三的倍数教学课件

三的倍数教学课件学习目标了解三的倍数的定义学会判断三的倍数的方法掌握三的倍数的基本概念，能够理解其数学含义能够说出三的倍数掌握多种判断三的倍数的方法，包括直接除法和数位和法能够灵活的定义，并知道为什么某些数被称为三的倍数通过具体示例理解这运用这些方法快速判断一个数是否为三的倍数，提高计算效率和准确一概念的实质性掌握倍数与因数的关系能解决生活中的三的倍数实际问题理解三的倍数与其因数之间的内在联系，认识到是其倍数的因数能够将三的倍数的知识应用到日常生活中的实际问题中，如物品分组、3能够解释为什么三的倍数都能被整除，以及这种关系对解决问题的周期安排等培养学生将数学知识与现实世界联系起来的能力3意义什么是倍数？倍数的数学定义如果一个整数能够被另一个整数整除（即÷的余数为），那么我们就说是的a b a b0a b倍数换句话说，倍数就是将某个数乘以一个正整数得到的结果三的倍数的定义三的倍数是指能被整除的整数，即这些数除以后余数为用数学表达式可以表示为330其中为正整数例如，当时，得到；当时，得到；当时，得到n n=13n=26n=39……生活中的三的倍数每天进行一次植物浇水•3人一组进行小组活动•3购买盒装的饼干套装•3钟表上的、、、点•36912三角形的个角•3为什么学习三的倍数？常见于生活和数学问题小学数学基础内容帮助培养数感和规律思维三的倍数在我们的日常生活和各类数学三的倍数是小学数学课程中的重要基础通过学习三的倍数，学生能够发现数字问题中频繁出现从简单的物品分配知识，它是理解更高级数学概念的基石间的规律和联系，提高数感能力观察3（如人分组），到更复杂的周期性事件掌握三的倍数及其判别方法，是学习因的倍数序列（、、、）可以发

336912...规划（如每天一次的活动），理解三的数、素数、合数、最大公约数、最小公现其中的模式，培养学生的模式识别和3倍数有助于我们更高效地解决这些问题倍数等后续内容的必要前提这些知识归纳推理能力这种规律思维不仅适用在自然界中，许多规律也与相关，如某点相互关联，形成完整的数学体系于数学学习，也是解决日常问题的重要3些植物的叶片排列思维方式三的倍数百数表观察发现三的倍数在百数表中呈现出明显的规律性排列•每一行（个数字）中必定有个是的倍数•1033这些倍数的个位数字循环出现、、、、、、、、、•3692581470中共有个三的倍数•1-10033在十位数上，三的倍数均匀分布在的每个数字中•0-9思考问题观察百数表中三的倍数的分布，你能发现什么有趣的规律？为什么三的倍数会呈现这样的分布模式？如果我们继续扩展到更大的数，这种规律是否仍然适用？三的倍数列举三的倍数序列如何判断一个数是否为三的倍数？三的倍数可以通过公式×（为正整数）生3n n成，从小到大依次为判断一个数是否为三的倍数有两种基本方法直接除法

1.3,6,9,12,将该数除以，如果能够整除（即余数为），30则该数是的倍数例如315,18,21,÷（余数为），所以是的倍数•273=90273÷（余数为），所以不是的倍数•293=9229324,27,数位和法

2.规律观察

30...计算该数各位数字之和，如果这个和是的倍3数，则原数也是的倍数例如3相邻两个三的倍数之间的差值始终为•3对于，是的倍数，所以是的倍数•242+4=663243任意三的倍数除以的商正好是它在序列中的位置•3对于，不是的倍数，所以•353+5=883三的倍数的个位数字呈现周期性变化•3,不是的倍数3536,9,2,5,8,1,4,7,0,3,

6...的倍数与因数的关系3倍数的产生因数的关系整除特性当我们用3乘以任意一个正整数n时，得到的结果3×n就是3的倍数例如3×1=3，3×2=6，对于任何3的倍数，3都是它的因数这意味着这个数可以被3整除，且除法结果为一个整数例如每个3的倍数都能被3整除而没有余数这是判断一个数是否为3的倍数的基本方法例如3×3=

9...这些数都是3的倍数6÷3=2，12÷3=4，21÷3=7等21÷3=7（无余数），因此21是3的倍数倍数与因数的双向关系倍数和因数是一种相互的关系•如果a是b的倍数，那么b就是a的因数•如果b是a的因数，那么a就是b的倍数例如因为18是3的倍数，所以3是18的因数；同样，因为3是18的因数，所以18是3的倍数理解这种双向关系对于学习后续的因数、倍数、公因数、公倍数等概念至关重要探索什么样的数是的倍数？312观察实例分析特征让我们观察一组数字，思考哪些是的倍数比较这些的倍数，你能发现什么共同特点？33所有数都能被整除•3数字是否为的倍数原因3计算各位数字之和•33,66,99,121+2=3,151+5=6,181+8=93是3=3×1•发现所有3的倍数的各位数字之和也是3的倍数是×66=32是×99=33是×1212=34是×1515=35是×1818=3634扩展验证归纳规律让我们验证更多的数通过观察和验证，我们可以归纳出一个重要规律一个数是的倍数，当且仅当其各位数字之和是的倍数33数字各位数字之和是否为的倍数3是212+1=3是272+7=9是333+3=6是424+2=6是1231+2+3=6是2132+1+3=6三的倍数的特征关键特征各位数字之和是的倍数特征的进一步应用3经过前面的探索，我们发现了三的倍数的一个重要特征一个数是的倍数的充要条对于特别大的数字，我们可以反复应用这一特征3件是其各位数字之和也是的倍数这一特征为我们提供了一种简便的判别方法3例如，判断是否为的倍数74258163示例分析计算各位数字之和

