导数的计算教学课件

导数的计算教学课件导数的起源与意义导数是微积分学的核心概念之一，由世纪的牛顿和莱布尼茨独立创立它不仅仅是一个数学工具，更是理解变化这一哲学概念的钥匙17“”变化率的度量广泛的应用导数最根本的意义在于衡量函数的变化率当自变量发生微小改变时，函数值会如何变化？导数精确地回答了这个问题，它描述了函数在某一点的瞬时变化速度这就像汽车仪表盘上的时速表，告诉我们车辆在“”某一瞬间的速度，而不是整个行程的平均速度导数的直观理解在深入数学定义之前，我们可以通过几何直观来感受导数想象一条平滑的曲线，代表一个函数的图像导数在每一点的值，都代表了这条曲线在该点的陡峭程度fx fx“”变化率函数的变化率可以粗略地看作是函数值的变化量（）除以自变量的变化量Δy（）即当变得非常非常小时，这个比值就逼近了瞬时变化ΔxΔy/ΔxΔx率，也就是导数切线斜率从几何上看，函数在某一点的导数值，精确地等于该点切线的斜率如果切线很陡，说明函数在该点变化很快，导数值很大；如果切线很平缓，说明函数变化慢，导数值很小；如果切线是水平的，导数值为零倾斜度“”导数的数学定义（极限形式）为了精确地描述瞬时变化率，数学家们引入了极限的概念导数的正式定义正是建立在极限之上的函数在点₀处的导数，记作₀，定义为fx x fx如果这个极限存在，我们就说函数在点₀处是可导的我们也可以用代替，写成更常见的形式fx xhΔx这个公式的核心思想是表示当自变量从变化到时，函数值的增量fx+h-fx x x+h表示从到这段区间的平均变化率（也称为差商）fx+h-fx/h xx+h表示我们让这个区间的长度无限趋近于，从而求得在点这一瞬间的瞬时变化率limh→0h0x导数定义的几何意义导数的极限定义在几何上有着非常清晰的解释，它与曲线的切线概念紧密相连从割线到切线考虑函数图像上的两个点和连接这两点的直线是一条割线这y=fx Px,fx Qx+h,fx+h PQ条割线的斜率正是这正是导数定义中极限符号内部的差商现在，想象让点沿着曲线向点无限靠近，这意味着无限趋近于在这个过程中，割线会不断Q Ph0PQ旋转，最终会趋近于一个极限位置那条在点处刚刚好接触到曲线的直线，我们称之为切线——P“”导数的物理意义导数在物理学中的应用尤为广泛和直观，它完美地描述了运动物体的瞬时特性加速度at速度vt同样地，加速度描述的是速度的变化快慢位移st我们想知道物体在任意时刻的瞬时速度这因此，加速度函数是速度函数的导t at vt假设一个物体沿直线运动，其在时刻t的位置正是位移对时间的变化率因此，速度函数数，也就是位移函数的二阶导数st由位移函数给出这是描述物体在哪里是位移函数的导数st“”vt st的函数在上面的例子中，速度是，那么vt=10t例如，如果一个物体的位移是，st=5t²加速度就是，表示这是一个匀加at=10那么它的瞬时速度就是vt=10t速运动导数的符号表示为了方便在不同上下文中使用，导数有多种不同的记法了解这些记法有助于阅读不同的数学和科学文献记法说明优点由拉格朗日引入，读作这是最常见的记法之一简洁，便于表示在某一点的导数值，如fx fprime ofxf2由莱布尼茨引入，读作强调是的函数直观地表示了因变量微小变化量与自变量微小变化量dy/dx dy dx y x dy的比值，便于理解链式法则dxDfx或Dₓfx由柯西引入，将求导看作一个作用在函数上的算子D在微分方程和高等数学中很常用，形式简洁ẏ由牛顿引入，主要用于物理学，其中变量通常是时间t的函数读作在处理时间导数时非常简洁，如表示速度和加速度y dot这些记法虽然形式不同，但都表示同一个概念例如，如果，那么它的导数可以写成y=fx=x²fx=2xdy/dx=2xDx²=2x可导函数与不可导点一个函数并非在所有点上都是可导的如果一个函数在其定义域内的每一点都存在导数，我们称它为可导函数然而，函数图像上的一些特殊点，导数可能不存在，这些点被称为不可导点尖点或折点垂直切线点不连续点Cusp CornerDiscontinuity在这些点，函数图像突然改变方向，形成一个尖锐的角例如函如果函数在某点的切线是垂直的，那么切线的斜率为无穷大由如果一个函数在某点不连续（有间断点、跳跃点），那么它在该数在处在这一点，从左边逼近的切线斜率是于导数值必须是一个有限的数，因此函数在该点不可导例如函点也一定不可导因为可导的前提是函数必须是连续的直观上，fx=|x|x=0-，而从右边逼近的切线斜率是左右极限不相等，因此导数数在处的切线是轴，斜率无穷大，故不可导如果函数图像在这里断开了，我们根本无法定义一条切线1+1fx=³√xx=0y“”在处不存在无法画出一条唯一的切线x=0导数函数的定义域当我们对一个函数求导时，我们得到了一个新的函数，这个新函数被称为的导函数或导数和所有函数一样，导函数也有其自己的定义域fx fx fx fx导函数的定义域是原函数定义域中所有可导的点的集合因此，导函数的定义域通常是原函数定义域的一个子集，即⊆fx DfDf示例绝对值函数考虑函数fx=|x|原函数的定义域的定义域是所有实数，即fx-∞,+∞求导过程当时，，所以•x0fx=x fx=1当时，，所以•x0fx=-x fx=-1当时，我们已经知道函数在此点有一个尖角，是不可导的•x=0导函数及其定义域导函数是这个分段函数的定义域是所有非零实数，fx={1,x0;-1,x0}即-∞,0U0,+∞我们可以看到，导函数的定义域比原函数的定义域少了一个点这个例子清晰地表明了导函数fx fx x=0的定义域可能小于原函数的定义域导数函数的图像绘制理解原函数与导函数图像之间的关系是微积分中的一项重要技能即使不知道的解析式，我们也可以通过观察其图像来大致描fx fx fx绘出的图像fx绘制步骤1寻找水平切线点

