初中函数概念教学课件

初中数学函数的基本概念为什么要学函数？函数是描述变量之间相互关系的数学工具，在我们的日常生活中随处可见温度随时间变化的规律•手机套餐费用与通话时长的关系•汽车油耗与行驶速度的关系•物体下落距离与时间的关系•函数思想是建立数学模型的基础，帮助我们解决各种实际问题初中常见的函数问题回顾正比例函数应用反比例函数应用中考函数题型统计小明骑自行车匀速行驶，速度为米秒，工程队修路，人需要天完成，若保持近三年中考函数题主要涉及5/812求行驶时间与距离的函数关系，并计算行工作效率不变，需要多少人才能在天内完6函数解析式的求解与变形•35%驶分钟的距离成？10解答设人数为，完成时间为天，则x y函数图像与性质分析•25%解答设时间为分钟，距离为米，则（工作总量），当时，t sxy=96y=6实际问题的函数建模•40%×，当时，÷人s=560t=300t t=10s=3000x=966=16米什么是变量与常量变量的定义常量的定义变量是在一定范围内可以取不同值的量常量是在一定条件下不变的量可以用用字母表示，通常用、、等表示具体数字或特定字母表示，如、等x yzπe例如例如一天中的温度圆周率••π=

3.

14159...一个正在生长的植物高度水的沸点（标准大气压下）°••100C手机电池的剩余电量地球引力加速度••g≈

9.8m/s²股票的价格光速••c=299,792,458m/s集合与对应的数学思想集合的定义集合间的对应关系集合是具有某种特定性质的事物的总体，对应关系是指两个集合和之间的一X Y集合中的事物称为该集合的元素种联系，将中的元素与中的元素按X Y照某种规则配对例如例如由数字到•A={1,2,3,4,5}1组成的集合学生与学号的对应5•是偶数且小商品与价格的对应•B={x|x x10}•于的偶数集合10城市与其所在经纬度的对应•函数特殊的对应关系函数是集合之间的一种特殊对应关系，其特点是第一个集合中的每个元素，在第二个集合中有且仅有一个元素与之对应这种一对一或多对一（不能是一对多）的对应关系是函数的本质特征函数的正式定义函数定义核心要点设、是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合函数定义中最关键的是每一个唯一对应一个，即A Bf Ax Bx y中都有唯一确定的数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作y f:A→B AB对于定义域内的每一个值，必须有值与之对应•x y每个值只能对应唯一的一个值•x y不同的值可以对应相同的值•x y其中，称为自变量，称为因变量x y函数的三个要素对应法则描述自变量与因变量之间关系的规则，通x y常以解析式的形式给出y=fx定义域例函数的对应法则就是将乘以y=2x+1x2再加1自变量所有可能取值的集合，通常记为或x DDomf例函数的定义域为，因为负数没值域y=√x x≥0有实数平方根因变量所有可能取值的集合，通常记为或y RRanf例函数的值域为，因为任何实数y=x²y≥0的平方都不小于零函数定义域详解常见定义域类型定义域判断例题全集所有实数，记为求下列函数的定义域R有限集如{1,2,3,4}

1.fx=√x-1区间如、、、等[a,b]a,b[a,b a,∞解由于开方号内必须，所以，即，因此定义域为≥0x-1≥0x≥1[1,+∞定义域的限制通常来自

2.fx=1/x²-4数学运算的限制（如分母不为零）•解由于分母必须，所以，即±，因此定义域为∈±≠0x²-4≠0x≠2{x|x R,x≠2}实际问题的物理意义限制•₂人为设定的约束条件

3.fx=log2x+6•函数值域详解一次函数值域二次函数值域反比例函数值域一次函数的值域为所有实数二次函数的值域与的符号有关反比例函数的值域为∈y=kx+b k≠0Ry=ax²+bx+c a≠0a y=k/x k≠0{y|y R,y≠0}因为当取遍时，可以取到任意实数值当时，值域为，其中因为当时，永远不等于，但可以通过的选择使取x Ry a0[ymin,+∞ymin=c-b²/4a x≠0y0x y任意非零实数当时，值域为，其中a0-∞,ymax]ymax=c-b²/4a值域的求解通常比定义域复杂，需要分析函数的性质或通过数学推导得出函数的图像可以直观地反映值域从图像上看，值域就是函数图像在轴上的投影——y求值域的常用方法利用函数的单调性、奇偶性等性质分析•借助导数求函数的极值•通过函数图像直观判断•对应法则举例明确规则（解析法则）隐式规律通过数学表达式直接给出通过条件或关系间接给出（圆方程）•y=2x+3•x²+y²=1且•y=x²-4x+2•x+y=5xy=6一组数据点，没有给出具体公式•y=sinx••y=|x-1|这种情况下，可能需要通过变形或分析来推导出显式表达式这种表达方式最常见，便于计算和分析12例题列出具体法则解答思路小明的手机套餐为月租元，包含分钟通话，分段讨论通话时长的不同情况30100x超出部分每分钟元请用函数表示月话费（元）与

