx=∫¹2x²dx=2·[x³/3]¹=2·1/3=2/3为什么要学数学期望？度量平均结果决策依据提供随机现象长期平均水平的精确度在不确定性条件下为决策提供科学基量础建模工具理论基础4为随机现象的数学建模提供核心工具是概率统计众多理论的基础概念数学期望不仅是一个理论概念，更是解决实际问题的强大工具从保险定价到投资决策，从质量控制到游戏策略，期望都扮演着关键角色掌握期望的计算和应用，能够帮助我们在充满不确定性的世界中做出更加理性的判断期望的基本性质线性1——线性性质的数学表达其中为常数，为随机变量a,b X这意味着常数的期望等于常数本身•E[c]=c随机变量乘以常数，其期望也乘以相同常数•E[aX]=aE[X]随机变量加上常数，其期望也加上相同常数•E[X+b]=E[X]+b线性性质是期望最基本也是最有用的性质之一它表明，对随机变量进行线性变换后，其期望也会相应发生线性变换这个性质在实际应用中非常有用，如单位转换、线性调整等场景期望的基本性质2期望的可加性推广到多个随机变量无论与是否独立，两个随X Y机变量之和的期望等于各自任意有限个随机变量之和的期望之和期望等于各自期望之和期望的线性组合随机变量的线性组合的期望等于各期望的线性组合期望与变量独立性乘积的期望应用场景对于随机变量和独立性在分析随机变量乘积时非常重要X Y当和独立时金融投资不同资产收益的相关性分析•X YE[XY]=E[X]·E[Y]•当和不独立时，需计算协方差风险管理多种风险因素的综合评估•X YE[XY]≠E[X]·E[Y]•实验设计控制变量与因变量的关系分析•理解随机变量独立性对正确计算期望至关重要当分析复杂系统中多个随机因素的综合影响时，我们必须谨慎考虑它们之间的依赖关系，以避免计算错误期望的缩放与线性变换2X+5放大效应平移效应随机变量的期望也放大相同倍数随机变量的期望也平移相同距离-X反转效应随机变量的期望也反转符号线性变换是数学建模中常用的操作例如，将华氏温度转换为摄氏温度（）、英寸转换为厘米（）等都是线C=F-32×5/9cm=inch×

2.54性变换利用期望的线性性质，我们可以直接对期望进行相应变换，而不必重新计算变换后随机变量的分布期望存在的条件离散型随机变量连续型随机变量期望存在的条件是级数绝对收敛期望存在的条件是积分绝对收敛当随机变量的取值有限时，期望必定存在但对于取值无限大多数常见的连续分布，如正态分布、指数分布等，其期望的随机变量，需要检验上述条件都是存在的但某些重尾分布可能不满足上述条件不存在期望的例子柯西分布标准柯西分布的概率密度函数为fx=1/[π1+x²]帕累托分布（）α≤1当形状参数时，帕累托分布不存在期望α≤1圣彼得堡悖论经典赌博游戏中期望为无穷大的情形这些例子提醒我们，在应用期望概念时，首先要检验期望是否存在不存在期望的分布通常具有重尾特性，即分布的尾部以较慢的速度趋近于零，导致高值区域的概率较大，使得期望积分或级数发散在实际应用中，当遇到可能不存在期望的分布时，我们可以考虑使用中位数、截断期望等替代指标，或者引入正则化技术来处理复合随机变量期望离散情形连续情形将函数应用于每个可能的取值，然后进行加权平均将函数与概率密度函数相乘后积分gg复合随机变量期望公式允许我们直接计算随机变量函数的期望，而不必先求出函数值的概率分布这在理论分析和应用中都非常有用例如，计算随机变量的方差时，我们可以利用公式，其中就用到了的计算VarX=E[X²]-E[X]²E[X²]其他常见应用包括计算几何平均数、计算指数变换（用于矩生成函数）等E[logX]E[e^X]贝努利分布（分布）期望0-1贝努利分布定义期望计算贝努利分布描述单次试验的贝努利分布的期望计算非常成功与失败，随机变量只直观X取和两个值01（成功概•PX=1=p率）（失败概即贝努利随机变量的期望就•PX=0=1-p率）等于成功概率p贝努利分布是最简单的离散分布，也是许多复杂分布的基础它在实际中有广泛应用，如质量检验中的合格不合格判断、医/学检测中的阳性阴性结果、网络传输中的信息正确错误接收等//期望与方差对比期望（中心位置）方差（离散程度）标准差（变异尺度）或E[X]=∑x_i·p_i VarX=E[X-σ∫x·fxdx E[X]²]=E[X²]-=√VarX反映随机变量的平均水度E量[X随]机²变量取值的离与随机变量单位相同，平或中心位置，是一阶散程度，是二阶中心矩更直观地表示变异程度矩期望和方差是描述随机变量最基本的两个统计量期望告诉我们随机变量的中心在哪里，而方差则告诉我们取值分散的程度这两个量共同构成了随机变量分布的基本特征，在统计推断、风险分析等领域有着广泛应用期望与协方差、相关性协方差定义相关系数简化计算公式相关系数是标准化的协方差，取值范围为[-1,1]表示完全正相关•1协方差描述两个随机变量的线性相关程度表示完全负相关•-1表示不相关正值表示正相关•0•负值表示负相关•零值表示不相关（但不一定独立）•条件期望条件期望定义离散情形条件期望是在已知随机E[X|Y=y]变量的取值为的条件下，随机Y y变量的期望值它是这一X Y=y条件下的概率分布的期望X其中是条件概率PX=x_i|Y=y连续情形其中是条件密度函数f_{X|Y}x|y条件期望是一个强大的工具，它允许我们在获得部分信息的情况下更新对随机变量的预期在贝叶斯分析、随机过程、金融预测等领域，条件期望是建模和分析的核心概念全概率公式与期望样本空间分割计算条件期望将样本空间分割为互不相交的事件分别计算每个分割下的条件期望Ω₁₂ᵢA,A,...,A E[X|A]ₙ加权平均得到总体期望以事件概率为权重计算加权平ᵢPAᵢᵢE[X]=∑E[X|A]PA均全概率公式的期望版本也称为迭代期望公式或全期望公式这个公式在复杂问题分析中非常有用，它允许我们将一个难以直接计算的期望分解为多个条件下更容易计算的期望，然后加权平均得到结果期望的经典应用一抽奖模型10%一等奖概率奖金元100020%二等奖概率奖金元50030%三等奖概率奖金元10040%未中奖概率奖金元0在这个抽奖模型中，我们可以计算参与者的期望收益元E[X]=1000×