1.在图像上，找到所有切线是水平的点（即局部最大值或最小值点）在这些点，切线斜率为，所以的值为在fx0fx0的图像上，这些点对应着与轴的交点fx x2判断的符号

2.fx观察的单调性fx在单调递增的区间，切线斜率为正，因此，的图像位于轴上方•fx fx0fx x在单调递减的区间，切线斜率为负，因此，的图像位于轴下方•fx fx0fx x3估计的大小

3.fx观察图像的陡峭程度fx“”在图像最陡峭（上升最快或下降最快）的地方，的绝对值达到最大这通常对应于图像的顶点•fx fx fx当的曲线趋于平缓时，的值趋近于•fx fx0连接各点

4.将上述分析得到的关键点（与轴的交点、顶点等）用平滑的曲线连接起来，就得到了的大致图像x fx导数的计算基本法则概述每次都用极限的定义来求导数是非常繁琐的幸运的是，数学家们已经总结出了一套行之有效的求导法则，使得我们可以像做算术一样对函数进行求导运算掌握这些法则是高效计算导数的基础常数与幂函数法则和差法则这是最基本的两个法则常数函数的导数为零，而幂函数这个法则允许我们对函数的和或差进行逐项求导它极大地简化fx=xⁿ的导数有固定的模式这是所有多项式函数求导的基础了多项式及其他复杂函数相加减的求导过程积商法则链式法则当两个函数相乘或相除时，它们的导数并不是简单地等于导数的这是最强大也是最重要的求导法则，用于处理复合函数，即一个乘积或商积商法则给出了处理这种情况的特定公式函数嵌套在另一个函数内部的情况，如它像一条链条，fgx将内外函数的导数联系起来接下来，我们将逐一详细讲解这些法则，并通过实例来巩固理解常数函数的导数最简单的求导法则是关于常数函数的一个常数函数，无论自变量取何值，其函数值始终是一个固定的常数x c法则如果，其中是一个常数，那么fx=c c fx=0从定义出发证明直观理解根据导数的定义常数函数的图像是一条水平的直线在直线上任何一点，其陡峭程度都是，也就是fx=c“”0说，切线的斜率永远是因此，它的导数在任何地方都为这个函数没有任何变化，所以它的00变化率自然是零因为，所以也等于代入公式fx=c fx+h c示例如果，那么•fx=5fx=0如果，那么•gx=-πgx=0如果，那么•ht=√2ht=0幂函数求导法则幂函数是形如的函数，其中是任意实数幂函数求导法则是微积分中最常用和最重要的法则之一fx=xⁿn法则如果，其中是一个实数，那么⁻fx=xⁿn fx=n*xⁿ¹口诀指数降下来作系数，原指数减一这个法则的适用范围非常广，可以是正整数、负整数、零，甚至是分数（表示根式）或无理数n示例正整数指数负整数指数⁻fx=x³gx=1/x²=x²⁻⁻⁻⁻fx=3*x³¹=3x²gx=-2*x²¹=-2x³=-2/x³分数指数（根式）特殊情况hx=√x=x¹/²fx=x=x¹hx=1/2*x¹/²⁻¹=1/2x⁻¹/²=1/2√x fx=1*x¹⁻¹=1*x⁰=1掌握了这个法则，所有多项式函数的求导就变得轻而易举了常数倍法则当我们处理的函数是一个常数乘以一个已知导数的函数时，常数倍法则可以大大简化计算它告诉我们，求导时可以暂时忽略这个常数倍数，对函数求导后再乘上它法则如果，其中是一个常数，是一个可导函数，那么fx=c*gx cgx fx=c*gx简单来说，常数因子可以从求导运算中提出来“”从定义出发证明设根据导数定义fx=c*gx将常数提取出来c括号里的部分正是的导数定义，所以gx例题求的导数fx=3x²在这里，，我们已经知道c=3gx=x²gx=2x应用常数倍法则fx=3*d/dxx²=3*2x=6x这个法则与幂函数法则和和差法则结合，构成了求解所有多项式函数导数的基础和差法则和差法则说明，两个（或多个）函数相加或相减后的导数，等于它们各自导数的和或差这个法则使得求导运算具有线性性质，可以逐项进行，大大简化了计算“”法则如果±，其中和都是可导函数，那么±Fx=fx gx fx gx Fx=fx gx这个法则可以推广到任意有限个函数的和与差例题求的导数fx=x³+2x-5我们可以将这个函数看作是三个部分相加减x³+2x+-5根据和差法则，我们可以对每一项分别求导fx=d/dxx³+d/dx2x-d/dx5现在，对每一项应用前面学过的法则应用幂函数法则，得到d/dxx³3x²应用常数倍法则和幂函数法则，得到d/dx2x2*d/dxx=2*1=2应用常数法则，得到d/dx50最后，将结果加起来fx=3x²+2-0=3x²+2通过这几个基本法则的组合，我们已经可以处理所有多项式函数的求导问题了积的导数法则（乘积法则）当两个函数相乘时，求其导数不能简单地将各自的导数相乘我们需要使用一个专门的法则乘积法则这是一个初学者容易出错的地方——法则如果，其中和都是可导函数，那么Fx=fx*gx fx gxFx=fxgx+fxgx口诀前导后不导，加上前不导后导注意！这是一个非常常见的错误fg≠fg例题求的导数fx=x²*sinx我们将函数分解为两部分第一部分是，其导数•ux=x²ux=2x第二部分是，其导数（我们将在后面学习三角函数导数）•vx=sinx vx=cosx现在应用乘积法则uv=uv+uvfx=x²*sinx+x²*sinx将已知的导数代入fx=2x*sinx+x²*cosx所以，最终结果是fx=2x sinx+x²cosx商的导数法则（商法则）与乘积法则类似，当两个函数相除时，其导数也有一个特定的公式，称为商法则这个公式比乘积法则稍复杂，需要注意分子中的减号和分母的平方法则如果，其中和都是可导函数，且，那么Fx=fx/gx fxgx gx≠0口诀（子导母不导子不导母导）除以分母的平方-注意分子中是减号，顺序不能颠倒例题求的导数Fx=x/x²+1我们将函数分解为分子和分母分子，其导数•fx=xfx=1分母，其导数•gx=x²+1gx=2x现在应用商法则f/g=fg-fg/g²Fx=[x*x²+1-x*x²+1]/x²+1²将已知的导数代入Fx=[1*x²+1-x*2x]/x²+1²化简分子Fx=x²+1-2x²/x²+1²Fx=1-x²/x²+1²这就是最终结果链式法则链式法则是求导法则中最核心、最强大的一个，专门用于处理复合函数复合函数是指一个函数嵌套在另一个函数中，形式为“”fgx法则如果且，即，那么对的导数是对的导数乘以对的导数y=fu u=gx y=fgx y x yu ux或者用拉格朗日记法口诀从外到内，逐层求导，然后相乘例题求的导数Fx=3x+1⁵这是一个复合函数，我们可以将其看作外部函数fu=u⁵，其导数fu=5u⁴内部函数，其导数u=gx=3x+1gx=3应用链式法则Fx=fgx*gx