1.7+4+2+5+8+1+6=33比较大，可以再次计算其各位数字之和

2.333+3=6数字各位数字之和判断是的倍数，所以是的倍数

3.63333是的倍数，所以因此，也是的倍数1231+2+3=

6634.74258163是的倍数1233这种方法特别适用于判断大数是否为的倍数，可以避免进行复杂的除法运算3不是的倍数，所以2562+5+6=13133特征的数学表达不是的倍数2563用数学语言表达，如果一个数的各位数字之和满足是的倍数，那么也是的倍n SS3n3是的倍数，所以3693+6+9=18183数这可以表示为是的倍数3693不是的倍数，所以5715+7+1=13133不是的倍数5713是的倍数，所以9999+9+9=27273是的倍数9993特征推导与证明为什么各位数字之和能判断三的倍数？让我们通过一个具体的例子来理解这一原理以为例，探究为什么的各位数字之和（）能够判断它是否为的倍数1231231+2+3=63步骤对取余分析23步骤数位展开1分析每个部分除以的余数3将按照位值展开123步骤得出结论4步骤代入原式3由于能被整除，所以63将上述结果代入原数的展开式因此这意味着是的倍数1233这个证明适用于任意一个整数对于任何一个数，其各位数字之和除以的余数，与原数除以的余数相同这就是为什么我们可以通过各位数字之和来判断一个数是否为的倍数333这种判别方法的本质在于的任何次幂除以的余数都是，因此我们只需要关注各个位上的具体数字，而不需要考虑它们的位值1031不同判别方法比较直接除法法将数字直接除以3，查看是否能整除（余数为0）优点•概念直接，易于理解•对较小的数字计算简单•不需要记忆特殊规则缺点•对大数计算繁琐•需要完成除法运算•容易计算错误示例判断27是否为3的倍数计算27÷3=9（余数为0）结论27是3的倍数数位和法计算各位数字之和，判断和是否为3的倍数优点•对大数特别有效•计算简单，只需加法•可以反复应用，进一步简化缺点•需要理解背后的数学原理•对多位数需要多步计算示例判断372是否为3的倍数计算3+7+2=1212是3的倍数（12=3×4）结论372是3的倍数两种方法的选择取决于具体的数字和场景对于较小的数字，直接除法可能更直观；而对于较大的多位数，数位和法通常更为高效在实际应用中，学生应该灵活选择适合的方法，或者可以同时使用两种方法进行交叉验证，以确保结果的正确性数位和法的一个显著优势是，对于非常大的数字，我们可以反复应用这一方法，直到得到一个容易判断的小数例如，对于一个大数，可以先计算其各位数字之和，如果得到的和仍然较大，可以再次计算这个和的各位数字之和，以此类推小练习判断三的倍数判断是否为的倍数183方法1直接除法18÷3=6（余数为0）1方法2数位和法1+8=9，9是3的倍数结论18是3的倍数判断是否为的倍数253方法1直接除法25÷3=8（余数为1）2方法2数位和法2+5=7，7不是3的倍数结论25不是3的倍数判断是否为的倍数1263方法1直接除法126÷3=42（余数为0）3方法2数位和法1+2+6=9，9是3的倍数结论126是3的倍数判断是否为的倍数3043方法1直接除法304÷3=101（余数为1）4方法2数位和法3+0+4=7，7不是3的倍数结论304不是3的倍数判断是否为的倍数9993方法1直接除法999÷3=333（余数为0）5方法2数位和法9+9+9=27，27是3的倍数错误类型分析忽略数字位和相加的情况常见错误认为只有末位数字是

