数学课件教学高中

高中数学必修一欢迎来到高中数学必修一课程！本课件覆盖人教版重点知识模块，系统梳理了集合与逻辑用语、一元二次方程与不等式以及函数的概念与性质等核心内容通过精心设计的例题与练习，帮助同学们牢固掌握数学基础知识，提高解题能力我们将采用循序渐进的教学方式，从基本概念出发，逐步深入到复杂应用，确保每位同学都能跟上学习进度希望这套课件能成为你学习路上的得力助手，激发你对数学的兴趣与热爱目录集合与常用逻辑用语集合的概念、表示方法、基本关系；空集与全集；集合的运算；充分条件与必要条件；全称量词与存在量词；常见数集分类一元二次方程与不等式一元二次方程标准式及解法；判别式及根的判定；因式分解法、配方法、求根公式法；一元二次不等式；基本不等式函数的概念与性质函数的概念、表示方法；分段函数；定义域与值域；函数的奇偶性与单调性；函数的最大（小）值；幂函数；函数模型及应用集合的概念集合的定义常见数集集合是指具有某种特定性质的事物的全体，组成集合的事物称为该集合自然数集•N={0,1,2,3,...}的元素集合通常用大写字母表示，如、、等，元素用小写字母表A B C整数集•Z={...,-2,-1,0,1,2,...}示，如、、等a bc有理数集（可表示为分数形式的数）•Q集合中的元素应当具备两个基本特性确定性（元素是否属于集合是确实数集（包括有理数和无理数）•R定的）和互异性（同一集合中不存在相同的元素）这些数集之间存在包含关系⊂⊂⊂N Z Q R集合的表示方法列举法描述法将集合中的所有元素一一列举出来，用集合的元素具有的共同特征来描述，用大括号括起来例如格式为具有某种特性例如A={1,2,{x|x}表示由、、、、组是小于的正偶数表示所3,4,5}12345C={x|x10}成的集合有小于的正偶数组成的集合10当集合元素较多时，可用省略号表示描述法适合元素较多或无限的集合，例如表示所有要求描述准确无歧义B={1,3,5,7,...}正奇数组成的集合图示法用图（文氏图）表示集合，通常用封闭曲线（如圆或椭圆）表示集合，曲线Venn内的点表示集合的元素图示法直观形象，特别适合表示集合之间的关系集合的基本关系属于与不属于子集真子集属于关系用符号∈若集合中的所有元若⊆且（即A A B A≠B B表示，表示元素与集素都是集合的元素，中至少有一个元素不B合的关系若是集合则称是的子集，记属于），则称是a A B A A B的元素，则记作作⊆例如的真子集，记作⊂A A B A B∈；若不是集合⊆子例如a Aa{1,2}{1,2,3}的元素，则记作集关系具有传递性⊂，但A{1,2}{1,2,3}∉例如若⊆且⊆，则⊄a A A B B C{1,2,3}{1,2,3}∈，⊆3{1,2,3}A C∉4{1,2,3}集合相等若⊆且⊆，则A BB A称集合与集合相等，A B记作集合相等A=B意味着两个集合的元素完全相同例如{1,2,3}={3,1,2}空集与全集空集全集运算结果特点不含任何元素的集合称为空集，记作∅空集在讨论问题时，所涉及到的所有元素组成的集任何集合与空集的交集是空集∅∅•A∩=是一个特殊的集合，而非无空集是任何集合称为全集，通常用或表示任何集合都U E任何集合与空集的并集是该集合∪∅•A=A合的子集，即对任意集合，都有∅⊆是全集的子集A A任何集合与全集的交集是该集合•A∩U=A注意空集与∅不同，前者不含任何元素，后例如讨论高中生时，全集可能是所有高中生{}者含有一个元素，即空集本身；讨论整数时，全集可能是所有整数全集任何集合与全集的并集是全集∪•A U=U的选择取决于具体问题的背景集合的运算概述并集交集集合与集合的并集是由所有属于或属于集合与集合的交集是由所有既属于又属A B A A B A的元素所组成的集合，记作∪即于的元素所组成的集合，记作即B A BB A∩B∪∈或∈∈且∈A B={x|x Ax B}A∩B={x|x Ax B}差集补集集合与集合的差集是由所有属于但不属在全集中，不属于集合的所有元素组成的A B A U A于B的元素所组成的集合，记作A-B或A\B集合称为A的补集，记作A或CᵤA即即∈且∉∈且∉A-B={x|x Ax B}A={x|x Ux A}并集定义集合与集合的并集是由所有属于或属于的元素所组成的集合，记作∪A B A B A B形式化表示∪∈或∈A B={x|x Ax B}示例若，，则∪A={1,2,3,4}B={3,4,5,6}A B={1,2,3,4,5,6}若，，则∪是实数（假设在实数范围内讨论）A={x|x≤5}B={x|x≥3}A B={x|x}性质∪∪（交换律）•A B=B A∪∪∪∪（结合律）•A BC=A BC∪（幂等律）•AA=A∪∅（与空集并运算）•A=A∪（与全集并运算）•A U=U应用例题问题已知，，求∪A={x|x5}B={x|3≤x≤8}A B解答∪或，因为当时，∈；当时，既属于又A B={x|x53≤x≤8}={x|x≤8}x3x A3≤x5x A属于；当时，∈B5≤x≤8x B交集交集定义集合与集合的交集是由所有既属于又属于的元素所组成的集合，记作形式化表示∈且∈A B A B A∩B A∩B={x|x Ax