实数的教学课件

实数教学课件导入从数谈起在我们生活的世界中，数无处不在从最初认识的自然数，到后来学习的整数、分数，我们生活中的无理数例子的数学认知不断扩展圆的周长与直径比值•π自然数（如）最初源于人类对事物数量的计数需求随着减法的引入，负数概念产1,2,

3...黄金比例•1+√5/2生，与自然数共同构成了整数体系正方形对角线与边长比值•√2当我们需要表示不能整除的量时，分数应运而生这些数共同构成了有理数系统然而，这些数系统仍无法描述所有现实中的数量关系例如，正方形对角线长度与边长的比生活中的有理数例子值无法用分数精确表示这促使我们需要更广泛的数系统实数——商品标价•¥

9.9温度计读数°•-5C分数考试成绩•98/100数的分类回顾自然数整数分数自然数是我们最早接触的数，用于计数，包括在自然数基础上，增加了和负整数表示为两个整数的比值1,2,3,

4...0p/q q≠0特点离散、用于计数、只有正整数（有些定义包含）特点包含正整数、和负整数特点可表示部分量，填补了整数间的空隙00记作记作例如等N={1,2,3,...}Z={...,-2,-1,0,1,2,...}1/2,3/4,-5/7有理数的定义及表示方法有理数是指所有可以表示为两个整数之比的数，即形如的数（其中）有理数可以表示为p/q q≠0分数形式如、•2/3-4/5小数形式•有限小数如（即）•

0.251/4无限循环小数如（即）•

0.

333...1/3常见有理数举例分数形式小数形式说明有限小数1/

20.5无限循环小数1/

30.

333...无限循环小数7/

90.

777...负有限小数-5/4-

1.250/10有理数的进一步认识有理数的构成分数与小数的关系有理数系统由三部分组成所有的有理数都可以表示为分数形式，也可以表示为小数形式小数形式分为有限小数如、等

0.

251.75正有理数无限循环小数如、

0.

333...

0.

142857142857...大于的有理数，如等01,

2.5,3/4判断规则将分数化为最简分数，如果的质因数只包含和，则为有限小数；否则为p/q q25无限循环小数表示增加、盈利、向上、向右等正向量实际问题举例负有理数银行存款利率为，存入元一年后可获得利息×元

3.5%

1001003.5%=

3.5小于的有理数，如等0-1,-

2.5,-3/4商店打八折，原价元的商品现价为×元

1201200.8=96表示减少、亏损、向下、向左等负向量零既不是正有理数也不是负有理数表示平衡点、起始点、无变化状态无理数的引入在我们认识的数字世界中，有理数似乎已经足够应对各种情况然而，当我们尝试计算一些特殊的数学问题时，会发现有理数系统的局限性其他著名的无理数无理数的发现历程π（圆周率）是最著名的无理数之一，表示圆的周长与直径的比值早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派就发现了一个令人困惑的问题正方形的对角线长度与边长无法用两个整数的比值表示这个比值就是我们现在熟知的π≈

3.

1415926535...√2，它是最早被发现的无理数e（自然对数的底）也是重要的无理数，在数学和科学中有广泛应用毕达哥拉斯学派试图证明所有数都可以表示为整数比，但他们发现√2无法表示为分数形式据传说，发现这一事实的学者因触犯学派信仰而被处死，可见这一发现的震撼性e≈

2.

7182818284...现实生活中的无理数现象开平方后不是有理数的数无理数虽然难以精确表示，但在现实世界中无处不在•√2≈

1.

414213562...•√3≈

1.

732050808...•圆形物体的周长与直径比值永远是π•√5≈

2.

236067977...•正方形的对角线长度与边长比值是√2•黄金比例1+√5/2，约等于

1.618，广泛存在于艺术和自然界中无理数的定义无理数的形式特征1小数部分无限不循环2不能表示成整数之比无理数的最显著特征是其小数表示既不是有限的，也不存在任何循环节每个无理数的无理数无法写成两个整数的比值形式（其中）这是无理数与有理数的本质区p/q q≠0小数展开式都是永无止境且无规律的别例如例如无法找到两个整数和，使得π=

3.

1415926535897932384626433832795...a b a/b=√2无论我们计算到小数点后多少位，都无法找到确定的循环节这一特性可以通过反证法证明若假设可表示为最简分数，将导致矛盾√2p/q常见的无理数示例无理数近似值数学意义正方形对角线与边长之比√

21.

4142135624...等边三角形高与边长之比的倍√

31.

7320508076...2圆周长与直径之比π

3.

1415926535...自然对数的底e

2.

7182818284...黄金比例，自然界中常见的比例φ

1.

