高中数学教学课件ppt

高中数学教学课件集合与常用逻辑用语集合的定义与表示方法集合间的关系集合是具有某种特定性质的事物的总体，常用大写字母表示集合中的事物称为元素，用小写字母表如果集合A中的每个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B示集合的表示方法主要有•包含关系若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B•列举法A={a,b,c,d}•相等关系若A⊆B且B⊆A，则A=B•描述法B={x|x是偶数且x10}常见数集介绍•自然数集N={1,2,3,...}•整数集Z={...,-2,-1,0,1,2,...}•有理数集Q={p/q|p,q∈Z,q≠0}•实数集R集合的基本运算123并集交集补集由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，记作由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，记全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，记作A或A∪B作A∩B CUA数学表达式A∪B={x|x∈A或x∈B}数学表达式A∩B={x|x∈A且x∈B}数学表达式A={x|x∈U且x∉A}性质性质性质•A∪B=B∪A（交换律）•A∩B=B∩A（交换律）•A=A（双重否定律）•A∪B∪C=A∪B∪C（结合律）•A∩B∩C=A∩B∩C（结合律）•∅=U，U=∅•A∪∅=A（单位元）•A∩∅=∅（零元）•A∪B=A∩B（德•摩根律）•A∩B=A∪B（德•摩根律）典型例题解析例设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}，求1A∪B2A∩B3A4A∩B解1A∪B={1,2,3,5,7,9}2A∩B={3,5,7}3A={2,4,6,8}命题与逻辑命题的概念与分类命题是能判断真假的陈述句根据真假性可分为•真命题表述为真的命题•假命题表述为假的命题根据结构可分为逆否命题与等价命题•简单命题不含有逻辑联结词的命题•复合命题由简单命题通过逻辑联结词构成的命题对于命题p→q逻辑联结词•否命题¬p→¬q•逆命题q→p•合取（且）p∧q，当且仅当p和q都为真时，p∧q为真•逆否命题¬q→¬p（与原命题等价）•析取（或）p∨q，当且仅当p和q至少有一个为真时，p∨q为真等价命题的关系p↔q等价于p→q∧q→p•否定（非）¬p，当且仅当p为假时，¬p为真常用的逻辑等价式•蕴含（如果...那么...）p→q，当且仅当p为真且q为假时，p→q为假等价（当且仅当）p↔q，当且仅当p和q同为真或同为假时，p↔q为真双重否定律¬¬p↔p德•摩根律¬p∧q↔¬p∨¬q，¬p∨q↔¬p∧¬q蕴含等价式p→q↔¬p∨q等价等价式p↔q↔p→q∧q→p例题判断下列命题的真假命题若n²是奇数，则n是奇数分析设p为n²是奇数，q为n是奇数，则原命题为p→q当n为偶数时，n²为偶数，p为假，此时无论q真假，p→q为真当n为奇数时，n²为奇数，p为真，q为真，p→q为真函数的概念123函数定义函数的表示方法变量关系设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有函数的表示方法主要有以下几种函数关系的本质是变量之间的依赖关系唯一确定的数y与之对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=fx，其中x∈A，•解析法用表达式直接表示，如y=2x+1•自变量可以任意取值的变量y∈B•列表法用表格形式列出自变量和因变量的对应值•因变量依赖于自变量变化的变量自变量x的取值范围A称为函数的定义域•图像法用坐标系中的图形表示函数关系•参数在特定问题中保持不变的量函数值y的取值范围称为函数的值域•语言描述用自然语言描述函数关系函数关系的核心特征是确定性和唯一性，即自变量的每一个值对应因变量的唯一一个值对应关系f称为函数的映射法则典型函数举例二次函数一次函数二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0图像特点图像特点•图像是一条抛物线•当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下•图像是一条直线•抛物线的对称轴为x=-b/2a•k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距•当k0时，函数单调递增；当k0时，函数单调递减函数的性质奇偶性单调性与最大最小值设函数fx的定义域D关于原点对称，则设函数fx在区间I上有定义₁•若对任意x∈D，都有f-x=fx，则称fx为偶函数•若对区间I上的任意x₁₂•若对任意x∈D，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数•若对区间I上的任意x fx，则称fx在区间I上单调递减奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称函数在区间上的最大值与最小值可通过求导分析或直接比较端点值确定复合函数与反函数例如fx=x²是偶函数，gx=x³是奇函数周期性∘复合函数若y=fu，u=gx，则y=fgx是由f和g复合而成的函数，记作f g⁻⁻⁻如果存在一个正数T，使得对于函数fx的定义域内的任意x，都有fx+T=fx，则称fx为周期函数，T为函数的周期反函数若函数y=fx在定义域D上是单射，则存在反函数x=f¹y，使得f¹fx=x且ff¹y=y例如三角函数sin x,cos x的周期为2π指数函数与对数函数指数函数对数函数形如y=a^x（a0且a≠1）的函数称为指数函数形如y=logax（a0且a≠1）的函数称为对数函数性质性质•定义域R，值域0,+∞•定义域0,+∞，值域R•当01时，函数单调递增•当01时，函数单调递增•图像都过点0,1•图像都过点1,0•在定义域内连续，无跳跃和间断•在定义域内连续，无跳跃和间断特殊的指数函数特殊的对数函数•y=e^x（e≈