1.对外部函数求导将内部函数3x+1看作一个整体u，对u⁵求导得到5u⁴，即53x+1⁴对内部函数求导对求导，得到

2.3x+13两者相乘

3.Fx=53x+1⁴*3=153x+1⁴链式法则的应用非常广泛，几乎所有复杂的求导问题都会涉及到它反函数求导法则如果一个函数存在反函数⁻，那么我们可以利用原函数的导数来求其反函数的导数这个法则在处理某些函数的导数时非常有用，比如对数函数和反三角函数y=fx x=f¹y法则如果函数在某区间内可导且导数不为零，其反函数为⁻，那么反函数也是可导的，并且其导数为y=fx x=f¹y或者用莱布尼茨记法，这个关系更直观核心思想反函数的导数等于原函数导数的倒数示例利用y=eˣ求其反函数y=ln x的导数我们知道y=fx=eˣ的导数是fx=eˣ它的反函数是⁻我们想求x=f¹y=ln yln y根据反函数求导法则⁻ln y=f¹y=1/fx因为fx=eˣ，所以ln y=1/eˣ关键一步是把右边的x用y表示我们知道y=eˣ，所以代入可得ln y=1/y习惯上我们用作为自变量，所以将换成，得到x y xln x=1/x这个方法巧妙地避开了用定义直接求对数函数导数的复杂过程指数函数的导数指数函数fx=aˣa0,a≠1在科学和工程领域非常常见它的导数有一个优美的性质法则一般指数函数fx=aˣ的导数是其中是以自然对数为底的的对数，它是一个常数ln ae a特殊情况自然指数函数当底数a是自然常数e e≈