3、

6、9的数才是3的倍数正确认识判断三的倍数需要计算所有位数字之和，而不仅仅看末位数字示例•错误判断153末位是3，所以一定是3的倍数•正确分析1+5+3=9，9是3的倍数，所以153是3的倍数（但这是巧合，并非因为末位是3）•反例13末位是3，但1+3=4不是3的倍数，所以13不是3的倍数忘记本身也是的倍数33常见错误忽略了3是3的第一个倍数正确认识3是3的倍数，因为3=3×1示例•错误思考3的倍数是指大于3的数•正确认识任何数乘以3都是3的倍数，包括1×3=3•扩展0也是3的倍数，因为0=3×0（0是任何非零数的倍数）混淆倍数与因数常见错误将倍数和因数概念混淆正确认识如果A是B的倍数，则B是A的因数，反之亦然示例•错误表述3是15的倍数•正确表述15是3的倍数或3是15的因数•理解15=3×5，所以15是3的倍数，3是15的因数数位和计算错误常见错误在计算各位数字之和时出错正确做法仔细计算各位数字之和，必要时可以反复验算示例•错误计算对于234，误算2+3+4=8•正确计算2+3+4=9，9是3的倍数，所以234是3的倍数•建议对于位数较多的数字，可以分组计算或多次验算理解这些常见错误类型有助于学生避免在学习和应用三的倍数知识时犯类似的错误教师在教学过程中可以特别强调这些容易混淆的点，帮助学生建立正确的概念认识三的倍数的实际应用日常生活中的应用物品分组与平均分配

1.判断个苹果能否平均分给人、人或人•30369确定名学生能否平均分成人、人、人或人一组•3636912购买某商品时，判断买送等促销是否划算•31数学与科学中的应用周期性事件安排

2.数学中的其他概念联系某植物需要每天浇水一次，计划浇水日期

1.•3轮班工作，确定哪些日期是某人的工作日•判断一个大数是否能被整除•3三天一次的清洁工作日程安排•寻找两个数的最小公倍数（涉及的倍数）•3游戏与活动设计•数论中的模运算应用

3.编程与算法的倍数拍手游戏规则设计

2.•3•棋盘游戏中的计分规则（3的倍数格子有特殊奖励）•FizzBuzz程序（输出1到n的数，3的倍数输出Fizz）•音乐中的3/4拍节奏感受•判断大数是否为3的倍数的高效算法设计循环结构中的步长或条件判断•几何与空间

3.正三角形的对称性质•六边形（蜂窝结构）中的倍关系•3时钟上、、、点的特殊位置•36912通过这些实际应用，学生可以深刻理解三的倍数知识在日常生活和学习中的重要性，增强学习的兴趣和动力同时，这些应用也为学生提供了将抽象数学概念与具体实际问题联系起来的机会，培养了学生的应用能力和解决问题的能力趣味拓展谜题游戏三的倍数拍手游戏这是一个流行的数学游戏，有助于学生快速识别三的倍数游戏规则学生们围成一圈，从开始依次数数

1.1当数到的倍数（、、）时，该学生不说出数字，而是拍手

2.

3369...猜数字游戏数到含有数字的数（如、、）时也拍手

3.

3132330...同时满足上述两条件时（如、、），连拍两次手游戏描述

4.

33033...错误者退出或接受惩罚，游戏继续进行

5.我想的是一个以内的数这个数是的倍数，但不是的倍数它的十位数字比个位数字大它是多少？10036这个游戏不仅有趣，还能帮助学生快速识别三的倍数，提高反应能力和计算速度答案可能是、、等215181三的倍数填充谜题游戏变体在一个×的方格中填入的数字，使得每行、每列和每条对角线上的三个数的和都是的倍数331-93猜一个是的倍数且各位数字之和为的两位数•39这个谜题培养学生的逻辑思维和数字敏感性猜一个既是的倍数又是的倍数的最小正整数•35猜一个三位数，它是的倍数，且各位数字各不相同•3这类猜数字游戏能够锻炼学生综合运用三的倍数知识的能力，提高他们的逻辑推理能力和数学思维倍数接龙一个学生说出一个的倍数，下一个学生必须说出比前一个数大的另一个的倍数，依次进行规定时间内33未能答出或答错者出局这些趣味游戏和谜题不仅能够活跃课堂氛围，增加学习乐趣，还能够帮助学生在轻松愉快的环境中巩固三的倍数的知识，提高他们的计算能力、反应速度和数学思维教师可以根据班级情况和教学需要，灵活选择和调整这些活动三的倍数和其他倍数的对比12的倍数23的倍数判别法判别法看最后一位是否为偶数（、、、、）各位数字之和是的倍数024683示例示例末位是（偶数），是的倍数，是的倍数，所以是的倍数•2442•272+7=993273末位是（奇数），不是的倍数，不是的倍数，所以不是的倍数•3772•353+5=883353特点特点只需查看个位数字即可需要计算所有位数字之和最小的的倍数是最小的的倍数是2233任何的倍数都是偶数可以是奇数也可以是偶数235的倍数49的倍数判别法判别法末位是或各位数字之和是的倍数059示例示例末位是，是的倍数，是的倍数，所以是的倍数•4555•545+4=999549末位不是或，不是的倍数，不是的倍数，所以不是的倍数•38055•383+8=11119389特点特点只需查看个位数字即可与的倍数判别法类似3最小的的倍数是所有的倍数都是的倍数5593可以是奇数（末位是）也可以是偶数（末位是）最小的的倍数是5099规律总结通过对比不同倍数的判别方法，我们可以发现和的倍数判别只需看最后一位数字（个位），操作简单