0.1+500×

0.2+100×

0.3+0×

0.4=100+100+30+0=230如果抽奖券售价低于元，长期来看参与者有正收益；如果高于元，则长期有负收益抽奖组织者通常会将票价设定在230230略高于期望值的水平，以确保盈利应用二保险与风险管理保险公司定价原理保险产品的定价基于风险的期望值加上运营成本和利润例如，假设一份车险的理赔情况如下无事故概率，赔付元•80%0小事故概率，平均赔付元•15%5000中等事故概率，平均赔付元•4%20000严重事故概率，平均赔付元•1%100000期望赔付额为元0×

0.8+5000×

0.15+20000×

0.04+100000×

0.01=750+800+1000=2550应用三投资组合与金融投资组合分析风险与回报平衡投资者持有股票和股票，比例分别为和股票的预期年在金融领域，投资决策通常需要权衡风险（通常用方差或标准差度A B40%60%A回报率为，股票的预期年回报率为计算投资组合的预期回量）和预期回报（期望值）投资者会根据自己的风险偏好，选择合8%B12%报率适的投资组合现代投资组合理论正是建立在期望回报率和风险度量的基础上，寻求E[R]=8%×

0.4+12%×

0.6=

3.2%+

7.2%=

10.4%在给定风险水平下最大化期望回报，或在给定期望回报下最小化风险应用四生产与质量管理质量等级出现概率单位损失期望损失优等品元元70%00×

0.7=0次等品元25%2020×

0.25=5元不合格品元5%100100×

0.05=元5合计元件100%-10/在质量管理中，期望损失是一个重要指标生产者可以通过改进工艺降低不合格品率，从而减少期望损失例如，投资万元改进工艺，将不合格品率30从降低到，次等品率从降低到此时期望损失降为5%1%25%15%0×

0.84元件+20×

0.15+100×

0.01=3+1=4/如果年产量为万件，则年均节省损失元，两1010-4×100000=600000年即可收回投资伯努利实验的期望一次伯努利试验（成功概率）E[X]=p次独立重复试验n（二项分布）E[X]=np首次成功前的试验次数3（几何分布）E[X]=1/p伯努利实验是概率论中最基本的随机试验模型，描述只有两种可能结果的单次试验通过伯努利实验的组合，我们可以构建更复杂的随机模型，如二项分布、几何分布、负二项分布等例如，投篮命中率为的篮球运动员，在一场比赛中尝试次投篮，期望命中数为个而平均需要多少次尝试才40%2525×

0.4=10能投中第一个球？答案是次1/

0.4=

2.5二项分布期望应用解析问题描述一个人团队，每人独立完成任务的概率为求团队完成任务数量1080%的期望值模型建立令表示完成任务的人数，则服从二项分布X XB10,