2.718时，函数为fx=eˣ这时，ln e=1，所以公式变得极其简单函数fx=eˣ是唯一一个（除常数倍外）导数等于自身的函数这个独一无二的性质使得eˣ在微积分和微分方程中占据了至关重要的地位例题演示求的导数求的导数使用链式法则求的导数使用乘积法则fx=2ˣgx=e³ˣhx=x*10ˣ根据公式，a=2所以fx=2ˣln2这是一个复合函数外部函数是eᵘ，内部函数是u=3x hx=x*10ˣ+x*10ˣ=1*10ˣ+x*10ˣln10=10ˣ1+x ln10gx=e³ˣ=e³ˣ*3x=e³ˣ*3=3e³ˣ对数函数的导数对数函数是指数函数的反函数，其求导法则也非常基础和常用法则自然对数函数fx=ln x即logₑx的导数是对于任意底数a的对数函数fx=logₐx，我们可以用换底公式将其转换为自然对数logₐx=ln x/ln a然后对其求导（ln a是常数）例题计算求₁₀的导数fx=log x根据公式，a=10fx=1/x ln10求的导数链式法则gx=lnx²+1外部函数是ln u，内部函数是u=x²+1gx=1/x²+1*x²+1gx=1/x²+1*2x=2x/x²+1这是一个非常常见的复合形式，其导数模式是ln u=u/u三角函数的导数三角函数（正弦、余弦、正切等）的导数在物理学和工程学（尤其是在处理振动、波和周期性现象时）中至关重要它们的导数之间也呈现出优美的周期性关系基本三角函数导数公式sin x=cos xcos x=-sin xtan x=sec²x正弦函数的导数是余弦函数当的斜率为正且最大余弦函数的导数是负的正弦函数注意这里的负号！当正切函数的导数是正割函数的平方由于sinx tanx=时，取到最大值；当斜率为时，为开始下降时，其斜率为负，对应的值，这个公式可以通过商法则推导出来cosx1sinx0cosx cosx-sinx sinx/cosx0其他三角函数的导数余切cot x=-csc²x正割sec x=sec xtan x余割csc x=-csc xcot x注意一个有趣的规律凡是开头的函数（），它们的导数都带有一个负号“co-”cosine,cotangent,cosecant例题求的导数fx=x²sinx使用乘积法则fx=x²sinx+x²sinx=2x sinx+x²cosx例题求的导数gx=cos3x²使用链式法则gx=-sin3x²*3x²=-sin3x²*6x=-6x sin3x²反三角函数的导数反三角函数（如）是三角函数的反函数，它们的导数是代数函数，这在积分学中非常有用arcsin,arccos,arctan主要反三角函数导数公式函数导数fx=arcsin xfx=arccos xfx=arctan x这些公式都可以通过反函数求导法则和三角恒等式推导出来例如，对于，我们有使用反函数求导法则，可以得到y=arcsin xx=sin ydx/dy=1/dy/dx arcsin再利用和，可以得到，最终推导出公式x=1/sin y=1/cos ysin²y+cos²y=1x=sin ycos y=√1-x²例题说明求fx=arctaneˣ的导数这是一个复合函数，使用链式法则外部函数是arctanu，内部函数是u=eˣfx=1/1+eˣ²*eˣ=1/1+e²ˣ*eˣ=eˣ/1+e²ˣ求的导数同样使用链式法则gx=arcsin3xgx=1/√1-3x²*3x=1/√1-9x²*3=3/√1-9x²隐函数求导有时，函数关系并不是以的显式形式给出，而是由一个方程确定，例如这种情况下，被称为的隐函数我们可以不解出，直接对整个方程求导y=fx Fx,y=0x²+y²=1yx y求导技巧核心思想是链式法则的应用在对求导时，记住是的函数，所以任何包含的项求导时，都要乘以的导数或x yx y y ydy/dx步骤解出