2.718，自然对数的底数）•y=ln x（自然对数，底数为e）•y=10^x（常用对数的底数）•y=lg x（常用对数，底数为10）导数的初步认识导数的几何意义导数的物理意义₀₀₀₀函数y=fx在点x处的导数fx表示函数图像在点x,fx处的切线斜率导数表示瞬时变化率物理中常见的瞬时变化率₀₀₀切线方程y-fx=fx x-x•速度是位移对时间的导数vt=st₀₀₀₀•加速度是速度对时间的导数at=vt=st法线方程若fx≠0，则法线方程为y-fx=-1/fx x-x•电流是电荷对时间的导数it=qt导数的大小反映了函数在该点变化的快慢程度₀₀•fx0表示函数在x处单调递增₀₀•fx0表示函数在x处单调递减₀₀•|fx|越大，函数在x处变化越快简单函数的导数计算基本导数公式导数的运算法则例题•C=0（常数的导数为零）•u±v=u±v（和差的导数）求函数fx=x³-3x²+2x-1的导数•x^n=n•x^n-1（幂函数的导数）•u•v=u•v+u•v（乘积的导数）解fx=x³-3x²+2x-1•sin x=cos x•u/v=u•v-u•v/v²（商的导数）=3x²-6x+2-0•cos x=-sin x•fgx=fgx•gx（复合函数的导数，链式法则）=3x²-6x+2三角函数基础角的度量与弧度制正弦、余弦、正切定义弧度是角的度量单位，定义为角所对应的弧长与半径的比值弧度与角度的换算关系•1弧度=180/π°≈

57.3°•1°=π/180弧度≈

0.01745弧度•π弧度=180°•2π弧度=360°常用角的弧度值•30°=π/6弧度•45°=π/4弧度•60°=π/3弧度•90°=π/2弧度在单位圆上，设点Px,y是角θ对应的点，则•sinθ=y（点P的纵坐标）•cosθ=x（点P的横坐标）•tanθ=y/x=sinθ/cosθ（当cosθ≠0时）其他三角函数•cotθ=1/tanθ=cosθ/sinθ（当sinθ≠0时）•secθ=1/cosθ（当cosθ≠0时）•cscθ=1/sinθ（当sinθ≠0时）三角函数图像及性质正弦函数余弦函数y=sin x y=cos x•定义域R，值域[-1,1]•定义域R，值域[-1,1]•周期2π•周期2π•奇函数，图像关于原点对称•偶函数，图像关于y轴对称•在区间[0,π]上单调递增，在区间[π,2π]上单调递减•在区间[0,π]上单调递减，在区间[π,2π]上单调递增•零点x=kπ（k为整数）•零点x=2k+1π/2（k为整数）正切函数y=tan x•定义域{x|x≠2k+1π/2,k∈Z}，值域R三角函数的基本公式同角三角函数关系和差角公式•sin²α+cos²α=1•sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ•1+tan²α=sec²α•cosα±β=cosαcosβ∓sinαsinβ•1+cot²α=csc²α•tanα±β=tanα±tanβ/1∓tanαtanβ倍角公式•tanα=sinα/cosα•cotα=cosα/sinα诱导公式•sin2α=2sinαcosα•cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α奇偶性•tan2α=2tanα/1-tan²α半角公式•sin-α=-sinα•cos-α=cosα•sin²α/2=1-cosα/2•tan-α=-tanα•cos²α/2=1+cosα/2周期性•tanα/2=1-cosα/sinα=sinα/1+cosα•sinα+2π=sinα•cosα+2π=cosα•tanα+π=tanα特殊角公式•sinπ/2-α=cosα•cosπ/2-α=sinα•sinπ/2+α=cosα•cosπ/2+α=-sinα•sinπ-α=sinα•cosπ-α=-cosα•sinπ+α=-sinα•cosπ+α=-cosα解三角形正弦定理与余弦定理三角形面积公式正弦定理在任意三角形ABC中，各边与其对角的正弦之比相等，且等于外接圆直径的倒数•S=\\frac{1}{2}ah\，其中a为底边长，h为高•S=\\frac{1}{2}ab\sin C\，其中C为a、b两边的夹角\\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\•S=\\frac{1}{2}bc\sin A\=\\frac{1}{2}ac\sin B\其中R为三角形的外接圆半径•S=\\sqrt{ss-as-bs-c}\，其中s=a+b+c/2（海伦公式）余弦定理在任意三角形ABC中，任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍三角形的五心•\a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\•重心三条中线的交点•\b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\•内心三条角平分线的交点•\c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\•外心三条垂直平分线的交点正弦定理主要用于已知一边和两角（AAS或ASA）或两边和一锐角（SSA）的情况•垂心三条高线的交点余弦定理主要用于已知三边（SSS）或两边和它们的夹角（SAS）的情况•旁心三个旁切圆的圆心数列的概念数列定义与通项等比数列₁₂₃₁数列是按照一定顺序排列的数的序列，通常表示为a,a,a,...,aₙ,...，其中a是首项，aₙ是第n项，也称为通项如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数q，那么这个数列就是等比数列，q称为公比数列的表示方法等比数列的性质₁•列举法直接写出数列的前几项•通项公式aₙ=a q^n-1₁₁•通项公式法给出表示第n项的公式aₙ•前n项和当q≠1时，Sₙ=\\frac{a1-q^n}{1-q}\；当q=1时，Sₙ=na•递推公式法给出首项和相邻项之间的关系•等比中项如果x是a和b的等比中项，则x=±√ab常见数列求和公式例如数列1,3,5,7,9,...的通项公式为aₙ=2n-1等差数列•1+2+3+...+n=\\frac{nn+1}{2}\•1²+2²+3²+...+n²=\\frac{nn+12n+1}{6}\如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就是等差数列，d称为公差•1³+2³+3³+...+n³=\\frac{n²n+1²}{4}\=\\frac{nn+1}{2}\²等差数列的性质₁•通项公式aₙ=a+n-1d₁₁•前n项和Sₙ=na+\\frac{nn-1}{2}\d=\\frac{na+aₙ}{2}\•等差中项如果x是a和b的等差中项，则x=a+b/2数列求和例题12等差数列求和等比数列求和数列的应用递推数列数列在实际问题中的应用递推数列是通过前几项来确定后续项的数列常见的递推关系•一阶线性递推aₙ₊₁=αaₙ+β•二阶线性递推aₙ₊₂=αaₙ₊₁+βaₙ•非线性递推如aₙ₊₁=a²ₙ递推数列的求解方法•找规律，猜测通项公式•数学归纳法验证•特征方程法（适用于线性递推）斐波那契数列简介斐波那契数列是最著名的递推数列之一，定义为₁₂•F=1，F=1•Fₙ₊₂=Fₙ₊₁+Fₙ（n≥1）前几项1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...斐波那契数列的通项公式Fₙ=\\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}^n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}^n]\数列在现实生活中有广泛应用复利计算等比数列用于计算复利增长的资金人口增长模型等比数列可以模拟人口指数增长摊销计算等差数列用于计算分期付款中的本金减少自然现象斐波那契数列在植物生长、动物繁殖等自然现象中广泛存在艺术设计黄金比例（相邻斐波那契数的比值趋近于

