边角边教学课件

边角边教学课件目录基础概念应用与实践拓展与总结•边角边定义与理解•基本类型与实际应用•课堂互动与小结•边角边判定定理•典型例题与变式训练•知识结构梳理•全等三角形概念•易错点与疑难分析•课后延伸学习导入情境日常生活中的三角形全等实例我们生活中处处可见三角形结构，比如桥梁的支架、房屋的屋顶、帐篷的骨架等这些结构为什么如此坚固？正是因为三角形具有稳定性当我们需要制作相同的三角形结构时，如何确保它们完全一样呢？问题引入假设我们有两个三角形，但是它们被放在不同的位置，甚至方向不同，我们如何判断它们是否完全相同（全等）？是否需要测量所有的边和角？有没有更简便的方法？这就引出了我们今天要学习的边角边判定定理三角形基本元素回顾123三边三顶点三内角三角形有三条边，通常用小写字母a、b、c表示，三角形有三个顶点，通常用大写字母A、B、C表三角形有三个内角，通常用∠A、∠B、∠C表示，分别对应其对角A、B、C示顶点是两边的交点，也是内角的顶点或者用α、β、γ表示按边分类等边三角形（三边相等）、等腰三角顶点是三角形最基本的几何元素之一，确定三个按角分类锐角三角形（三个角都是锐角）、直形（两边相等）、不等边三角形（三边不等）不共线的点就能唯一确定一个三角形角三角形（有一个直角）、钝角三角形（有一个钝角）三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°什么是全等三角形全等三角形的定义全等三角形判定方法的必要性全等三角形是指形状和大小完全相同的三角形更严格地说，如果两个三角形能够完全重合，则要证明两个三角形全等，理论上需要证明六个量（三边三角）都对应相等但这样的工作量太大，称这两个三角形全等且有些量可能难以直接测量在数学上，全等三角形满足以下条件•对应边分别相等（三组）•对应角分别相等（三组）我们用符号≌表示全等关系，例如△ABC≌△DEF表示三角形ABC与三角形DEF全等判定方法总览边边边判定（SSS）边角边判定（SAS）角边角判定（ASA）如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，则如果两个三角形的两角及其夹边对应相等，则角形全等这两个三角形全等这两个三角形全等符号表示若△ABC与△DEF中，AB=DE，符号表示若△ABC与△DEF中，AB=DE，符号表示若△ABC与△DEF中，∠A=∠D，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF这是基于三边可以唯一确定一个三角形的几何这是本课重点学习的判定方法这也是常用的判定方法之一事实边角边（）概念SAS边角边判定的核心要素边角边判定法（SAS）中的关键要素包括两边两个三角形的两组对应边长度相等夹角这两组对应边所夹的角度相等在边角边判定中，夹角是指由两条已知边所形成的角这个角必须是这两条边的夹角，而不能是其他角强调夹角含义夹角指的是两条边之间形成的角，必须满足•该角的顶点是两条已知边的公共端点•该角的两边就是这两条已知边在上图中，如果满足•AB=PQ（第一组对应边相等）•∠A=∠P（对应夹角相等）•AC=PR（第二组对应边相等）那么根据边角边判定定理，我们可以得出结论△ABC≌△PQR边角边判定定理边角边判定定理（SAS）如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等这一定理的正式表述为设有两个三角形△ABC和△DEF，如果满足

1.AB=DE（第一组对应边相等）

2.∠B=∠E（对应夹角相等）

3.BC=EF（第二组对应边相等）那么，△ABC≌△DEF需要特别注意的是，这里的∠B和∠E必须是AB与BC、DE与EF的夹角也就是说，这两个角必须是已知相等的两组边所夹的角，而不能是其他角边角边判定的符号表示符号化表达为了简化表达，我们通常用符号来表示边角边判定条件对于两个三角形△ABC和△DEF，如果•AB=DE•∠B=∠E•BC=EF则可以得出△ABC≌△DEF在这里，我们选择了B和E作为夹角的顶点需要注意的是，我们也可以选择其他顶点作为夹角，只要保证是两组已知相等的边的夹角即可图示与符号结合在实际解题中，我们往往会结合图示和符号表达来应用边角边判定定理步骤如下