3.y应用链式法则处理

2.y求导后得到一个包含和的代数方程将所有含的项移方程两边同时对求导x,y y y

1.x遇到只含的项，正常求导遇到含的项，先对求导，再乘到一边，不含的项移到另一边，然后解出x y yyy对方程的左右两边同时进行运算以Fx,y=0d/dx y例题已知圆的方程，求x²+y²=1dy/dx两边对求导x d/dx x²+y²=d/dx1分别求导d/dxx²+d/dxy²=0所以方程变为2x+2y*dy/dx=0•d/dxx²=2x这里是关键，对求导得到，再乘以对的导数•d/dxy²=2y*dy/dxy²2yyx dy/dx解出dy/dx2y*dy/dx=-2x dy/dx=-2x/2y=-x/y结果表示圆上任意一点的切线斜率例如，在点，斜率为dy/dx=-x/yx,y√2/2,√2/2-1高阶导数对一个函数求导后得到导函数，如果导函数本身仍然可导，我们可以继续对它求导，得到的函数称为原函数的二阶导数依此类推，可以得到三阶、四阶甚至更高阶的导数符号表示阶数拉格朗日莱布尼茨牛顿一阶fx dy/dxẏ二阶fx d²y/dx²ÿ三阶fx d³y/dx³...阶⁽⁾n fⁿx dⁿy/dxⁿ...物理意义高阶导数在物理中有非常直观的意义如果是位移函数st一阶导数是速度st vt二阶导数是加速度，表示速度的变化率st at三阶导数是加加速度（），表示加速度的变化率在设计平稳的电梯或过山车时需要考虑这个量st“”Jerk例题求的二阶导数fx=x⁴+3x²-2xfx求一阶导数fx fx=4x³+6x-2对一阶导数再次求导，得到二阶导数fx fx=d/dx4x³+6x-2fx=12x²+6二阶导数在分析函数的凹凸性和拐点时也起着关键作用导数的几何应用切线与法线导数最直接的几何应用就是求曲线在某一点的切线和法线方程切线反映了曲线在该点的瞬时走向，而法线是与切线垂直的直线，在光学和力学中有重要应用切线方程我们知道，点斜式直线方程为₀₀y-y=mx-x对于曲线上的一点₀₀，该点的切线斜率正是导数值₀y=fx Px,ym fx因此，切线方程为₀₀₀y-fx=fx*x-x法线方程法线是过同一点₀₀且与切线垂直的直线如果切线的斜率为，那么法线的斜率Px,ym m=-前提是1/mm≠0因此，法线方程为₀₀₀y-fx=[-1/fx]*x-x例题求曲线在点处的切线和法线方程y=x²2,4求导数，所以fx=x²fx=2x求切线斜率在处，斜率x=2m=f2=2*2=4写出切线方程，化简得y-4=4x-2y=4x-4求法线斜率m=-1/m=-1/4写出法线方程，化简得y-4=-1/4x-2y=-1/4x+9/2导数的物理应用速度与加速度物理学，特别是运动学，是导数应用最经典的领域通过对位移函数求导，我们可以得到关于物体运动的全部瞬时信息假设一个物体沿直线运动，其位置由时间的函数给出t st位移函数st描述物体在时刻相对原点的位置t速度函数vt=st描述物体在时刻的瞬时速度t物体向正方向运动•vt0:物体向负方向运动•vt0:物体瞬时静止或改变运动方向•vt=0:加速度函数at=vt=st描述物体在时刻的加速度t速度在增加（加速）•at0:速度在减小（减速）•at0:速度恒定（匀速运动）•at=0:实例自由落体运动（忽略空气阻力）从静止开始下落的物体，其位移函数为，其中是重力加速度st=½gt²g≈

9.8m/s²速度vt=st=d/dt½gt²=½g*2t=gt这表明速度随时间线性增加加速度at=vt=d/dtgt=g这表明加速度是一个常数，即匀加速直线运动g导数在经济学中的应用在经济学中，导数被用来分析边际概念，即当产量、投入或消费发生一个微小单位变化时，引起的总成本、总收益或总效用的变化这是做出最优经济决策的关键“”边际成本Marginal Cost如果总成本函数为，其中是产量，那么边际成本是成本函数的导数Cq qMCq它近似表示多生产一个单位产品所增加的成本边际收益Marginal Revenue如果总收益函数为，那么边际收益是收益函数的导数Rq MRq它近似表示多销售一个单位产品所增加的收入利润最大化条件利润收益成本为了使利润最大化，我们需要找到一个产量，使得利润函数的导数为零，即Pq=Rq-Cq qPq=0Pq=Rq-Cq=0这意味着，即边际收益边际成本Rq=Cq=导数在优化问题中的应用导数是解决优化问题（即寻找最大值或最小值问题）的强大工具无论是想最大化利润、最小化材料用量，还是计算最短路径，其核心思想都是找到函数导数为零的点极值的判定一阶导数测试法函数的极值（局部最大值或局部最小值）只会出现在临界点上临界点是指导函数为零或不存在的点fx第一步找到临界点1计算函数的导数，然后解方程，找出所有使导数为零的值同时，检查fx fx fx=0x是否存在使不存在的点fx2第二步分析临界点两侧导数的符号对于每个临界点，检查其左侧和右侧小区间内的符号cfx如果在点左侧为正（函数递增），右侧为负（函数递减），则是一个局部最大值fx cfc（形状像山峰↗↘）如果在点左侧为负（函数递减），右侧为正（函数递增），则是一个局部最小值fx cfc（形状像山谷↘↗）如果在点两侧符号不变，则不是极值点•fx cfc例题求一个长方形周长为，面积最大的尺寸20设长为，则宽为面积函数

1.x20-2x/2=10-x Ax=x10-x=10x-x²0求导

2.Ax=10-2x令导数为零，解得

3.10-2x=0x=5分析符号当时，；当时，符合左正右负，是最大值

4.x5Ax0x5Ax0“”结论当长时，宽也为，面积最大即正方形面积最大

5.x=55导数与函数凹凸性除了单调性，我们还关心曲线的弯曲方向，即凹凸性一阶导数描述函数增减，而二阶导数则描述函数增减的快慢，从而决定了函数的凹凸性“”凹凸性定义凹函数函数图像在切线上方，像一个碗的形状此时，切线斜率（一阶导数）是递增的Concave Up:“”f凸函数函数图像在切线下方，像一个盖子的形状此时，切线斜率（一阶导数）是递减Concave Down:“”f的凹凸性判定法则设函数在区间上二阶可导fx I如果对任意∈，都有，则在上是凹的x Ifx0fx I如果对任意∈，都有，则在上是凸的x Ifx0fx I拐点Inflection Point函数凹凸性发生改变的点称为拐点在拐点处，二阶导数通常为零或不存在fx例题求的凹凸性与拐点fx=x³求一阶和二阶导数fx=3x²fx=6x令二阶导数为零，解得fx=6x=0x=0判断二阶导数符号

