解方程二教学课件

解方程

（二）教学课件欢迎来到解方程

（二）的教学课程！本课件专为小学五年级上册数学学习设计，是方程学习的进阶内容通过本课程，我们将深入学习二步方程的解法，并了解如何将这些数学知识应用到实际生活中方程是数学中非常重要的概念，掌握解方程的技巧不仅能提高你的数学能力，还能帮助你分析和解决日常生活中的各种问题让我们一起踏上这段有趣的数学探索之旅！课程导入回顾旧知等式等式是表示两个数学表达式相等的式子，如等式两边的值必须相5+3=8等，这是解方程的基础未知数未知数是我们需要求解的数，通常用字母表示，如、等它是方程中的x y谜，我们需要通过解方程找出它的值简单方程我们已经学习了基本的一步方程，如或，这些方程只需一x+5=123x=15步运算即可求解字母表示未知量课程目标掌握解二步方程的方法能用方程解决生活问题学习并熟练掌握解二步方程的多学会将日常生活中遇到的实际问种方法，包括移项法、合并同类题转化为数学方程，并通过解方项法和逆运算法能够根据不同程得出问题的答案培养将数学题型灵活选择适当的解题方法知识应用于实际的能力发现并纠正常见错误方程是什么方程的定义简单方程示例方程是含有未知数的等式未知数通常用字母表示，如、是一个最基本的方程示例在这个方程中x yx+5=9等解方程就是求出未知数的值，使等式成立是未知数•x方程在数学中非常重要，它是解决许多实际问题的有力工具通•表示等式关系=过方程，我们可以将复杂的问题简化，并找到精确的答案•整个式子表示某个数加等于59复习等式的性质等式两边同时加减同等式两边同时乘以同一个数一个数如果，那么，如果，那么a=b a+c=b+c a-a=b a×c=b×c这就像天平两边同时（）这就像天平两边的c=b-c c≠0加上或减去相同重量的物体，重量同时放大相同倍数，天平天平仍然保持平衡仍然平衡等式两边同时除以同一个非零数引入新知更复杂的方程一步方程二步方程二步方程示例vs我们之前学习的一步方程只需一次运算就能解出未知数，例如是一个典型的二步方程解这个方程需要两步操作2x+3=11（减法）或（除法）x+5=123x=15而二步方程需要两次运算才能解出未知数，通常包含加减和乘除将等式两边同时减去，得到

1.32x+3-3=11-32x=8两种运算，解题过程更加复杂将等式两边同时除以，得到

2.22x÷2=8÷2x=4这种方程在实际应用中更为常见，掌握它们的解法非常重要二步方程的结构基本结构加减运算二步方程通常包含未知数的倍数项和常方程中常包含加减运算，如3x+8=23数项，如或的形式或ax+b=c ax-b=c5x-7=18实例分析乘除运算以为例，表示未知数的方程中未知数通常有系数，表示乘法关3x-8=133x x3倍，减去后等于系，如中的8132x+5=152x解二步方程的一般步骤化简方程合并同类项，去括号，必要时通分或移项分离未知数将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边求解未知数利用等式性质，对含有未知数的项进行除法或乘法运算验算将求得的解代入原方程，检验是否成立方法一先移项例题2x+5=17我们要解的方程是，目标是求出未知数的值2x+5=17x第一步移项将常数项移到等式右边52x+5-5=17-5得到2x=12第二步求解未知数将等式两边同时除以22x÷2=12÷2得到x=6第三步验算将代入原方程x=62×6+5=12+5=17等式成立，所以是方程的解x=6方法一移项操作练习1练习2练习13x+8=2024x-7=13第一步，第一步，3x+8-8=20-84x-7+7=13+7得到得到3x=124x=20第二步，得到第二步，得到3x÷3=12÷34x÷4=20÷4x=4x=5验算，验算，3×4+8=12+8=204×5-7=20-7=13等式成立等式成立3练习35x+9=24第一步，得到5x+9-9=24-95x=15第二步，得到5x÷5=15÷5x=3验算，等式成立5×3+9=15+9=24方法二先合并同类项例题4x-2x+6=18这个方程中有多个含未知数的项，我们需要先合并同类项第一步合并同类项，合并得到4x-2x+6=184x-2x2x+6=18第二步移项，得到2x+6-6=18-62x=12第三步求解未知数，得到2x÷2=12÷2x=6验算，等式成立4×6-2×6+6=24-12+6=18方法二合并同类项练习1练习2练习3练习15x+2x-3=1226x-4x+5=1739x-3x+8-2=24第一步合并同类项第一步合并同类项第一步合并同类项6x-9x-，得到，得到，，得到5x+2x=7x7x-3=124x=2x2x+5=173x=6x8-2=66x+6=24第二步移项，第二步移项，第二步移项，7x-3+3=12+32x+5-5=17-56x+6-6=24-6得到得到得到7x=152x=126x=18第三步求解，得到第三步求解，得到第三步求解，得到7x÷7=15÷72x÷2=12÷26x÷6=18÷6x=15÷7=

