高中排列组合教学课件

高中排列组合教学课件第一章排列组合基础概念排列组合是高中数学的重要内容，也是概率统计的基础它研究的是从有限个元素中按照一定规则选取元素并排列的方法和规律本章将介绍排列组合的基本概念，包括排列、组合以及计数原理等基础知识在学习排列组合之前，我们需要理解几个基本问题•如何计算不同元素的排列方式？•如何计算从一组元素中选取特定数量元素的方式？•如何区分需要考虑顺序的问题和不需要考虑顺序的问题？什么是排列？排列的定义排列是指从给定的不同元素中取出一定数量的元素，按照一定顺序排成一列如果顺序不同，则视为不同的排列将n个不同元素中取r个元素进行排列，称为从n个不同元素中取r个元素的排列，记作Pn,r或An,r特别地，当取出全部n个元素进行全排列时，记作Pn,n，通常简写为Pn或n!阶乘记法n!=n×n-1×n-2×...×2×1规定0!=1（这是为了使数学公式的一致性，方便计算）直观理解想象一下8位同学排队的场景•第一个位置可以选择8人中的任意一人•第二个位置可以选择剩下7人中的任意一人•依此类推...什么是组合？组合的定义组合的例子组合是指从给定的不同元素中取出一定数量从5名同学中选出3人组成小组，不考虑组内的元素，不考虑元素的顺序只要选出的元职务分配，只关心哪些人被选中素相同，就认为是同一个组合组合数C5,3=10，即有10种不同的小组组成从n个不同元素中取出r个元素的组合，记方式作Cn,r排列与组合的区别关键区别是否考虑顺序排列ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA是6个不同的排列组合{A,B,C}只是1个组合，因为不考虑元素顺序组合思想在我们日常生活中非常常见，例如•从一堆水果中选择几种制作水果沙拉•从棋盘上的棋子中选择几个进行分析•从图书馆的书籍中选择几本借阅分类计数原理（加法原理）分类计数原理的定义分类计数原理也称为加法原理，它指出如果完成一个事件可以分为互不相容的几类情况，那么完成该事件的不同方法总数，等于各类情况的不同方法数之和₁₂用数学语言表示，如果事件A可以分为n类，第1类有m种方法，第2类有m种方法，...，第n类ₙ有m种方法，则完成事件A的方法总数为₁₂ₙm=m+m+...+m这是解决排列组合问题的基本原理之一，特别适用于需要分情况讨论的问题分类计数原理的例子例一个箱子里有5个红球和8个白球，从中任取一个球，有多少种不同的取法？解析可以将取球分为两类情况•取红球有5种不同的取法•取白球有8种不同的取法根据分类计数原理，总的取法为5+8=13种分步计数原理（乘法原理）分步计数原理的定义关键条件实际应用分步计数原理也称为乘法原理，它指出使用乘法原理时，需要满足一个重要条件每一步乘法原理是排列组合中最基本、最常用的原理，几₁的方法数不受前面步骤具体选择的影响，只与前面乎所有的排列组合问题都直接或间接地应用了乘法如果完成一个事件需要分成n个步骤，第1步有m₂步骤的结果有关原理种不同方法，第2步有m种不同方法，...，第n步ₙ有m种不同方法，则完成该事件的不同方法总数为₁₂ₙm=m×m×...×m例班级需要选出一名班长和一名副班长，班级有30名学生，问有多少种不同的选法？解析可以将选举过程分为两个步骤•第一步从30名学生中选出1名担任班长，有30种不同选法•第二步从剩下的29名学生中选出1名担任副班长，有29种不同选法根据乘法原理，总的选法为30×29=870种典型例题牙医看诊顺序问题描述某牙科诊所一天有8位患者需要就诊如果所有患者都已经预约，医生可以按任意顺序为他们看病请问医生为这8位患者看病的顺序有多少种可能？分析这是一个典型的排列问题•需要安排8个不同元素（8位患者）的顺序•每位患者只能看一次诊•每个位置只能安排一位患者•顺序不同就是不同的安排方式这正是8个元素的全排列问题解答使用排列公式P8=8!计算过程8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320因此，医生为8位患者看病的顺序共有40320种可能现实意义典型例题选拔运动员1问题描述某班有5名优秀运动员，需要从中选出3人参加校运动会接力赛请问有多少种不同的选择方法？2分析这是一个典型的组合问题•需要从5个不同元素（5名运动员）中选出3个元素•不考虑这3名运动员在接力赛中的顺序（实际比赛中会安排顺序，但选拔阶段只关心谁被选中）•只关心哪些人被选中，而不关心以什么顺序3解答使用组合公式C5,3计算过程C5,3=5!/[3!×5-3!]=5!/3!×2!=5×4×3!/3!×2×1=5×4/2×1=104结论与应用因此，从5名运动员中选出3人参加接力赛共有10种不同的方法第二章排列组合核心公式在掌握了排列组合的基本概念后，我们需要学习相关的计算公式，这些公式是解决排列组合问题的重要工具本章将系统介绍排列组合的核心公式，包括阶乘、排列数公式、组合数公式以及它们的特性和变形这些公式不仅要记忆，更重要的是理解它们的推导过程和内在逻辑只有真正理解了公式背后的原理，才能灵活应用于各种复杂问题本章将学习的核心内容•阶乘及其性质•排列数公式及其推导•组合数公式及其推导•组合数的性质•特殊情况下的排列与组合（重复、环形等）•二项式定理及其与组合数的关系阶乘与排列公式阶乘定义排列数公式n的阶乘，记作n!，表示从1乘到n的积从n个不同元素中取出r个元素进行排列，其排列数为特别规定0!=1公式推导思路阶乘增长非常快，例如将n个元素全排列的n!与只排列部分元素的情况联系起来从n个元素中取r个元素排列，相当于先做n个元素的全排列，再将后•1!=1面n-r个位置的元素固定不动，因此排列数为n!/n-r!•2!=2•3!=6•4!=24•5!=120•10!=3,628,800组合公式组合数公式组合数的性质从n个不同元素中取出r个元素的组合数为

