7的倍数的特征教学课件

的倍数的特征教学课件7导入生活中的7在我们的日常生活中，数字7无处不在，它有着独特的魅力和重要性•一周七天，周而复始，构成了我们生活的基本节奏•中国传统玩具七巧板，由七块不同形状的板块组成，可以拼出各种图形•世界七大奇迹、七色彩虹、七个音符等文化和自然现象•许多重要事件和习俗也与7相关，如七夕节、七岁生日等数字7在各种文化中都被视为具有特殊意义的数字今天，我们将深入探索数字7在数学中的奥秘，特别是如何快速判断一个数是否为7的倍数的倍数概念回顾7的倍数定义数学表达式典型例子77的倍数是指能被7整除的数，即除以7后余若n是7的倍数，则7的正倍数序列数为0的整数从数学角度看，如果一个数7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,是7的倍数，那么它可以表示为7与某个整数

98...k的乘积其中k是任意整数，包括正整数、负整数和注意观察这些数字有什么规律？末位数字是零否有循环？判断能不能被整除的常规做法7传统判断方法最直接的方法是使用除法运算，将数字直接除以7•设计算式被判断的数÷7•进行长除法或短除法运算•检查余数是否为0•如果余数为0，则该数是7的倍数；否则不是这种方法虽然准确无误，但对于较大的多位数，特别是在心算或快速判断时，效率较低且容易出错为什么需要倍数特征？大数计算的困难简化判断的需要当我们遇到较大的多位数（如9478或12593）时，直接使用除法进行倍数特征提供了简化的判断步骤，无需进行完整的除法运算这些特计算非常繁琐，尤其是在没有计算器的情况下例如，要判断12593征基于数学原理，可以通过简单的加减乘除运算快速判断一个数是否是否为7的倍数，用传统除法需要多步计算，易出错为特定数的倍数实用价值思维训练在数学竞赛、速算比赛以及日常计算中，倍数特征是常见的考点和实学习倍数特征不仅是掌握一种计算技巧，更是培养数学思维、理解数用技巧掌握这些特征可以显著提高计算速度和准确性，为解决更复字规律的过程通过探索不同倍数的特征，学生能够加深对数字系统杂的问题奠定基础内在规律的理解的倍数割尾法定义7割尾法的基本步骤7的倍数有一个特殊的判别方法，称为割尾法这种方法通过简单的步骤，可以快速判断一个数是否为7的倍数截去个位数字将原数的个位数字分离出来个位数乘以2将分离出的个位数字乘以2前面的数减去个位数的2倍用原数去掉个位后的数减去个位数的2倍判断结果如果得到的差是7的倍数，则原数也是7的倍数这个方法可以重复应用，直到得到一个容易判断的小数数学表达对于任意整数n，如果将其表示为其中b是个位数字（0≤b≤9），a是除去个位后的数字根据割尾法，n是7的倍数，当且仅当a-2b是7的倍数举例对于数字133，我们有•a=13（除去个位后的数）•b=3（个位数字）割尾法步骤详解第二步乘2第一步截位将个位数字乘以2继续上面的例子，5×2=10这一步骤源于7的倍数的数学特性，与模10余数系统有关将要判断的数字分成两部分个位数字和其余部分例如，对于数字385，我们将其分为38和5第四步重复或判断第三步相减如果得到的差是一个容易判断的数，如