2.

14...x=6x=3方法三直接逆运算目标解出未知数例如在中找出的值5x-3=12x分析原方程运算顺序先乘后减先乘以，再减去x53逆序执行相反运算先加后除，，所以12+3=1515÷5=3x=3方法三逆运算应用原式7x+4=25运算顺序先乘后加逆运算一减法25-4=21逆运算二除法21÷7=3得解x=3验算7×3+4=21+4=25√验证方程的解为什么需要验算？验算的步骤验算是解方程过程中非常重要的一步，它可以帮助我们确认所得以方程为例，我们解得4x-7=13x=5到的解是否正确有时候在计算过程中可能会出现错误，验算能将代入原方程左边

1.x=54×5-7=20-7=13够及时发现这些错误检查左边的结果是否等于右边

2.13=13此外，养成验算的习惯有助于培养严谨的数学思维，提高学习质等式成立，所以是正确的解

3.x=5量和效率即使你对自己的计算有信心，也应该进行验算如果验算结果不相等，说明解答过程中有错误，需要重新检查计算步骤步骤归纳图解验算阶段解方程阶段将求得的解代入原方程，检验左右两边是否准备阶段根据方程特点选择合适的方法（移项法、合相等例如，解得，原方程为x=4认真阅读方程，确定方程的类型（是否需要并同类项法或逆运算法），按照对应步骤逐，验算，左2x+5=132×4+5=8+5=13先化简、合并同类项等）例如，对于方程步求解未知数的值例如，，可右两边相等，解正确8x-3=13，需要先合并同类项先移项得，再除以得3x+5x-7=283x+5x8x=168x=2典型例题1例题3x+7=22类型加或减乘或除（最基本的二步方程）+第一步移项3x+7-7=22-73x=15第二步除法求解3x÷3=15÷3x=5第三步验算3×5+7=15+7=22等式成立，所以x=5典型例题2例题2x+3=x+9类型未知数两边都有（需要先集中未知数到一边）第一步集中未知数2x+3-x=x+9-xx+3=9第二步移项x+3-3=9-3x=6第三步验算2×6+3=12+3=156+9=15等式成立，所以x=6典型例题含分数3例题x/2+3=7类型含分数的二步方程（需要通分或乘以分母）第一步移项x/2+3-3=7-3x/2=4第二步乘以分母x/2×2=4×2x=8第三步验算8/2+3=4+3=7等式成立，所以x=8典型例题带括号4例题3x+2=18类型带括号的二步方程（需要先去括号）第一步去括号3x+2=183x+6=18第二步移项3x+6-6=18-63x=12第三步除法求解3x÷3=12÷3x=4验算34+2=3×6=18√课后思考方法迁移移项法合并同类项法最常用的解方程方法，适用于大多数二适用于含有多个未知数项的方程步方程例如，先合并得4x+3x-5=167x-例如，通过移项得5x-8=17，再解得5=16x=3，再除以得5x=255x=5互用互检逆运算法同一题目可以尝试不同方法求解，结果适用于结构较为简单的二步方程应该相同例如，逆推得6x+4=40x=40-不同方法可以互相验证结果的正确性4÷6=6题型变式1生活实际问题改编建模与列方程小明有一些钱，他用这些钱的买设小明原来有元钱1/4x了一本书，又用剩下的钱的买了1/3买书用了元