B}交集性质2交集满足交换律、结合律、幂等律与空集的交集为空集（∅∅），与全集的交集为集合本身A∩=（）A∩U=A计算示例若，，则若，，则A={1,2,3,4}B={3,4,5,6}A∩B={3,4}A={x|x5}B={x|x≥3}A∩B={x|3≤x5}交集应用4问题某班名学生，喜欢篮球的有人，喜欢足球的有人，两502530项都喜欢的有人求喜欢篮球或足球的学生人数10补集与补集应用补集定义补集性质应用实例在全集中，不属于集合的所有元素组成的（补集的补集是集合本身）问题某班名学生中，参加数学竞赛的有UA•A=A60集合称为A的补集，记作A或CᵤA∅（空集的补集是全集）25人，参加物理竞赛的有30人，两项都参加•=U的有人求既不参加数学竞赛也不参加物15∅（全集的补集是空集）形式化表示∈且∉•U=A={x|x Ux A}理竞赛的学生人数∪（德摩根律）•A B=A∩B例如若全集，，U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}解答设表示参加数学竞赛的学生集合，∪（德摩根律）M P则•A∩B=A BA={2,4}表示参加物理竞赛的学生集合则既不参加数学也不参加物理的学生集合为∪，M P=M∩P人数为人60-25+30-15=20集合运算性质交换律并集∪∪A B=B A交集A∩B=B∩A说明集合的并集和交集运算不受集合顺序的影响结合律并集∪∪∪∪A BC=A BC交集A∩B∩C=A∩B∩C说明多个集合进行并集或交集运算时，可以任意组合先后次序分配律∪∪∪A B∩C=A B∩A C∪∪A∩BC=A∩BA∩C说明集合的并、交运算具有类似代数运算的分配性质德摩根律∪A B=A∩B∪A∩B=AB说明德摩根律揭示了集合的补集与并、交运算之间的关系，是集合论中的重要定理典型例题集合运算例题分析问题已知，，求A={x|x²-x-6≤0}B={x|-2≤x≤5}A∩B思路首先需要确定集合和各自包含的元素，然后找出同时满足两个集合条件的元素这需要我们解不等AB式，并找出共同的解集集合的确定A解不等式x²-x-6≤0x-3x+2≤0得到-2≤x≤3所以A={x|-2≤x≤3}求交集A∩B={x|-2≤x≤3}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x≤3}因为两个集合的交集是取共同满足的区间，是两个集合的公共部分-2≤x≤3验证与拓展可以通过代入边界值和中间值来验证结果的正确性例如，和都是交集的元素，而x=-2x=3A∩B属于集合但不属于集合，所以不属于交集x=4BAA∩B集合应用题练习高考真题（年高考）某校有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，参20201004535加化学竞赛的有人已知参加数学和物理竞赛的有人，参加数学和化学竞赛的有人，参401520加物理和化学竞赛的有人，参加三项竞赛的有人求只参加一项竞赛的学生人数105解题思路设参加数学、物理、化学竞赛的学生集合分别为、、根据文氏图或计数原理，可以列出相关M PC集合的元素个数关系利用容斥原理计算出参加至少一项竞赛的学生总数，再减去参加两项或三项竞赛的学生数，即可得到只参加一项竞赛的学生数详细解答参加至少一项竞赛的学生总数为∪∪|M PC|=|M|+|P|+|C|-|M∩P|-|M∩C|-人|P∩C|+|M∩P∩C|=45+35+40-15-20-10+5=80参加两项竞赛的学生数为×人|M∩P|+|M∩C|+|P∩C|-3|M∩P∩C|=15+20+10-35=30参加三项竞赛的学生数为人|M∩P∩C|=5因此，只参加一项竞赛的学生数为人80-30-5=45解题技巧解决集合应用题时，可以采用文氏图、集合运算公式或计数原理等方法对于多集合问题，容斥原理是一个强大的工具划分清楚各种情况并准确计数是解题的关键另外，验算是确保答案正确的有效手段充分条件与必要条件充分条件的定义若由条件能够推出结论，则称是的充分条件，记作表示只要成立，必然导致成立，但成立不P Q P Q P→Q P Q Q一定由导致P例如是的充分条件，因为必然导致，但可能由导致x=2x²=4x=2x²=4x²=4x=-2必要条件的定义若要使结论成立，条件必须成立，则称是的必要条件，记作表示若成立，则必然成立，但成Q P P Q Q→P Q P P立不一定导致成立Q例如是的必要条件，因为若，则必然有，但不足以保证（可能）x²=4x=2x=2x²=4x²=4x=2x=-2充要条件若是的充分条件，且也是的必要条件，则称是的充要条件，记作表示成立当且仅当成立P Q P QP QP↔QP Q例如三角形三边相等是三角形三个内角相等的充要条件，两者互为等价命题判定与证明证明是的充分条件证明若成立，则成立P QP Q证明是的必要条件证明若成立，则成立P Q QP证明是的充要条件分别证明和，或证明PQP→QQ→PP↔Q典型例题条件分析问题呈现分析以下命题中的充分性和必要性关系条件分析命题一个四边形是正方形的充分条件是四条边相等且有一个角是直角1逻辑推理若四边形四条边相等且有一个角是直角，则该四边形是菱形且有一个直角结论判断由此可证四个角都是直角，即为正方形，命题成立全称量词与存在量词全称量词存在量词量词的否定全称量词表示对所有的，存在量词表示存在，用符全称量词的否定是存在量用符号∀表示例如，号∃表示例如，词∀，的否定是x