7、

14、21等，我们就可以直接判断否则，需要重复上述步骤，直到用前面的数字减去个位数字的2倍在我们的例子中，38-10=28如果这个差是7的倍数，那么原来的数也是7得到一个容易判断的数的倍数割尾法的关键在于不断缩小判断的数字范围，将一个大数的判断转化为对一个小数的判断，从而简化计算过程这种方法特别适合心算和快速判断，是数学速算的重要技巧之一割尾法流程图上图展示了割尾法的完整操作流程，通过直观的箭头和框图，帮助学生清晰理解每一步操作流程图的设计遵循了从左到右、从上到下的阅读习惯，使学生能够轻松跟随并记忆整个判断过程流程起点分离操作计算过程从输入待判断的数字N开始，进入割尾法判将N分离为两部分个位数字b和剩余部分计算a-2b的值，记为M断流程a，即N=10a+b判断分支结论输出判断M是否为7的倍数或容易判断的小数；若不是，则将M作为新的N根据最终M值判断原数N是否为7的倍数重复流程割尾法算法原理数学原理解析在模7的世界中，3的乘法逆元是5（因为3•5≡15≡1mod7）⟺⟺•a≡-b•5mod7a≡-5b mod7为什么减去2倍个位数的方法能有效判断7的倍数？这背后有严密的数学逻辑⟺•a+5b≡0mod7设一个整数表示为n=10a+b，其中a是十位及以上的数字，b是个位数字•由于-2≡5mod7，所以a+5b≡a-2b mod7我们要证明n是7的倍数，当且仅当a-2b是7的倍数⟺•a-2b≡0mod7这证明了n是7的倍数，当且仅当a-2b是7的倍数证明过程如下•由于10≡3mod7，所以10a≡3a mod7•因此，10a+b≡3a+b mod7⟺⟺•n是7的倍数10a+b≡0mod73a+b≡0mod7⁻⟺⟺•3a≡-b mod7a≡-b•3¹mod7教师演示例题三位数1例题判断是否为的倍数1337我们将通过割尾法的步骤来判断截去个位数字将133分为13和3个位数乘以23×2=6前面的数减去个位数的2倍13-6=7判断结果得到7，明显是7的倍数因此，133是7的倍数我们可以通过直接除法验证133÷7=19，没有余数这个例子展示了割尾法的简洁高效通过几个简单的步骤，我们避免了复杂的除法运算，快速得出结论图解过程我们可以用更直观的方式展示这个过程原数133↓分离个位十位及以上13|个位3↓个位乘213|3×2=6↓相减13-6=7↓判断7是7的倍数∴133是7的倍数学生练习三位数12练习题目步骤提示判断161是否是7的倍数分步骤思考请按照割尾法的步骤，独立完成这道练习题在开始之

1.将161分离为16和1前，请先思考

2.计算个位数的2倍1×2=•个位数字是什么？

3.计算前面的数减去个位数的2倍16-=•除去个位后的数是什么？

4.判断得到的结果是否为7的倍数•个位数的2倍是多少？完成后，可以通过直接除法验证你的答案3注意事项在解题过程中，请注意以下几点•确保正确分离个位数字•不要忘记将个位数乘以2•计算时注意正负号•如果得到的结果仍然较大，可以继续应用割尾法这些细节对于正确应用割尾法至关重要解答练习题161完整解答过程判断161是否为7的倍数截去个位数字将161分为16和1个位数乘以21×2=2前面的数减去个位数的2倍16-2=14判断结果14=7×2，是7的倍数因此，161是7的倍数我们可以通过直接除法验证161÷7=23，没有余数，确实是7的倍数图解与分析原数161↓分离个位十位及以上16|个位1↓个位乘216|1×2=2↓相减16-2=14↓判断14=7×2，是7的倍数∴161是7的倍数教师演示例题四位数2例题判断是否为的倍数第一轮应用61397这是一个四位数，数字较大，直接除法计算复杂我们将使用割尾法进行判断分离613和9个位乘29×2=18相减613-18=595595较大，需继续应用割尾法第二轮应用结论分离59和5由于最终得到49是7的倍数，所以原数6139也是7的倍数个位乘25×2=10验证6139÷7=877，没有余数相减59-10=4949=7×7，是7的倍数这个例子展示了割尾法对于较大数字的应用，以及如何多次应用割尾法直到得到容易判断的结果对于四位数甚至更大的数字，割尾法的优势更加明显，能够大大简化判断过程学生练习四位数练习题目判断3822是否是7的倍数请按照割尾法的步骤，独立完成这道练习题这次我们面对的是一个四位数，可能需要多次应用割尾法步骤提示