1.25和的倍数判别需要计算各位数字之和，原理相似但更严格

2.399不同倍数的判别方法反映了数学中模运算的不同性质

3.理解这些判别方法的原理，有助于我们更深入地理解数字的性质和规律

4.这些不同倍数的判别方法在实际应用中都非常有用，能够帮助我们快速进行数字判断和计算三的倍数在因数与倍数体系中的位置素数与合数1因数分解2倍数与因数3整除性4数的基本概念5三的倍数的基础地位三的倍数在整个因数与倍数体系中占有重要位置它是最小的奇质数的倍数集合•3是学习整除性质的重要例子•为理解最大公约数、最小公倍数奠定基础•连接初等数论与高级数学概念学习进阶路径•与其他数学概念的联系三的倍数知识是数学学习的重要台阶素数与合数是最小的奇素数，其倍数（除了本身）都是合数前置知识33质因数分解任何的倍数的质因数分解中都包含因子33基本的加减乘除运算•公约数与公倍数理解的倍数有助于计算包含的数的最大公约数和最小公倍数33整数的概念•同余理论的倍数判别法是模同余的直观应用33余数的含义•后续学习内容其他数的倍数性质（、、、、、等）•245689最大公约数与最小公倍数•素数与合数•整除性质的一般规律•同余理论基础•掌握三的倍数知识，是构建完整数学体系的重要一环，为今后的数学学习打下坚实基础高阶扩展多重判别既是的倍数又是其他数的倍数同时是和的倍数339所有的倍数都是的倍数，因为×但反过来，有些数不仅是的倍数，还同时是其他数的倍数这些939=333并非所有的倍数都是的倍数数具有特殊的性质，了解它们的判别方法有助于我们更39深入地理解数的性质判别的倍数的方法各位数字之和是的倍数99同时是和的倍数32例如、、、、•

918273645...•这类数就是6的倍数•实例729，7+2+9=18，18是9的倍数，所以是的倍数判别方法既是偶数（末位为、、、、），7299•02468各位数字之和也是的倍数反例，，不是的倍数，所以不3•121+2=33912是的倍数（但它是的倍数）例如、、、、93•

612182430...实例是偶数且是的倍数，所以是的倍数通用判别法则•545+4=93546同时是和的倍数35对于同时满足多个倍数条件的数，我们可以这类数是的倍数•15分别判断每个条件，都满足则符合要求

1.判别方法末位是或，且各位数字之和是的倍数•053直接判断这些数的最小公倍数的倍数性

2.例如、、、、•

1530456075...例如判断一个数是否同时是、、的倍数，可以直235实例的末位是，且是的倍数，所以•4554+5=93接判断它是否是的倍数（因为××）3030=235是的倍数4515通过学习多重判别，学生可以更深入地理解数的整除性质，以及不同倍数之间的关系这些知识不仅有助于解决更复杂的数学问题，也培养了学生的逻辑思维和分析能力在实际应用中，多重判别常用于解决需要满足多个条件的问题，如物品分组、时间安排等综合练习一12选择题选择题下列数中，是3的倍数的是（）计算各位数字之和后，不是3的倍数的是（）A.31B.42C.53D.64A.111B.222C.333D.444答案B（因为4+2=6，6是3的倍数）答案D（因为4+4+4=12，12是3的倍数，所以444是3的倍数；其他选项也都是3的倍数）34判断题判断题任何两个连续的3的倍数之差都是3（）如果一个数是3的倍数，则它的平方也是3的倍数（）答案正确（相邻两个3的倍数分别是3n和3n+1，它们的差是3）答案正确（如果a=3k，则a²=9k²=33k²，所以a²也是3的倍数）56填空题填空题1到100之间共有（）个3的倍数一个两位数，各位数字之和是（）的倍数，则这个数就是3的倍数答案33（从

3、

6、

9...到99，共有100÷3=

33.

33...个，取整得33个）答案3（根据3的倍数的判别法则）78应用题应用题小明要把96本书平均分给几个同学，每人分得的本数必须相同且是3的倍数那么，最多可以分给多少人？如果一个三位数的各位数字之和是3的倍数，这个三位数一定是3的倍数吗？请举例说明答案8人（96=3×32，要求每人分得的本数是3的倍数，所以每人分12本，共分给8人）答案是的例如123的各位数字之和是1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数根据3的倍数的判别法，这是正确的910分析题探究题如果a是3的倍数，b不是3的倍数，那么a+b是3的倍数吗？请说明理由在1到1000之间，既是3的倍数又是5的倍数的数有多少个？答案a+b不是3的倍数因为a可以表示为3m，b可以表示为3n+1或3n+2（因为b不是3的倍数）则a+b=3m+3n+1或答案66个（这些数是15的倍数，从15到990，共有1000÷15=

66.