1.明确已知条件（两边及夹角）

2.标记出对应的边和角为什么要用夹角夹角与非夹角的区别在边角边判定中，夹角是指由两条已知相等的边所形成的角这个角必须是这两条边的夹角，而不能是其他角例如，在△ABC中，如果已知AB和BC两边的长度，那么∠B就是夹角，而∠A和∠C就是非夹角夹角的唯一性和必要性从上图可以看出为什么一定要是夹角呢？这是因为当我们固定两边长度，改变它们的夹角时，第三边的长度会随之变化，形成不同的三角形•只有夹角才能与两边一起唯一确定一个三角形•如果使用非夹角，即使两边和一个非夹角相等，也可能构成不同的三相反，如果我们固定两边长度和一个非夹角，第三边仍有多种可能的长角形度，无法唯一确定一个三角形•夹角改变，三角形的形状也会改变，即使其他条件不变边角边判定的逻辑依据几何公理基础唯一性原理边角边判定定理基于几何的基本公理在边角边判定的核心是唯一性原理两边及欧几里得几何中，我们假设空间是均匀的，其夹角可以唯一确定一个三角形物体的位置和方向不影响其几何性质这就像在平面上，给定两点和它们与第三点所形成的角度，那么第三点的位置是唯这意味着如果两个三角形的某些要素相等，一确定的那么在理想情况下，这两个三角形可以完全重合，即全等刚体不变性三角形是刚体结构，当确定了两边及其夹角后，第三边的长度和其他角度都被唯一确定这种刚体不变性是三角形在工程结构中广泛应用的基础，也是边角边判定定理的物理依据经典证明思路拼合法结构法拼合法是证明边角边判定定理的经典方法，其基本思路是结构法是从全等三角形的性质出发，推理证明边角边判定定理

1.假设有两个三角形△ABC和△DEF，满足AB=DE，∠B=∠E，BC=EF

1.对于两个三角形△ABC和△DEF，已知AB=DE，∠B=∠E，BC=EF

2.将△DEF移动到△ABC上，使DE与AB重合，E与B重合

2.构造一个与△DEF全等的三角形△ABC，使得BA=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF

3.由于∠B=∠E，所以EF会与BC重合

3.根据已知条件，可以推导出BA=AB，∠ABC=∠B，BC=BC

4.由于BC=EF，所以F会与C重合

4.由此可知，A与A重合，C与C重合

5.因此，△DEF与△ABC完全重合，即△ABC≌△DEF拼合法直观地展示了边角边判定的几何意义，是理解这一定理最直接的方式典型例题1直接应用例题描述如图所示，在△ABC和△DBE中，已知

1.AB=DB

2.∠ABC=∠DBE

3.BC=BE求证△ABC≌△DBE分析思路这是一道典型的边角边判定应用题我们需要

1.明确已知条件两边AB、BC和DB、BE，以及夹角∠ABC和∠DBE

2.确认夹角是否正确∠ABC是AB和BC的夹角，∠DBE是DB和BE的夹角

3.应用边角边判定定理证明过程已知例题详细讲解1第三步得出结论并延伸第二步确认判定条件根据边角边判定定理，△ABC≌△DBE第一步分析已知条件检查是否满足边角边判定的三个条件根据全等三角形的性质，可以进一步得出仔细阅读题目，找出已知的边和角

1.一组对应边相等AB=DB✓•对应边相等AC=DE•已知两边AB=DB,BC=BE

2.对应夹角相等∠ABC=∠DBE✓•对应角相等∠BAC=∠BDE,∠BCA=∠BED•已知夹角∠ABC=∠DBE

3.另一组对应边相等BC=BE✓这些结论可能在后续问题中有用注意∠ABC是AB和BC的夹角，∠DBE是DB和BE的确认三个条件都满足，可以应用边角边判定定理夹角，满足边角边判定的条件典型例题2带有延伸例题描述如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O已知