1.x×1/4=x/4文具，还剩下元问小明原来有24剩下元

2.x-x/4=3x/4多少钱？买文具用了元

3.3x/4×1/3=x/4最后剩下元

4.3x/4-x/4=2x/4=x/2求解过程根据题意，最后剩下元，即24x/2=24两边同时乘以2x=48验算的是元，剩元；的是元，剩元481/41236361/31224√答小明原来有元钱48题型变式2多步方程示例解方程2x+1-3x-2=4第一步去括号2x+2-3x+6=4第二步合并同类项2x-3x+2+6=4-x+8=4第三步移项并求解-x+8-8=4-8-x=-4x=4验算24+1-34-2=2×5-3×2=10-6=4√题型变式3含小数的方程解题过程方程中包含小数时，需要特别注意计算的精确性解决小数方程第一步移项的方法与整数方程相同，但计算过程要更加仔细

0.5x+

1.2-

1.2=

3.7-

1.2例题

0.5x+

1.2=

3.

70.5x=

2.5第二步除法求解

0.5x÷

0.5=

2.5÷

0.5x=5验算

0.5×5+

1.2=

2.5+

1.2=

3.7√题型变式4方程中含有字母系数例题在更高阶的数学学习中，方程中解方程（其中）ax+b=c a≠0可能会出现字母系数，这类方程这是一个带字母系数的一般形式的解法与数字系数类似，但结果二步方程，其中、、都是已a bc通常表示为含字母的代数式知的常数，是未知数x解题过程第一步移项，得到ax+b-b=c-b ax=c-b第二步除法，得到ax÷a=c-b÷a x=c-b÷a当给定具体的、、值时，就可以求出的具体数值a bc x课堂互动你来出题出题环节交换解答分享讨论每位学生根据所学知学生两两交换题目，解答完成后，选择几识，创作一道二步方尝试解答同伴创作的组有代表性的题目在程题目，可以是纯数问题这个过程培养全班分享，讨论不同学方程，也可以是生学生的解题能力和创的解题思路和可能遇活应用题题目需要造性思维，同时加深到的困难，共同提高包含清晰的条件和问对二步方程概念的理解题技巧题解老师点评教师对学生创作的题目和解答进行点评，肯定优点，指出不足，并给出改进建议，帮助学生更好地掌握知识点小组合作练习4-5学生分组每组学生共同解决一类特定题型分钟15讨论时间组内交流解题思路和方法题3题目数量每组需完成的不同变式题数100%参与度确保每位学生都积极参与讨论易错点一移项丢负号错误示例正确分析解方程移项时常见的错误是丢失或错加负号正确的做法是等式两边2x-7=3同时加上或减去同一个数，或者记住移项变号规则错误步骤，得到，所以2x-7+7=3+72x=10x=5正确步骤，得到，所以2x-7+7=3+72x=10x=5验算2×5-7=10-7=3√或者，移项得，所以2x-7=32x=3+7=10x=5这里看似答案正确，但过程中存在概念错误记住项从等式一边移到另一边时，符号要变成相反的！易错点二逆运算的顺序错误示例正确操作顺序5x+12=32对于二步方程的逆运算，应该错误步骤首先做除法与原方程的运算顺序相反例，得到如原方程中先乘后加，则解方5x+12÷5=32÷5，然后程时应先减后除x+12/5=