67...个，取整得66个）3m+3n+2=3m+n+1或3m+n+2，所以a+b不是3的倍数这些综合练习题涵盖了三的倍数的各种性质和应用，有助于学生全面检验自己的掌握情况，并能够通过解题过程加深对三的倍数的理解练习题的难度从基础到提高逐步递进，适合不同学习水平的学生综合练习二应用题每人一组分苹果3班级里有名学生，老师带来了一些苹果要平均分给学生如果每人一组，每组分得个苹果，那么36312问题一共有多少个苹果？1解析名学生每人一组，共有÷组每组分得个苹果，所以共有×个苹果363363=12121212=144问题如果改为每人一组，每组分得同样多的苹果且没有剩余，每组能分得多少24开口型问题生活中的三的倍数个苹果？请举例说明生活中至少个与三的倍数相关的实际应用场景，并简要解释3解析名学生每人一组，共有÷组总共有个苹果，所以每组分得÷个苹果364364=91441449=16参考答案问题如果改为每人一组，能否平均分配所有苹果而没有剩余？为什么？35商品包装许多商品按、、、等数量包装，如鸡蛋通常是个或个一盒，方便均分36912612解析名学生每人一组，不能整除（÷余）而且÷余，无法平均分配所以365365=711447=204无法实现每组同样多且没有剩余餐厅桌椅安排餐厅的桌子通常设计为可容纳3人、6人或9人等，以适应不同规模的客人组合自行车车架标准自行车通常有、、、、、、速等规格，这些都是的倍数369182124273时间安排许多周期性工作安排为天一次、天一次等，如某些药物的服用周期36体育比赛计分某些比赛中，不同得分方式的分值设置为分、分等，如橄榄球中的触地得分为分366思考题三的倍数与奇偶性探究题三的倍数的数位和创新题设计判别法仔细观察的倍数、、、、、、观察下列的倍数的各位数字之和我们已经学习了判断的倍数的方法请尝试设计一个判断的倍

336912151821......336数的简便方法问题的倍数中，奇数和偶数各有多少？它们之间有什么规律？；；；；；33→36→69→912→315→618→

9...请解释原因提示×，可以结合的倍数和的倍数的判别方法问题你发现了什么规律？请解释为什么会有这样的规律6=2323提示思考与的关系，以及它们的最小公倍数32提示思考的倍数的判别法及与的关系393这些综合练习旨在帮助学生将三的倍数的知识应用到实际问题中，培养他们的分析能力和创新思维通过解决这些开放性问题，学生能够更深入地理解三的倍数的性质和应用价值小组讨论倍数趣闻讨论任务任务一分享身边关于三的倍数的有趣现象每个小组成员分享至少一个自己在日常生活中观察到的与三的倍数相关的现象或应用可以是家庭、学校、社区或自然界中的例子讨论要点这个现象是如何与三的倍数相关联的？•讨论展示与分享为什么会选择三的倍数而不是其他数？•成果展示方式这种设计或安排有什么特别的优势？••如果不使用三的倍数，会产生什么样的问题？

1.每个小组选派一名代表向全班汇报讨论成果任务二比赛谁能最快列出20个三的倍数

2.使用图表或实物展示发现的三的倍数现象比较不同小组发现的现象，归纳共同点和特点

3.小组内进行竞赛，看谁能最快、最准确地列出个三的倍数20可能的讨论发现示例竞赛规则许多植物的叶片排列呈的倍数（如三叶草）•3按照从小到大的顺序列出•许多体育比赛的计分系统与有关（如篮球三分球）•3可以选择连续的三的倍数，也可以选择有规律的三的倍数•音乐中的三拍子节奏（如圆舞曲）•必须正确无误，有错误则需重新开始•交通信号灯的三色设计（红、黄、绿）•计时从开始写第一个数字到完成第个数字•20许多传统故事中的三元素（如三只小猪）•计算机颜色模型的三原色•RGB通过小组讨论，学生能够将抽象的数学概念与现实世界联系起来，增强学习兴趣和理解深度教师引导问题为什么许多事物与有关？三的倍数与自然界的关系？人类为何偏好的倍数？33思考是一个特殊的数，在数学、自然和文化中都有重要地位它是最小思考许多自然现象呈现的倍数规律，如一些花的花瓣数、昆虫的足数等，思考的倍数有良好的整除性质，容易进行均分，在设计和规划中应用广333的奇质数，也是人类容易理解和记忆的数字之一这可能与生物进化和优化有关泛，如时间划分、物品包装等学生常见疑问解答为什么位数、位数都可以这样判别？个位和与原数有什么关系？23这个问题涉及到三的倍数判别法的普适性无论是几位数，判断一个数是否为的倍数的方法都是一样的计算这个问题关注的是数位和判别法的数学原理各位数字之和与原数的关系体现在它们除以的余数是相同的33各位数字之和，判断这个和是否为的倍数3从数学上看，这是因为每个数字都可以表示为这是因为任何数都可以表示为各个位数乘以相应的的幂之和例如10两位数•ab=10a+b•三位数abc=100a+10b+c而10的任何次幂除以3都余1，所以而关键在于，的任何次幂除以的余数都是即1031÷余•103=31÷余•1003=331÷余•10003=3331这就是说，一个数除以的余数，与其各位数字之和除以的余数相同因此，我们可以通过判断各位数字之和是33因此，当我们计算一个数除以3的余数时，只需要计算各位数字之和除以3的余数这一原理适用于任意位数的整数否为3的倍数，来判断原数是否为3的倍数这一数学性质不仅适用于，也适用于（因为），这就是为什么的倍数判别法也是看各位数字之和是否为的倍数399=3²99更多常见问题解答是的倍数吗？为什么三的倍数的判别法只适用于整数？三的倍数在数轴上有什么特点？03是的，是的倍数，因为×实际上，是任何非零整数的倍数倍数的概念本身就是针对整数定义的如果一个数是另一个数的倍数，在数轴上，三的倍数均匀分布，相邻两个三的倍数之间的距离恒为如果030=300a b3这是因为倍数的定义是能够被整除，而除以任何非零数都等于没有余数那么×，其中必须是整数对于分数或小数，我们通常不使用倍数将数轴上的所有三的倍数标记出来，会形成一个等距序列00a=b n n0,3,6,9,这个概念，而是讨论它们是否能被整除