1.AB=CD

2.∠BAO=∠DCO

3.AO=CO求证△ABO≌△CDO分析思路这是一个需要识别边角边条件的复杂例题我们需要

1.分析已知条件，识别出两个三角形中对应的边和角

2.确认是否满足边角边判定的条件

3.应用边角边判定定理例题2详细解析第一步明确已知条件在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O已知•AB=CD（两边相等）•∠BAO=∠DCO（两角相等）•AO=CO（两边相等）需要证明△ABO≌△CDO第二步分析边角边条件要应用边角边判定，需要两边及其夹角对应相等分析已知条件•已知AB=CD，这是一组对应边•已知AO=CO，这是另一组对应边•但∠BAO=∠DCO不是AB和AO、CD和CO的夹角需要转换思路，寻找其他满足条件的边和角第三步重新组织条件观察三角形△ABO和△CDO•已知AB=CD（一组对应边）•已知AO=CO（另一组对应边）•需要证明它们的夹角相等，即∠AOB=∠COD由于∠BAO=∠DCO，可以推导出∠AOB=∠COD（补角关系或同位角关系）第四步应用边角边判定现在我们有•AB=CD•∠AOB=∠COD（通过推导得出）•AO=CO满足边角边判定条件，因此△ABO≌△CDO边角边判定类问题易错点漏掉夹角或混淆位置边与角位置搭配错误最常见的错误是忽略夹的要求，误将非夹角另一个常见错误是边与角的位置搭配不正确，作为判定条件导致无法应用边角边判定例如已知AB=DE,BC=EF,∠A=∠D，错误地例如已知AB=PQ,AC=PR,∠B=∠Q，错误地认为可以得出△ABC≌△DEF实际上∠A不是认为可以得出△ABC≌△PQR实际上∠B不是AB和BC的夹角，不能应用边角边判定AB和AC的夹角，不能应用边角边判定正确做法确保所用的角是已知两边的夹角，正确做法确保角的顶点是两边的公共端点，即位于两边的公共端点处的角即如果已知AB和AC，则应使用∠A混淆边角边与边边角学生容易混淆边角边SAS与边边角SSA这两个概念边角边SAS两边及其夹角对应相等边边角SSA两边及一非夹角对应相等（这不足以判定三角形全等）正确做法牢记边角边中的角必须是夹角，即两边的公共端点处的角边角边与边边角区别边角边（SAS）与边边角（SSA）的本质区别边角边（SAS）和边边角（SSA）在几何条件上有本质区别边角边（SAS）两边及其夹角对应相等，可以判定三角形全等边边角（SSA）两边及一非夹角对应相等，不能判定三角形全等反例讲解我们可以通过反例说明为什么边边角条件不足以判定三角形全等设有两个三角形△ABC和△DEF，满足•AB=DE•AC=DF•∠B=∠E这里∠B不是AB和AC的夹角，而是一个非夹角在这种情况下，可以构造出两个不同的三角形，典型考试陷阱满足上述条件但不全等在考试中，常见的陷阱包括