6.4x=

6.4-12/5=

3.8这种做法打乱了运算顺序，结果错误正确解法正确步骤，先减去，再除以5x+12=32125x=32-12=205x=20÷5=4验算5×4+12=20+12=32√易错点三验算疏忽常见错误情况错误示例许多学生在解方程后忽略验算步骤，或方程4x-5=3x+2者验算时只代入方程的一部分，导致无解得x=7法发现计算错误有些学生甚至在验算错误验算只检查左边时又出现新的计算错误，使问题更加复4×7-5=28-杂5=23或错误计算3×7+2=21+2=2123由于计算或验算不完整，没有发现错误正确验算方法完整验算将代入原方程x=7左边4×7-5=28-5=23右边3×7+2=21+2=23左右相等，验证是正确解x=7辨析题实例1题目判断对错2题目判断对错12解方程的过程如下解方程的过程如下3x-4=85x+6=2x+183x-4+4=8+45x-2x=18-63x=123x=123x÷3=12÷3x=4分析错误移项时符号处理有x=4误正确应为，5x-2x=18-6分析正确移项、除以系数的步，，5x-2x=123x=12x=4骤都准确无误3题目判断对错3解方程的过程如下7x-5=237x=23+5=28x=28÷7=4分析正确这是直接用移项法解方程，步骤简洁明了综合训练11基本二步方程2两边有未知数3含分数方程解方程解方程解方程6x+9=334x-7=2x+5x/3+2=5解，解，，解，6x=33-9=24x=24÷6=44x-2x=5+72x=12x=6x/3=5-2=3x=3×3=94含括号方程5多项合并解方程解方程2x+4=185x-2x+6=21解，，解，，2x+8=182x=10x=53x+6=213x=15x=5综合训练2树木高度一棵树的高度是米，每年生长米几年后，这棵树的高度会是米？

80.511设年后树高为米，则有x118+

0.5x=11解得，

0.5x=3x=6答年后，树高为米611零钱问题小红有一些元和元硬币，共枚，总面值为元问她各有多少枚硬币？152040设有枚元硬币，则有枚元硬币x120-x5根据总面值x+520-x=40解得，，x+100-5x=40-4x=-60x=15答枚元，枚元硬币15155距离问题小明和小华从相距千米的两地相向而行，小明每小时走千米，小华每小时走千米，几小时后相遇？3042设小时后相遇，则有x4x+2x=30解得，6x=30x=5答小时后相遇5实际应用买文具问题1问题描述小明有元钱，用一部分钱买了支钢笔，剩下的钱买了本笔记本已知每支钢笔的价格比5035每本笔记本贵元，钱恰好用完求每支钢笔和每本笔记本的价格2阅读理解与设未知数设每本笔记本的价格为元，则每支钢笔的价格为元x x+2列方程根据题意3x+2+5x=50展开得3x+6+5x=50合并同类项8x+6=50求解并验证8x=44x=

5.5所以每本笔记本元，每支钢笔元

5.