0.8期望计算（人）E[X]=np=10×

0.8=8二项分布是描述次独立重复试验中成功次数的概率分布其期望值公式直n E[X]=np观地表明，平均成功次数等于试验次数乘以单次成功概率在实际应用中，二项分布期望可用于预测销售数量、产品质量合格数、考试通过人数等众多场景通过分析期望值，管理者可以合理规划资源，制定适当的目标和策略正态分布的期望性质xμ=0,σ=1μ=2,σ=1μ=0,σ=2正态分布是概率论中最重要的连续分布，其概率密度函数为奇偶变量与期望偶函数随机变量奇函数的期望如果随机变量的分布关于原点对称（即和同分布），如果是奇函数，且的分布关于原点对称，则X X-X gxX则（若期望存在）•E[X]=0这是因为奇函数与对称分布的乘积积分为零所有奇数阶矩为•0E[X^{2k+1}]=0例如标准正态分布、标准柯西分布•例如，若，则X~N0,1E[X^3]=E[X^5]=...=0期望的分布不变性相同分布的性质若与同分布，则X YE[X]=E[Y]分布变换若变换保持分布不变，期望也不变应用价值简化计算、证明理论结果分布不变性是概率论中的重要性质当两个随机变量具有完全相同的概率分布时，它们的期望值、方差以及其他统计特征都相同，尽管它们可能来自不同的随机实验或样本空间这一性质在理论推导和模拟计算中非常有用例如，在蒙特卡洛方法中，我们可以通过变换使计算更加高效，同时保持期望值不变；在对称性分析中，可以利用分布不变性简化计算过程期望的上界与不等式马尔科夫不等式切比雪夫不等式对于非负随机变量和任意正对于随机变量和任意正数X Xk数a例平均成绩分的班级，至其中σ是的标准差70X少分的学生比例不超过90例偏离平均值超过个标准270/90≈78%差的概率不超过1/4霍夫丁不等式提供了有界随机变量的和的偏离期望的概率上界在机器学习理论中有重要应用期望的性质拓展不等式Jensen对于凸函数和随机变量g X对于凹函数，不等号方向相反这一不等式广泛应用于信息论、优化理论、经济学等领域不等式的直观解释随机变量的期望值位于其分布范围内，而凸Jensen函数在该点的函数值小于或等于函数值的期望这反映了凸函数的向上弯曲特性例如，利用不等式，可以证明算术平均数大于等于几何平均数Jensen，这是因为是凸函数E[X]≥e^{E[lnX]}-lnx期望在大数定律中的作用大数定律大数定律的应用大数定律揭示了样本均值收敛到期望值的规律具体来说，独立同分大数定律是频率学派统计推断的理论基础，也是蒙特卡洛模拟方法的布随机变量的算术平均值随样本量增大会几乎必然地收敛到其期望核心原理它解释了为什么频率会趋近于概率，样本均值会趋近于总值体均值在实际应用中，大数定律使我们能够通过足够多的观测来近似计算难以直接求解的期望值，这在复杂系统建模、数值积分等领域非常有用期望在统计推断中的应用样本均值参数估计样本均值是期望值的无偏估计量基于期望的矩估计法和最大似然估计预测与决策假设检验基于条件期望的最优预测检验样本是否来自特定期望的总体在统计学中，总体均值（即随机变量的期望）通常是我们感兴趣的参数之一通过抽样获得的样本均值\bar{X}=是总体均值的无偏估计量，即\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i E[\bar{X}]=E[X]中心极限定理进一步告诉我们，当样本量足够大时，样本均值近似服从正态分布，这为区间估计和假设检验提供了理论基础期望的概念贯穿了整个统计推断过程，从描述统计到推断统计，从参数估计到模型选择条件期望与马尔科夫链马尔科夫链是一类特殊的随机过程，其特点是下一状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与之前的状态历史无关这一性质称为无记忆性或马尔科夫性在马尔科夫链中，条件期望表示系统当前在状态时，下一步状态的期望值通过状态转移矩阵，我们可以计算长期平均收益、稳E[X_{n+1}|X_n=i]i P态分布等重要指标例如，若某状态有期望收益，则从初始状态开始的期望总收益可以通过递推方程求解r ivi=ri+\sum_j P_{ij}vj这种分析方法在金融、通信网络、生物系统等多个领域有广泛应用多维随机变量的期望随机向量的期望随机矩阵的期望对于随机向量，其期望定义对为于随机矩阵，其期望是各元素期望构成的矩阵\vec{X}=X_1,X_2,\ldots,X_n即各分量期望构成的向量线性性质仍然适用，E[A+B]=E[A]+E[B]E[cA]=cE[A]多维随机变量的期望在多元统计分析、随机过程、信号处理等领域有重要应用例如，在投资组合理论中，我们关注的是多个资产收益率构成的随机向量；在图像处理中，我们可能需要分析像素值的随机矩阵与一维情况类似，多维随机变量的期望也代表了平均位置或中心的概念，是描述多维分布的基本统计量之一期望与极限定理中心极限定理独立同分布随机变量之和的标准化趋于标准正态分布大数定律样本均值趋于期望值矩生成函数3通过导数生成各阶矩极限定理是概率论中最深刻、最优美的结果之一中心极限定理告诉我们，大量独立同分布随机变量之和的标准化形式近似服从正态分布这里μ是每个随机变量的期望，σ是标准差这一定理解释了为什么正态分布在自然和社会现象中如此普遍，也为许多统计方法提供了理论基础典型拓展案例蒙特卡洛方法是一类基于随机抽样的数值计算技术，其核心原理是利用大数定律估计期望值例如，计算复杂积分时，我们可以将其转化为期望，其中是区间上的均匀分布\int_a^b fxdxb-aE[fU]U[a,b]通过生成大量服从分布的随机数₁₂，计算作为积分的近似值U{X,X,...,X}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}fX_iₙ这种方法在高维积分、复杂系统模拟、金融衍生品定价等领域特别有效，因为其收敛速度与维度无关，而是与样本量的平方根成反比难点剖析复杂函数期望平方的期望指数函数期望E[X²]=VarX+E[X]²E[e^X]=M_X1利用方差定义变形而来，对计算二阶其中是矩生成函数，对某些分M_Xt矩很有用布有解析表达式最大值最小值期望/E[maxX,Y]=E[X]+E[Y]-E[minX,Y]利用的关系推导maxX,Y+minX,Y=X+Y复杂函数的期望计算是概率论中的常见难点除了直接应用定义积分或求和外，我们可以利用特殊技巧简化计算例如，对于指数族分布，其矩生成函数有优雅的形式，可用于快速计算各阶矩；对于分段函数，可以利用期望的线性性和全期望公式分解计算在实际应用中，当解析计算困难时，我们也可以转向数值方法，如蒙特卡洛模拟或数值积分期望的误区与易错点期望的线性性与独立性常见误区认为总是成立正确的是仅当和独立E[XY]=E[X]E[Y]X Y时，此等式才成立；否则需要考虑协方差函数期望与期望函数常见误区认为正确的是一般情况下此等式不成E[gX]=gE[X]立，除非是线性函数或是常数g X条件期望的理解常见误区将条件期望视为常数正确的是条件期望是的E[X|Y]E[X|Y]Y函数，是随机变量而非常数期望存在性检验不足常见误区忽略期望存在的条件检验正确的是应首先验证级数或积分的收敛性，确保期望存在课堂练习123离散型随机变量期望连续型随机变量期望条件期望应用某游戏投掷一颗均匀骰子，若点数为偶随机变量的密度函数为投资者可选择两种投资，的收益率为X A数则获得点数值的奖励，若为奇数则失计算的期望（确定），的收益率有概率fx=2x,0≤x≤1gX=X²5%B60%去点数值计算期望收益值为，概率为应选择哪种10%40%-5%投资？参考答案