1.给出边边角条件，问是否能判定三角形全等

2.提供的条件中角不是夹角，但表述方式容易混淆

3.需要通过作图或其他方式证明边边角不能判定三角形全等避免陷入这些陷阱的关键是•牢记边角边判定中的角必须是夹角•明确标识已知条件中的边和角的位置关系变式训练填空/选择题填空题如图所示，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE,AC=DF,∠BAC=∠EDF根据____________判定定理，可以得出1△ABC≌△DEF解析观察已知条件，AB=DE,AC=DF表示两组对应边相等，∠BAC=∠EDF表示这两组边的夹角相等这满足边角边判定定理的条件因此，空格处应填边角边或SAS选择题已知两个三角形△ABC和△PQR中，AB=PQ,AC=PR,∠C=∠R下列判断正确的是A.可以用边角边判定△ABC≌△PQR2B.可以用角边角判定△ABC≌△PQRC.可以用边边边判定△ABC≌△PQRD.无法判断△ABC与△PQR是否全等解析已知AB=PQ,AC=PR,∠C=∠R注意∠C不是AB和AC的夹角，而是一个非夹角，因此不能用边角边判定其他条件也不满足角边角或边边边判定正确答案是D判断题如果两个三角形的两边对应相等，并且这两边的对应夹角相等，那么这两个三角形全等（）解析这个描述正是边角边判定定理的内容如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等因此，判断为正确拓展练习综合应用综合应用题如图所示，在△ABC中，点D是BC边上的一点，点E是AC边上的一点已知BD=CE,∠ABD=∠ACE,AB=AC求证△ABD≌△ACE分析与解答分析已知条件BD=CE,∠ABD=∠ACE,AB=AC寻找满足边角边的要素•AB=AC（一组对应边）•BD=CE（另一组对应边）边角边结合其他定理•∠ABD=∠ACE（两组边之间的角）检查角是否为夹角∠ABD是AB和BD的夹角，∠ACE是AC和CE的夹角在实际问题中，边角边判定往往需要与其他几何定理结合使用应用边角边判定由于满足边角边条件，可以得出△ABD≌△ACE全等传递性如果△A≌△B且△B≌△C，则△A≌△C等腰三角形性质等腰三角形的两底角相等平行线性质平行线被第三条线所截，形成的同位角相等三角形中线、角平分线性质这些辅助线可以帮助构造满足边角边条件的三角形灵活运用这些几何性质，结合边角边判定定理，可以解决许多复杂的几何问题边角边判定在实际问题中的应用桥梁设计建筑勘测在桥梁设计中，三角形结构因其稳定性而被广泛应用工程师利用边角边判定原理确保桥梁两侧的三角形支撑结构在建筑测量中，测量师利用三角测量法测定建筑物的高度和距离这一方法基于边角边原理，通过测量两个已知点完全对称，以均匀分布重量和应力与目标点形成的三角形的两边和夹角，计算出目标点的位置例如，悬索桥的主缆和吊索形成的三角形结构，需要保证两侧对称位置的三角形全等，这就需要应用边角边判定原例如，测量高楼的高度时，可以在地面上设定两个测量点，测量它们之间的距离和它们与楼顶形成的角度，利用边理进行设计和验证角边原理计算出高楼的高度边角边判定原理在实际生活和工程中有着广泛应用除了上述应用外，它还被用于机械设计机械臂和连杆机构的设计利用三角形结构，确保运动的精确性和重复性建筑结构屋顶桁架和支撑结构的设计，确保承重均匀和结构稳定导航系统GPS和其他导航系统利用三角测量原理确定位置艺术设计建筑和艺术作品中的三角形元素设计，确保视觉上的平衡和对称边角边判定在竞赛题中的高级应用多三角形拼接在数学竞赛中，边角边判定常与多个三角形的拼接结合，形成复杂的几何结构解题思路通常包括

1.分解复杂图形为多个三角形

2.寻找关键的全等三角形对

3.利用边角边判定建立全等关系

4.通过全等三角形的性质传递关系

5.得出最终所求的几何量面积比分析利用全等三角形的性质解决面积比问题•全等三角形的面积相等•通过边角边判定确立全等关系•分析复杂图形中不同部分的面积比•结合代数方法求解最终问题典型难题示例在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点证明△AEF≌△ACB解析

1.在平行四边形ABCD中，我们知道AB∥CD，AD∥BC

2.E是BC的中点，所以BE=EC

3.F是CD的中点，所以CF=FD

4.在△AEF和△ACB中•由平行四边形性质，AB=CD，所以AB=2CF•同理，BC=AD，所以BC=2AE微项目动手拼三角形活动目标通过动手实践，体验边角边条件对确定三角形的作用，加深对边角边判定定理的理解所需材料•硬纸板或厚卡纸•直尺和量角器•剪刀•铅笔和彩色笔活动步骤