12...典型错误剖析误将非三倍数归为三倍数常见错误情况

1.误认为个位数是3的数都是3的倍数

2.错误地计算各位数字之和

3.混淆3的倍数与3的因数忘记考虑也是三的倍数错误示例认为是的倍数01133常见错误情况错误原因看到个位是3就认为是3的倍数正确分析13的各位数字之和是1+3=4，4不是3的倍数，所以13不是3的倍数

1.忽略0是任何非零数的倍数错误示例认为是的倍数

2.列举3的倍数时忘记包含

022633.解决实际问题时忽略0的特殊情况错误原因计算错误，误以为2+6=9错误示例计算中的倍数个数11-1003正确分析2+6=8，8不是3的倍数，所以26不是3的倍数错误答案33个（只计算了3,6,

9...99）错误示例认为是的倍数336正确分析应该包括0，所以是34个不过在实际应用中，通常从1开始计数，所以许多情况下不考虑0错误原因混淆了倍数与因数的概念错误示例判断数字是否为的倍数23003正确分析3是6的因数，而6是3的倍数，不能颠倒错误过程3+0+0=3，3是3的倍数，所以300是3的倍数正确分析虽然结论正确，但过程中应该认识到各位数字中的0也需要计算，只是它对和没有影响错误纠正策略理解概念确保学生正确理解三的倍数的定义能被3整除的数强调倍数与因数是相对的概念，a是b的倍数，当且仅当b是a的因数多做练习通过大量的练习，加深对三的倍数判别法的理解和应用练习应包括正例和反例，帮助学生形成正确的判断能力解释原理不仅告诉学生判别方法，还要解释背后的数学原理理解原理后，学生更容易正确应用并记住判别方法及时反馈对学生的错误提供及时、具体的反馈，指出错误所在并引导正确思路鼓励学生自我检查和反思可视化展示使用数轴、表格等可视化工具，直观展示三的倍数的分布和特点，帮助学生建立直观认识三的倍数与倍数模型的关系数轴模型上的三的倍数倍数间距与模式在数轴上标记三的倍数，可以直观地理解三的倍数的分布规律间距规律三的倍数之间的间距恒为，这意味着3任意两个相邻的三的倍数之差为•3如果是三的倍数，则也是三的倍数•n n+3三的倍数序列可以表示为（为整数）•3k k循环模式数轴模型的特点三的倍数的个位数字呈现循环模式三的倍数在数轴上均匀分布•倍数36912151821242730相邻两个三的倍数之间的距离恒为•3•从0开始，每隔3个单位就有一个三的倍数个位3692581470负数方向也有三的倍数•0,-3,-6,-

9...个位数字按的顺序循环出现这种循环模式可以帮助快速识别某些数是否可能是三的倍数3,6,9,2,5,8,1,4,7,0通过数轴模型，学生可以清晰地看到三的倍数的排列规律，理解它们之间的等距关系，为后续学习提供直观感受倍数与余数所有整数除以只有三种可能的余数30,1,2余数为的数是三的倍数•00,3,6,