1.对称性Cn,r=Cn,n-r

2.递推公式Cn,r=Cn-1,r-1+Cn-1,r

3.Cn,0=Cn,n=

14.Cn,1=Cn,n-1=n组合数也常记作\\binom{n}{r}\或C_n^r公式推导组合与排列的关系从n个不同元素中取r个元素的组合数×这r个元素的全排列数=从n个不同元素中取r个元素的排列数即Cn,r×r!=Pn,r因此Cn,r=Pn,r/r!=n!/[r!×n-r!]例题计算重复排列与组合重复排列重复组合如果允许元素重复使用，从n种不同元素中取r个元素进行排列，称为重复排列如果允许元素重复使用，从n种不同元素中取r个元素，不考虑顺序，称为重复组合重复排列的计算公式重复组合的计算公式推导思路根据乘法原理，每个位置都有n种选择，共有r个位置，所以总数为n的r次方这个公式看起来复杂，但有一个直观的解释，称为隔板法例题5位数密码，每位可以是0-9中的任意数字，则密码总数为10^5=100,000种将r个相同的小球放入n个不同的盒子中（允许有盒子为空），相当于在r+n-1个位置中选择n-1个位置放隔板，从而将r个小球分成n组环形排列环形排列的概念环形排列是指将n个不同元素围成一个圈，这时只考虑元素的相对位置，不考虑起点的排列在环形排列中，将圆环旋转得到的排列被视为同一种排列例如，对于元素A、B、C，环形排列ABC、BCA、CAB被视为同一种排列环形排列的计算公式n个不同元素的环形排列数为公式推导推导思路

1.n个不同元素的普通排列数为n!