6180339887...1+√5/2有理数与无理数关系实数系统的组成实数系统是数学中最基本的数系统之一，它包含了所有的有理数和无理数实数系统的构建是为了满足数学和现实生活中对连续量的描述需求数量对比实数的构成虽然有理数和无理数都有无穷多个，但从集合论角度看，无理数的无穷比有理数的实数由有理数和无理数两大类组成，覆盖了数轴上的所有点无穷更大互补关系数轴表示有理数和无理数互为补集，共同构成完整的实数系统实数可以一一对应到数轴上的点，体现了数的连续性具体举例对比特征有理数示例无理数示例小数表示有限或循环无限不循环

0.5,

0.

333...

0.

10110111...分数表示可表示不可表示1/2,22/7π,√2精确计算精确只能近似1/4+1/4=1/2π+√2实数的概念实数的定义数轴与实数的对应关系实数是数学中最基本的数系统之一，它包含了所有的有理数和无理数换句话说实数系统最直观的几何表示是数轴数轴上的每一点都对应唯一的一个实数，反之亦然这种一一对应关系体现了实数的连续性实数有理数∪无理数=这一定义表明，任何数若是有理数或无理数，那么它就是实数；反之，任何实数要么是有理数，要么是无理数实数系统的特点完备性实数系统填补了数轴上的所有空隙，使数轴变得连续无限性实数系统包含无限多个数有序性任意两个不同的实数之间存在大小关系稠密性任意两个不同的实数之间总存在其他实数日常生活中的应用虽然无理数不能精确表示，但在实际应用中，我们经常使用它们的近似值圆的面积计算，其中是无理数•S=πr²π正方形对角线长度，其中是无理数•d=a√2√2指数增长模型中的（自然对数的底）•e音乐中的频率比例常涉及无理数•实数的分类整理分类思维导图实数包含数轴上的所有点有理数可表示为分数形式p/q（q≠0）的数包括整数和分数整数包括自然数、0和负整数自然数4用于计数的数1,2,3,...有理数与无理数的区别和联系比较维度有理数无理数定义方式可表示为分数形式p/q不能表示为分数形式小数表示有限小数或无限循环小数无限不循环小数在数轴上的分布稠密但有间隙填补有理数间的空隙可数性质可列举（可数无穷）不可列举（不可数无穷）精确计算可以精确计算通常需要近似值典型代表归纳有理数典型代表0,1,-5,1/2,

0.75,-

2.3,

0.

333...,

0.

142857142857...无理数典型代表π,e,√2,√3,φ黄金比例,

0.

101001000100001...实数与数轴数轴的基本概念数轴是表示实数的一种几何模型，它是一条无限延伸的直线，上面有一个原点（表示数0），一个单位长度和一个正方向数轴的关键要素•原点表示数0•正方向通常向右为正方向•单位长度表示数1与0之间的距离•坐标每个点对应唯一一个实数如何在数轴上表示实数在数轴上表示实数，我们遵循以下原则•整数点...,-2,-1,0,1,2,...直接标在数轴上•分数点如1/2,3/4等，按比例标在相应位置•无理数点如√2,π等，通过作图或近似值标出有理数、无理数在数轴上的定位有理数定位有理数在数轴上的定位相对简单•整数直接在刻度上标出•分数可以通过等分单位长度来标出•例如3/4可以通过将0到1之间等分为4份，取其中第3个点无理数定位无理数的精确定位需要借助几何作图实数大小比较比较原则特殊值大小记忆实数之间的大小比较基于它们在数轴上的位置位于数轴右侧的数较大，位于左侧的数较小具体比较方法如下无理数近似值常用比较正负号比较√2≈

1.4141√

21.5正数0负数√3≈

1.

7321.7√

31.8例如50-3π≈

3.

141593.14π

3.15e≈

2.

718282.7e

2.72同号整数比较黄金比例φ≈

1.

618031.6φ

1.62比较绝对值大小正数越大，数值越大；负数越小，数值越大例如53，-2-6小数比较从高位到低位依次比较，首个不同数位的大小决定整个数的大小例如

3.

143.2，因为十分位12对于无理数，由于无法写出其精确值，通常采用近似值比较或利用代数关系进行间接比较练习数轴定位与比较有理数运算温习加法运算1同号相加绝对值相加，符号不变异号相加绝对值相减，取绝对值大的数的符号2减法运算例5+3=8；-2+5=3；5+-8=-3转化为加法a-b=a+-b乘法运算3例5-3=5+-3=2例-2--5=-2+5=3绝对值相乘，符号遵循同号得正，异号得负例3×4=12；-3×4=-12；-3×-4=124除法运算绝对值相除，符号规则同乘法，注意除数不能为0例12÷4=3；-12÷4=-3；-12÷-4=3小数、分数四则混合运算举例小数与小数运算小数与分数混合运算

2.5+

3.7=

6.