1.绘制两个三角形，保证它们的两边和夹角分别相等变式实验

2.在纸上标记出对应的边和角边边角实验绘制两个三角形，保证它们的两边和一个非夹角相等，观察它们是否全等

3.沿着边剪下这两个三角形边角边与其他判定比较分别用边角边、角边角、边边边条件绘制三角形，比较不同判定方

4.通过叠放验证这两个三角形是否完全重合法的可行性测量验证在不同判定条件下，测量未给定的边和角，验证全等三角形的性质讨论与反思完成活动后，学生可以讨论•为什么边角边条件能唯一确定一个三角形？•为什么边边角条件不能唯一确定一个三角形？•在实际应用中，哪种判定方法更容易实现？课堂互动判断全等12快速判断条件补充看图判断下列各对三角形中，哪些可以用边角边判定为全等？给出部分条件，让学生补充完整以满足边角边判定已知△ABC和△PQR中，AB=PQ,________，则△ABC≌△PQR•图1△ABC和△DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠B=∠E•图2△MNP和△QRS，已知MN=QR,MP=QS,∠N=∠R可能的正确答案•图3△XYZ和△UVW，已知XY=UV,YZ=VW,∠Z=∠W•BC=QR,∠B=∠Q答案与解析图1可以（满足边角边条件），图2不可以（角不•AC=PR,∠A=∠P是夹角），图3不可以（角不是夹角）•BC=QR,∠ABC=∠PQR注意补充的条件必须满足两边夹一角的结构3错误分析分析以下错误判断，并说明原因已知△ABC和△DEF中，AB=DE,AC=DF,∠C=∠F，所以△ABC≌△DEF错误原因∠C不是AB和AC的夹角，而是∠A才是AB和AC的夹角这里的条件是边边角（SSA），不能判定三角形全等纠正方法将条件改为AB=DE,AC=DF,∠A=∠D，则可以用边角边判定三角形全等课堂互动环节旨在通过实时反馈，帮助学生深化对边角边判定的理解通过快速判断、条件补充和错误分析等活动，学生可以在实践中掌握边角边判定的应用技巧，特别是对夹角概念的准确理解这种互动式学习方式能够有效提高学生的学习兴趣和参与度，促进几何思维的发展常见考试题型汇总判断题要求判断给定的条件是否能确定两个三角形全等例已知△ABC和△DEF中，AB=DE,BC=EF,∠A=∠D，判断是否能确定△ABC≌△DEF技巧检查给定的角是否为已知两边的夹角，避免混淆边角边和边边角条件出现频率约占边角边相关题目的30%，多见于选择题和判断题部分证明题给定一些条件，要求证明两个三角形全等例证明在等腰三角形中，两底角所在的三角形全等技巧明确标记已知条件，正确识别满足边角边条件的要素，按照已知-分析-应用定理-结论的格式进行证明出现频率约占边角边相关题目的40%，是中考的重点题型计算题利用三角形全等推导未知量例通过边角边判定两三角形全等，求解未知边长或角度技巧先证明三角形全等，再利用对应边相等、对应角相等的性质求解未知量出现频率约占边角边相关题目的20%，常与其他几何知识结合出题综合应用题结合多个几何概念，解决复杂问题例在平行四边形中，利用边角边判定证明特定三角形的性质技巧分解复杂问题，找到关键的三角形全等关系，结合其他几何定理进行推理出现频率约占边角边相关题目的10%，多见于中考压轴题和竞赛题根据近五年中考真题统计，边角边判定相关题目出现频率较高，约占几何题目的15%-20%其中，证明题和判断题是最常见的题型在备考中，应重点掌握边角边判定的应用条件和证明格式，特别注意区分边角边与边边角，避免常见错误同时，要加强与其他几何知识的融合应用，提高解决综合问题的能力学生成果展示小组全等判定海报学生们可以制作创意海报，展示边角边判定的要点和应用实例海报内容可以包括•边角边判定定理的图解说明•常见例题及解析•生活中的应用实例•与其他判定方法的比较海报制作不仅能巩固知识，还能锻炼学生的协作能力和创意表达能力案例分享学生可以分享自己发现的生活中运用边角边原理的案例，如•建筑结构中的三角支撑•桥梁设计中的三角构件•测量工具中的三角原理老师点评要点教师在点评学生成果时，可以关注以下几点科技辅助几何画板动画演示几何画板的优势几何画板是一款交互式几何软件，它能直观地展示几何概念和定理在学习边角边判定时，几何画板可以帮助我们•动态演示三角形的构造过程•直观展示边角边条件下三角形的唯一性•对比不同判定条件的效果•验证全等三角形的性质动画演示内容通过几何画板，我们可以创建以下动画演示