3.当时，，函数是凸的x0fx0当时，，函数是凹的x0fx0导数与曲线描绘结合一阶导数（判断单调性与极值）和二阶导数（判断凹凸性与拐点），我们可以非常精确地描绘出复杂函数的图像，而无需逐点计算综合分析步骤定义域与对称性

11.确定函数的定义域检查函数是否为奇函数（，关于原点对称）或偶函数（，关于轴对称）f-x=-fxf-x=fx y2坐标轴交点与渐近线

2.求函数与轴的交点（令）和与轴的交点（令）检查是否存在水平、垂直或斜渐近线xy=0yx=0一阶导数分析

33.求，找到临界点（或不存在的点）确定函数的单调增减区间，并判断极值点fx fx=04二阶导数分析

4.求，找到可能的拐点（或不存在的点）确定函数的凹凸区间，并确认拐点fx fx=0列表与绘图

55.将所有关键点（交点、极值点、拐点）和区间信息整理成一个表格在坐标系中标出关键点，然后根据单调性和凹凸性用平滑的曲线将它们连接起来例题绘制示范fx=x³-3x通过上述分析，我们会发现极值点在±•x=1拐点在•x=0在递增，在递减，在递增•-∞,-1-1,11,+∞在凸，在凹•-∞,00,+∞结合这些信息，就能准确画出其形图像“S”连续性与可导性的关系连续性和可导性是函数两个重要的性质，它们之间有着密切但不对等的关系重要定理可导必连续如果一个函数在点处可导，那么它在该点一定连续fx x=a证明思路要证在处连续，即证，等价于证我们可以通过巧妙构造，利用可导的条件存在来证明这一点fxx=a limx→a fx=fa limx→a[fx-fa]=0fa反之不然连续不一定可导这个关系是单向的一个函数在某点连续，但并不保证它在该点一定可导我们之前已经见过这样的例子经典反例fx=|x|连续性函数的图像是一条没有断点的形线，它在整个定义域上都是连续的，包括fx=|x|V在点x=0可导性在点，图像形成一个尖角从左边逼近的斜率为，从右边逼近的斜率为左右x=0-1+1导数不相等，因此在点不可导x=0这个例子完美地说明了连续不一定可导“”总结可导是一个比连续更强的条件可以将可导的函数想象成光滑且连接的曲线，而连续的函数只是连接的曲线，允许有尖角“”“”“”导数计算中的常见错误在学习导数计算的初期，很容易犯一些概念性或计算性的错误了解这些常见陷阱有助于提高计算的准确性1混淆乘除法则错误或fg=fg f/g=f/g正确必须使用乘积法则和商法则这是最常见的错误之一fg=fg+fg f/g=fg-fg/g²2链式法则遗漏内部导数错误[sin2x]=cos2x正确忘记乘以内部函数的导数是链式法则应用中的高频错误[sin2x]=cos2x*2x=2cos2x2x3商法则分子顺序颠倒错误f/g=fg-fg/g²正确分子必须是因为是减法，顺序至关重要可以记忆先导分子fg-fg“”4对常数处理不当错误x²+5=2x+5正确单独的加减常数项，其导数为零x²+5=2x+0=2x5符号错误错误cos x=sin x正确类似地，和的导数都带负号这些基础公式的符号需要牢记cos x=-sin xcot xcsc x避免这些错误的最好方法是放慢速度，写清步骤，多加练习导数计算技巧总结除了掌握基本法则，一些计算技巧可以帮助我们更高效、更准确地处理复杂的求导问题先化简，再求导对数求导法在动手求导前，先观察函数是否可以化简例如，对fx=x²+x/x求当遇到复杂的乘积、商或幂的组合时（如y=xˣ或y=导，先化简为，再求导得，这比直接用商法则），可以先对函数两边取自然对数，利用对数性质将乘除fx=x+1x≠0fx=1x²√x/x+1³简单得多化为加减，幂化为乘法，然后再进行隐函数求导这能极大简化计算合理拆分复杂函数练习与反复巩固面对一个复杂的函数，清晰地识别出它是哪几个基本函数的和、差、积、求导的熟练度来自于大量的练习通过反复练习，基本公式和法则会成为商或复合比如fx=eˣsinx²，要能立刻看出这是eᵘ和sinv的乘你的第二天性，让你能更快地识别函数结构并选择最优的计算路径不要积，而本身又是和的复合结构分析是正确应用法畏惧复杂计算，每一次练习都是在提升你的内功sinv sint t=x²则的前提练习题基本求导1题目求函数fx=3x⁴-5x²+7的导数fx答案及步骤解析这是一个多项式函数，我们可以利用和差法则，对每一项分别求导，然后将结果相加第一项3x⁴应用常数倍法则和幂函数法则d/dx3x⁴=3*d/dxx⁴=3*4x⁴⁻¹=12x³第二项同样应用常数倍法则和幂函数法则⁻-5x²d/dx-5x²=-5*d/dxx²=-5*2x²¹=-10x第三项应用常数法则+7d/dx7=0合并结果将每一项的导数加起来fx=12x³-10x+0最终答案fx=12x³-10x练习题链式法则应用2题目求函数的导数fx=2x³+1⁵fx详细解题过程这个函数是一个典型的复合函数，必须使用链式法则我们可以将其分解为外部函数和内部函数识别内外函数