20.5+1/4=

0.5+

0.25=

0.

751.8-

0.95=

0.85或

0.5+1/4=2/4+1/4=3/4=

0.

750.3×

0.4=

0.12综合运算

2.4÷

0.8=

32.5×1/2+

0.3=

2.5×

0.5+

0.3=

2.5×

0.8=2分数与分数运算注意运算顺序先算括号内，再算乘除，最后算加减1/3+1/4=4+3/12=7/125/6-1/3=5-2/6=3/6=1/22/3×3/4=6/12=1/22/3÷3/4=2/3×4/3=8/9无理数运算法则无理数的近似计算近似值参与运算举例由于无理数不能表示为分数形式，且小数部分无限不循环，我们在实际计算中常使用其近似值

1.计算圆的周长C=2πr当r=5cm时，C=2×

3.14×5≈

31.4cm常用近似值

2.计算正方形的对角线长d=a√2π≈

3.14或

3.1416或22/7当a=10cm时，d=10×

1.414≈

14.14cm√2≈

1.414√3≈

1.732e≈

2.718精度选择科学计算通常取3-5位小数工程应用根据需要取2-3位小数日常估算可取1-2位小数无理数的四则运算无理数之间或无理数与有理数之间的运算遵循普通的四则运算法则，但结果通常仍为无理数或特殊情况下为有理数算术平方根、近似值截取说明算术平方根是指非负数的非负平方根例如•√4=2（不是-2）•√0=0近似值截取可采用四舍五入或向下取整等方法，视具体情况而定计算注意事项平方根的定义什么是平方根非负数才有平方根如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就称为a的平方根在实数范围内，只有非负数才有平方根这是因为任何实数的平方都是非负的对于任意非负实数a，它有两个平方根一个是正的，一个是负的，分别记作√a和-√a•正数的平方是正数例如•负数的平方是正数•0的平方是0•4的平方根是2和-2，因为2²=4，-2²=4•9的平方根是3和-3，因为3²=9，-3²=9因此，负数在实数范围内没有平方根例如，-4没有实数平方根，因为不存在实数x使得x²=-4•0的平方根是0，因为0²=0注意在复数范围内，负数是有平方根的，但这超出了初中阶段的学习范围用符号表示若x²=a，则x=±√a平方根的性质

1.√a²=a（a≥0）

2.√a²=|a|（a为任意实数）

3.当a0时，√a0平方根与算术平方根平方根与算术平方根的区别记号与书写规范对于任意非负实数a，它有两个平方根一个正值，一个负值而算术平方根特指其中的非负值平方根的标准记号是√（根号）•√a表示a的算术平方根（非负值）1•±√a表示a的两个平方根平方根•-√a表示a的负平方根在书写时需注意若x²=a，则x是a的平方根每个非负实数a有两个平方根√a和-√a•根号下的表达式称为被开方数•根号须写清晰，覆盖整个被开方数例如16的平方根是4和-4•被开方数较复杂时，可使用括号2算术平方根非负实数a的算术平方根是指其正的平方根，记作√a算术平方根是唯一的例如16的算术平方根是4特殊情况0的平方根只有一个，即0本身，因此0的算术平方根也是0立方根的定义立方根的基本概念立方根示例如果一个数的立方等于，即，那么这个数就称为的立方根，记作或y a y³=aya³√a a^1/3数值立方根验证与平方根不同，任意实数（无论正负）都有唯一的一个实数立方根这是因为a822³=8正数的立方是正数••负数的立方是负数2733³=27的立方是•00-8-2-2³=-8因此，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是00-27-3-3³=-27000³=0111³=1-1-1-1³=-1立方根的性质（为任意实数）

1.³√a³=a a（为任意实数）

2.³√a³=a a（、为任意实数）

3.³√a·b=³√a·³√b ab（为任意实数，）

4.³√a/b=³√a/³√bab≠0负数的立方根结果理解负数的立方根是学生常见的困难点需要牢记负数的立方根是负数立方根符号规范计算机表示方式例如，因为立方根符号为，其中左上角的表示立方根在计算器或电脑中，立方根常表示为³√-8=-2-2³=-8³√3x^1/3这与平方根不同，平方根在实数范围内只存在于非负数在手写时，切记将写在根号左上角，而不是根号内例如3-8^1/3=-2典型例题实数分类1例题判断下列各数分别属于哪一类数题目1判断下列各数分别属于哪一类数102-332/

540.572解题思路

50.

333...

60.