1.第一轮•将3822分离为382和2•计算2×2=•计算382-=

2.第二轮（如果需要）•继续分离个位和其余部分•应用同样的步骤

3.判断最终结果是否为7的倍数工作区第一轮原数3822分离382|2个位乘22×2=相减382-=第二轮（如需要）新数分离|个位乘2×2=相减-=第三轮（如需要）新数分离|个位乘2×2=相减-=结论解答3822第一轮应用分离3822为382和2计算个位的2倍2×2=4相减382-4=378378较大，需继续应用割尾法第二轮应用分离378为37和8计算个位的2倍8×2=16相减37-16=21得到21=7×3，是7的倍数结论与验证由于最终得到21是7的倍数，所以原数3822也是7的倍数验证3822÷7=546，没有余数，确认3822是7的倍数这个例子再次展示了割尾法的实用性通过两轮应用，我们将四位数3822的判断转化为对21的判断，大大简化了计算过程对于熟练掌握割尾法的人来说，这整个过程可以在心算中快速完成割尾法练习小组比拼活动设计为了加深对割尾法的理解和熟练应用，我们将进行一场小组比拼活动

1.全班分为4-6个小组，每组3-5人

2.每组分配3道判断题，难度逐渐增加

3.小组成员合作解题，记录解题时间

4.比较各组的正确率和速度

5.获胜小组将获得奖励这种竞赛形式的练习可以增强学生的参与性和学习积极性，同时通过小组合作促进相互学习和讨论比赛题目示例第一轮（基础题）•判断112是否为7的倍数•判断203是否为7的倍数•判断343是否为7的倍数第二轮（提高题）•判断2884是否为7的倍数•判断4179是否为7的倍数•判断5012是否为7的倍数第三轮（挑战题）试一试大数判断挑战题判断8523是否是7的倍数？1这是一个四位数，直接除法计算较为复杂请尝试使用割尾法来判断在计算过程中，请特别注意每一步的准确性，因为一个小错误可能导致最终结论的错误思考方向对于这道题，我们需要多次应用割尾法

1.先分离个位3和其余部分

85222.计算个位的2倍并与前面的数相减

3.对得到的结果，如果仍然较大，继续应用割尾法

4.直到得到一个容易判断的结果请记录每一步的计算过程，最后给出明确的结论预期收获通过解决这道挑战题，你将•进一步熟练掌握割尾法的应用3•提高对多位数的判断能力•增强数学运算的准确性和速度•培养解决复杂问题的耐心和信心这些能力不仅对于学习7的倍数特征有帮助，对于整个数学学习都非常重要分步解答演示8523完整解答过程第一轮应用•分离8523为852和3•计算个位的2倍3×2=6•相减852-6=846•846较大，需继续应用割尾法第二轮应用•分离846为84和6•计算个位的2倍6×2=12•相减84-12=72•72=7×

10.285，不是7的整倍数•需继续应用割尾法第三轮应用•分离72为7和2•计算个位的2倍2×2=4•相减7-4=3•3不是7的倍数结论与验证由于最终得到3不是7的倍数，所以原数8523也不是7的倍数我们可以通过直接除法验证8523÷7=

1217.

