算术平方根教学课件

算术平方根教学课件这套课件将帮助七年级学生掌握算术平方根的定义、性质和应用，通过系统学习，让学生理解这一重要数学概念并能灵活运用于各种问题解决中引入生活中的平方在我们的日常生活中，平方无处不在特别是在计算面积时，我们经常用到平方的概念比如，一个正方形的面积等于边长的平方S=a²思考如果一个房间的面积是100平方米，那么它的边长是多少米？这就引出了我们今天要学习的内容算术平方根为什么要学平方根？学习平方根的意义远超出课堂•解决实际测量问题，如计算正方形的边长•应用于工程设计和建筑领域•理解科学公式中的数学关系•为学习三角函数、解析几何等高阶数学打基础平方根是数学思维的重要组成部分，帮助我们建立数的新认识概念回顾平方与平方数平方的定义平方是指一个数与自身相乘的运算，记作n²平方数举例141²2²9163²4²问题探究什么叫开平方？开平方是平方的逆运算•平方已知一个数，求它与自身相乘的积•开平方已知积，反求相等的两个因数例如•3²=9，所以9的平方根是3•5²=25，所以25的平方根是5动手实验尝试计算不同数的平方，然后再开平方，观察结果算术平方根的定义对于任何非负实数a如果存在非负实数b，使得b²=a，那么b就是a的算术平方根算术平方根只取正值（当a0时）或零（当a=0时）算术平方根的符号记作√a重要性质•√a≥0•√a只表示a的正平方根（当a0时）具体定义展示当a0时当a=0时√a表示a的正平方根，也就是那个平方等于a√0=0，因为0²=0的正数0的平方根只有一个0例如√4=2，因为2²=4且20平方根与算术平方根的区别1平方根概念对于正数a，存在两个实数一个正数和一个负数，它们的平方都等于a例如数字9的平方根有两个3和-32算术平方根特点算术平方根特指平方根中的非负值例如√9=3（只取正值）例的算术平方根是多少？19解析过程我们需要找出一个非负数，它的平方等于9因为3²=9，所以3是9的平方根而-3²=9，所以-3也是9的平方根但算术平方根只取正值，所以√9=3例2求100的算术平方根思路分析求算术平方根，就是寻找一个非负数，它的平方等于给定的数对于100，我们需要找到一个数x，使得x²=10010²=100，所以10是100的一个平方根-10²=100，所以-10也是100的一个平方根但算术平方根只取正值，所以√100=10小结算术平方根记号√a的正确理解•√a表示a的正平方根（当a0时）•√a只有一个值，且总是非负的•√0=0（特殊情况）常见错误•误认为√9=±3（错误！正确的是√9=3）•-√9不是算术平方根，而是算术平方根的相反数再探究复合开平方问题√4²=？解析4²=16√16=4所以√4²=4问题√25=？解析5²=25所以√25=5观察规律对于非负数a，√a²=a负数有算术平方根吗？考虑√-4，我们需要找一个数x，使得x²=-4但是，对于任何实数x，x²≥0所以不存在实数x使得x²=-4结论负数在实数范围内没有算术平方根•√-4在实数范围不存在•在本课程中，我们只讨论非负数的算术平方根√0的特殊性√0的计算我们需要找一个非负数x，使得x²=0显然，只有x=0时，才有0²=0所以√0=0典型陷阱题问√0的值是多少？A.0B.不存在C.±0D.无穷大正确答案A解析0的平方根只有一个值0算术平方根的基本性质1性质1√a≥0算术平方根永远是非负的例如√9=3（不是-3）√0=02性质2√a²=a算术平方根的平方等于原数例如√16²=16√5²=5性质举例例1√36=，√36²=√36=6（因为6²=36且60）√36²=6²=36换位思考练习填空√=5解析根据性质2，√a²=a所以，如果√a=5，那么a=5²=25因此√25=5平方与开方的关系一一对应关系对于任意非负数a•a²→平方运算→a²•a²→开平方运算→√a²=a对于任意非负数a•a→开平方运算→√a•a→开平方后再平方→√a²=a平方和开平方是互逆运算近似值与无理数根并非所有数的算术平方根都是整数例如√2≈

1.