101001000...7√28π判断一个数属于哪一类数，需要按照实数的分类体系，从特殊到一般进行判断先判断是否为自然数

1.若不是自然数，判断是否为整数

2.详细分析3若不是整数，判断是否为有理数（能否表示为两个整数的比）

3.10整数（但不是自然数，根据定义自然数从1开始）

4.若不是有理数，则为无理数整数（负整数，不是自然数）需要特别注意的是小数的判断有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数2-3分数（不是整数，但可表示为整数比，是有理数）32/5有限小数（可表示为，是有理数）

40.5757/100无限循环小数（可表示为，是有理数）4易错分析

50.

333...1/3无限不循环小数（不能表示为分数形式，是无理数）常见错误

60.

101001000...7√2无理数（已证明不能表示为分数形式）

1.将0误认为是自然数（自然数从1开始）不能识别无限循环小数是有理数无理数（已证明不能表示为分数形式）

2.8π不清楚无限不循环小数的判断方法

3.忘记所有整数都是有理数

4.不能正确区分有理数和无理数的根本区别（能否表示为分数）

5.重要结论归纳数的类型包含关系判断依据自然数⊂整数⊂有理数⊂实数是否为正整数（或含）0整数⊂有理数⊂实数是否没有小数部分有理数⊂实数能否表示为分数形式（）p/q q≠0无理数⊂实数不能表示为分数，小数无限不循环典型例题数轴表示2例题在数轴上表示下列各数题目几何作图法标出和√2√3在同一数轴上表示下列各数除了利用近似值定位，我们还可以通过几何作图法精确标出√2和√3标出的方法-2,-

1.5,-1,-

0.5,0,

0.5,1,

1.5,2,√2,√3√2解题步骤详解

1.在数轴上找出点0和点

12.以0为圆心，1为半径作半圆确定数轴单位长度根据所给数据范围（-2到3之间），选择合适的单位长度

3.在点1处作数轴的垂线，长度为1标出整数点先在数轴上标出-2,-1,0,1,2等整数点

4.连接点0与垂线顶端标出有理数点

5.该线段长度为√2（勾股定理1²+1²=2）•-

1.5（即-3/2）在-2和-1之间的中点

6.以0为圆心，该线段为半径在数轴上作圆弧，交点即为√2•-

0.5（即-1/2）在-1和0之间的中点标出的方法√3•

0.5（即1/2）在0和1之间的中点•

1.5（即3/2）在1和2之间的中点可以用类似的方法，利用勾股定理和适当的直角三角形构造来定位√3标出无理数点易错警示•√2≈

1.414在1和

1.5之间靠近

1.4的位置•√3≈

1.732在

1.5和2之间靠近

1.7的位置常见错误•无理数定位不准确，尤其是仅凭感觉随意标点•将√2错误地标在

1.5处•忘记√3√2这一基本大小关系•数轴刻度不均匀，导致位置偏差有理数与无理数在数轴上的分布特点有理数的分布有理数在数轴上是稠密的，即任意两个不同的有理数之间总存在无穷多个有理数例如在0和1之间有无穷多个有理数，如1/2,1/3,2/3,1/4,3/4等尽管有理数是稠密的，但数轴上仍有空隙，这些空隙被无理数填充无理数的分布无理数也在数轴上稠密分布，任意两个实数之间总存在无穷多个无理数例如在1和2之间有无穷多个无理数，如√2,π/2,√3等从集合论角度看，虽然有理数和无理数都是无穷的，但无理数的无穷比有理数的无穷更大实数的连续性有理数和无理数共同构成了连续的实数系统，数轴上的每一点都对应唯一的一个实数，反之亦然这种连续性是实数系统的基本特征，也是区别于有理数系统的关键所在典型例题实数大小比较3比较下列各组实数的大小题目详细解析比较下列各组实数的大小1-

3.14与-π的比较1-

3.14与-ππ≈

3.

141593.14，因此-π-

3.

1422.5与√7即-π-

3.143√2与

1.

522.5与√7的比较4√10与π√7≈

2.

6462.5解题思路另一种方法比较平方，

2.5²=

6.257=√7²所以

2.5√7比较实数大小的基本方法3√2与

1.5的比较

1.正负号比较正数大于0，0大于负数

2.同号数比较比较绝对值大小√2≈

1.

4141.