57...验证结果显示8523除以7后有余数，不是7的整倍数，与我们使用割尾法得出的结论一致总结常见错误忘记乘2最常见的错误是忘记将个位数字乘以2，直接用前面的数减去个位数例如，对于161，错误地计算16-1=15，而不是正确的16-2=14这种错误会导致整个判断过程出错记住割尾法的核心是减去个位数的2倍，不是减去个位数取错个位数字在多次应用割尾法时，有时会混淆哪个是当前的个位数字例如，在处理846时，忘记6是个位数，而错误地使用4或8解决方法每一轮明确写出当前处理的数字，并清楚标识其个位数和其余部分相减时符号错误有时会错误地计算a+2b而不是a-2b例如，对于133，错误地计算13+6=19，而不是正确的13-6=7记住割尾法是减去个位数的2倍，不是加上个位数的2倍对最终结果判断错误有时会错误地判断一个数是否为7的倍数例如，误认为14不是7的倍数，或者误认为22是7的倍数解决方法熟记常见的7的倍数（如7,14,21,28,35,42,49,56,63,

70...），或者对不确定的结果再次应用割尾法或直接除以7验证多次应用割尾法的必要性为什么需要多次应用？在处理较大的数字时，一次应用割尾法可能得不到容易判断的结果例如，对于数字9856，一次应用后可能得到985-12=973，这个数仍然较大，不容易直接判断是否为7的倍数此时，我们需要多次应用割尾法，直到得到一个容易判断的小数这种迭代过程是割尾法处理大数的关键理论支持从数学角度看，每次应用割尾法都会使数字变小（大约减少为原来的1/10），因此经过有限次应用后，必然会得到一个较小的数，最终可以直接判断实例演示以数字12579为例

1.第一轮1257-9×2=1257-18=

12392.第二轮123-9×2=123-18=

1053.第三轮10-5×2=10-10=0得到0是7的倍数，所以12579是7的倍数可以看到，通过三轮应用，我们将五位数12579的判断转化为对0的判断，大大简化了计算学习建议的倍数规律速查表7基础倍数双位数倍数7,14,21,28,35,42,4956,63,70,77,84,91,98这些是最基本的7的倍数，熟记这些数字有助于这些双位数是7的倍数，在应用割尾法时如果得快速识别小数是否为7的倍数到这些数，可以直接判断原数是7的倍数特殊倍数末位循环规律70,140,210,...10的倍数观察7的倍数的个位数7,4,1,8,5,2,9,6,3,0,...105,210,315,...15的倍数这个序列每10个数字循环一次，可以帮助我们这些特殊倍数在实际计算中经常遇到，熟悉它初步判断一个数是否可能是7的倍数们有助于快速判断这个速查表提供了常见的7的倍数，有助于在应用割尾法时快速识别判断结果建议学生熟记这些基本倍数，特别是100以内的7的倍数，这将大大提高判断的速度和准确性的倍数组合与生活7生活中的的倍数77的倍数在日常生活中有着广泛的应用，了解这些实际例子有助于加深对7的倍数的理解和记忆7人制足球一种流行的足球比赛形式，每队7名球员周数计算7天为一周，35天为5周，42天为6周，计算周数时常用7的倍数音乐理论西方音乐中的七声音阶，以及基于7的和弦构成民俗文化许多文化中的七相关习俗，如中国的七夕、七月半等计时单位49天（7周）、70天（10周）等特殊时间点数字组合的实际应用在实际生活中，我们经常需要判断某些数字是否是7的倍数商品定价一些商家喜欢将产品定价为7的倍数，如49元、77元、98元等批量采购按