Px∀∈，表示对所∃∈，使得表示∃，存在量词x Rx²≥0x Rx²=4x¬Px有实数，都大于等于存在实数，使得的否定是全称量词∃，x x²0x x²=4x全称量词表达的命题，只（即或）存在的否定是∀，x=2x=-2Pxx有当对所有可能的对象都量词表达的命题，只要有例如，并非所有¬Px成立时，命题才为真一个对象满足条件，命题学生都喜欢数学等价于存就为真在学生不喜欢数学应用举例在数学证明中，要证明∀，，可以采用直x Px接证明、反证法等；要证明∃，，只需找出x Px一个满足条件的例子例如，要证明并非所有偶数都是的倍数，只需举出4一个不是的倍数的偶数，4如或26常见数集分类整数集（）Z自然数集（）NZ={...,-2,-1,0,1,2,...}N={0,1,2,3,...}整数集包含所有正整数、和负整数自然数集0是整数集的真子集注意有些数学体系将自然数定义为从开始，1不包含在高中数学中，我们通常将包含在自00有理数集（）Q然数集中∈且Q={p/q|p,q Zq≠0}有理数可以表示为两个整数的比，包括所有整数（可视为分母为的分数）和有限小数1实数集（）R或无限循环小数∪无理数集R=Q{}无理数集实数集包含所有有理数和无理数，可以与数轴上的点一一对应不能表示为两个整数之比的实数，如等√2,π,e无理数是无限不循环小数章节整合小结1集合基础集合是具有某种特定性质的事物的全体集合的表示方法包括列举法、描述法和图示法集合间的基本关系有属于、子集、真子集和集合相等特殊集合有空集和全集集合运算集合的基本运算包括并集、交集、补集和差集集合运算满足交换律、结合律、分配律等性质德摩根律是处理集合补集的重要定理∪，∪AB=A∩BA∩B=AB逻辑用语充分条件（）由能推出；必要条件（）成立必有成立；充要P→QPQQ→PQP条件（）、互为充分必要条件全称量词（∀）表示对所有的，存在量P↔QPQ词（∃）表示存在数集分类常见的数集包括自然数集（）、整数集（）、有理数集（）、无理数集和实数N ZQ集（）它们之间的关系是⊂⊂⊂无理数和有理数的并集构成实R NZQR数集一元二次方程知识标准形式解的公式根与系数的关系一元二次方程的标准形式为对于一元二次方程（），若一元二次方程的两根为ax²+bx+c=ax²+bx+c=0a≠0ax²+bx+c=0（）其解为₁和₂，则0a≠0x x其中、、为常数，，为未知数二次±₁₂a bc a≠0x x=-b√b²-4ac/2a•x+x=-b/a项系数决定了对应抛物线的开口方向a a0₁₂•x·x=c/a判别式，用于判断方程解的情Δ=b²-4ac时向上开口，时向下开口a0况这一关系在解决与二次方程根有关的问题时非常有用方程有两个不相等的实数解•Δ0方程有两个相等的实数解（重根）•Δ=0方程没有实数解（有两个共轭复•Δ0数解）判别式及根的判定判别式定义对于一元二次方程（），其判别式判别式的符号决ax²+bx+c=0a≠0Δ=b²-4ac定了方程解的性质几何上，判别式反映了抛物线与轴交点的情况y=ax²+bx+c x的情况Δ0当时，方程有两个不相等的实数解₁，₂Δ0x=-b+√Δ/2a x=-b-√Δ几何意义是抛物线与轴相交于两点，这两点的横坐标即为方程的两个解/2a x的情况Δ=0当时，方程有两个相等的实数解（重根）几何意义是抛物线与Δ=0x=-b/2a x轴相切于一点，该点的横坐标即为方程的重根这也表明抛物线的顶点恰好在轴上x的情况Δ0当时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解几何意义是抛物线与轴没有交点Δ0x当时，整个抛物线位于轴上方；当时，整个抛物线位于轴下方a0x a0x因式分解解一元二次方程因式分解的基本思想因式分解法是解一元二次方程的基本方法之一，其核心思想是将方程左边的多项式分解为两个一次因式的乘积，利用乘积为零的性质求解若，则或ab=0a=0b=0常用的因式分解技巧平方差公式a²-b²=a+ba-b完全平方公式±±a²2ab+b²=a b²十字相乘法对于，寻找两个数和，使得且，则ax²+bx+c p q p+q=b pq=ac ax²+bx+c=ax²+p/ax+q/ax+pq/a²c=ax+p/ax+q/a解题示例例题解方程x²-5x+6=0分析需要找到两个数和，使得且p q p+q=-5pq=6解得，p=-2q=-3因此，x²-5x+6=x-2x-3=0所以或x=2x=3注意事项与易错点在使用因式分解法时，要注意方程必须化为标准形式，即右边为因式分解后一定要考虑所有可能的因式，0不要遗漏解对于包含分式的方程，要特别注意检验所得的解，排除使分母为零的值配方法详细讲解配方法的原理配方法是基于完全平方公式或，将一元二次方程转化为含有平方项的形式，进而求解配方法特别适用于不容易直接因式分解的情况a²+2ab+b²=a+b²a²-2ab+b²=a-b²配方步骤将方程化为的形式

