追赶小明教学课件

追赶小明教学课件导入熟悉的故事引出各位同学们，今天我们要学习的内容，要从一个大家都非常熟悉的故事开始龟兔赛跑——在这个寓言中，骄傲的兔子因为跑得快而中途休息，最终被坚持不懈的乌龟超越这个故事不仅仅是一个关于毅力的寓言，从数学角度看，它其实是一个典型的追赶问题想一想，如果我们知道乌龟和兔子的速度，以及兔子休息的时间，我们能否计算出乌龟什么时候能追上兔子呢？这就是我们今天要探讨的数学问题生活实例你追我赶小明的自行车赛你的亲身经历小明和同学小华约定从学校骑自行车你是否有过被同学追赶或者追赶同学比赛到家小明先出发，小华晚了的经历？在运动场上，在回家路上，5分钟才出发如果小华的速度比小明或者在学习成绩上的赶超？快，他能否在到家前追上小明？能否追上的关键为什么有些情况下能追上对方，而有些情况下却永远追不上？这里面蕴含着什么数学规律？追赶问题概念什么是追赶问题？常见应用场景追赶问题是指速度较快的一方（追赶者）体育比赛赛跑、自行车、马拉松•追赶速度较慢的一方（被追赶者）的运等动问题追赶过程可能发生在同向行进交通出行公交车追赶行人、车辆•或相向行进的情况下追赶等学习进度补课追赶班级进度•工作场景加班追赶工作进度•追赶问题的目标通常要求解决以下问题追上需要多长时间？•追上时双方各走了多远？•在特定条件下能否追上？•知识点回顾行程问题基础基础公式追赶问题的两种基本类型在解决追赶问题前，我们需要回顾行程问题的基本公式这个公式是解决所有行程问题的基础，追赶问题也不例外行程问题中的基本概念•路程物体运动经过的距离，用s表示•速度单位时间内物体运动的距离，用v表示•时间物体运动持续的时间，用t表示追赶问题中的等量关系追上时的基本关系建立方程的基本思路变量选择的技巧在追赶问题中，当追赶者追上被追赶者时，解决追赶问题的关键是正确建立方程在追赶问题中，通常选择以下变量两者走过的路程之间存在特定关系明确两者的初始位置关系追上或相遇的时间

1.•x同向追赶追赶者路程被追赶者路程=+确定追上或相遇的条件追上或相遇时走过的路程

2.•x初始距离用代数式表示各自的路程出发时间差（如果不直接给出）

3.•x相向追赶追赶者路程被追赶者路程+=根据等量关系列出方程

4.选择合适的变量可以简化方程的建立过程初始距离工具介绍线段图线段图是解决行程问题的有力工具，它能帮助我们直观地理解和分析追赶问题中的关系通过线段图，我们可以清晰地表示出发点和相遇点•直观地展示两人的相对位置变化•帮助正确建立方程关系•避免路程计算中的错误•线段图的基本绘制步骤画出一条水平线表示运动路线

1.标出两人的初始位置

2.用不同颜色的线段表示两人的运动路程

3.标出相遇或追上的位置

4.例如，在小明追赶小华的问题中，我们可以用线段图表示●水平线表示整个运动路线●点表示小明的出发点A●点表示小华的出发点B●红色线段表示小明的运动路程典型题目情境一12问题描述已知条件小明与小华相距米，相向而行小初始距离米10•10明每秒走米，小华每秒走米问几34小明速度米秒•3/秒后两人能够相遇？小华速度米秒•4/运动方式相向而行•3问题目标求解两人相遇所需的时间这个问题是一个典型的相向而行问题，两人从相距米的两个位置出发，朝着对方的10方向行走我们需要找出他们何时相遇，这就需要建立正确的数学方程分析题意对向相遇问题类型识别建立等量关系

1.