1.618）在艺术和建筑设计中应用广泛算法设计递推关系在计算机算法中用于解决动态规划问题实际应用案例平面向量的基本概念向量的定义与表示向量的数乘运算向量是既有大小又有方向的量平面向量可以用有向线段表示，通常记作\\vec{a}\、\\vec{AB}\等向量的数乘定义实数λ与向量\\vec{a}\的数乘表示为λ\\vec{a}\，其中向量的表示方法•方向当λ0时，λ\\vec{a}\与\\vec{a}\同向；当λ0时，λ\\vec{a}\与\\vec{a}\反向；当λ=0时，λ\\vec{a}\=\\vec{0}\•长度|λ\\vec{a}\|=|λ|•|\\vec{a}\|•几何表示用有向线段表示•坐标表示λx,y=λx,λy•代数表示用坐标表示，如\\vec{a}=x,y\数乘运算的性质向量的模长|\\vec{a}\|=\\sqrt{x^2+y^2}\•λ+μ\\vec{a}\=λ\\vec{a}\+μ\\vec{a}\单位向量模长为1的向量，\\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\•λ\\vec{a}\+\\vec{b}\=λ\\vec{a}\+λ\\vec{b}\零向量模长为0的向量，记作\\vec{0}\•λμ\\vec{a}\=λμ\\vec{a}\向量的加法与减法•1•\\vec{a}\=\\vec{a}\向量加法•三角形法则\\vec{a}+\vec{b}\为从\\vec{a}\起点到\\vec{b}\终点的向量•平行四边形法则\\vec{a}\和\\vec{b}\为邻边，对角线表示和•坐标表示\x_1,y_1+x_2,y_2=x_1+x_2,y_1+y_2\向量减法\\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+-\vec{b}\向量的线性表示123基本概念坐标表示应用举例₁₂₁₂若存在一组实数λ,λ,...,λₙ，使得向量\\vec{b}\=λ\\vec{a_1}\+λ\\vec{a_2}\+...+在平面直角坐标系中，任意向量都可以用基向量\\vec{i}\=1,0和\\vec{j}\=0,1线性表示例已知\\vec{a}\=3,1，\\vec{b}\=2,4，求向量\\vec{c}\=2\\vec{a}\-\\vec{b}\的坐λₙ\\vec{a_n}\，则称\\vec{b}\能由\\vec{a_1}\,\\vec{a_2}\,...,\\vec{a_n}\线性表示标特别地，平面内任意向量都可以由两个不共线的向量线性表示\\vec{a}\=x,y=x\\vec{i}\+y\\vec{j}\解\\vec{c}\=2\\vec{a}\-\\vec{b}\=23,1-2,4=6,2-2,4=4,-2向量的运算性质向量的平行与垂直向量的数量积与应用两个非零向量\\vec{a}\和\\vec{b}\平行，当且仅当存在非零实数λ，使得\\vec{a}\=λ\\vec{b}\记作\\vec{a}\∥\\vec{b}\向量\\vec{a}\和\\vec{b}\的数量积（内积、点积）定义为₁₁₂₂₂₂若\\vec{a}\=x,y，\\vec{b}\=x,y，则\\vec{a}\∥\\vec{b}\当且仅当\\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\（x≠0，y≠0）\\vec{a}\•\\vec{b}\=|\\vec{a}\|•|\\vec{b}\|•cosθ两个非零向量\\vec{a}\和\\vec{b}\垂直，当且仅当它们的数量积为0，即\\vec{a}\•\\vec{b}\=0记作\\vec{a}\⊥\\vec{b}\其中θ是\\vec{a}\和\\vec{b}\的夹角（0≤θ≤π）₁₁₂₂₁₂₁₂₁₁₂₂若\\vec{a}\=x,y，\\vec{b}\=x,y，则\\vec{a}\⊥\\vec{b}\当且仅当x x+y y=0坐标表示若\\vec{a}\=x,y，\\vec{b}\=x,y，则向量的坐标表示₁₂₁₂\\vec{a}\•\\vec{b}\=x x+y y数量积的性质在平面直角坐标系中，向量\\vec{AB}\的坐标表示为•\\vec{a}\•\\vec{b}\=\\vec{b}\•\\vec{a}\（交换律）\\vec{AB}\=xB-xA,yB-yA•\\vec{a}\•\\vec{b}\+\\vec{c}\=\\vec{a}\•\\vec{b}\+\\vec{a}\•\\vec{c}\（分配律）其中xA,yA和xB,yB分别是点A和点B的坐标•λ\\vec{a}\•\\vec{b}\=λ\\vec{a}\•\\vec{b}\向量运算的坐标表示•\\vec{a}\•\\vec{a}\=|\\vec{a}\|²₁₂₁₂•\\vec{a}\+\\vec{b}\=x+x,y+y数量积的应用₁₂₁₂•\\vec{a}\-\\vec{b}\=x-x,y-y₁₁•计算向量的夹角cosθ=\\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\•λ\\vec{a}\=λx,λy•判断两向量垂直\\vec{a}\•\\vec{b}\=0•计算向量的投影\proj_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\•计算功W=\\vec{F}\•\\vec{s}\立体几何