1.ax²+bx+c=0将的系数化为（若，两边同除以）

2.x²1a≠1a将常数项移到等式右边

3.在等式左边配成完全平方式，同时在右边做相应调整

4.解出方程

5.配方法示例例题解方程2x²-4x-3=0步骤除以，得12x²-2x-3/2=0步骤移项，得2x²-2x=3/2步骤配方，左边添加，右边也加，得3-2/2²=11x²-2x+1=3/2+1步骤化简，得4x-1²=5/2步骤解得±，即±5x-1=√5/2x=1√5/2应用场景配方法不仅用于解方程，还广泛应用于求二次函数的顶点、化简二次表达式、完成平方等数学问题掌握配方法有助于理解二次函数的图像特征，如顶点坐标和对称轴方程求根公式法公式的推导公式的使用使用条件与技巧对于一元二次方程（），求根公式的使用步骤求根公式适用于所有一元二次方程，但在特殊ax²+bx+c=0a≠0通过配方法可以推导出求根公式情况下可能有更简便的解法确认方程为标准形式

1.ax²+bx+c=0首先两边同除以，得当方程容易因式分解时，优先使用因式分a x²+b/ax+c/a=0确定系数、、的值•

2.a bc解法计算判别式移项

3.Δ=b²-4acx²+b/ax=-c/a当是的偶数倍时，配方法可能更简便•b a根据判别式的符号判断解的情况

4.配方x²+b/ax+b/2a²=-c/a+b/2a²计算时注意正负号，避免计算错误•代入公式±计算解

5.x=-b√Δ/2a化简利用先加后减的记忆技巧₁x+b/2a²=b²-4ac/4a²•x=-b+，₂√Δ/2a x=-b-√Δ/2a开方±x+b/2a=√b²-4ac/2a解得±x=-b√b²-4ac/2a二次方程实根讨论题型参数方程型解的范围型例题讨论关于的方程的例题确定实数的取值范围，使得方程x x²+mx+1=0p x²+实根情况，其中为参数的两根₁和₂满足₁₂m px+4=0x x|x-x|2分析判别式当即分析两根之差的平方₁₂₁Δ=m²-4Δ0m²x-x²=x时，方程有两个不相等的实根；当₂₁₂4Δ=0+x²-4x x=-p²-4·4=p²-即时，方程有两个相等的实根；当，所以₁₂由m²=4Δ16|x-x|=√p²-16即时，方程没有实根₁₂得，解得0m²4|x-x|2√p²-162-2√5p2√5特殊条件型根与系数关系型例题已知方程的一x²+m-1x+m=0例题已知关于的方程x x²+px+q=个根是，求的值及方程的另一个根2m∈的两根为和，求和的值0p,q R23pq分析因为是方程的一个根，所以将2x=2分析根据韦达定理，₁₂，x+x=-p代入原方程，解2²+m-1·2+m=0₁₂代入₁，₂，得x·x=q x=2x=3-p得将代入原方程m=-1m=-1x²-，因此，=5q=6p=-5q=6，利用韦达定理，另一个根为2x-1=0₂x=-1一元二次不等式定义一般形式解集表示图像意义一元二次不等式的一般形式为二次不等式的解集通常用区间表一元二次不等式ax²+bx+c或示例如，表示区间在图像上表示为二次函数ax²+bx+c0ax²+bx+x20y=，其中类似地，还；表示区间的图像在轴上方c0a≠02,+∞-1≤x3ax²+bx+c x有或；或表示区的部分对应的值集合类似地，ax²+bx+c≥0ax²+bx[-1,3x-2x5x的形式这些不等式的间∪解集也可表示函数图像+c≤0-∞,-25,+∞ax²+bx+c0解集是满足不等关系的所有值以用集合表示法或数轴表示法来在轴下方的部分对应的值集合x x x组成的集合表示基本解法解一元二次不等式的基本方法有两种一是利用二次函数的图像分析法；二是利用一元二次方程的根进行分析两种方法本质上是相通的，都是基于二次函数图像与轴的位置关系来确定解集x图像法解二次不等式抛物线对比法的思路图像法解二次不等式的核心思想是利用二次函数的图像与轴的位置关系来确定满足或的值范围这y=ax²+bx+c x y0y0x种方法直观且易于理解，特别适合于复杂的二次不等式解题步骤将不等式化为标准形式或

1.ax²+bx+c0ax²+bx+c0确定二次函数的图像特征的符号决定开口方向，的符号决定与轴交点情况

2.y=ax²+bx+c aΔ=b²-4ac x求出二次方程的根（如有实根）

3.ax²+bx+c=0根据函数图像与轴的位置关系，确定满足不等式的值范围

4.x x典型案例例题解不等式x²-2x-30分析对应的二次函数为，，所以抛物线开口向上y=x²-2x-3a=10解方程，得或x²-2x-3=0x=-1x=3抛物线与轴交于点和，由于开口向上，抛物线在区间内位于轴下方，在和区间内位于x-1,03,0-1,3x-∞,-13,+∞x轴上方因此，不等式的解集为或，即∪x²-2x-30{x|x-1x3}-∞,-13,+∞特殊情况分析当时，抛物线与轴无交点，不等式的解集取决于的符号若，则解集为；若，则解集为∅