2.在环形排列中，将任一元素固定在某一位置（例如第一个位置），其余n-1个元素进行全排列

3.这样，每个环形排列对应了n种普通排列

4.因此，环形排列数=普通排列数÷n=n!÷n=n-1!例题8人围桌而坐，不考虑座位的绝对位置，只考虑相对位置，则不同的排列数为二项式定理简介二项式定理组合意义实例展开二项式定理是一个代数公式，描述了二项式幂的展开式展开x+y^n时，每一项对应于从n个因式x+y中，选择k例如，展开x+y^4个因式取y，其余n-k个因式取x的组合方式由于我们需要从n个位置中选择k个位置放y，这正好是组合数Cn,k计算各组合数展开后，各项的系数正好是组合数Cn,k，这不是巧合，而是有深刻的组合意义C4,0=1,C4,1=4,C4,2=6,C4,3=4,C4,4=1因此第三章典型解题策略掌握排列组合的基本概念和公式后，我们需要学习一些解题策略，以应对各种复杂问题本章将介绍几种常用的解题策略，这些策略不仅适用于教材中的标准题目，也适用于竞赛和实际应用中的复杂问题排列组合问题的解题策略通常包括•特殊元素优先安排•相邻元素捆绑法•不相邻元素插空法•定序问题倍缩法与插入法•元素相同问题隔板法这些策略不是孤立的，在解题过程中往往需要灵活组合使用通过大量练习，我们可以培养解题的直觉，迅速识别问题的类型和适用的策略特殊元素优先安排策略概述基本步骤应用场景在排列组合问题中，如果某些元素有特殊限制，通常应该优先考虑这些

1.识别问题中的特殊元素或特殊位置

1.特定元素必须在特定位置特殊元素这样可以减少问题的复杂度，避免重复计算或遗漏情况

2.优先安排这些特殊元素或填充特殊位置

2.特定元素不能在特定位置

3.再安排其余普通元素

3.特定元素必须相邻或不相邻

4.有限制条件的排列问题例题组成五位奇数用1,2,3,4,5这五个数字不重复地组成一个五位数，要求该五位数是奇数，问有多少种不同的组法？解析

1.识别特殊限制要求是奇数，即个位数必须是奇数（1,3,5）

2.优先安排将奇数填入个位-个位可以是1,3,5中的一个，有3种选择

3.安排其余位置-万位不能为0（因为是五位数），有4种选择（剩余数字中除个位数外的任意一个）-千位有3种选择（剩余3个数字中的任意一个）-百位有2种选择（剩余2个数字中的任意一个）-十位有1种选择（最后剩下的1个数字）相邻元素捆绑法捆绑法的基本思想捆绑法是处理元素必须相邻约束的有效策略其基本思想是将必须相邻的元素视为一个整体（捆绑在一起），减少排列的元素数量，简化问题捆绑法的步骤

1.识别需要相邻的元素

2.将这些元素捆绑成一个整体

3.计算新元素集合的排列数

4.考虑捆绑元素内部的排列方式

5.得到最终结果对于多组需要相邻的元素，可以逐一应用捆绑法，或者同时捆绑多组元素例题甲乙相邻，丙丁相邻有甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，要求甲乙相邻，丙丁相邻，问有多少种不同的排法？解析

1.捆绑甲乙为一个整体X，捆绑丙丁为一个整体Y

2.现在问题转化为X、Y、戊三个元素的排列

3.三个元素的排列数为3!=6种

4.考虑捆绑元素内部的排列-X内部（甲乙）有2!=2种排列-Y内部（丙丁）有2!=2种排列

5.根据乘法原理，总的排列数为6×2×2=24种不相邻元素插空法插空法的基本思想插空法的步骤应用场景插空法是处理元素不能相邻约束的有效策略其基本思想是

1.识别受约束的元素（不能相邻的元素）插空法特别适用于解决以下类型的问题先排列没有约束的元素，形成若干个空位，然后将受约束的元

2.先排列其他元素，确定可插入的空位

1.某些特定元素不能相邻素插入这些空位中

3.将受约束的元素插入空位中

2.相同元素不能相邻

4.计算总的排列数

3.需要按照特定模式分配元素例题舞蹈节目不连续出场在一台晚会上，共有4个舞蹈节目和3个歌唱节目要求安排这7个节目的出场顺序，使得舞蹈节目不能连续出场问有多少种不同的安排方式？解析