1.边角边构造演示固定两边和夹角，观察三角形的唯一性

2.边边角对比演示固定两边和非夹角，观察可能形成的不同三角形

3.全等三角形重合演示通过平移和旋转，展示全等三角形的重合过程实施建议在课堂上使用几何画板时，可以采取以下方式教师演示教师操作软件，学生观察并讨论学生实践在电脑教室中，学生自己操作软件，探索几何规律小组任务给不同小组分配不同的探究任务，然后分享发现课后延伸边角边以外的全等判定边边边判定（SSS）角边角判定（ASA）角角边判定（AAS）如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等如果两个三角形的两角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等如果两个三角形的两角和一非夹边对应相等，则这两个三角形全等这是最直观的判定方法，基于三条边能唯一确定一个三角形的几何事实这一判定方法在测量中尤为重要，因为角度通常比长度更容易精确测量，这是角边角判定的变形由于三角形内角和为180°，知道两个角即可确定在工程测量和结构设计中应用广泛特别是在大尺度的测量中第三个角，因此这一判定与ASA本质上是等价的例如已知△ABC和△DEF中，AB=DE,BC=EF,AC=DF，则△ABC≌△DEF例如已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E，则例如已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,AB=DE，则△ABC≌△DEF△ABC≌△DEF全等与相似的本质区别全等三角形相似三角形•形状和大小完全相同•形状相同，大小可以不同•对应边长度相等•对应边成比例•对应角度相等•对应角相等•面积相等•面积比等于对应边长比的平方•周长相等•周长比等于对应边长比全等是最严格的相等关系，要求所有对应的几何量都相等相似是一种比例关系，保持形状但允许大小缩放知识结构梳理概念定义定理表述•全等三角形形状和大小完全相同的三角形•如果两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两•边角边判定两边及其夹角对应相等，则三角形全个三角形全等等•符号表示若AB=DE,∠B=∠E,BC=EF，则•夹角两条边的公共端点处的角△ABC≌△DEF典型例题应用条件•直接应用边角边判定的基础题•必须是两边和它们的夹角•需要辅助线的中等难度题•角必须是已知两边的公共端点处的角•结合其他几何知识的综合题•区分边角边SAS与边边角SSA•涉及多个三角形全等的高难度题相关联系证明方法•与其他全等判定的比较SSS,ASA,AAS•拼合法移动三角形使对应部分重合•与相似三角形判定的区别•结构法通过几何公理和定理进行推理•在复杂几何问题中的应用•反证法证明假设不成立这个知识结构图总结了边角边判定的核心内容，包括概念定义、定理表述、应用条件、证明方法、相关联系和典型例题通过这种系统化的梳理，学生可以建立起完整的知识网络，理解边角边判定在三角形全等判定体系中的位置和作用，为后续学习和应用打下坚实基础在复习时，可以按照这个结构图展开，逐一检查自己的掌握情况，有针对性地加强薄弱环节总结与作业核心要点回顾拓展思考边角边定义两边及其夹角对应相等

1.为什么边角边能确定唯一的三角形，而边边角不能？试通过图示说明判定条件角必须是两边的夹角

2.在生活中找出至少3个应用边角边原理的实例，并说明原理应用步骤识别条件→确认夹角→应用定理→得出结论

3.尝试用边角边判定证明三角形的三条中线交于一点常见错误混淆夹角与非夹角，误用边边角下节课预告实际应用工程测量、结构设计、导航系统我们将学习三角形全等的角边角（ASA）判定定理，比较不同判定方法的适用场景，并进一步探索三角形全等在几何问题解决中的应用课后作业基础题

1.判断给定条件是否能确定三角形全等（5题）

2.在图中找出满足边角边条件的三角形对（3题）提高题

1.利用边角边证明等腰三角形的性质（2题）

2.在平行四边形中应用边角边判定（2题）。