414213562...√2是一个无理数，小数位无限不循环实际应用中的近似计算工程测量中常常需要保留到特定小数位√2≈

1.41（保留两位小数）√3≈

1.73（保留两位小数）√5≈

2.24（保留两位小数）的故事和意义√2√2的发现√2源于勾股定理在边长为1的正方形中，对角线长度为√2古希腊毕达哥拉斯学派发现√2是无理数，这一发现震惊了数学界√2的实际意义√2代表了一个边长为1的正方形对角线长度在工程设计中，√2常用于计算45°角的斜边长度√2约等于

1.414，是一个无理数，小数位无限不循环常见算术平方根表常用平方根值√1=1√25=5√4=2√36=6√9=3√49=7√16=4√64=8快速记忆方法记住1-10的平方1,4,9,16,25,36,49,64,81,100然后√1=1,√4=2,√9=3,√16=4,√25=

5...计算技巧一直接记忆法重点记忆1-15的平方141²2²9163²4²25365²6²熟记这些常用平方数，可以快速判断出一个数是否为平方数，以及求出其算术平方根计算技巧二还原法分解为平方数与其他因数的乘积步骤

1.将被开方数分解为一个平方数与其他数的乘积

2.利用√a·b=√a·√b（a,b≥0）的性质

3.计算简化后的表达式例如√8=√4·2=√4·√2=2√2√50=√25·2=√25·√2=5√2例题如何计算？√18解题思路我们可以把18分解为一个完全平方数与其他因数的乘积18=9×2其中9是完全平方数（3²=9）计算过程√18=√9×2根据性质√a·b=√a·√b（a,b≥0）√18=√9·√2=3·√2=3√2分数的算术平方根计算原理对于分数a/b（a,b0），有√a/b=√a/√b例1√1/4=√1/4=√1/√4=1/2=1/2例2√9/25=√9/25=√9/√25=3/5=3/5规律分子分母都是完全平方数的分数，其算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根练习填空直击123√49=√1=√81=思路49=7²，所以√49=7思路1=1²，所以√1=1思路81=9²，所以√81=9小组讨论根号遇到妙题问题1√

0.25=思路

0.25=25/100=1/4√1/4=√1/√4=1/2=

0.5所以√

0.25=

0.5问题2√

0.09=思路

0.09=9/100√9/100=√9/√100=3/10=

0.3所以√

0.09=

0.3应用场景面积和边长转换房屋设计农田规划纸张设计建筑师需要计算正方形房屋的边长，已知面积为农田面积为400平方米，需要确定正方形边长设计一张面积为169平方厘米的正方形纸100平方米计算√400=20米计算√169=13厘米计算√100=10米应用举例一田地面积求边长问题一块正方形田地的面积是121平方米，求这块田地的每边长多少米？解题过程设正方形田地的边长为a米根据正方形面积公式S=a²代入已知条件121=a²求算术平方根a=√121=11所以，这块田地的每边长11米应用举例二边长已知求面积问题一个正方形的边长是12厘米，求这个正方形的面积解题过程根据正方形面积公式S=a²代入已知条件S=12²计算结果S=144平方厘米逆向思考如果知道面积S=144平方厘米，求边长a=√S=√144=12厘米日常生活中的开平方电视屏幕大小包装盒设计电视尺寸通常指对角线长度，可以用勾股定理和开平方计算设计师需要计算正方形包装盒的边长，已知需要的体积例50英寸电视的宽高比为16:9，其宽度为50÷√16²+9²×16≈

43.6英寸例体积为64立方厘米的立方体包装盒，边长为∛64=4厘米练习题实际问题建模问题某正方形游泳池的水面面积为225平方米，问

1.游泳池的边长是多少米？

2.如果在游泳池四周建造宽度为

1.5米的人行道，整个区域（游泳池加人行道）的面积是多少平方米？解答

1.设游泳池边长为a米，则a²=225，所以a=√225=15米

2.加上人行道后，整个区域边长为15+2×

1.5=18米整个区域面积为18²=324平方米错误辨析一负数不能开算术平方根错误情况问题√-9=有些学生可能会错误地回答√-9=-3正确分析对于任何实数x，x²≥0所以不存在实数x使得x²=-9因此，√-9在实数范围内不存在记住在中学阶段，我们只讨论非负数的算术平方根负数在实数范围内没有算术平方根错误辨析二平方根与算术平方根混淆常见混淆问题16的算术平方根是多少？错误答案±4正确答案4辨析16的平方根有两个4和-4但16的算术平方根只有一个4算术平方根定义只取正值注意-√16不是算术平方根，而是算术平方根的相反数-√16=-4概念提升根号的性质重要性质对于任意非负实数a和b，有√a·b=√a·√b证明思路设√a=m，√b=n则m²=a，n²=b所以m·n²=m²·n²=a·b因此√a·b=m·n=√a·√b适用条件a≥0，b≥0性质应用举例1问题计算√4×25解法1直接计算4×25=100√100=10解法2使用性质√4×25=√4×√25=2×5=10两种方法得到相同结果，验证了性质的正确性性质应用举例2问题计算√

0.09×100解法1直接计算

0.09×100=9√9=3解法2使用性质√

0.09×100=√

0.09×√100=

0.3×10=3小结利用√a·b=√a·√b的性质，可以简化计算，特别是当a或b是完全平方数时概念提升开方与分解质因数问题如何用分解质因数的方法计算√24？解题步骤