57.5验算3×

7.5+5×

5.5=

22.5+

27.5=50√实际应用分苹果问题2问题描述数学建模分析班级组织活动，老师带来一些苹果如果每人分个，会剩下设班级有名学生，老师带来个苹果根据题意可以列出35x y个；如果每人分个，会少个问班级有多少名学生？老师带47•每人分个时33x+5=y来多少个苹果？•每人分个时44x=y+7由这两个等式可得3x+5=4x-7整理得x=12代入第一个等式y=3×12+5=41答班级有名学生，老师带来个苹果1241实际应用家庭预算3家庭预算问题合理分配收支，达到收支平衡数学建模转化为方程求解收入与支出关系求解问题找出最优方案一个三口之家每月收入为元房租和水电费共元，食品支出为收入的，其他生活必需品支出为收入的，每月还需储蓄一定金额问6000150030%15%每月最多可以储蓄多少钱？设每月储蓄为元，则有方程x1500+6000×30%+6000×15%+x=6000计算得，，1500+1800+900+x=60004200+x=6000x=1800答每月最多可以储蓄元1800实际应用水池注水4水池为空注水过程初始状态，水池中没有水每小时注入水池容量的，每小时注入A1/6B1/8开始注水水池注满水龙头和同时开启计算所需总时间A B一个水池，水龙头单独开启需要小时注满，水龙头单独开启需要小时注满如果两个水龙头同时开启，需要多少小时才能注满水池？A6B8设水池的容量为，则每小时注水量为，每小时注水量为1A1/6B1/8设两个水龙头同时开启需要小时注满水池，则有x x×1/6+1/8=1通分计算，，x×4+3/24=1x×7/24=1x=24/7≈

3.43答约需小时分钟可注满水池326拓展提升含两个未知数情境初步体验示例问题在实际问题中，有时会遇到包含两个或更某商店销售铅笔和钢笔，一支铅笔元，2多未知数的情况此时，我们通常需要列一支钢笔元小明购买了若干铅笔和钢5出多个方程，形成方程组这里我们先通笔，共支，花费元问小明买了多1035过简单替代来体验少支铅笔和钢笔？解题思路设购买了支铅笔，支钢笔x y根据题意，x+y=102x+5y=35从第一个方程得y=10-x代入第二个方程2x+510-x=35展开2x+50-5x=35整理，-3x=-15x=5所以y=10-5=5答买了支铅笔和支钢笔55拓展练习竞赛真题改编挑战题分析与解答有两个数，它们的和是，它们的比是求这两个数分别设这两个数分别为和，根据题意有485:3x y是多少？•（和为）x+y=4848这是一道典型的竞赛题型，需要灵活运用方程思想，通过设未知•（比为）x:y=5:35:3数来解决问题由第二个条件可得x=5y/3代入第一个方程5y/3+y=48合并同类项5+3y/3=48解得，8y/3=48y=48×3/8=18所以x=48-18=30答这两个数分别是和3018竞赛题解析1问题描述一个数比另一个数的倍少，这两个数的和为求这两个数31026这是一道需要通过方程组解决的数学竞赛题我们需要找出题目中隐含的数学关系，然后通过方程求解数学建模设两个数分别为和x y根据题意，可以列出方程组•x=3y-10（一个数比另一个数的3倍少10）•x+y=26（两个数的和为26）方程求解将第一个方程代入第二个方程3y-10+y=264y-10=264y=36y=9代入得x=3y-10x=3×9-10=27-10=17结果验证验算是否比的倍少？的倍是，179310932727-10=17√17+9=26√答这两个数是和179竞赛题解析2问题描述常见错误分析正确解法小明和小红各有一些钱如果小明给错误混淆给和拿的概念，导设小明有元，小红有元1x y小红元，两人的钱就相等；如果致方程中加减号使用错误15条件一，即x-15=y+15x-y=30小红给小明元，小明的钱就是小10错误关系理解不准确，误解小明2条件二，展开得红的倍问小明和小红各有多少钱？x+10=2y-102的钱是小红的倍中的数量关系2，整理为x+10=2y-20x-2y=-30错误解方程时计算错误，特别是3解这个方程组，得，x=90y=60在处理系数和常数时答小明有元，小红有元9060竞赛题解析3创新思路问题一个水池有两个进水管和，以及一个出水管如果只开管，小时可以注满水池；如果同时开管A BC A8A和管，则需要小时才能注满；如果只开管，需要小时注满问如果同时开、、三管，需要C16B12A BC多少小时才能注满水池？创新分析方法这类问题的创新思路是引入单位时间的工作量概念设水池容量为个单位1管每小时的进水量是，管每小时的进水量是A1/8B1/12根据和管同时开启的情况，可以推导出管每小时的出水量A CC方程建立设管每小时出水量为，则有C x1/8-x=1/16解得x=1/16所以，、、三管同时开启时，每小时的净进水量为A BC1/8+1/12-1/16=3/24+2/24-