4.这是一个典型的相向而行（对向追赶）问题对于相向而行问题，关键等量关系是两人从不同位置出发两人路程之和初始距离•=朝着对方的方向移动•最终在某一点相遇•确定未知量

2.我们需要找出相遇的时间，因此设两人相遇所需的时间（秒）x=表示各自的路程

3.在时间内x小明走的路程（米）•=3x小华走的路程（米）•=4x根据题意这个方程表达了相遇时刻的基本关系两人走过的总路程正好等于他们开始时的距离线段图绘制指导线段图的绘制步骤为了更直观地理解相向而行的问题，我们可以绘制线段图画一条水平线表示运动路线

1.在线的两端标出和两点，分别表示小明和小华的起始位置

2.A B标明两点之间的距离为米

3.10用红色箭头表示小明的运动方向和速度（米秒）

4.3/用蓝色箭头表示小华的运动方向和速度（米秒）

5.4/用点表示两人相遇的位置

6.C注意观察两人运动方向相对，箭头方向相向•相遇点的位置取决于两人的速度比•C相遇时小明走的距离是米•3x相遇时小华走的距离是米•4x从线段图中我们可以直观地看出这正是我们方程的几何意义线段图帮助我们直观理解问题情境•准确建立数学关系•避免路程计算错误•检验方程是否正确•建立方程与解题解方程

2.列出方程

1.根据我们之前的分析，相遇时其中表示相遇所需的时间（秒）x解答问题

4.检验结果

3.小明和小华大约需要秒相遇

1.43我们得到秒x≈

1.43由于实际问题中时间通常要求精确到秒，我们也可以说他们需要约秒或近似为秒

1.410/7验算相遇小明走的路程×米

31.43≈

4.29小华走的路程×米

41.43≈

5.72两人路程之和米米

4.29+

5.72=

10.01≈10结果正确！结果讨论与理解相向运动中的物理意义相遇点的位置我们得到了小明和小华相遇的时间约为

1.43秒这个结果有什么物理意义呢？在相向而行的情况下•两人的相对速度是7米/秒（3+4）•初始距离是10米•距离除以相对速度得到相遇时间10÷7≈

1.43秒这说明了一个重要原理相向而行时，相遇时间等于初始距离除以相对速度相对速度越大，相遇时间越短；初始距离越大，相遇时间越长相遇点在什么位置呢？典型题目情境二12问题描述已知条件小明在前跑，小彬在后追已知两人初始距离米•20相距米，两人同向行进小明速20小明速度米秒•3/度为米秒，小彬速度为米秒3/5/小彬速度米秒•5/问小彬需要多少秒才能追上小明？运动方式同向行进•3问题目标求解小彬追上小明所需的时间分析题意同向追及问题类型识别变量设置

1.

3.这是一个典型的同向追赶问题我们设•两人朝同一方向运动x=小彬追上小明所需的时间（秒）•后面的人（小彬）试图追上前面的人（小明）表示各自的路程

4.•小彬的速度（5米/秒）大于小明的速度（3米/秒）在时间x内追赶速度分析

2.•小明走的路程=3x（米）在同向追赶中，关键概念是追赶速度•小彬走的路程=5x（米）这意味着小彬每秒比小明多走2米，两人之间的距离每秒减少2米等量关系分析

5.对于同向追赶问题，关键等量关系是线段图再应用同向追赶的线段图绘制为了更直观地理解同向追赶问题，我们可以绘制线段图画一条水平线表示运动路线

1.标出点表示小彬的起始位置

2.A标出点表示小明的起始位置，位于前方米处

3.B A20用红色箭头表示小明的运动（米秒）

4.3/用蓝色箭头表示小彬的运动（米秒）

5.5/用点表示追上的位置

6.C在线段图中表示小彬走的总路程•AC5x表示小明走的总路程•BC3x表示初始距离米•AB20从线段图中我们可以直观地看出这正是我们方程的几何意义线段图特别适合同向追赶问题，因为它能帮助我们明确起点和相遇点的关系•直观理解路程之间的关系•避免混淆追赶者和被追赶者的路程•正确建立方程•建立方程同向追及解方程