1.Δ0x a a0R a0当时，抛物线与轴相切于一点，这时不等式的解集也取决于的符号和不等号的方向

2.Δ=0x a遇到分式不等式或含绝对值的不等式时，可以转化为二次不等式或分段处理

3.分解因式法基本原理操作流程分解因式法是解一元二次不等式的另一种常用方法其基本思想是将不等式将不等式化为标准形式或

1.ax²+bx+c0ax²+bx+c0左边的多项式分解为一次因式的乘积，然后利用乘积的符号性质确定解集对左边的多项式进行因式分解，得到形如₁₂的形式

2.ax-x x-x若两个因式的乘积大于（或小于）零，则要么两个因式都大于零，要么两个确定各因式的符号区间，利用数轴将实数轴分成若干区间

3.因式都小于零这一性质是分解因式法的核心在每个区间内判断各因式的符号，从而确定乘积的符号

4.找出满足不等式要求的区间，即为不等式的解集

5.示例讲解常见陷阱例题解不等式忽略系数的符号若，则不等式的方向需要翻转x-1x+2≤

01.aa0分析令₁，₂，则轴被分为三个区间，和未考虑边界点对于或的不等式，需要考虑等号成立的情况x=1x=-2x-∞,-2-2,11,+∞

2.≤≥在内，，，所以乘积区间表示错误特别是在多个区间的并集或交集时-∞,-2x-10x+20x-1x+

203.在内，，，所以乘积不等号方向混淆在处理多步转化的不等式时，要注意不等号方向的变化-2,1x-10x+20x-1x+

204.在内，，，所以乘积1,+∞x-10x+20x-1x+20因此，不等式的解集为，即x-1x+2≤0{x|-2≤x≤1}[-2,1]基本不等式基本不等式是数学中的重要工具，包括算术几何平均不等式、柯西不等式、三角不等式等绝对值不等式是高中数学中的重要内容，通常表示为-|x-（点到点的距离大于）解决绝对值不等式的关键是转化为分段不等式或利用几何意义a|b ax b例如，表示点到点的距离小于，即表示点到点的距离大于，即或理解这些不等式的几何意义有助于直观解决相关问题|x-3|2x3214x-14x-5x3典型例题二次方程与不等式问题呈现探讨二次函数与直线的交点情况，讨论不同参数下的解集关系y=ax²+bx+c y=kx+d数形结合二次函数与直线相交转化为二次方程的解的判定ax²+b-kx+c-d=0参数分析3计算判别式，根据的符号确定交点数量Δ=b-k²-4ac-dΔ解集确定当时有两个交点；当时有一个交点（相切）；当时无交点Δ0Δ=0Δ0结论总结通过参数分析，可以确定函数图像的相对位置关系，从而解决相关的方程与不等式问题章末练习二次函数应用函数的概念函数的定义函数的三要素一一对应与函数函数是一种对应关系，它将定义域中的每个元定义域函数变量所有可能取值的集合，函数是一种特殊的对应关系，它要求定义域中•x素唯一地对应到值域中的一个元素形式化地通常记作或的每个元素都有唯一确定的函数值这种单值D domf说，设、是非空的数集，若按照某个确定性是函数的本质特征一一对应是更强的条件，AB对应关系决定如何将定义域中的元素映•的对应关系，使对于集合中的任意一个数，它不仅要求定义域中的每个元素唯一对应值域f Ax射到值域中的元素，通常由函数表达式给在集合中都有唯一确定的数与之对应，则称中的一个元素，还要求值域中的每个元素也唯B y出为从集合到集合的函数，记作一对应定义域中的一个元素f AB y=fx值域函数所有可能的函数值构成的集合，•通常记作R或rangef一一对应的函数称为双射函数，这类函数是可逆的，即存在逆函数⁻，使得⁻f¹f¹fx=x这三个要素共同构成了一个完整的函数缺少且⁻ff¹y=y任何一个要素，函数就无法被完全确定函数的表示方法解析式表示法通过数学表达式或公式来表示函数，这是最常用的表示方法例如fx、解析式直接给出了自变量与因变量之=2x+3gx=x²-4x+5间的计算关系，便于进行函数值的计算和函数性质的分析列表法通过有序数对的表格来表示函数，适用于定义域有限或离散的情况x,y例如，某城市近五年的人口数据可以用表格列出列表法直观明了，但不便于分析函数的整体性质，也不适合定义域较大的函数图像法通过函数图像（即平面直角坐标系中所有点构成的集合）来表示x,fx函数图像法直观地展示了函数的整体性质，如增减性、奇偶性、周期性等，便于进行定性分析，但不便于精确计算函数值分段函数分段函数的定义分段函数的意义课堂例题分段函数是指在不同的定义域子区间上，有不分段函数的引入扩展了函数的表示能力，使得例题已知分段函数同解析式的函数形式上，分段函数通常写作更多复杂的对应关系可以用函数来描述分段函数可以表示那些在整个定义域上难以用单一fx={ax+b,x1cx²+d,表达式表示的函数关系x≥1}fx={表达式1,当x满足条件1时例如，绝对值函数就是一个典型的分段函数，|x|表达式2,当x满足条件2时...表达它在时等于，在时等于虽然可以x≥0x x0-x式n,当x满足条件n时}用表示，但其本质是一个分段函数|x|若在处连续，且，求fx x=1f0=2,f2=7a,的值b,c,d解析由得，即；由f0=2a·0+b=2b=2fx在处连续，得，即x=1a·1+b=c·1²+d分段函数在实际应用中非常常见，如阶梯电价、；由得，即a+b=c+d f2=7c·2²+d=7分段计税等都可以用分段函数来描述解这个方程组可得4c+d=7a=3,b=2,c=2,d=-1函数的定义域定义域的概念函数的定义域是指函数自变量所有可能取值的集合在函数中，只有当取定义域中的值时，函数才有意义定义域可能是xy=fx x由函数本身的数学性质决定的，也可能是由实际问题的背景限制的求定义域的一般步骤找出使函数表达式无意义的值