1.5/24=

3.5/24求解结果注满水池所需时间满足t t×

3.5/24=1解得t=24/

3.5≈

6.86答约需小时分钟652课外链接国外方程趣事方程的历史可以追溯到古代文明古埃及的莱因德纸草书（约公元前年）记录了一些可以用现代方程表示的问题例如一个数加上它的1650四分之一等于，这实际上就是一个简单的方程问题15古巴比伦人在粘土板上记录了许多代数问题中国古代的《九章算术》中也包含了大量可以用方程表示的问题希腊数学家丢番图被称为代数之父，他的《算术》一书中包含了许多方程问题阿拉伯数学家花拉子密（）在世纪创立了代数学，代数一词就来源于他的著作《代数学》方程在人类数学发展史上占有重Al-Khwarizmi9要地位，至今仍是解决实际问题的有力工具学习方法小结多做练习理解原理通过大量练习，提高解题速度和准确性理解等式性质和方程的本质，而不是机械记忆解题步骤养成验算习惯解题后始终进行验算，确保答案正确联系实际灵活选择方法尝试将方程应用到日常生活问题中4根据题目特点，选择最合适的解题方法解方程小口诀等式性质口诀等式两边加减同一数，等式关系保持不变更；等式两边同乘或同除，等式关系依然不变更移项变号口诀等号左右数移动，正负符号要变更；加变减来减变加，符号互变要记清解方程步骤口诀先去括号和分母，再把未知数集中；移项变号系数化，最后求解要验证验算重要性口诀解出答案别着急，代入原式要验证；左右相等则正确，不等重算要仔细自我检测自评分数表1知识点完全掌握基本掌握需要加强等式的性质□□□方程的概念□□□移项法□□□合并同类项□□□逆运算法□□□方程应用题□□□巩固拓展训练10基础巩固题数量涵盖所有基本题型5应用题数量生活实际问题的数学建模3拓展挑战题提高思维能力和解题技巧2创新实践任务设计实际生活中的方程应用本节小结核心概念方程是含有未知数的等式解题方法2移项法、合并同类项法、逆运算法基本原理等式性质是解方程的理论基础实际应用4方程可解决日常生活中的各种问题关键技能准确理解题意、正确列方程、细心计算、养成验算习惯拓展资源推荐推荐教材《趣味数学》这本书以生动有趣的方式讲解数学知识，包含大量与方程相关的趣味问题，适合小学高年级学生阅读《奥数教程》包含许多解方程的进阶题目，可以提高学生的解题能力和数学思维线上学习资源数学学习推荐数学乐园、小学数学助手等应用，提供互动练习和即时反馈APP在线视频教程可以在各大教育平台找到详细的方程解法讲解视频，帮助巩固课堂所学趣味学习工具数学游戏如方程大冒险、数学迷宫等游戏，寓教于乐，增强学习兴趣数学谜题集通过解决数学谜题，提高解方程的能力，培养逻辑思维课堂反馈与展望常见学生疑问总结后续学习展望为什么移项时需要变号？本课程是方程学习的基础，在后续学习中，我们将进一步探索

1.解题时如何选择最合适的方法？

2.面对复杂应用题，如何正确建立方程？

3.•多步方程的解法与应用如何避免常见的计算错误？

4.•方程组的概念与求解方法方程与其他数学知识如何联系？

5.•一元二次方程的初步认识•方程在更复杂实际问题中的应用这些问题反映了学生在学习过程中的思考和困惑，教师需要针对这些问题进行有针对性的讲解和指导通过扎实掌握本课程内容，为后续更深入的数学学习打下坚实基础方程作为数学中的重要工具，将伴随我们终身学习和应用。