2.列出方程

1.根据我们之前的分析，追上时其中表示追上所需的时间（秒）x解答问题

4.检验结果

3.小彬需要秒才能追上小明10我们得到秒x=10追上时，小明走了米，小彬走了米3050验算小明走的路程×米310=30小彬走的路程×米510=50小彬路程小明路程米初始距离-=50-30=20=结果正确！追上后的实际问题拓展追上之后会发生什么？生活中的应用实例当小彬在秒后追上小明时，故事并没有结束让我们思考一些延伸问题10超越问题追上后，小彬会继续超越小明如果赛程总长是米，小彬比小明先到达终点的100时间是多少？追赶回来如果超越后小明加速到米秒，他能否在终点前追回小彬？6/多次追赶追赶问题在生活中有许多实际应用在循环跑道上，如果两人保持各自速度，小彬会多次超越小明，第二次超越会在什赛跑策略在长跑比赛中，如何安排速度才能在最佳时机超越对手？么时候？交通规划一辆公交车如何调整发车时间和行驶速度，以保持车辆间的均匀间隔？学习进度安排如果你落后了课程进度，如何安排额外的学习时间来赶上？工程项目管理如何加快项目进度以弥补前期的延误？方法总结追赶模型分类12相向而行（对向相遇）同向追及（同向追赶）特点两人从不同位置出发，朝对方方向行进特点两人朝同一方向运动，后者追前者相对速度速度和（₁₂）追赶速度速度差（₂₁），₂₁才能追上v+v v-v vv等量关系₁₂（两人路程和初始距离）等量关系₂₁（追赶者路程被追赶者路程初始距离）s+s=s=s=s+s=+时间公式₁₂时间公式₂₁t=s/v+vt=s/v-v注意点一定会相遇，除非有人停止移动注意点只有当追赶者速度大于被追赶者才能追上这两种基本模型是解决追赶问题的核心无论问题如何变化，我们都可以归结为这两种基本情况或它们的组合掌握了这两种模型，就能解决大多数追赶类问题模型应用技巧解决追赶问题的一般步骤判断问题类型（相向还是同向）

1.确认条件是否足够（速度、距离等）

2.设置合适的变量（通常是时间）

3.应用对应的等量关系建立方程

4.巩固练习一练习题参考解答下面是一道练习题，请尝试独立完成这是一个相向而行（对向相遇）问题设x秒后两人相遇，则小红和小蓝在操场的两端相距200米小红以每秒2米的速度向小蓝走去，小蓝以每秒3米的速度向小红走去两人同时出发，问•小红走的路程2x米1两人多少秒后相遇？•小蓝走的路程3x米2相遇时，小红走了多少米？相遇时解题步骤提示

1.判断这是哪种类型的追赶问题？

2.设x表示相遇时间，两人各走了多少路程？

3.根据相遇条件建立方程

4.求解方程得到相遇时间

5.计算小红走的路程因此1两人40秒后相遇2相遇时，小红走了2×40=80米巩固练习二快速建模练习下面是一道同向追赶题，请尝试快速画出线段图并建立方程小明在环形跑道上跑步，速度为4米/秒小华比小明晚5秒出发，速度为6米/秒假设两人从同一地点出发，问小华需要多少秒才能追上小明？思考要点•这是同向追赶问题，但有时间差•小华出发时，小明已经跑了一段距离•设变量时要考虑时间起点的选择•线段图要体现出发时间差解题思路这是一个同向追赶问题，但有时间差的特点我们可以选择两种设法•方法一以小明出发时为时间零点•方法二以小华出发时为时间零点采用方法一设小明出发后x秒，小华追上小明此时•小明已经跑了x秒，路程为4x米•小华只跑了x-5秒，路程为6x-5米追上时路程相等小组讨论生活里的追赶现象公交车追人自行车骑行你在公交车站错过了公交车，决定沿着公交路线走向下一站两位同学从家到学校的距离是千米甲同学骑自行车速度3如果你的步行速度是千米小时，公交车速度是千米4/20/为千米小时，乙同学步行速度为千米小时乙同学12/4/小时，站间距离是米，下一班车分钟后到达，你能50015提前分钟出发，甲同学能否在到校前追上乙同学？10在下一站等到公交车吗？生产计划追赶学习进度追赶一个工厂正常每天生产件产品，因设备故障停产天小明因病落下了课时的课程如果平时每天学习课时，1002102如果恢复生产后每天增加件产品的产量，需要多少天才补课期间每天额外学习课时，需要多少天才能赶上正常进201能追回原定生产计划？度？分组讨论以上生活实例，尝试用追赶问题的思路建立方程解决每组可以选择一个问题进行深入分析，并创造一个自己的实际生活中的追赶问题讨论时，要明确这是什么类型的追赶问题？