基础空间直线与平面线面位置关系空间中的点、直线和平面是立体几何的基本元素空间中两条直线的位置关系•相交两直线有且仅有一个公共点•平行两直线无公共点，且在同一平面内•异面两直线无公共点，且不在同一平面内直线与平面的位置关系•直线在平面内•直线与平面平行但不在平面内•直线与平面相交两个平面的位置关系•两平面重合•两平面平行但不重合•两平面相交成一条直线平行关系判定•两直线平行若两直线所在的向量平行•直线与平面平行若直线所在向量与平面法向量垂直•两平面平行若两平面的法向量平行垂直关系判定•两直线垂直若两直线所在的向量垂直•直线与平面垂直若直线所在向量与平面法向量平行•两平面垂直若两平面的法向量垂直多面体的基本性质棱柱棱锥欧拉公式棱柱是由两个全等、平行的多边形（底面）和若干个平行四边形（侧面）所围成的几何体棱锥是由一个多边形（底面）和若干个三角形（侧面）所围成的几何体，三角形有一个公共顶点对于任何简单的多面体，顶点数V、棱数E和面数F之间满足关系特性特性V-E+F=2•体积V=Sh（S为底面积，h为高）•体积V=\\frac{1}{3}\Sh（S为底面积，h为高）例如•侧面积A侧=ph（p为底面周长，h为高）•侧面积各三角形侧面积之和空间向量与立体几何空间向量的定义与运算空间直线与平面方程空间向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示空间向量通常表示为\\vec{a}\=x,y,z直线方程空间向量的基本运算•参数方程\\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\，其中\\vec{s}\=a,b,c为方向向量₁₂₁₂₁₂•两点式\\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\•加法\\vec{a}\+\\vec{b}\=x+x,y+y,z+z₁₂₁₂₁₂•减法\\vec{a}\-\\vec{b}\=x-x,y-y,z-z平面方程₁₁₁•数乘λ\\vec{a}\=λx,λy,λz₀₀₀•点法式Ax-x+By-y+Cz-z=0，其中\\vec{n}\=A,B,C为法向量•模长|\\vec{a}\|=\\sqrt{x^2+y^2+z^2}\•一般式Ax+By+Cz+D=0空间向量的数量积（点积）•三点式通过三点确定的平面方程₁₂₁₂₁₂\\vec{a}\•\\vec{b}\=x x+y y+z z=|\\vec{a}\|•|\\vec{b}\|•cosθ空间向量的叉积（向量积）₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂₁₂\\vec{a}\×\\vec{b}\=y z-z y,z x-x z,xy-y x|\\vec{a}\×\\vec{b}\|=|\\vec{a}\|•|\\vec{b}\|•sinθ立体几何问题的向量解法直线与圆直线方程圆的标准方程₀₀点斜式y-y=kx-x标准方程x-a²+y-b²=r²₀₀其中x,y是直线上一点，k是斜率其中a,b是圆心坐标，r是半径斜截式y=kx+b一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0其中k是斜率，b是y轴截距其中圆心坐标为-D/2,-E/2，半径为\\sqrt{D²/4+E²/4-F}\点与圆的位置关系截距式\\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\₀₀其中a是x轴截距，b是y轴截距设点Px,y，圆C x-a²+y-b²=r²，则₀₀一般式Ax+By+C=0A²+B²≠0•点在圆内x-a²+y-b²r²₀₀其中斜率k=-A/B（B≠0）•点在圆上x-a²+y-b²=r²₀₀•点在圆外x-a²+y-b²r²两点式\\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\₁₁₂₂其中x,y和x,y是直线上的两点两直线的位置关系₁₁₁₂₂₂设两直线方程为A x+B y+C=0和A x+B y+C=0，则•平行\\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\•重合\\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\•相交\\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}\₁₂两直线的夹角tanθ=|\\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\|，其中k,k是两直线的斜率直线与圆的位置关系123相离相切相交设直线L Ax+By+C=0，圆C