1.先排列3个歌唱节目，它们之间会形成4个空位（包括最前面和最后面）

2.将4个舞蹈节目插入这4个空位中

3.计算排列数-3个歌唱节目的排列数为3!=6种-4个舞蹈节目插入4个空位的方式为4!=24种

4.根据乘法原理，总的安排方式为6×24=144种定序问题倍缩法与插入法倍缩法插入法倍缩法适用于需要保持元素相对顺序不变的排列问题其基本思想是插入法是倍缩法的另一种思考方式，适用于同样的问题类型其基本思想是

1.先计算所有元素的全排列数

1.先确定需要保持相对顺序的元素在全排列中的位置

2.再除以需要保持相对顺序的元素组的排列数

2.再将其他元素插入到这些位置之间例如，有n个元素，其中一组k个元素需要保持相对顺序不变（但可以插入其他元素），则不同的排列数为n!/k!例如，对于上述问题，可以选择Cn,k种方式从n个位置中选择k个位置放置那k个需要保持相对顺序的元素，然后这些元素按照原有顺序放置，剩下的n-k个元素进行全排列，有n-k!种排列方式这是因为这k个元素之间的相对顺序固定，相当于将它们的k!种排列都视为同一种情况因此，总的排列数为Cn,k×n-k!=n!/k!元素相同问题隔板法隔板法的基本思想隔板法的应用方法扩展应用隔板法是解决相同元素分配问题的有效策略其基本思想是将n个相同的小球放入k个不同的盒子中，有以下几种情况隔板法可以扩展到更复杂的问题，例如使用隔板将元素分割成若干组，转化为选择隔板位置的组合问

1.无限制条件

1.某些盒子有容量限制题相当于在n个小球中插入k-1个隔板，位置可重复

2.某些盒子必须放置特定数量的小球隔板法特别适用于排列数为Cn+k-1,k-1或Cn+k-1,n

3.多种不同类型的小球分配•将相同的元素分配到不同的组中

2.每个盒子至少放一个小球通过灵活运用隔板法，结合加法原理和乘法原理，可以解决各•计算重复组合的问题种复杂的分配问题先给每个盒子放一个小球，然后将剩余的n-k个小球不限制地分•解决至少、至多等约束条件配排列数为Cn-1,k-1例题分配相同球到不同盒子将10个相同的小球分配到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个小球，问有多少种不同的分配方法？解析

1.先给每个盒子各放一个小球，共用掉5个小球

2.剩余5个小球，需要分配到5个不同的盒子中，没有限制条件

3.使用隔板法在5个小球中插入4个隔板，相当于从5+5-1=9个位置中选择4个位置放隔板

4.组合数为C9,4=126种第四章综合应用与典型例题在掌握了排列组合的基本概念、公式和解题策略后，我们需要通过综合应用来巩固所学知识本章将通过一系列典型例题，展示如何灵活运用排列组合的知识解决各种复杂问题这些例题涵盖了排列组合的各个方面，包括•排列的应用•组合的应用•特殊限制条件的处理•多步骤问题的分解•实际生活中的应用场景通过这些例题的分析和解答，我们将更深入地理解排列组合的思想方法，提高解决复杂问题的能力每个例题都会提供详细的解题思路和步骤，帮助大家理解解题的过程和逻辑例题无重复数字五位奇数的个数1问题描述用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个五位数，要求每个数字最多使用一次，且这个五位数是奇数问有多少个这样的五位数？分析要点此题有两个关键限制条件•五位数首位不能为0•奇数个位必须是奇数（1,3,5）我们可以使用特殊元素优先安排的策略，先确定首位和个位的数字解题步骤

1.确定个位（特殊元素优先）个位必须是奇数，从1,3,5中选择，有3种可能

2.确定首位首位不能为0，可以从剩余数字中选择非0数字-如果个位选了1首位可以从0,2,3,4,5中选择非0数字，有4种可能-如果个位选了3首位可以从0,1,2,4,5中选择非0数字，有4种可能-如果个位选了5首位可以从0,1,2,3,4中选择非0数字，有4种可能计算