1.如何设置变量和建立方程？

2.结果的实际意义是什么？

3.错误案例分析常见错误类型易混淆的情况方程条件遗漏案例在解决同向追赶问题时，忘记考虑初始距离正确方程5x=3x+20错误方程5x=3x问题忽略了初始的20米距离，导致方程无意义（x=0）路程与速度单位混淆案例速度单位为米/分，时间单位为秒，未进行单位转换正确算法60米/分=1米/秒错误算法直接用60米/分代入公式问题单位不统一，计算结果错误提升训练题讲解一复杂情境题解题步骤小红和小蓝在一条500米长的直道上进行往返跑步训练小红的速度是2米/秒，小蓝的速度是3米/秒两人从同一端同时出发，到达另一端后立即返回问两人第一次相遇在什么位置？第二次相遇又在什么位置？解题分析这是一个含有往返运动的复杂追赶问题需要分析两人运动的时间和位置关系关键点

1.两人同向出发，速度不同，一定会分离

2.两人到达终点后返回，会变成相向运动

3.第一次相遇发生在小蓝返回后与小红相遇

4.第二次相遇可能发生在两人都返回后分析小蓝的运动小蓝到达终点的时间500÷3≈

166.7秒小蓝开始返回后，与小红是相向运动第一次相遇时设从开始经过t秒相遇小红走了2t米（仍在去的路上）小蓝已返回，位置是500-3t-

166.7=500-3t+

500.1=

1000.1-3t相遇时位置相同提升训练题讲解二多变量综合应用题详细解答甲、乙两人在环形跑道上跑步甲的速度是4米/秒，乙的速度是5米/秒两人从同一地点同时出发，但方向相反跑道全长为400米1两人第一次相遇后各跑了多少米？2两人第二次相遇时，甲跑了多少圈？解题思路这是一个环形跑道上的相向和同向追赶综合问题需要考虑•第一次相遇是相向而行•第二次相遇是乙超过甲一圈后追上•环形跑道上的位置需要考虑圈数1第一次相遇分析相对速度4+5=9米/秒相遇前两人共走过的路程400米（跑道全长）相遇时间400÷9≈