7、

14、21等数量进行批量采购或包装日程安排按周规划时，常常涉及7的倍数天数数据分析在统计和数据分析中，有时需要按7天为周期进行数据分组其他数的倍数特征简述（对比）和的倍数特征和的倍数特征39483的倍数各位数字之和能被3整除4的倍数末两位数能被4整除9的倍数各位数字之和能被9整除8的倍数末三位数能被8整除例如258的各位数之和是2+5+8=15，能被3整除，所以258是3的倍数；但15不能被9整除，例如1724的末两位是24，能被4整除，所以1724是4的倍数；2624的末三位是624，能被8整所以258不是9的倍数除，所以2624是8的倍数和的倍数特征和的倍数特征51011135的倍数个位是0或511的倍数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除10的倍数个位是013的倍数类似7的割尾法，但个位乘以4而不是2这是最容易判断的倍数特征，只需看个位数字即可这些特征与7的割尾法类似，都是基于模运算的原理通过对比不同数的倍数特征，我们可以发现每个数都有其独特的判别方法，这些方法都基于数学中的模运算理论理解这些特征之间的联系和区别，有助于加深对整个数系统的理解，并提高数学运算能力拓展割尾法在竞赛题中的应用竞赛中的割尾法由归纳假设，7^k-4^k能被3整除，因此77^k-4^k也能被3整除而3×4^k显然能被3整除所以它们的和7^k+1-4^k+1能被3整除在数学竞赛和奥林匹克数学中，割尾法是一种常用的技巧，可以帮助解决一些复杂的整除性问题这些问题通常要求快速判断大数的整除性，或者证明某些数论性质应用案例例题证明对于任意自然数n，数7^n-4^n能被3整除解析使用割尾法思想和数学归纳法

1.当n=1时，7^1-4^1=7-4=3，能被3整除

2.假设n=k时命题成立，即7^k-4^k能被3整除

3.当n=k+1时，7^k+1-4^k+1=7×7^k-4×4^k

4.=7×7^k-4×4^k+3×4^k-3×4^k

5.=7×7^k-4×4^k-3×4^k+3×4^k

6.=77^k-4^k+4^k7-

47.=77^k-4^k+3×4^k割尾法的思想延伸割尾法的核心思想是通过一系列等价变换，将一个复杂的整除性问题转化为更简单的问题这种思想可以扩展到很多数论问题中规律与归纳数字规律的发现1通过观察7的倍数序列7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,

105...我们可以发现一些有趣的规律•个位数字以7,4,1,8,5,2,9,6,3,0为周期循环•相邻两个7的倍数之差总是7•7的倍数的数字根（各位数字不断相加直到得到一位数）只可能是1,4,7或9倍数特征的联系2不同数的倍数特征之间存在联系•

7、

11、13等素数的倍数特征都可以用权重和的形式表达•2^k形式的数（如2,4,8,16）的倍数特征都与末尾若干位有关•

3、9等数的倍数特征与数字各位之和有关这些联系反映了数论中的深层规律，理解这些联系有助于形成系统的数学思维数感能力的培养3数感是对数字的敏感性和直觉理解力，是数学能力的重要组成部分通过学习各种倍数特征，我们可以培养数感能力•快速估算能够迅速判断计算结果的合理性•模式识别能够在数列中发现规律和模式•数字分解能够灵活地分解和组合数字•心算能力提高不依赖计算工具的运算能力趣味思考题创造你自己的检测公式尝试设计一种判断11的倍数的方法，类似于7的割尾法提示考虑11在十进制中的特性，以及10与11的关系数字游戏猜想任意选择一个自然数，将其各位数字打乱重新排列，新数与原数的差一定能被9整除请思考这一猜想是否正确，并尝试证明割尾法变体如果我们将7的割尾法中的个位数乘以2改为个位数乘以其他数，比如3或4，这种变体方法能否用于判断其他数的倍数？如果能，是哪些数？数学探索研究问题对于任意大于1的自然数n，是否总存在一个由n个连续的自然数组成的序列，使得这个序列中恰好有一个数是7的倍数？编程挑战尝试编写一个程序，用割尾法判断一个输入的大数是否为7的倍数，并比较割尾法与直接除法的效率差异历史追溯调查研究割尾法这种判别方法的历史起源是什么？在数学史上，类似的判别方法还有哪些？它们是如何被发现和证明的？难点突破特例和反例多步骤的困难例子常见陷阱某些数需要多次应用割尾法，步骤繁琐，容易出错在应用割尾法时，有些容易混淆的情况例如数字123456•数字70虽然个位是0，但仍需应用割尾法（7-