53.对于无理数，通常使用近似值或平方转换法比较另一种方法比较平方，√2²=

22.25=

1.5²所以√

21.54√10与π的比较√10≈

3.162π≈

3.14159另一种方法比较平方，√10²=10π²≈

9.87所以√10π拓展到近似计算近似值的选择平方转换法估算与精确比较选择合适的近似值是比较实数大小的关键比较含平方根的数时，可转化为平方比较有时可以通过估算避免复杂计算•π≈

3.14或更精确的

3.14159•比较a与√b（当a0,b0）•如比较√98与10，因为√100=10，所以√9810•√2≈

1.414•等价于比较a²与b•比较√8与3，因为√9=3，所以√83•√3≈

1.732•例如比较2与√5，等价于比较4与5估算方法快速但要注意数值接近时的精确性•e≈

2.718这种方法避免了计算近似值，结果更精确近似值的精度应根据比较需求选择，当数值接近时需要更高精度提高题型剖析题型解题策略示例易错点梳理无理数的小数特点数轴表示混淆易错点混淆无限小数类型易错点有理数与无理数位置15错误认识认为所有无限小数都是无理数错误认识认为有理数和无理数在数轴上是分开的正确概念无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数正确概念有理数和无理数在数轴上交错分布，共同构成连续的实数系统示例

0.

333...=1/3（有理数），而

0.

101001000...（无限不循环）是无理数易错点数轴刻度不均匀6易错点2对无理数的识别错误操作在数轴上标点时刻度不均匀错误认识认为所有带根号的数都是无理数正确做法严格保持刻度均匀，特别是标记整数点时正确概念如果被开方数是完全平方数，结果是有理数示例√4=2（有理数），√2（无理数）平方根、立方根符号误写易错点平方根符号使用3错误写法√=2（漏写被开方数）或√4=±2（算术平方根混入正负号）正确写法√4=2，±√4=±2易错点立方根与负数4错误认识认为负数没有立方根正确概念负数有立方根，且为负数示例³√-8=-2，因为-2³=-8分层训练基础题1有理数分类选择题123判断下列各数中哪些是有理数在数轴上与之间有下列说法正确的是-2-1有限个有理数所有的分数都是有理数A.

0.25A.A.无限个有理数所有的小数都是无理数B.√4B.B.有限个无理数所有的无限小数都是无理数C.√2C.C.无限个无理数所有的无理数都是无限不循环小数D.

0.

121221222...D.D.解答解答E.-

0.

333...解答和都正确和正确B DA D、、是有理数分析在任意两个不同的实数之间，总存在无限多个有理数和无限多个无理数分析正确，分数形式都是有理数A BE Ap/q q≠0分析是有限小数；，是整数；是无限循环小数，可表示为例如，有理数等；无理数等错误，有限小数和无限循环小数是有理数A B=2E-1/3-

1.9,-

1.5,-

1.1-√3,-π/2B是无理数，不能表示为分数形式错误，无限循环小数是有理数C C是无限不循环小数，是无理数正确，所有无理数表示为小数时都是无限不循环的D D要点归纳知识点核心要点应用场景有理数特征能表示为分数形式判断一个数是否为有理数p/q q≠0小数与有理性有限小数和无限循环小数是有理数判断小数的有理性无理数特征不能表示为分数，小数无限不循环判断一个数是否为无理数实数的稠密性任意两个不同的实数之间有无限多个有理数和无理数理解实数系统的连续性数的包含关系自然数⊂整数⊂有理数⊂实数判断一个数属于哪一类基础题主要考察对实数基本概念和分类的理解，重点在于掌握有理数和无理数的定义特征，以及它们在数轴上的分布特点这是后续学习的基础，需要牢固掌握分层训练提升题2无理数、平方根、数轴应用1比较下列各数的大小1求下列各数的值1√2与

1.52√7与

2.61√16+√25=3√3-1与√22√4×√9=解答3√27-√8=解答1√2≈

1.

4141.5或比较平方√2²=

22.25=

1.5²1√16+√25=4+5=9因此√

21.52√4×√9=2×3=62√7≈

2.

6462.63√27-√8=3√3-2√2或比较平方√7²=

76.76=

2.6²注意第3题不能直接计算，需保留根号形式因此√

72.62下列说法中正确的是3√3-1≈

1.732-1=

0.732√2≈

1.414A.√3×√3=3因此√3-1√2B.√2+√8=√102解答下列问题C.√5²=5已知a=

0.

9999...，b=1，比较a与b的大小D.√-9=-3解答解答a=

0.

9999...是无限循环小数，可以证明a=1A和C正确证明设a=

0.

9999...解析则10a=

9.

9999...A√3×√3=3✓10a-a=

9.

9999...-

0.

9999...=9B√2+√8=√2+2√2=3√2≠√10✗9a=9C√5²=5✓a=1D负数在实数范围内没有平方根✗因此a=b=1，即a=b解析过程讲解1234平方根运算法则化简技巧平方比较法循环小数处理关键公式√a×√b=√a×b；√a÷√b=√a/b（b0）提取公因式√8=√4×2=√4×√2=2√2比较a与√b（a,b0）时，可转化为比较a²与b无限循环小数可转化为分数形式处理分层训练综合题3涉及分类、比较、运算多步骤综合题11已知a=

0.