x-a²+y-b²=r²，则直线到圆心的距离为当d=r时，直线与圆相切于一点当dr时，直线与圆相交于两点d=\\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A²+B²}}\切点坐标为\a-\frac{AAa+Bb+C}{A²+B²},b-\frac{BAa+Bb+C}{A²+B²}\求交点可将直线方程代入圆方程，得到一个关于x或y的二次方程，解得两个交点坐标₀₀当dr时，直线与圆相离过圆外一点Px,y作圆的切线的方法例如，直线y=kx+b与圆x²+y²=r²相交，代入得₁₁₁₁₀₁₁₀若切点为Tx,y，则向量\\vec{OT}\⊥\\vec{PT}\，即x-ax-x+y-by-y=0x²+kx+b²=r²1+k²x²+2kbx+b²-r²=0解此方程得到两个交点的x坐标，再代回直线方程求y坐标圆锥曲线概述椭圆、双曲线、抛物线定义标准方程与图像椭圆平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹双曲线平面上到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹抛物线平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹这三种曲线统称为圆锥曲线，因为它们可以通过一个圆锥面与一个平面相交得到•当平面与母线平行时，得到抛物线•当平面与圆锥轴的夹角大于母线与轴的夹角时，得到椭圆•当平面与圆锥轴的夹角小于母线与轴的夹角时，得到双曲线椭圆标准方程\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ab0₁₂焦点F-c,0,F c,0，其中c²=a²-b²双曲线标准方程\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\a0,b0₁₂焦点F-c,0,F c,0，其中c²=a²+b²渐近线y=±\\frac{b}{a}\x抛物线标准方程y²=2px p0焦点Fp/2,0准线x=-p/2圆锥曲线的几何性质椭圆的几何性质双曲线的几何性质抛物线的几何性质•长轴2a，短轴2b•实轴2a，虚轴2b•对称轴y=0•离心率e=c/a，表示椭圆偏离圆的程度，0•离心率e=c/a，表示双曲线的扁平度，e1•顶点原点O0,0•准线x=±a/e•准线x=±a/e•焦距p/2，表示焦点到顶点的距离•到焦点的距离与到相应准线距离之比等于离心率•到焦点的距离与到相应准线距离之比等于离心率•准线与顶点的距离也为p/2•反射性质从一个焦点发出的光线经椭圆反射后，一定通过另一个焦点•渐近线是双曲线的无限接近线•反射性质平行于对称轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点椭圆的性质与应用焦点与离心率椭圆的对称性椭圆标准方程\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ab0椭圆关于坐标原点对称₁₂焦点F-c,0,F c,0，其中c²=a²-b²椭圆关于x轴对称离心率e=c/a=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\，其中0椭圆关于y轴对称₀₀₁₀₀₂₀₀₃₀₀离心率表示椭圆偏离圆的程度这意味着如果点Px,y在椭圆上，则点P-x,y、P x,-y和P-x,-y也在椭圆上•当e接近0时，椭圆接近圆形•当e接近1时，椭圆变得非常扁平•当e=0时，椭圆变成圆准线x=±a/e椭圆上任意点到焦点的距离与到相应准线距离之比等于离心率当椭圆的长轴在y轴上时，标准方程变为\\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\₁₂此时焦点为F0,-c,F0,c，其中c²=a²-b²典型例题讲解123求椭圆方程求焦点和离心率椭圆的应用求过点P3,2且离心率为\\frac{1}{2}\，焦点在x轴上的椭圆方程求椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标和离心率椭圆在实际中有许多应用解解•行星轨道开普勒第一定律指出，行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上设椭圆方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\比较标准方程\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，得a²=16，b²=9•椭圆形拱桥具有很好的承重性能双曲线的性质双曲线的定义与标准方程渐近线与离心率双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹这个常数等于双曲线的实轴长2a渐近线双曲线\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线是两条相交直线双曲线的标准方程（焦点在x轴上）y=±\\frac{b}{a}\x\\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\a0,b0渐近线是双曲线的无限接近线，当x趋于无穷大时，双曲线上的点到渐近线的距离趋近于零参数关系离心率e=c/a=\\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\₁₂•焦点F-c,0,F c,0，其中c²=a²+b²离心率表示双曲线的扁平度，e恒大于1•实轴x轴上长度为2a的线段准线x=±a/e•虚轴y轴上长度为2b的线段₁₂双曲线上任意点到焦点的距离与到相应准线距离之比等于离心率•顶点A-a,0,A