0.5y当时，只需支付月租元•0≤x≤10030通话时长（分钟）的关系x当时，需支付月租元加超出部分费用•x10030×元

0.5x-1003函数表达式×y=fx={30,0≤x≤10030+

0.5x-100,x100}常见函数类型总览正比例函数反比例函数公式（）公式（）y=kx k≠0y=k/x k≠0特点特点图像为过原点的直线图像为双曲线••表示比例系数，也是直线斜率、的乘积恒等于常数•k•x yk定义域，值域定义域，值域•R R•{x|x≠0}{y|y≠0}生活举例距离与时间的关系（匀速运动）生活举例工作效率与完成时间的关系一次函数公式（）y=kx+b k≠0特点图像为不过原点的直线（时）•b≠0为斜率，为轴截距•k b y定义域，值域•R R生活举例出租车费用与行驶距离的关系正比例函数特征定义与图像正比例函数的解析式为（）y=kx k≠0图像特点始终经过原点•0,0为一条直线•时，函数单调递增•k0时，函数单调递减•k0越大，直线越陡峭•|k|比例系数表示斜率，即，其中为直线与轴正方向的夹角k tanααx例题车速与路程小红骑自行车，速度保持在千米小时12/写出路程（千米）与时间（小时）的函数关系1s t骑行小时可以行驶多少千米？

22.5要行驶千米需要多少时间？342解答1s=12t当时，×（千米）2t=

2.5s=

122.5=30反比例函数特征定义与图像反比例函数的解析式为（）y=k/x k≠0图像特点为双曲线•不经过原点，且、轴是其渐近线•x y位于第

一、三象限或第

二、四象限•k0k0关于原点对称•在定义域内连续但不可导（在处）•x=0是反比例函数的重要性质，表示与的乘积恒为常数xy=k x y实例速度与时间的关系小明要完成一段千米的路程，设速度为（千米小时），用时为（小时）8v/t写出与的函数关系1v t如果速度为千米小时，需要多少时间？24/一次函数深入解析斜率与截距图像特点典型例题在一次函数中一次函数图像是一条直线，具有以下特点某出租车收费标准为起步价元（含公里），y=kx+b103超出部分每公里元

2.5称为斜率，表示直线倾斜程度与轴交点坐标为•k•y0,b写出乘车费用（元）与行驶距离（公里）的函数关系式称为轴截距，表示直线与轴交点的纵坐标与轴交点坐标为（当时）y x•byy•x-b/k,0b≠0若，则退化为正比例函数通过两点可以确定一条直线解当时，•b=0•x3y=10+

2.5x-3=

2.5x+

2.5这是一个一次函数，斜率表示每增加公里费用

2.51增加元

2.5二次函数简介基本定义二次函数的解析式为（）y=ax²+bx+c a≠0其中决定了抛物线的开口方向和宽窄•a和影响抛物线的位置•b c特点图像是一条抛物线•时，开口向上；时，开口向下•a0a0越大，抛物线越窄；越小，抛物线越宽•|a||a|抛物线的对称轴为•x=-b/2a顶点与对称轴抛物线的顶点坐标为其中顶点是函数的极值点当时，顶点是函数的最小值点•a0当时，顶点是函数的最大值点•a0特殊的常值函数定义与特点常值函数的解析式为y=c（c为常数）特点•图像是一条平行于x轴的水平直线•因变量y的值始终等于常数c，不随自变量x的变化而变化•定义域为R，值域为{c}（只有一个元素的集合）常值函数是最简单的函数类型，表示两个变量之间没有变化关系，即y不依赖于x函数的表示方法列表法通过有序数对的列表表示函数关系x,y例如f={1,3,2,5,3,7,4,9}优点直观清晰，适合离散数据缺点不能表示连续变化，数据量大时不便于表示图像法在直角坐标系中绘制函数图像，直观展示与的对应关系x y优点直观形象，易于理解函数整体性质缺点精确度有限，不便于精确计算解析法通过数学表达式表示函数关系y=fx例如y=2x+1,y=x²,y=sinx优点精确简洁，便于计算和分析缺点抽象，对数学基础要求较高函数关系的本质理解唯一对应是函数的核心函数的本质是一个x只能对应一个y，这是判断一个关系是否为函数的关键标准对应关系可以分为一对一每个x对应唯一的y，每个y也只对应唯一的x多对一不同的x可以对应相同的y一对多一个x对应多个y（不是函数）函数关系只能是一对一或多对一，而不能是一对多典型非函数例题分析生活中的函数模型12手机资费计算水电费变化规律某手机套餐月租元，包含分钟通话和流量，超出部分通话每分钟元，某地区水费计算方式301001GB

0.1流量每额外收费元GB20月用水量不超过吨，按每吨元计算•103若每月通话分钟，使用流量，则月费用为x yGB fx,y超过吨但不超过吨的部分，按每吨元计算•