9...余数为的数形式为•13k+11,4,7,

10...余数为的数形式为•23k+22,5,8,

11...倍数模型的教学应用直观理解三的倍数预测和推理能力培养通过在数轴上标记三的倍数，学生可以直观地看到它们的分布规律，理解倍数的概念这种可视化的方法对于视觉学习者特别有效基于数轴模型，学生可以预测更大的三的倍数，如推断是三的倍数这种预测能力培养了学生的数学推理能力999连接分数和除法概念解决实际问题倍数模型可以自然地引入除法和余数的概念，帮助学生理解整除性质例如，理解为什么数轴上的点能被整除基于倍数模型，学生可以解决实际问题，如判断某个数是否是三的倍数，或者找出满足特定条件的三的倍数63拓展阅读与思考、、分别是的倍数吗？3553844713是的倍数吗？3553计算各位数字之和3+5+5=13不是的倍数（÷余）133133=41所以不是的倍数3553互联网、科技中的三的倍数实例是的倍数吗？3843计算机科学中的应用计算各位数字之和3+8+4=15颜色模型使用三个基本颜色（红、绿、蓝）的组合来表示各种颜色RGB是的倍数（×）15315=35三位冗余检验一种错误检测方法，使用位来表示位信息31所以是的倍数三元运算符编程中的条件运算符，有三个操作数3843三态逻辑除了传统的真和假外，还包含未知状态是的倍数吗？4713数学与密码学计算各位数字之和4+7+1=12三进制系统使用、、三个数字的计数系统是的倍数（×）01212312=34三角函数数学中描述角度和距离关系的基本函数所以是的倍数4713三角密码一种使用三角形网格进行加密的方法深入思考技术产品设计如果一个数不是的倍数，那么它除以的余数是什么？比如除以的余数是，这意味着它的形式是类似地，如果一个33355313k+1三相电力系统现代电力传输的标准方式数的各位数字之和除以的余数是，那么这个数除以的余数也是3131三轴加速度计测量三个维度（、、）加速度的设备x yz三脚架提供稳定支撑的三点结构思考题位置变换与三的倍数三的倍数的性质研究三的倍数与数字和如果一个数是三的倍数，那么它的各位数字任意排列后得到的新数仍然是三的倍数吗？为什么如？果和都是三的倍数，那么、、×、÷（）是三的倍数吗？请分找出所有各位数字之和为的三位数中，是三的倍数的数有多少个？a b a+b a-b a bab b≠012别证明或举反例提示思考三的倍数的判别法与数位顺序的关系提示各位数字之和为的三位数有多少个？其中有多少个是三的倍数？12提示考虑这些数可以表示为的倍数的形式3这些拓展阅读和思考题旨在帮助学生将三的倍数的知识与更广泛的数学概念和现实应用联系起来，培养学生的创造性思维和探究精神通过思考这些问题，学生可以发现三的倍数的更多性质和应用价值总结归纳判别方法判断三的倍数有两种主要方法直接除法（看是否能被整除）和数位和法三的倍数定义3（各位数字之和是否为的倍数）数位和法对大数特别有效3三的倍数是指能被整除的整数，即×（为整数）形式的数三的倍数33nn包括以及负方向的0,3,6,9,

12...-3,-6,-

9...重要性质三的倍数具有重要性质相邻两个三的倍数之差为；三的倍数的各位数3字之和也是的倍数；三的倍数可以是奇数也可以是偶数3知识联系三的倍数与因数、整除性、同余理论等数学概念紧密相连，是理解更复杂数实际应用学概念的基础它也是最小公倍数、最大公约数学习的基础三的倍数广泛应用于日常生活中的物品分组、周期安排、计分系统等，以及数学和科学中的各种概念和模型学习收获知识掌握能力提升理解了三的倍数的定义和基本性质提高了数字敏感性和计算能力••掌握了判断三的倍数的多种方法增强了归纳推理和模式识别能力••了解了三的倍数与因数的关系培养了应用数学知识解决实际问题的能力••学会了应用三的倍数知识解决实际问题发展了数学思维和逻辑推理能力••认识了三的倍数在数学体系中的位置锻炼了与他人合作交流的能力••达标检测判断题一个数的各位数字之和是3的倍数，则这个数一定是3的倍数（）1答案正确解析根据三的倍数的判别法，一个数的各位数字之和是3的倍数的充要条件是这个数是3的倍数选择题下列数中，不是3的倍数的是（）2A.351B.426C.517D.693答案C解析计算各位数字之和A.3+5+1=9（是3的倍数）；B.4+2+6=12（是3的倍数）；C.5+1+7=13（不是3的倍数）；D.6+9+3=18（是3的倍数）所以C选项517不是3的倍数计算题判断2023是否为3的倍数3答案不是解析计算2023的各位数字之和2+0+2+3=7，7不是3的倍数，所以2023不是3的倍数应用题小明有63块糖果，他想平均分给一些同学，使每人得到的糖果数量相同且没有剩余他最多可以分给多少名同学？4答案21名同学解析需要找出63的所有因数，分别是

1、

3、

7、

9、

21、63除了63本身，最大的因数是21，所以最多可以分给21名同学，每人3块糖果开放题请写出一个既是3的倍数又是5的倍数的三位数，并说明你的判断依据5参考答案例如

105、

120、150等解析同时是3和5的倍数的数是15的倍数三位数中的15的倍数有

105、

120、

135、

150...等以105为例，它是3的倍数因为1+0+5=6是3的倍数；它是5的倍数因为个位是5或0（这里是5）评分标准分数评价标准达标要求90-100分优秀全部答对或仅有微小错误75-89分良好答对4题，或有小错误60-74分及格答对3题课后巩固练习12基础题判断三的倍数填空题三的倍数序列判断以下数字是否为3的倍数填写下列三的倍数序列的空缺数字

1.1263,6,9,____,15,____,21,____,_____,

302.257写出从200到220之间的所有三的倍数____________

3.

3694.