a,0当焦点在y轴上时，标准方程变为\\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\a0,b0₁₂此时焦点为F0,-c,F0,c，其中c²=a²+b²₁₂顶点为B0,-a,B0,a应用实例分析方程求解双曲线的应用双曲线与椭圆的关系求双曲线\\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\的焦点坐标、离心率和渐近线方程双曲线在现实生活中有许多应用双曲线和椭圆有很多相似之处，也有重要区别解比较标准方程，得a²=9，b²=4，所以a=3，b=2•天体运动彗星绕太阳的轨道通常是双曲线，太阳位于双曲线的一个焦点上•两者都是二次曲线，标准方程形式相似c²=a²+b²=9+4=13，所以c=√13•导航系统利用双曲线定位原理的LORAN（远程导航系统）•椭圆是封闭曲线，而双曲线是开放曲线•冷却塔许多核电站的冷却塔是由双曲面设计的，这种结构具有很好的稳定性•椭圆的离心率01抛物线的性质抛物线的定义与焦点对称轴与准线抛物线是平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹对称轴是通过焦点垂直于准线的直线抛物线关于对称轴对称标准方程（开口向右）y²=2px p0抛物线上任意点到焦点的距离等于该点到准线的距离这是抛物线的定义性质₀₀其中，p表示焦点到顶点的距离，也是准线到顶点的距离焦半径对于抛物线y²=2px上的点Px,y，其到焦点的距离为₀几何参数|PF|=x+p/2•焦点Fp/2,0•准线x=-p/2•顶点原点O0,0•对称轴x轴根据开口方向不同，抛物线的标准方程有四种形式•开口向右y²=2px p0•开口向左y²=-2px p0•开口向上x²=2py p0•开口向下x²=-2py p0抛物线的实际应用光学应用物理应用工程应用抛物线的反射性质平行于抛物线轴的光线经抛物线反射后，汇聚于焦点；从焦点发出的抛物线在物理学中有广泛应用抛物线在工程领域的应用光线经抛物线反射后，与轴平行•抛体运动在忽略空气阻力的情况下，抛体的运动轨迹是抛物线•建筑结构拱桥、拱顶设计中采用抛物线形状，具有优良的力学特性应用•水流喷泉水平喷出的水流在重力作用下形成抛物线•运动场跑道部分田径场跑道的弯道设计成抛物线形状•抛物面天线接收从远处平行到来的电磁波信号，聚集到焦点处的接收器上•悬索桥均匀载荷下的悬索呈抛物线形状•防洪堤坝部分堤坝的横截面设计成抛物线形状，能有效抵抗水压•反射镜手电筒、汽车前灯、天文望远镜中的抛物面反射镜•电场中带电粒子的运动轨迹往往是抛物线•道路设计高速公路的立交桥设计中常用抛物线来确保平滑过渡等式与不等式基本不等式不等式证明技巧算术平均数与几何平均数不等式（AM-GM不等式）放缩法用已知不等式代替原不等式中的部分表达式₁₂对于任意n个正实数a,a,...,aₙ，有分类讨论法根据变量的不同情况分别讨论\\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_n}\数学归纳法适用于证明与正整数n有关的不等式₁₂当且仅当a=a=...=aₙ时等号成立反证法假设结论不成立，推导出矛盾对于n=2的特殊情况\\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\构造法构造适当的辅助函数或表达式柯西-施瓦茨不等式变量替换通过适当替换简化不等式₁₂₁₂对于任意实数a,a,...,aₙ和b,b,...,bₙ，有\a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n^2\leq a_1^2+a_2^2+...+a_n^2b_1^2+b_2^2+...+b_n^2\₁₂₁₂当且仅当存在常数λ，使得a:a:...:aₙ=b:b:...:bₙ时等号成立绝对值不等式三角不等式对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时等号成立绝对值基本不等式对于任意实数a和b，有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|计数原理与概率基础加法与乘法原理简单概率计算加法原理若完成一件事可以有n种不同的方法，完成另一件事可以有m种不同的方法，并且这两件事不能同时完成，则完成其中一件事的方法数为n+m古典概型在一个随机试验中，如果所有可能的基本结果有有限个，且这些基本结果出现的可能性相同，则该随机试验属于古典概型₁₂加法原理推广若完成一件事可分为k个互斥的情况，第i种情况有ni种不同的方法，则完成这件事的方法数为n+n+...+nk事件A的概率计算公式PA=\\frac{nA}{nS}\乘法原理若完成一件事需要分步进行，第一步有n种不同的方法，第二步有m种不同的方法，则完成这件事的方法数为n×m其中nA表示事件A包含的基本结果数，nS表示样本空间S中基本结果总数₁₂乘法原理推广若完成一件事需要分k步进行，第i步有ni种不同的方法，则完成这件事的方法数为n×n×...×nk条件概率已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作PA|B排列与组合基础PA|B=\\frac{PA∩B}{PB}\（当PB0时）乘法公式PA∩B=PB•PA|B=PA•PB|A排列从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个元素中取m个元素的排列，记作Pn,m或Pnm₁₂全概率公式若B,B,...,Bn是一组互斥且完备的事件，则对任意事件A有Pn,m=nn-1n-