101001000100001...,b=

0.25,c=√9,d=-√16,e=π1判断上述各数分别属于哪一类数2逐步解析2将这些数按从小到大排序3计算b+c-d的值1数的分类a=

0.

101001000100001...是无限不循环小数，属于无理数b=

0.25是有限小数，属于有理数c=√9=3是自然数，属于有理数d=-√16=-4是负整数，属于有理数e=π是无理数2从小到大排序d=-4ab=

0.25c=3e=π≈

3.14159解析d为负数最小；a是介于0和

0.2之间的小数；b=

0.25；c=3；e=π33计算b+c-d b+c-d=

0.25+3--4=

0.25+3+4=

7.25逐步拆解综合题综合题24已知x=√2+√3，求x²的值在实数集合中，解不等式√x+13解析解析x²=√2+√3²由于√x表示x的算术平方根，所以x≥0=√2²+2√2·√3+√3²√x+13=2+2√6+3√x2=5+2√6两边平方（注意平方是增函数，不改变不等号方向）注意a+b²=a²+2ab+b²展开公式的应用x4综合题3综合x≥0，得到0≤x4在数轴上，点A表示数2，点B表示数5求表示数√20的点C在数轴上的位置答案[0,4解析综合题5√20=√4·5=√4·√5=2√5若a是有理数，b是无理数，判断下列各数是有理数还是无理数设点C表示√20，则需要在数轴上找到2√5的位置1a+b2a×b3a-a解析数学建模小活动用实数解决生活实际问题数学不仅仅是抽象的理论，它在我们的日常生活中有着广泛的应用通过以下活动，我们将探索如何利用实数知识解决实际问题圆形篮球场设计正方形地砖铺设黄金比例在艺术中的应用某学校计划建造一个圆形篮球场已知场地直径为米，求一个正方形房间边长为米，要用边长为米的正方形地砖铺满问黄金比例在艺术和建筑中广泛应用设计一个长方形画框，长宽比

2850.5φ=1+√5/2≈

1.618为黄金比例篮球场的周长需要多少块地砖？

1.

1.如果宽度为厘米，长度应为多少？篮球场的面积如果沿房间对角线铺设，最长一排需要多少块地砖？

1.

252.

2.这样的画框看起来比普通长方形更有美感吗？为什么？如果要在篮球场周围铺设米宽的人行道，需要多少平方米的材料？这个问题涉及的应用对角线长度米，最长一排约需要÷

2.

3.1√2=5√25√

20.5=10√2≈14块地砖长度××厘米这个问题涉及的应用×米；×平方米=251+√5/2≈

251.618≈

40.45πC=πd=π28S=πr²=π14²=196π培养数学应用意识实数在测量中的应用估算与精确计算的权衡数学模型的建立现实世界中的许多测量结果都是无理数，但我们通常使用有理数近似值在实际应用中，我们需要根据情境决定计算精度解决实际问题的关键是建立合适的数学模型•圆柱形水塔的容量计算涉及π•工程设计可能需要较高精度（如π取