44.44秒甲走的路程4×

44.44≈

177.76米乙走的路程5×

44.44≈

222.22米2第二次相遇分析第二次相遇时，乙比甲多跑一圈（400米）设从开始经过t秒第二次相遇，则趣味探索龟兔赛跑数学化兔子参数速度

0.5米/秒（是乌龟的10倍）特点跑一段时间后休息，休息时速度为0赛程设置乌龟参数全程100米速度

0.05米/秒起点同一位置同时出发特点速度慢但不休息，持续前进数学探究问题假设兔子的行为模式如下•兔子跑50米后休息•休息时间为t秒问题

1.兔子休息多少秒后，才会被乌龟超过？

2.如果兔子被超过后立即继续跑，最终谁会赢得比赛？

3.兔子最多可以休息多少秒，仍能赢得比赛？课堂互动竞答快速抢答题以下是几道追赶问题的抢答题，请同学们举手抢答1基础计算甲的速度是米秒，乙的速度是米秒两人相向而行，相距米多少秒后相遇？3/5/402等量关系同向追赶问题中，如果后者速度是前者的倍，两人相距米，那么追上时两人各走了多少米？21003思维挑战和在跑道两端相向而行速度是米秒，速度是米秒两人相遇后，还需要秒到达的起点跑道全长是多少米？A BA2/B3/A12B参考答案相对速度米秒相遇时间÷秒3+5=8/408=5设追上时间为秒前者路程₁后者路程₂₁根据等量关系₁₁₁，即前者走了米后者走了米t v t v t=2v t2v t=vt+100vt=100100200设跑道长度为米相遇时，走了米，走了米时间相同÷÷解得还需走时间L Ax BL-x x2=L-x3x=3L/5A L-x=2L/5÷所以米2L/52=L/5=12L=60生活实际问题挑战家庭作业题目趣味实践请完成以下实际问题，并在下次课上分享你的解题思路公交追赶问题小明从家出发步行去学校，平均速度是米秒走了分钟后，家里来电话说忘带了作业本恰好

1.2/5这时一辆公交车经过，车速是米秒，车站间距为米如果小明立即返回取作业本，然后再到10/400最近的公交站等车，他能否在下一站追上刚才那辆公交车？学习进度追赶小组实践活动因为生病，小华落下了天的课程（每天课时）恢复上学后，小华决定每天额外学习课时来追赶342在操场上测量两位同学不同的步行速度

1.进度如果正常学习进度是每天课时，那么小华需要几天才能完全赶上班级进度？6设计一个简单的追赶实验（可以是相向或同向）

2.根据测量的速度，预测追上或相遇的时间和位置

3.进行实际测试，比较预测结果与实际结果的差异

4.分析可能的误差来源，并思考如何改进

5.实践报告要求记录实验过程和数据•用方程表示追赶关系•计算预测结果•比较理论与实际的差异•总结实验体会和收获•知识迁移其他类型应用水流速度问题跑步与滑行结合问题考虑这样一个情景小明从山顶开始滑雪，速度随时间增加小华在山脚下看到小明开始滑雪后，立即开始向山上跑，希望在半山腰与小明相遇这是一个变速运动的追赶问题，需要考虑小明的加速度•分析变速运动的位置函数•建立相遇条件方程•类似的变型问题还有加速度运动的追赶•曲线路径上的追赶•多人多次追赶问题•追赶问题的思想可以迁移到其他类型的速度问题中，例如顺流逆流问题一条小船在河中航行，已知船在静水中的速度为₁•v水流速度为₂•v顺流速度₁₂•v+v逆流速度₁₂•v-v这与追赶问题有相似之处顺流类似于相向而行（速度相加）•课堂小结概念理解方法掌握实际应用•追赶问题是一元一次方程的典型应用•运用线段图直观表示追赶过程•生活中的各种追赶场景•分为相向而行和同向追赶两种基本类型•正确设置变量（通常是时间x）•学习和工作进度的追赶•关键是找到正确的等量关系•建立方程表达追上或相遇的条件•交通和运动中的追赶计算•解方程并验证结果合理性•扩展到其他类型的速度问题追赶问题核心思想总结相向而行（对向相遇）•特点两人朝对方方向运动•相对速度v₁+v₂（速度和）•基本方程s₁+s₂=s（路程和=初始距离）•相遇时间t=s/v₁+v₂同向追赶•特点快的追赶慢的，同向运动•追赶速度v₂-v₁（速度差，v₂v₁）•基本方程s₂=s₁+s（追赶者路程=被追赶者路程+初始距离）•追上时间t=s/v₂-v₁解决追赶问题的一般步骤反思与自评知识掌握自评收获与疑惑请同学们对自己的学习情况进行自评，思考以下问题基础概念理解•我能区分相向而行和同向追赶吗？•我理解追赶问题中的等量关系吗？•我掌握了速度、时间和路程之间的关系吗？解题能力评估•我能独立画出追赶问题的线段图吗？•我能正确设置变量并建立方程吗？•我能解决基本的追赶问题吗？•我能处理较复杂的变形问题吗？应用与迁移•我能将追赶问题的知识应用到实际生活中吗？•我能举出生活中的追赶例子并分析吗？•我能将追赶问题的思想迁移到其他类型问题中吗？。