1.E[X]=2×2+4×4+6×6-1×1-3×3-5×5×1/6=48-35×1/6=13/6≈

2.17₀₀

2.E[X²]=∫¹x²·2x dx=2∫¹x³dx=2·1/4=1/2，，应选择

3.E[A]=5%E[B]=10%×

0.6+-5%×

0.4=6%-2%=4%A本讲小结核心概念计算方法重要性质典型应用数学期望作为随机变量离散型线性性、可加性等基本金融投资、保险定价、E[X]=的加权平均值，度量了；连续型性质，以及与方差、协质量控制、决策理论等∑x_ip_i随机现象的平均水平或其方差、条件期望等概念领域的广泛应用E[X]=∫xfxdx中心趋势中是概率，是的关系p_i fx概率密度函数拓展阅读与作业推荐教材下节课预告方差与标准差《概率论与数理统计》（陈希孺）在掌握了期望这一中心位置度量后，我们将学习方差和标•准差这两个描述离散程度的重要统计量方差度量了随机《概率论基础》（钟开莱）•变量取值与其期望的平均偏离程度，是概率分布的二阶中心《》（•Probability andRandom ProcessesG.矩）Grimmett我们将学习方差的定义、计算方法、基本性质，以及在统计作业推断、金融风险管理等领域的应用还将探讨协方差、相关系数等衡量随机变量之间相关性的概念计算几何分布、负二项分布的期望

1.证明正态分布的期望为μσμ

2.N,²利用全期望公式解决一个实际问题

3.用蒙特卡洛方法估计值

4.π。