1.外部函数y=u⁵内部函数u=2x³+1对外部函数求导对y=u⁵求关于u的导数dy/du=5u⁴对内部函数求导对求关于的导数u=2x³+1x du/dx=d/dx2x³+d/dx1=6x²+0=6x²应用链式法则根据链式法则fx=dy/dx=dy/du*du/dxfx=5u⁴*6x²将u替换回来最后一步，将u=2x³+1代回到表达式中fx=52x³+1⁴*6x²化简结果将常数和变量项相乘，整理表达式fx=30x²2x³+1⁴最终答案fx=30x²2x³+1⁴练习题切线方程4题目求曲线在点处的切线方程y=x³x=2解答示范求切线方程需要两个关键信息切点坐标₀₀和切点斜率₀然后代入点斜式方程₀₀x,ym=fxy-y=mx-x确定切点坐标已知切点的横坐标₀将₀代入曲线方程求纵坐标₀₀所以，切点为x=2x=2yy=2³=82,8求函数的导数函数为其导数为y=fx=x³fx=3x²计算切点斜率将₀代入导数函数，求得切线的斜率x=2m m=f2=3*2²=3*4=12代入点斜式方程我们有了切点和斜率₀₀2,8m=12y-y=mx-xy-8=12x-2化简方程y-8=12x-24y=12x-16最终答案曲线在处的切线方程为y=x³x=2y=12x-16练习题导数图像分析6题目下图是函数y=fx的图像请根据此图像判断其导函数y=fx在区间a,b,b,c,c,d上的符号（正、负、零）练习题导数的物理应用7题目一个物体的位移函数由给出（，的单位是秒，的单位是米）求物体的速度函数和加速度函数物体在什么时候速度为零？物体在什么时候向负方向运动？st=t³-6t²+9tt≥0t s

1.vt at

2.

3.解题步骤求速度函数和加速度函数

1.vt atvt=st=d/dtt³-6t²+9t=3t²-12t+9at=vt=d/dt3t²-12t+9=6t-12速度是位移的一阶导数vt st加速度是速度的一阶导数（或位移的二阶导数）atvtst求速度为零的时刻令两边同除以解得秒和秒在这两个时刻，物体瞬时静止，可能改变运动方向vt=03t²-12t+9=0t²-4t+3=03t-1t-3=0t=1t=3求物体向负方向运动的时刻物体向负方向运动，意味着其速度我们需要解不等式，即这是一个开口向上的二次函数，小于零的部分在两个根之间所以，当vt03t²-12t+90t-1t-30时，1t3vt0最终答案，

1.vt=3t²-12t+9at=6t-12在秒和秒时速度为零

2.t=1t=3在时间间隔秒内，物体向负方向运动

3.1,3练习题经济学应用8题目某产品的利润函数为，其中是产量（单位百件）求能使利润达到最大时的产量，以及最大利润是多少？Px=-2x²+40x-100x计算与解释这是一个典型的优化问题，我们需要找到利润函数的最大值根据经济学原理，利润最大化发生在边际利润的地方Px Px=0求边际利润函数是利润函数的导数Px Px Px Px=d/dx-2x²+40x-100=-4x+40令边际利润为零，求解产量所以，当产量为百件时，利润可能达到最大xPx=0-4x+40=04x=40x=1010验证这是最大值点我们可以使用二阶导数测试求因为，说明利润函数是凸函数（开口向下），因此Px Px=d/dx-4x+40=-4Px=-40这一点对应的是最大值x=10计算最大利润将代入原始的利润函数x=10Px P10=-210²+4010-100P10=-2100+400-100P10=-200+400-100=100最终答案当产量为百件时，公司能获得最大利润最大利润为（单位根据题目设定，可能是百元或万元等）10100练习题综合题10题目求函数的导数fx=e^2x*sin xfx详细步骤这个函数是两个函数和的乘积，其中本身还是一个复合函数因此，我们需要综合运用乘积法则和链式法则e^2x sin x e^2x识别结构函数是的形式，其中fx=ux*vx•ux=e^2x•vx=sin x应用乘积法则根据乘积法则，我们需要分别计算和fx=uxvx+uxvx uxvx计算这是基本求导vx vx=sin x=cos x计算ux（使用链式法则）对于ux=e^2x，外部函数是eʷ，内部函数是w=2xux=e^2x=e^2x*2x=e^2x*2=2e^2x代入乘积法则公式fx=uxvx+uxvx fx=2e^2x*sin x+e^2x*cos x化简结果（可选）我们可以提出公因式使表达式更整洁e^2xfx=e^2x2sin x+cos x最终答案fx=e^2x2sinx+cos x常见问题答疑FAQ导数定义中的到底是什么意思？它不能等于链式法则总是让我很困惑，有什么好办法吗？Q1:h→00Q3:吗？把复合函数想象成一个俄罗斯套娃求导时，你从最外层的娃娃开A:“”表示可以无限地接近，但永远不等于这是极限的核心思始，打开它（求导），然后看到里面一层娃娃（内部函数保持不变），A:h→0h00想如果，分母就为，表达式无意义我们关心的是当变得任意再乘以打开里面那个娃娃的过程（对内部函数求导）多做练习，识别h=00h小时，整个分式的值会稳定地趋向于哪个数，这个数就层级关系是关键例如，就是三层娃娃fx+h-fx/h“”sinlnx²sinu,u=lnv,是导数v=x²为什么不等于？学习导数有什么好的建议？Q2:fg fgQ4:我们可以用一个简单的例子来理解设那么理解概念先别急着背公式，花时间理解导数是切线斜率和瞬A:fx=x,gx=x fg=A:

1.“”“，其导数为而，所以显然时变化率掌握基本功把基本函数（幂、指、对、三角）的求导x²2xfx=1,gx=1fg=1*1=12x≠1”

2.导数衡量的是变化率，两个变量相乘后的总变化率，不仅与各自的变化公式背熟刻意练习针对每个法则（特别是乘积、商、链式法则）

3.率有关，还与它们自身的大小有关，所以公式更复杂做专项练习联系应用多看看导数在几何、物理、经济中的应用，

4.这能加深你对概念的理解导数学习资源推荐除了课堂学习，利用优质的外部资源可以极大地帮助你掌握和巩固导数的知识推荐教材与参考书《微积分》全球范围内最经典、最受欢迎的微积分教材之一，讲解清晰，例题和习题丰富Calculus byJames Stewart《普林斯顿微积分读本》语言风趣，侧重于思想和方法的理解，而非纯粹的计算同济大学《高等数学》国内高校使用最广泛的教材，体系完整，适合配合课程学习在线课程与视频可汗学院提供免费的微积分系列课程，从基础概念到复杂应用都有详细的视频讲解和在线练习Khan Academy其微积分的本质系列视频用精美的动画直观地解释了导数、极限等核心概念，有助于建立深刻的直觉3Blue1Brown“”平台上有来自麻省理工、斯坦福等名校的微积分课程，内容系统且深入Coursera/edX练习与解题网站强大的计算知识引擎，不仅能给出导数计算结果，还能显示详细的步骤，是验证自己计算结果的绝佳工具WolframAlpha与类似，是一个在线的数学求解器，提供逐步的解题过程Symbolab WolframAlpha提供大量的微积分笔记、备忘单和不同难度的练习题，非常适合自学和复习Pauls OnlineMath Notes导数计算软件辅助在学习和应用中，我们可以借助现代技术来辅助导数计算，提高效率并验证结果但切记，软件是工具，理解原理才是根本注意事项与验证方法学习阶段强烈建议先自己手算，再用软件验证直接看答案会产生“懂了”的错觉，但无法真正锻炼计算能力和对法则的熟练度应用阶段在解决复杂工程或科研问题时，软件是可靠的助手但要理解软件输出的含义，并警惕可能的输入错误图形计算器把软件当作一位永不疲倦的陪练和助教，而不是拐杖许多科学计算器（如TI-84,Casio fx-991）都内置了数值求导功能你可以输入函数和指定点，它会计算出该点的导数值这对于快速验证几何或物理应用题中的具体数值非常方便但它通常不能给出导函数的解析表达式复习与巩固建议掌握导数的计算不是一蹴而就的，它需要持续的复习和巩固以下是一些有效的学习策略，可以帮助你将知识内化为技能理解概念重于死记定期练习基础题时常回顾导数的几何意义（切线斜率）和物理熟能生巧每周都花一些时间回顾并练习基本意义（瞬时变化率）当你遇到一个复杂的求的求导法则，特别是乘积、商和链式法则保导问题时，想一想你正在计算的到底是什么，持手感，确保基础公式烂熟于心这有助于你检查结果的合理性建立错题集多做应用题将做错的题目（特别是那些因为概念不清或法通过解决优化问题、物理问题或几何问题，你则用错的题目）整理起来，定期回顾分析自可以更深刻地理解导数为何如此重要应用题己错在哪里，是避免重蹈覆辙的最好方法能将抽象的数学工具与具体情境联系起来，让学习更有趣，也更有意义课程总结本次课程我们系统地学习了导数的概念、计算法则及其广泛应用导数是微积分乃至整个现代科学的基石，掌握它将为你打开一扇理解动态世界的大门核心思想关键技能深化理解导数是理解变化的核心工具它精确地度量掌握各种计算规则（特别是链式法则）是关结合实际应用（如物理中的速度、经济中的了函数在某一点的瞬时变化率，在几何上对键熟练的计算能力是应用导数解决实际问边际分析、几何中的曲线描绘）能够极大地应于切线的斜率题的基础深化对导数概念的理解微积分的学习之旅才刚刚开始导数之后，你将探索它的逆运算积分，并发现它们之间美妙的联系希望本次课程能为你打下坚实的基础，并——激发你持续学习与探索数学世界的热情。