2...n-m+1=\\frac{n!}{n-m!}\₁₁₂₂PA=PB•PA|B+PB•PA|B+...+PBn•PA|Bn特别地，Pn,n=n!，表示n个不同元素的全排列贝叶斯公式在全概率公式的条件下，有组合从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素的顺序，称为从n个元素中取m个元素的组合，记作Cn,m或CnmPBi|A=\\frac{PB_i•PA|B_i}{PA}=\frac{PB_i•PA|B_i}{\sum_{j=1}^{n}PB_j•PA|B_j}\Cn,m=\\frac{Pn,m}{m!}=\frac{n!}{m!n-m!}\推理与证明直接证明法反证法与数学归纳法直接证明法是从已知条件出发，通过逻辑推理直接得出结论的方法这是最常用的证明方法之一反证法（归谬法）假设结论的否定为真，推导出矛盾，从而证明原结论成立直接证明的基本步骤反证法的基本步骤

1.明确已知条件和需要证明的结论

1.假设结论不成立（即假设结论的否定为真）

2.从已知条件出发，应用定理、公式、性质等

2.从这个假设出发，进行逻辑推理

3.通过一系列逻辑推理，最终得到需要证明的结论

3.推导出矛盾（与已知条件或公理矛盾）

4.由此得出假设不成立，即原结论成立直接证明适用于大多数数学命题，特别是若P，则Q形式的命题数学归纳法用于证明与正整数n有关的命题例如，证明若n是奇数，则n²也是奇数数学归纳法的基本步骤设n是奇数，则n=2k+1（k为整数）

1.验证命题对n=1（或其他初始值）成立n²=2k+1²=4k²+4k+1=22k²+2k+

12.假设命题对n=k成立，证明它对n=k+1也成立令m=2k²+2k，则m是整数，且n²=2m+

13.由1和2，根据数学归纳原理，命题对所有适用的正整数n成立所以n²是奇数证毕复数基础复数的定义与表示复数的加减乘除复数是形如a+bi的数，其中a、b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1对于复数z=a+bi•a称为复数z的实部，记作Rez•b称为复数z的虚部，记作Imz•当b=0时，z是实数；当a=0时，z是纯虚数复数的表示方法代数形式z=a+bi三角形式z=rcosθ+i sinθ，其中r是模长，θ是辐角指数形式z=re^iθ，基于欧拉公式e^iθ=cosθ+i sinθ复数的模|z|=√a²+b²=r复数的辐角θ=argz=arctanb/a（需考虑象限）矩阵与变换矩阵的基本运算行列式与逆矩阵矩阵是由m×n个数排成的m行n列的数表，记作A=aijm×n行列式方阵A的行列式记作det A或|A|，是一个标量矩阵加法只有同型矩阵（行数和列数都相同）才能相加二阶行列式\\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}=ad-bc\A+Bij=Aij+Bij三阶行列式可用拉普拉斯展开或萨吕法则计算矩阵数乘数k与矩阵A的乘积是将A中的每个元素都乘以k逆矩阵若方阵A存在矩阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A-1kAij=k•Aij矩阵A可逆的充要条件是det A≠0矩阵乘法矩阵A与B可以相乘的条件是A的列数等于B的行数计算逆矩阵的方法设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，则C=AB是m×n矩阵，其中