1.12345-6×2=12345-12=123330=7）

2.1233-3×2=1233-6=1227•数字77容易误判，需计算（7-14=-7，是7的倍数）

3.122-7×2=122-14=108•数字100得到10-0=10，10不是7的倍数

4.10-8×2=10-16=-6•数字49虽然是7²，但用割尾法仍需验证（4-

5.-6不是7的倍数，所以123456不是7的倍数18=-14，是7的倍数）注意负数也可以应用割尾法，按同样规则处理这些例子提醒我们，即使对于看似简单的数，也要严格按照算法步骤进行负数处理割尾法同样适用于负数，处理方式与正数相同•-35-3--5×2=-3+10=7，是7的倍数•-161-16-1×2=-16-2=-18，不是7的倍数注意负数的判断结果可能是正数或负数，判断时只看是否为7的倍数验证小数与负数负数的验证7的倍数特征不仅适用于正整数，也同样适用于负整数和零负数的验证方法与正数完全相同，只是需要注意符号-7的验证无需使用割尾法，直接判断是7的倍数-14的验证-1-4×2=-1-8=-9，不是7的倍数，但我们知道-14是7的倍数，这说明这里有计算错误，应该是-1-4×2=-1-8=-9，不是7的倍数需再检查-14=-14，14是7的倍数，所以-14也是7的倍数-21的验证-2-1×2=-2-2=-4，不是7的倍数但我们知道-21是7的倍数，这里可能有计算错误正确计算应为-2-1×2=-2-2=-4，不是7的倍数重新检查-21=-21，21是7的倍数，所以-21也是7的倍数这些例子提醒我们，在处理负数时需要特别注意符号和运算顺序负数判断有时会出现特殊情况，需要结合数学常识进行验证零的情况数字0是任何数的倍数，因此也是7的倍数用割尾法验证0-0×2=0，0是7的倍数，验证正确应用范围说明割尾法主要用于整数的判断，不适用于小数、分数等非整数情况对于非整数，需要先转化为整数再判断•对于形如a.

0、a.00等末尾全为0的小数，可以直接判断整数部分•对于其他小数，不可能是7的倍数（因为7的倍数必须是整数）•对于分数，只有分子是7的倍数且分母与7互质的情况下，该分数才是7的倍数单元复习与自测12基础题提高题判断以下数是否为7的倍数判断以下数是否为7的倍数

1.

911.

20022.

1262.

95833.1333挑战题判断以下数是否为7的倍数

1.

123456782.-98763答案与解析基础题

1.919-2=7，是7的倍数

2.12612-12=0，是7的倍数

3.13313-6=7，是7的倍数提高题

1.2002200-4=196；19-12=7，是7的倍数

2.9583958-6=952；95-4=91；9-2=7，是7的倍数挑战题

1.12345678依次计算得到1234567-16=1234551；123455-2=123453；12345-6=12339；1233-18=1215；121-10=111；11-2=9，不是7的倍数

2.-98763-9876-6=-9882；-988-4=-992；-99-4=-103；-10-6=-16；-1-12=-13，不是7的倍数归纳总结与布置作业知识要点归纳通过本单元的学习，我们掌握了以下关键知识点

1.7的倍数的基本概念与特性

2.判断7的倍数的传统方法与局限性

3.割尾法的定义、步骤和数学原理

4.割尾法的实际应用技巧与注意事项

5.处理特殊情况和大数的方法

6.7的倍数与其他数的倍数特征的联系与区别这些知识点构成了完整的知识体系，有助于提高数学计算能力和思维能力作业布置为了巩固所学知识，请完成以下作业

1.自选10个不同大小的数，用割尾法判断它们是否为7的倍数，并通过直接除法验证答案

2.从日常生活中找出3个与7的倍数相关的实例，并解释其中的联系

3.尝试总结一种判断13的倍数的方法，类似于7的割尾法

4.思考问题为什么割尾法对于判断7的倍数有效？尝试从数学原理角度进行解释请将作业在下次课前完成，我们将在课堂上进行讨论和分享。