3.14159）•识别问题中的数学关系•土地面积测量可能包含√

2、√3等无理数•日常估算可能只需要粗略值（如π取

3.14）•选择合适的数学工具（如代数式、几何图形）•温度、重量等物理量通常用有理数近似表示•不同场景下精度要求不同，需灵活应对•理解实数在模型中的角色（精确值vs近似值）通过这些活动，学生不仅能加深对实数概念的理解，还能培养将数学知识应用于实际问题的能力这种数学建模思维是现代数学教育的重要目标之一，也是提高学生综合素质的有效途径问题探究无理数的存在证明历史故事的证明不是有理数的证明√2√2公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派认为万物皆数，他们相信所有数量关系都可以用整数比表示然而，当他们试图确定正方形对角线与边长的比值时，遇到下面是一个经典的反证法证明了一个震撼性的发现假设√2是有理数，则存在两个互质的整数p和q（q≠0），使得据传说，毕达哥拉斯学派的一位成员希帕索斯首次证明了√2不能表示为分数形式这一发现动摇了学派的基本信仰，因为它表明自然界中存在无法用简单整数比描述的量传说希帕索斯因泄露这一秘密而被处死，被学派成员推入大海淹死√2=p/q虽然这个故事可能有所夸张，但它反映了无理数发现对古希腊数学思想的巨大冲击这一发现促使数学家们拓展了对数的理解，最终导致了实数理论的发展两边平方得2=p²/q²，整理得p²=2q²这说明p²是偶数，因此p也是偶数（若p是奇数，则p²也是奇数）既然p是偶数，可以写成p=2k（k为整数）代入p²=2q²，得2k²=2q²整理得4k²=2q²，即q²=2k²这说明q²是偶数，因此q也是偶数但这与p、q互质矛盾！因此，原假设不成立，√2不是有理数，即√2是无理数这个证明不仅具有历史意义，也是反证法的经典范例，展示了严谨的数学推理过程与古希腊数学家的关联希帕索斯公元前5世纪的数学家，据传是首个证明√2是无理数的人他可能因泄露这一危险的发现而被学派驱逐或毕达哥拉斯更严重的惩罚公元前580-前500年，创立毕达哥拉斯学派，信奉万物皆数的哲学他的学派发现了无理数，但由于与其信仰冲突，最初将其视为秘密欧几里得公元前300年左右，在其著作《几何原本》中系统地处理了无理数理论，为无理量提供了几何解释，并发展了求最大公约数的辗转相除法5实数在现实中的意义科学计量中的实数应用工程测量中的实数应用建筑与土木工程物理学建筑设计中无理数的应用物理常数通常是无理数•圆形建筑的面积和周长计算•黄金比例在建筑设计中的应用•重力加速度g≈

9.8m/s²•结构强度计算中的无理数•普朗克常数h≈

6.626×10⁻³⁴J·s•光速c=299,792,458m/s电子工程电路设计与计算•交流电中的相位角（弧度制）化学•谐振频率计算包含π元素原子量、化学反应计算•电子元件的精密尺寸测量•碳原子量

12.011•氧原子量

15.999导航与测绘•化学计量数经常是无理数比GPS定位与地图测绘•球面三角法计算包含无理数•地球坐标系中的角度测量生物学•距离计算中的三角函数应用生物群体增长模型•指数增长模型包含自然常数e•DNA螺旋结构中的角度关系•生物多样性的数学模型数学之外的广泛意义艺术与美学黄金比例φ=1+√5/2在艺术作品中广泛应用•达芬奇的《蒙娜丽莎》中的比例关系•帕特农神庙的设计比例•音乐中的频率比和和声关系这些比例关系被认为具有天然的美感，体现了数学与艺术的深层联系经济与金融小组合作讨论给定实际问题分类与分析以下是几个与实数相关的实际问题，请小组成员合作讨论、分析并解决每个小组完成后，选派代表向全班汇报解决思路和结果123无理数的发现与探索生活中的实数问题创造性思考假想一个没有无理数的世界问题描述除了我们已经学过的、等无理数外，还有哪些著名的无理数？问题描述在一个圆形游泳池中，直径为米如果要在游泳池边缘铺设一圈问题描述假设我们生活在一个只有有理数的世界，所有的计算和测量都只能√2π10它们在数学中有什么重要意义？请小组成员查阅资料，至少找出个其他著名无宽为米的瓷砖，需要铺设多少平方米？如果瓷砖价格为每平方米元，总用有理数表示这个世界会有什么不同？科学和技术发展会受到什么影响？31150理数，并说明它们的数学意义共需要多少钱？讨论要点讨论要点讨论要点几何学中的圆和正方形会如何处理？•这些无理数是如何被发现的？如何计算环形面积？••物理定律的表述会有什么变化？•它们在数学或其他学科中有什么应用？取多少位小数比较合适？为什么？••π计算机和数字技术是否会受到限制？•如何证明它们是无理数？最终结果应该如何处理（四舍五入、向上取整等）？••预期成果一篇短文或思维导图，描述只有有理数的世界与我们现实世界的预期成果制作一张著名无理数大全的海报或电子展示，包含这些无理数的预期成果完整的解题过程和解释，以及对现实因素的考虑（如瓷砖的浪费、差异近似值、历史背景和应用施工误差等）促进学生合作与表达能力小组角色分配讨论规则成果展示每个小组可设置以下角色遵循以下规则促进有效讨论汇报时注意以下几点组长协调讨论，确保每个人都有发言机会尊重每个人的发言，不打断他人简明扼要地介绍问题和解决思路•••记录员整理小组的讨论内容和结论质疑想法而非质疑人重点突出关键的数学概念和方法•••质疑者提出问题，挑战思维定势基于前人观点进行补充和发展展示过程中的思考和困惑•••汇报者向全班展示小组成果使用数学语言准确表达想法欢迎其他小组提问和补充•••小组合作讨论不仅能加深对实数概念的理解，还能培养学生的合作精神、批判性思维和表达能力通过解决开放性问题，学生能够体验数学思维的多样性和创造性，感受数学与现实世界的紧密联系知识结构小结表格方式归纳所有实数相关概念数的分类定义表示方式典型例子包含关系自然数用于计数的数1,2,3,...1,7,100⊂整数⊂有理数⊂实数整数自然数、0和负整数...,-2,-1,0,1,2,...-5,0,8⊂有理数⊂实数有理数可表示为分数p/q q≠0的数分数或有限/循环小数1/2,

0.75,-

2.