1.伴随矩阵法A-1=1/det A•A*，其中A*是A的伴随矩阵

2.初等变换法将[A|I]通过初等行变换变为[I|A-1]Cij=Σk=1s Aik•Bkj矩阵乘法满足结合律ABC=ABC，但一般不满足交换律AB≠BA矩阵转置将矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作ATATij=Aji数学建模与应用生活中的数学建模案例函数建模实例数学建模是将实际问题抽象为数学问题，通过数学方法求解，并将结果解释应用到实际问题的过程生活中的数学建模案例交通优化利用图论和排队理论建模分析城市交通流量，优化红绿灯配时流行病传播用微分方程建立SIR模型（易感者-感染者-康复者），预测疫情发展趋势天气预报利用微分方程组描述大气运动，结合数值计算方法进行天气预测投资决策利用线性规划和概率统计建模分析投资组合，实现风险与收益的平衡人口增长利用指数模型和Logistic模型预测人口变化趋势数学建模的基本步骤

1.分析问题，明确目标

2.做出假设，确定变量

3.建立数学模型

4.求解模型

5.解释结果，验证模型

6.改进模型或得出结论线性函数建模用于描述两个变量之间的线性关系例如商品的价格与销量之间的关系、加热时间与温度上升的关系等指数函数建模用于描述增长或衰减速率与数量成正比的过程例如人口增长、放射性衰变、复利增长等对数函数建模用于描述变量之间存在幂律关系的现象例如地震强度的里氏震级、声音的分贝计算等三角函数建模用于描述周期性变化的现象课堂练习与典型题解析函数与导数三角函数立体几何₁₁₁₁₁₁例题求函数fx=x³-3x²+2的极值点及极值例题求证sinα+sinβ=2sinα+β/2cosα-β/2例题已知正方体ABCD-A BC D的棱长为a，求空间对角线AC的长度及其与平面BDC的夹角解析解析解析₁

1.求导数fx=3x²-6x利用三角函数的和角公式

1.建立坐标系设A为原点，AB、AD、AA分别沿x、y、z轴正方向，长度均为a₁₁₁₁

2.令fx=0，得3x²-6x=0，即3xx-2=0sinα+sinβ

2.各点坐标A0,0,0，Ba,0,0，Ca,a,0，D0,a,0，A0,0,a，B a,0,a，C a,a,a，D0,a,a₁₁解得x=0或x=2=2sinα+β/2cosα-β/

23.计算AC的长度AC=√[a-0²+a-0²+a-0²]=a√3₁₁

3.求二阶导数fx=6x-6这是三角函数的和化积公式，可通过将左侧展开验证

4.平面BDC的法向量n=BD×DC=[0,a,0×a,0,a]=a²,-a²,a²₁₁₁₁

4.判断极值右侧=2sinα+β/2cosα-β/

25.AC与平面BDC的夹角θ满足sinθ=|AC•n|/|AC|•|n|₁₁当x=0时，f0=-60，为极大值点；f0=2=2[sinα+β/2cosα-β/2]AC=a,a,a，|AC|=a√3当x=2时，f2=60，为极小值点；f2=-2=2[sinα+β/2cosα-β/2]|n|=a²√3₁

5.结论函数在x=0处取极大值2，在x=2处取极小值-2=sinα+β/2+α-β/2+sinα+β/2-α-β/2AC•n=a•a²+a•-a²+a•a²=a³=sinα+sinβsinθ=a³/a√3•a²√3=1/3证毕所以θ=arcsin1/3≈

19.5°重点知识点练习题代数与函数解题能力提升建议

1.解不等式|2x-1|+|x+3|

52.求函数fx=lnx²+1-2x的单调区间

3.设a0，b0，求证a/b+b/a≥

24.求方程x⁴-5x²+4=0的所有实数解几何与向量₁₂

1.直线l:x-2y+3=0与直线l:3x+y-2=0的夹角

2.求圆x²+y²-4x-6y+9=0的标准方程、圆心坐标和半径

3.已知椭圆焦点为±3,0，离心率为

0.75，求其标准方程₁₂

4.求空间两直线L:x-1/2=y+1/3=z-2/4和L:x+2/1=y-3/-2=z+1/3是否相交，若相交求交点总结与复习高中数学核心知识回顾学习方法与考试技巧高中数学课程体系涵盖了以下核心模块集合与逻辑集合运算、逻辑联结词、命题与证明函数函数概念、性质、基本初等函数（指数、对数、三角函数）数列等差数列、等比数列、数学归纳法平面向量向量运算、数量积、线性表示立体几何空间位置关系、多面体、计算方法解析几何直线、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）概率统计计数原理、古典概型、随机变量微积分初步导数概念、计算及应用这些知识模块相互关联，构成了完整的数学知识体系学习高中数学不仅是为了掌握具体的计算技能，更重要的是培养逻辑思维能力、空间想象能力和应用数学解决实际问题的能力。