1.x考虑分母不能为零（如果有分式）

2.考虑根号下不能为负（如果有偶次根号）

3.考虑对数的底数必须为正且不等于，对数的真数必须为正（如果有对数）

4.1考虑实际问题中的特殊限制条件

5.综合以上条件，确定定义域

6.常见函数定义域示例一般多项式函数的定义域为

1.fx=anx^n+...+a1x+a0R分式函数的定义域为

2.fx=Px/Qx{x|Qx≠0}根式函数的定义域为

3.fx=√gx{x|gx≥0}

4.对数函数fx=logₐgx的定义域为{x|gx0且a0且a≠1}规范化写法定义域通常用集合表示法或区间表示法来表示在解题过程中，要注意规范表示定义域例如集合表示法或∈且

1.D={x|x≥0}D={x|x Rx≠2}区间表示法或∪

2.D=[0,+∞D=-∞,22,+∞有些题目可能需要用数轴表示定义域，此时要注意实心点和空心点的区别

3.函数值域1值域的定义2求值域的基本方法函数的值域是指当取遍定义域中所有值时，所有可能的函数值构成的集合值定义法直接根据函数的定义和性质判断值域例如，对于，由于，f x D fx

1.fx=x²x²≥0域反映了函数的取值范围对于函数，其值域可表示为∈且对任意非负实数都可以找到对应的，所以值域为y=fx R={fx|x D}x[0,+∞图像法利用函数图像在轴方向的投影确定值域这种方法直观但可能不够严谨

2.y配方法通过恒等变形（如配方）将函数表达式转化为更容易判断值域的形式

3.单调性法利用函数的单调性确定最大值和最小值，从而得出值域

4.3典型例题判定技巧求函数的值域对于二次函数，可以通过求顶点坐标来确定最值，进而确定值域fx=2x²-4x+

51.解法将函数配方对于分式函数，要注意讨论分子分母的正负情况和渐近线

2.对于复合函数，可以先分析内层函数的值域，然后将其作为外层函数的定义域继续fx=2x²-4x+5=2x²-2x+5=2x²-2x+1-1+5=2x-1²+

33.分析由于，所以当时，x-1²≥0fx≥3x=1fx=3对于含参数的函数，可能需要分类讨论不同参数取值下的值域情况

4.因此，函数的值域为[3,+∞函数的奇偶性奇函数与偶函数的定义奇偶函数的图像特征奇偶性的判断与应用奥赛题例奇函数如果对于定义域内的任奇函数的图像关于原点对称这判断函数奇偶性的步骤问题已知函数为奇函数，fx意，都有，则称意味着如果点在图像上，则为偶函数，求证为x f-x=-fx fx,y gx fx·gx检查函数的定义域是否关于

1.为奇函数点也在图像上典型的奇函数，既不是奇函数-x,-y fx+gx原点对称奇函数有也不是偶函数（除非或y=x,y=x³,y=sin fx=0偶函数如果对于定义域内的任计算并与或比等

2.f-x fx-fx）x gx=0意，都有，则称为偶函数的图像关于轴对称这意xf-x=fx fy较偶函数味着如果点在图像上，则点证明对于，有x,y fx·gx f-如果，则是奇

3.f-x=-fx f也在图像上典型的偶函-x,y x·g-x=[-fx]·gx=-注意并非所有函数都具有奇偶函数；如果f-x=fx，则f数有，所以为奇函y=x²,y=|x|,y=cos x[fx·gx]fx·gx是偶函数；如果两者都不成性，只有当函数的定义域关于原等数立，则既不是奇函数也不是点对称（即∈时，也∈）fx D-x D偶函数且满足上述条件时，函数才具有对于，有fx+gx f-x+g-x=奇偶性，这既不等于-fx+gx奇偶性在函数计算、积分和级数，也不等于fx+gx-展开中有重要应用例如，奇函，除非或[fx+gx]fx=0数在对称区间上的定积分为0gx=0单调性概念单调递增函数如果对于定义域内的任意₁₂，都有₁₂，则称函数在其定义域上是单调递增的xx fxfxf严格地说，这是严格单调递增如果允许₁₂，则称为广义单调递增例如fx≤fxy=x³,y=e^x,y=ln等都是单调递增函数x单调递减函数如果对于定义域内的任意₁₂，都有₁₂，则称函数在其定义域上是单调递减的xx fxfxf同样，这是严格单调递减如果允许₁₂，则称为广义单调递减例如fx≥fxy=1/xx0,y=-x²,等都是单调递减函数y=-e^x区间单调性函数可能在不同的区间上有不同的单调性例如，抛物线在上单调递减，在上单调递增y=x²-∞,00,+∞函数的单调区间是指函数在该区间上保持单调递增或单调递减的最大区间确定函数的单调区间，对于理解函数的性质和图像非常重要图像识别从图像上看，单调递增函数的图像从左到右是上升的，单调递减函数的图像从左到右是下降的对于可导函数，其单调性可以通过导数来判断若，则在该点附近单调递增；若，则在fx0fx fx0fx该点附近单调递减；若，则该点可能是函数的极值点fx=0函数的最大（小）值1最大值与最小值的定义如果存在₀∈，使得对于定义域中的任意，都有₀，则称₀为函数在上的最大值x DD x fx≤fxfxf D类似地，如果存在₁∈，使得对于定义域中的任意，都有₁，则称₁为函数在上xDD x fx≥fxfxf D的最小值2求最值的基本方法导数法对于可导函数，其极值点可能在导数为零的点或导数不存在的点处出现