333...⊂实数无理数不能表示为分数的数无限不循环小数√2,π,e⊂实数实数有理数与无理数的总称数轴上的所有点包含所有上述类型完整的数轴重点难点再次梳理概念理解运算规则•有理数能表示为分数形式p/q q≠0的数•有理数四则运算法则•无理数不能表示为分数的数，小数部分无限不循环•平方根与算术平方根的区别•实数有理数和无理数的总称，对应数轴上的点•根号的运算√a·√b=√a·b，√a/√b=√a/b b0难点理解无理数的概念，区分有理数与无理数难点无理数的运算，特别是含根号式的运算大小比较实际应用•数轴上的位置关系•几何问题中的π、√2等无理数应用•近似值方法精确到一定小数位•科学计算中的近似值处理•平方转换法比较a与√b时，比较a²与b•实数在各学科中的广泛应用难点无理数之间或无理数与有理数的大小比较难点理解无理数的近似处理及其在实际问题中的应用核心能力要求识别与分类计算与运算能够准确判断一个数属于哪一类（自然数、整数、有理数、无理数或实数）熟练进行有理数的四则运算掌握各类数的定义特征和表示方式掌握含无理数的基本运算法则理解数的包含关系和层次结构能够进行平方根、立方根的运算和化简合理选择实数的近似值进行计算课后作业布置基础练习题（各道）5

一、实数分类

三、平方根与立方根计算判断下列各数分别属于哪类数计算下列各式的值

1.-

1.

51.√36+√

492.

0.

252525...

2.√25×√

43.√

163.³√8+³√-

84.

0.

101001000...

4.√3²

5.-√

85.√1/4

二、有理数与无理数判断

四、数轴表示判断下列说法是否正确在数轴上表示下列各数

1.所有的整数都是有理数

1.-2,-

1.5,0,1,

22.所有的小数都是无理数

2.1/4,1/2,3/

43.π是无理数

3.√2,√

34.√9是无理数

4.-π,-1,0,1,π

5.

0.

333...是无理数

5.

2.5,

2.55,

2.555,

2.5555提升练习题（各道）512实数比较根式运算比较下列各组实数的大小计算下列各式

1.√7与

2.

71.√5+√2²

2.π与22/

72.√3-1√3+

13.√10与π

3.√27-√12+√

34.√2+√3与

34.√8÷√

25.-√5与-

2.

55.2+√3²-2-√3²要求写出详细的比较过程和理由要求尽量化简，给出完整步骤34应用问题证明题课堂总结与思考实数学习的重点反思应用能力1运用实数知识解决实际问题运算能力2有理数与无理数的运算法则及应用比较能力3实数大小比较方法及数轴表示分类能力4区分有理数与无理数的特征及识别方法概念理解5实数的定义、分类及基本性质学习成果反思知识收获学习方法反思通过本章学习，我们系统掌握了实数的概念、分类、运算和应用，建立了完整的实数知识体系特别是对有理数和无理数的理解，对平方根和立方根的运算，以及在学习实数过程中，有效的学习方法包括实数在数轴上的表示等方面有了深入认识•概念图谱法构建实数分类的思维导图，厘清各类数之间的关系我们还了解了实数的历史发展，认识到数学概念的演进过程，体会到数学既是一门精确的科学，也是人类智慧的结晶和文化的一部分•对比学习法通过对比有理数和无理数的特征，加深理解能力提升•实例分析法通过具体例子理解抽象概念•历史探究法了解无理数发现的历史，增强学习兴趣通过多种类型的练习和应用，我们提升了以下关键能力•应用驱动法通过解决实际问题，体会实数的应用价值•数学思维能力抽象思维、逻辑推理、类比迁移学习困难与解决•运算能力准确计算、灵活转化、合理估算•问题解决能力分析问题、构建模型、验证结果在学习过程中可能遇到的困难及解决方法•数学语言表达能力准确使用数学术语和符号•无理数概念的抽象性通过几何直观（如数轴、正方形对角线）辅助理解•根式运算的复杂性掌握基本法则，多做练习，形成条件反射•实数大小比较的困难灵活运用平方转换法、近似值法等多种方法•应用问题的综合性建立实际问题与数学模型的联系，培养应用意识鼓励学生举例生活中的实数。