1.分解24的质因数24=2³×

32.提取平方因子24=2²×2×3=4×2×3=4×

63.应用性质√a·b=√a·√b√24=√4×6=√4×√6=2×√6=2√6根式化简案例案例1√18分解18=2×9=2×3²应用性质√18=√2×3²=√2×√3²=√2×3=3√2案例2√50分解50=2×25=2×5²应用性质√50=√2×5²=√2×√5²=√2×5=5√2化简原则将被开方数分解为最大完全平方数与其他因数的乘积，提取完全平方数的平方根特殊题型一嵌套根号问题计算√√16解析√16=4√√16=√4=2逐层解析方法对于嵌套根号，从内到外逐层计算

1.先计算内层根号√16=

42.再计算外层根号√4=2练习计算√√√256特殊题型二绝对值与算术平方根问题计算|√a|，其中a≥0分析当a≥0时，√a≥0（算术平方根的定义）绝对值的定义当x≥0时，|x|=x所以，当a≥0时，|√a|=√a特殊情况当a=0时，√a=0，|√a|=|0|=0当a0时，√a0，|√a|=√a结论对于任何a≥0，|√a|=√a趣味题哪两个不同的正数算术平方根相等？问题思考我们要找到两个不同的正数a和b，使得√a=√b思考如果√a=√b，那么平方后有a=b但题目要求a和b是不同的正数解析这是一个矛盾的命题！如果两个正数a和b的算术平方根相等，则a和b必定相等所以，不存在两个不同的正数，它们的算术平方根相等重要结论算术平方根与正数是一一对应的每个非负数都有唯一的算术平方根，不同的非负数有不同的算术平方根巩固练习1判断正误命题√36=±6分析算术平方根的定义对于a≥0，√a表示a的正平方根36的平方根有两个6和-6但36的算术平方根只有一个6结论命题错误！正确的表述是√36=6注意算术平方根只取正值巩固练习2计算√64+√25解题过程√64=8（因为8²=64）√25=5（因为5²=25）√64+√25=8+5=13要点提示先分别计算各个算术平方根，再进行加法运算注意√a+b≠√a+√b例如√64+25=√89≈

9.43，而√64+√25=13巩固练习3化简√8+√32解题过程√8=√4×2=√4×√2=2√2√32=√16×2=√16×√2=4√2√8+√32=2√2+4√2=6√2解题要点

1.先将每个算术平方根化简为整数×√2的形式

2.合并同类项

3.得到最终结果综合拓展算术平方根与科学技术工程测量应用在建筑设计中，常用勾股定理和算术平方根计算斜边长度例如，计算支撑结构的长度√3²+4²=√9+16=√25=5米物理公式中的根号自由落体运动公式v=√2gh简谐运动周期T=2π√l/g相对论质能方程E=mc²这些公式展示了算术平方根在物理学中的广泛应用进一步思考算术平方根的近似算法手算√2至小数点后两位方法一二分法

1.猜测一个初始值，如

1.

42.计算

1.4²=

1.96（小于2）

3.猜测

1.5，计算

1.5²=

2.25（大于2）

4.取中值

1.45，计算

1.45²=

2.1025（大于2）

5.取中值

1.42，计算

1.42²=

2.0164（大于2）

6.取中值

1.41，计算

1.41²=

1.9881（小于2）

7.√2≈

1.41至

1.42之间拓展计算器辅助开平方科学计算器使用方法基本步骤

1.输入需要开平方的数

2.按下√或√x键

3.得到结果注意事项不同计算器的操作可能略有差异有些计算器需要先按√键再输入数字计算器显示的是近似值，可能存在微小误差负数输入会导致错误或复数结果学习小结算术平方根定义基本性质非负数a的算术平方根是指平方等于a的非负√a≥0，√a²=a，√a·b=√a·√b（a,b≥0）实数，记作√a实际应用计算方法面积与边长转换，工程测量，科学计算直接记忆法，分解还原法，近似计算法课堂自测基础题

1.计算√36+√9=解√36+√9=6+3=9提高题

2.化简√50-√8=解√50-√8=5√2-2√2=3√2应用题

3.一个正方形花坛的面积是121平方米，在花坛四周建造宽为

0.5米的小路，求小路的面积解花坛边长√121=11米，整个区域边长为11+2×

0.5=12米，小路面积=12²-11²=144-121=23平方米本课结束与课后思考课程要点回顾•算术平方根的定义与符号•算术平方根的基本性质•计算方法与化简技巧•实际应用场景课后思考思考问题如何计算立方根？立方根与算术平方根有哪些相似和不同之处？下节课预告我们将学习立方根的概念、性质与应用，进一步扩展数的开方运算。