1.单调性分析法利用函数的单调性，在单调递增区间上，最小值在左端点，最大值在右端点；在单调

2.递减区间上，最大值在左端点，最小值在右端点几何法直接从函数图像上观察最高点和最低点

3.分类讨论法对于分段函数或某些特殊函数，可能需要分类讨论不同情况下的最值

4.数形结合思想数形结合是求解最值问题的重要思想通过函数图像可以直观地看出函数的最大值和最小值在哪里例如，对于二次函数，其图像是抛物线，当时，抛物线开口向上，最小值y=ax²+bx+c a≠0a0在顶点处；当时，抛物线开口向下，最大值在顶点处a0取值策略在实际应用中，最值问题常与最优化问题联系在一起例如，求最小成本、最大利润、最短路径等解决这类问题的关键是建立正确的函数模型，确定变量的取值范围，然后利用数学方法求解最值对于多变量函数，可以通过固定其他变量，研究一个变量对函数值的影响，逐步优化求解幂函数简介幂函数是形如的函数，其中是常数，称为幂指数幂函数在自然科学和社会科学中有广泛应用，如描述物体的体积与线性尺寸的关系、信号y=x^αα衰减、人口增长等现象常见的幂函数类型包括）时，如，定义域通常是或；）时，如，定义域通1α0y=x,y=x²,y=x^1/2[0,+∞R2α0y=1/x,y=1/x²常是；）特殊情况如，可视为分段幂函数不同类型幂函数的图像和性质各不相同，掌握这些特征有助于理解和应用幂函数R\{0}3y=|x|典型例题函数性质357基本性质类型常用分析方法重点考查函数函数的三大基本性质单调性、奇偶性和周期性定义法、导数法、图像法、变换法、综合法二次函数、指数函数、对数函数、三角函数函数性质分析是高中数学的重点难点之一在解题过程中，应先明确函数类型，再针对性地选择适当的方法例如，对于幂函数，当为奇数时y=x^n n函数为奇函数，当为偶数时函数为偶函数；对于可导函数，可通过导数正负判断单调性n函数性质之间往往存在内在联系，如对称性与奇偶性、单调性与最值等综合运用多种方法，灵活分析函数性质，是提高解题能力的关键建议通过多做典型例题，形成系统的函数性质分析思路和方法函数模型及其应用函数模型的概念函数模型是用数学函数来描述现实世界中变量之间关系的模型它是将实际问题抽象化、数学化的过程，是应用数学解决实际问题的重要工具函数模型可以帮助我们理解复杂系统的行为，预测未来的发展趋势，优化决策方案常见函数模型类型线性模型，如成本与产量的关系、距离与时间的关系等

1.y=ax+b二次模型，如抛物线运动、最优化问题等

2.y=ax²+bx+c指数模型，如人口增长、复利计算、放射性衰变等

3.y=a·b^x对数模型，如信息量、值、分贝等

4.y=a+b·ln xpH三角模型，如周期性变化、波动现象等

5.y=a·sinωx+φ+b建模过程问题分析明确变量间的关系，确定自变量和因变量

1.模型假设基于已知条件和规律，建立变量间的数学关系

2.模型构建选择合适的函数类型，确定参数

3.模型求解利用数学方法求解模型，得出结论

4.模型检验将结果与实际情况对比，验证模型的有效性

5.模型应用将模型应用于预测、决策等实际问题

6.实际问题解读例题某种商品的日销售量与价格（元）之间的关系可以用函数表示求价格为多少时，销售额最大？qpq=1000-2p²p解析销售额求导数，令，得，S=p·q=p·1000-2p²=1000p-2p³S=1000-6p²S=0p²=1000/6p=±由于价格为正值，取元验证，所以此时销售额最大√500/3p=√500/3≈