3.确定中间三位-如果个位选了1，首位选了非0数字，则中间三位从剩余4个数字中选择3个，排列方式为A4,3=24种-如果个位选了3，首位选了非0数字，则中间三位从剩余4个数字中选择3个，排列方式为A4,3=24种-如果个位选了5，首位选了非0数字，则中间三位从剩余4个数字中选择3个，排列方式为A4,3=24种

4.根据乘法原理，总的五位奇数个数为例题人排队，甲乙相邻，丙丁相邻27问题描述甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7人排成一排，要求甲乙相邻，丙丁相邻，问有多少种不同的排法？分析要点这是一个典型的相邻元素问题，适合使用捆绑法将必须相邻的元素看作一个整体，然后计算新元素集合的排列数解题思路

1.将甲乙看作一个整体X

2.将丙丁看作一个整体Y

3.现在问题转化为X、Y、戊、己、庚五个元素的排列

4.考虑X和Y内部的排列例题节目安排，舞蹈不连续3问题描述1某文艺演出有5个舞蹈节目和4个歌唱节目，需要安排它们的出场顺序要求舞蹈节目不能连续出场，问有多少种不同的安排方式？分析要点2这是一个典型的不相邻元素问题，适合使用插空法关键是理解舞蹈节目不能连续出场的约束解题思路

31.先安排4个歌唱节目，它们会形成5个空位（包括最前面、最后面和歌唱节目之间）解题步骤

2.将5个舞蹈节目插入这5个空位中

43.但是，由于有5个舞蹈节目和5个空位，每个空位必须插入恰好一个舞蹈节

1.4个歌唱节目的排列数为4!=24种目，才能保证舞蹈节目不连续

2.5个舞蹈节目插入5个空位的方式数为5!=120种方法评析

53.根据乘法原理，总的安排方式为24×120=2880种插空法是处理不相邻元素约束的有效方法通过先安排没有约束的元素（歌唱节目），我们创造了若干个空位，然后将受约束的元素（舞蹈节目）插入这些空位中例题环形排列人围坐48问题描述8人围坐在一张圆桌旁，若只考虑相对位置（即不考虑绝对位置），问有多少种不同的围坐方式？分析要点这是一个典型的环形排列问题在环形排列中，我们只考虑元素的相对位置，而不考虑绝对位置例如，在圆桌旁，从任何一个位置开始按顺时针方向排列得到的序列，都被视为同一种围坐方式解题思路

1.先计算8人的普通全排列数

2.考虑环形排列的特点将圆桌旋转得到的排列被视为同一种排列

3.一个8人的排列，通过旋转可以得到8种不同的普通排列

4.因此，环形排列数=普通排列数÷8解题步骤方法一直接使用环形排列公式8人的环形排列数为8-1!=7!=5040种方法二分析理解

1.8人的普通全排列数为8!=40320种

2.在环形排列中，将任意一人（例如甲）固定在某一位置，其余7人的排列数为7!=5040种

3.因此，8人的环形排列数为7!=5040种例题分配实习生到车间5问题描述1某工厂有A、B、C三个车间，现有10名实习生需要分配到这三个车间进行实习如果每个车间至少分配1名实习生，问有多少种不同的分配方法？分析要点2这是一个相同元素分配问题，适合使用隔板法关键限制条件是每个车间至少分配1名实习生由于实习生是相同的（或者说，我们只关心每个车间分配多少人，而不关心具体是哪些人），所以这实际上是一个组合问题解题思路