4815.590使用两种方法（直接除法和数位和法）进行判断，并写出计算过程34应用题物品分组探究题三的倍数的个位学校组织春游，共有87名学生参加如果要求每组人数相同且是3的倍数，那么观察100以内三的倍数的个位数字，回答问题

1.可以分成哪几种不同的组？每种情况下每组多少人？

1.三的倍数的个位数字有哪些？

2.如果每组至少要有6人，最多可以分成多少组？

2.这些个位数字出现有什么规律？

3.如果要求每组恰好有9人，是否有学生无法分组？为什么？

3.能否根据个位数字直接判断一个数是否是3的倍数？为什么？56思考题倍数的性质创新题设计倍数判别法如果a和b都是3的倍数，判断下列说法是否正确我们已经学习了判断3的倍数的方法（各位数字之和是3的倍数）请尝试设计一个判断4的倍数的简便方法

1.a+b一定是3的倍数提示考察末两位数与4的关系

2.a-b一定是3的倍数

3.a×b一定是3的倍数

4.a÷b（b≠0）一定是3的倍数对于每一个判断，请说明理由或给出反例78实践题生活中的三的倍数挑战题三的倍数的递归在你的日常生活中，找出至少3个与三的倍数相关的实际应用例子，并解释它们为什么使用三的倍数对于一个大数，如12345678，要判断它是否为3的倍数，我们可以计算各位数字之和1+2+3+4+5+6+7+8=36由于36是3的倍数，所以原数也是3的倍数如果各位数字之和仍然很大，如123456，我们可以再次计算其各位数字之和1+2+3+4+5+6=21请解释为什么这种递归计算方法对判断三的倍数有效910动手操作制作三的倍数卡片活动目标•通过动手制作三的倍数卡片，巩固对三的倍数的认识•培养学生的动手能力和创造力•通过卡片设计，加深对三的倍数特点的理解•为后续的互动活动做准备材料准备•彩色卡纸（每人10张小卡片）•彩色笔或记号笔•尺子和剪刀•可选贴纸、亮片等装饰材料制作步骤

1.每人裁剪10张大小相同的小卡片（约5cm×8cm）

2.在每张卡片上写一个三的倍数（可以是连续的，也可以是有规律的）

3.在卡片正面写上数字，背面可以写出这个数的特点（如各位数字之和）

4.使用彩色笔或装饰材料美化卡片，使其更加醒目和有趣

5.完成后核对卡片，确保所有数字都是三的倍数卡片设计建议•可以按不同规则设计不同系列的卡片，如•一位数的三的倍数（0,3,6,9）•两位数中的三的倍数（12,15,

18...）•特殊的三的倍数（如各位数字之和为3的三的倍数）•既是3的倍数又是其他数（如2或5）的倍数•在卡片上添加视觉元素，如将数字分组显示以突出各位数字之和•使用不同颜色区分不同特性的三的倍数•在卡片背面写出这个数的因数分解或其他特点示例卡片正面大数字24，可以用特殊颜色标记背面•24=3×8•各位数字之和2+4=6（3的倍数）•特点既是3的倍数，也是4的倍数你学会了吗？323+倍数基础判别技巧实际应用你已经掌握了三的倍数的定义、特征和判别方法，能够准确识别一个数是否为你学会了两种判断三的倍数的方法直接除法和数位和法，并能灵活选择适合你能够将三的倍数的知识应用到日常生活中的实际问题，如物品分组、时间安3的倍数，并理解其在数学体系中的位置的方法解决不同的问题排等，提高了解决实际问题的能力课堂收获反馈知识掌握自评常见疑惑解答我能够清晰地解释什么是三的倍数问为什么也是的倍数？答因为×，能被整除且余数为，所以是的倍数•030=3003003我掌握了判断三的倍数的有效方法•问如何快速判断大数是否为的倍数？答计算各位数字之和，如果和是的倍数，则原数也是的倍数我理解了三的倍数与其他数学概念的联系333•我能够应用三的倍数知识解决实际问题•问三的倍数与因数有什么关系？答如果是的倍数，则是的因数例如，是的倍数，所以是的因数abba6336我发现了生活中的三的倍数现象•请为自己的掌握程度打分（分），并思考哪些方面需要进一步巩固和提高1-5如果你还有其他疑问，请随时向老师提出，我们将在后续学习中继续解答三的倍数知识活用建议日常生活学习提升游戏娱乐在购物时，可以利用三的倍数知识快速计算物品总数是否能平均分配；在时将三的倍数知识与后续学习的最大公约数、最小公倍数等知识联系起来，构参与或设计与三的倍数相关的数学游戏，如的倍数拍手游戏；在日常游3间安排上，可以利用三的倍数设计合理的周期安排建完整的数学知识网络；尝试理解和探索其他数的倍数判别法戏中融入三的倍数元素，提高趣味性通过本课程的学习，你已经掌握了三的倍数的基本知识和应用技能希望你能将这些知识活用到生活和学习中，发现更多数学的乐趣和价值记住，数学不仅仅是课本上的知识，更是解决实际问题的有力工具继续保持好奇心和探究精神，你将在数学的世界中发现更多精彩！。