12.9S|_{p=√500/3}=-12p0函数零点判定二分法零点的定义二分法是一种近似求解函数零点的数值方法函数的零点是指满足方程的值其基本思想是如果函数在区间上fx fx=0xfx[a,b]1在几何上，函数的零点对应于函数图像与轴连续，且，则函数在区间内必有x fa·fb0的交点的横坐标零点问题实质上是求解方程零点通过不断将区间一分为二，并保留含有零点的子区间，最终可以得到零点的近似值fx=0图像法零点定理图像法是通过绘制或观察函数图像来判断零点4如果函数在闭区间上连续，且fx[a,b]的方法这种方法直观但可能不够精确通过，则存在∈，使得fa·fb0c a,b fc=观察函数图像与轴的交点，可以大致确定零x这一定理是二分法的理论基础，也是判断0点的位置和个数图像法常用于初步判断零点函数零点存在性的重要工具的存在性和分布情况课内探究回归到生活实际建筑与工程中的函数经济学中的应用医学与生物学应用桥梁的拱形结构通常采用抛物线或悬链线的形式，经济学中的供需关系、成本函数、收益函数等都医学中的心电图、脑电图等都是一种函数关系的这种设计能够有效分散压力高楼的设计也常使可以用函数来描述例如，边际成本函数可以通图像表示生物种群的增长模型、药物在体内的用各种函数模型来计算结构强度和稳定性工程过对总成本函数求导得到，企业利润最大化问题代谢模型等也可以用函数来描述这些模型帮助师需要运用函数知识来设计安全、经济、美观的可以通过求解导数为零的点来解决这些应用是医生和研究人员更好地理解生命现象，提高诊断建筑物高考经济类题目的常见情境和治疗效果章节整合小结2一元二次方程标准形式，解法包括因式分解法、配方法、求根公式法判别ax²+bx+c=0式决定解的情况两不等实根，两相等实根，Δ=b²-4acΔ0Δ=0Δ无实根02一元二次不等式形如或的不等式解法包括图像法和分解因ax²+bx+c0ax²+bx+c0式法解集取决于二次函数图像与轴的位置关系，常用区间表示x函数基础函数是一种对应关系，三要素为定义域、对应关系、值域表示方法包括解析式、列表法、图像法函数性质包括奇偶性、单调性等，这些性质帮助理解函数行为4函数应用函数模型广泛应用于现实问题，如物理运动、经济决策、人口增长等解决应用问题的关键是建立正确的函数模型，并利用函数性质和方法求解课堂小测试典型错误及易混点集合运算混淆1错误将∪与混淆，或者误解集合的补集正确理解∪包含或中的所有元素；仅包含同时属于和的元素；ABA∩BABABA∩BAB包含不属于的所有元素（在全集范围内）AA二次方程参数符号问题错误在判别式和求根公式中符号使用错误注意判别式，求根公式±中的符号Δ=b²-4ac x=-b√Δ/2a特别是当时，抛物线开口向下，最大值在顶点处a0定义域判断不完整3错误在确定函数定义域时遗漏条件完整判断应考虑分母不为零、偶次根号下表达式非负、对数的真数为正等所有限制条件函数性质误解错误对函数的奇偶性、单调性判断错误正确方法奇偶性判断需验证与或的关系；单调性判断需比较不同值对应的函数值大小f-xfx-fx x或通过导数综合应用题演练问题描述某水库水量与水位高度米之间的函数关系为万立方米，已知当米时，万立方米；hVh=ah³+bh²h=10V=1000当米时，万立方米求确定的值；当水位为米时的水量；若以每小时万立方米h=20V=50001a,b21532的速度放水，水位从米下降到米需要多少小时？2010分析构建模型根据已知条件列方程组，求解参数和利用函数关系计算特定水位的水量放水问题转化为定积分求放a b水总量，再计算时间方程求解代入得，即；代入h=10,V=1000a·10³+b·10²=10001000a+100b=1000得，即h=20,V=5000a·20³+b·20²=50008000a+400b=5000计算结果解得当米时，万立方米水位从a=

0.5,b=5h=15V=

0.5·15³+5·15²=

1687.5米降到米的放水总量为万立方米，所需时间为20105000-1000=4000÷小时40002=2000拓展与提升358关键知识节点核心数学思想重要方法技巧集合理论、二次方程理论、数形结合、分类讨论、转配方法、因式分解、零点函数本质化与化归、方程思想、函分析、导数应用、图像变数观点换、参数法、数学建模、优化方法知识网络的构建对于数学学习至关重要将离散的知识点连接成有机整体，能够加深理解、促进记忆、提高应用能力例如，二次函数与二次方程、二次不等式之间存在紧密联系二次函数的零点对应二次方程的解，函数图像与轴的位置关系决定了相应二次x不等式的解集思维导图是梳理知识网络的有效工具建议同学们以函数为核心，将相关概念、性质、方法和应用辐射展开，形成自己的知识体系这种系统性的理解不仅有助于解决复杂问题，也是数学学科核心素养的重要体现学法与考试建议习题分层练习建议按照基础提高挑战三个层次进行习题练习基础题巩固概念和基本方法，提高题训练综合应用能力，挑战题拓展思维深度和广度每个层次都应达到熟练程度后再进入下→→一层次，切忌盲目追求难题时间管理策略高效的时间管理是学习成功的关键推荐番茄工作法分钟专注学习分钟短休息每天保证至少两个数学时段，一个用于课本复习和巩固，一个用于习题练习和提高周末25+5安排一次系统性复习，进行知识整合错题本建立科学的错题本不仅记录错误，更要分析错因、归纳方法建议采用题目错因正解反思类题五步法建立错题本定期复习错题本，防止同类错误重复出现错题是宝贵的学习资----源，正确对待每一个错误是进步的重要途径总结与展望本章回顾我们已经系统学习了集合与逻辑用语、一元二次方程与不等式、函数的概念与性质三大核心内容这些知识是高中数学的基础，也是后续学习的重要支撑通过典型例题和综合应用，我们不仅掌握了基本概念和方法，还培养了数学思维和解决问题的能力知识连接本章学习的内容与后续章节紧密相连集合思想贯穿整个高中数学；二次方程是解决几何问题和物理问题的重要工具；函数概念是学习导数、积分和数列的基础这些知识的融会贯通将有助于构建完整的数学知识体系学习目标希望同学们不仅能够掌握知识点，更能理解数学思想，培养数学素养数学学习不是孤立的记忆和机械的训练，而是要形成系统的思维方式和解决问题的能力这种能力将对你的学习和生活产生深远的影响延伸阅读推荐阅读《数学的思维方式》、《数学之美》等书籍，拓展数学视野可以访问中国数学奥林匹克网、高中数学网等网站获取更多学习资源数学学习是一个持续的过程，希望大家保持好奇心和探索精神，享受数学之美。