1.由于每个车间至少分配1名实习生，我们先给每个车间各分配1名，共用掉3名实习生

32.剩余7名实习生可以自由分配到3个车间

3.使用隔板法将7名实习生分配到3个车间，相当于在7个相同实习生中插入2个隔板解题步骤

1.从7+3-1=9个位置中选择2个位置放隔板，有C9,2种选法

42.C9,2=9×8/2×1=36种因此，满足条件的分配方法有36种方法评析隔板法是解决相同元素分配问题的有效方法它将分配问题转化为选择隔板位置的组合问题，大大简化了计算第五章生活中的排列组合排列组合不仅是数学中的重要内容，也广泛应用于我们的日常生活和各个学科领域本章将介绍排列组合在实际生活中的应用，帮助我们理解排列组合的实际意义和价值排列组合在现实生活中的应用非常广泛，包括但不限于•密码学密码设计、安全性分析•概率统计抽样调查、随机实验•计算机科学算法设计、数据结构•生物学基因排列、蛋白质结构•经济学投资组合、资源分配•运筹学路径规划、调度问题通过学习这些应用实例，我们可以更好地理解排列组合的实际意义，提高解决实际问题的能力同时，这些例子也能激发我们的学习兴趣，让我们看到数学与现实生活的紧密联系走楼梯问题与斐波那契数列问题描述一个人上楼梯，每次可以走1级或2级，问走上n级楼梯有多少种不同的走法？分析与解答这个问题可以通过递推的方式解决设fn表示走上n级楼梯的不同走法数•当n=1时，只有1种走法走1级•当n=2时，有2种走法走1级两次，或直接走2级•当n2时，考虑最后一步-如果最后一步走1级，则前面需要走完n-1级，有fn-1种走法-如果最后一步走2级，则前面需要走完n-2级，有fn-2种走法因此，fn=fn-1+fn-2这正是斐波那契数列的递推公式！斐波那契数列与排列组合斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,...对于楼梯问题，前几级的走法数为f1=1,f2=2,f3=3,f4=5,f5=8,...这个问题体现了排列组合在实际问题中的应用，以及排列组合与其他数学概念（如递推数列）的紧密联系扩展思考

1.如果每次可以走

1、2或3级楼梯，走法数满足什么递推关系？排列组合在密码学与概率中的应用密码学应用概率应用密码安全性与排列组合密切相关排列组合是概率计算的基础•6位数字密码（允许重复）10^6=1,000,000种可能例双色球彩票（6个红球+1个蓝球）•6位字母密码（26个字母，允许重复）26^6≈

3.09亿种可能•从33个红球中选6个C33,6=1,107,568种组合•6位字母数字混合密码（26个字母+10个数字，允许重复）36^6≈

2.18万亿种可能•从16个蓝球中选1个C16,1=16种组合密码长度每增加一位，可能性呈指数级增长，大大提高破解难度这就是为什么安全专家建议使用长且复杂的密码•总的组合数1,107,568×16=17,721,088种因此，双色球一等奖的中奖概率为1/17,721,088≈

0.0000000564，这个概率非常小，约等于百万分之五其他实际应用排列组合在生活中还有许多其他应用•餐厅菜单组合从多种主食、副食、饮料中选择搭配•服装搭配从不同的上衣、裤子、鞋子中选择组合•图书馆图书排序不同书籍的摆放顺序•交通路线规划从多条可能路径中选择最优路线课程总结与学习建议核心概念掌握解题策略总结学习建议•理解排列与组合的本质区别排列考虑顺序，•特殊元素优先安排处理有特殊限制的元素•多做练习排列组合需要大量练习培养解题感组合不考虑顺序觉•相邻元素捆绑法处理必须相邻的约束•牢记基本公式Pn,r=n!/n-r!，Cn,r=•分类整理按问题类型和解题策略整理笔记•不相邻元素插空法处理不能相邻的约束n!/[r!n-r!]•寻找联系将新问题与已知问题建立联系•定序问题倍缩法与插入法处理相对顺序固定•熟悉特殊情况重复排列、环形排列、重复组的约束•实际应用关注排列组合在实际生活中的应用合等•元素相同问题隔板法处理相同元素的分配问•创新思考尝试用不同方法解决同一问题•掌握计数原理加法原理与乘法原理是解题的题基础学习心态排列组合是高中数学中较为抽象的内容，学习过程中可能会遇到困难建议保持以下心态•耐心排列组合需要时间消化和理解•好奇主动探索排列组合在各领域的应用•专注做题时认真分析问题条件，避免遗漏•坚持通过持续练习，逐步提高解题能力通过系统学习和大量练习，相信每位同学都能掌握排列组合这一重要的数学工具，为未来的学习和研究打下坚实基础！。