10203.5超过吨的部分，按每吨元计算•204设月用水量为吨，则水费元为x y这是一个二元分段函数，反映了资费与通话时长、流量使用量的关系画函数图像基本步骤画图步骤详解例题一次函数画图列值表选取定义域内的若干典型点，计算对应函数值画出函数的图像y=2x-3标点在坐标系中标出这些点的位置解连线根据函数的连续性，将这些点用平滑曲线连接起来列值表

1.检查特殊点确认关键点（如截距、极值点等）是否正确注意事项x-1012选取的点应具有代表性，包括特殊点（如交点、顶点）•y-5-3-11点的数量要适当，过少不能准确反映图像，过多则工作量大••根据函数类型选择合适的点，如二次函数应包含顶点附近的点

2.标出点-1,-5,0,-3,1,-1,2,1特殊点分析

3.轴截距•y0,-3轴截距•x

1.5,0一次函数与现实问题建模C=5x+200R=8x P=3x-200成本函数收入函数利润函数固定成本200元，每件产品变动成本5元每件产品售价8元利润=收入-成本=8x-5x+200经典题例盈亏平衡分析某工厂生产一种玩具，每个玩具的材料和人工成本为5元，厂房设备等固定成本为200元，每个玩具售价为8元解答问题

1.C=5x+200（成本函数）

1.写出总成本C元与生产数量x个的函数关系

2.R=8x（收入函数）

2.写出销售收入R元与销售数量x个的函数关系

3.P=R-C=8x-5x+200=3x-200（利润函数）

3.写出利润P元与销售数量x个的函数关系

4.不亏损意味着P≥0，即3x-200≥0，解得x≥

66.7，由于玩具数量为整数，所以至少需要销售67个玩具才能保证不亏损

4.至少需要销售多少个玩具才能保证不亏损？正比例函数的实际意义交通速率与时间关系化学反应关系在匀速运动中，位移与时间成正比例关系在化学计量反应中，反应物的质量与产物的质量成正比例s t其中为速度（常量）例如镁燃烧生成氧化镁的反应v例如火车以千米小时的速度匀速行驶，则，其中的单位是小时，的单位是千米•72/s=72t ts根据质量守恒定律，克镁完全燃烧可以生成克氧化镁，则对于克镁2440x若行驶小时，则距离×千米•

2.5s=

722.5=180若要行驶千米，需要时间÷小时•360t=36072=5这种线性关系在物理学中非常常见，如电流与电压、力与加速度等反比例函数的实际应用工程劳动力与时间分配气体压强与体积关系物理中的反平方关系/在工作效率恒定的情况下，完成同一工程所需的人在温度不变的条件下，气体的压强与体积成反比光源的照度与距离的平方成反比例关系P VE r数与完成工程所需时间成反比例关系例关系（波义耳定律）x y这种反平方关系在物理学中很常见，如万有引力、例如人完成一项工程需要天，那么人完成同例如某气体在压强为个大气压时，体积为升，612923静电力等样工程需要多少天？若压强变为个大气压，体积变为多少？6例如某灯泡在米处的照度为勒克斯，在米处解设人完成需要天，则××，即解设体积变为升，则××，即×÷升22559t612=9t t=V23=6V V=236=1的照度是多少？×÷天6129=8综合练习一求定义域与值域练习练习12求函数的定义域和值域求函数的定义域和值域fx=√4-x²fx=1/x-1解析解析根据开方的非负性，需要，解得由于分母不能为，所以4-x²≥0-2≤x≤20x≠1所以定义域为所以定义域为∈[-2,2]{x|x R,x≠1}当从变化到时，从变化到再变化到因为对于任意，都存在使得x-22√4-x²020y≠0x=1+1/y fx=y所以值域为所以值域为∈[0,2]{y|y R,y≠0}练习3求函数的定义域和值域fx=|x+1|+|x-2|解析绝对值函数对于所有实数都有定义，所以定义域为R分段讨论当时，•x≤-1fx=-x+1+2-x=1-2x当•-1当时，•x2fx=x+1+x-2=2x-1由上可知，当-1综合练习二判断关系是否为函数例直角三角形的两直角边长、1x y关系x0,y0判断不是函数因为对于给定的值，可以取无数个正数，不满足一个对应唯一的x yx y例圆的半径与面积2r S关系S=πr²判断是函数对于给定的半径，面积有唯一确定的值r S例3x²+y²=1关系单位圆方程判断不是函数例如当时，可以是或，不满足一个对应唯一的x=0y1-1x y例4y=sin x关系正弦函数判断是函数对于任意值，都有唯一确定的值x sinx例点满足5x,y|x|+|y|=1关系菱形边界方程判断不是函数例如当时，可以是或x=0y1-1真题剖析中考函数压轴题某地市年中考原题拆解2024如图，直线过原点，与轴正方向的夹角为°；直线的方程为（）已知与相交于点l1x45l2y=-x+b b0l1l2Pm,m求直线的方程；1l2点以原点为起点，沿直线运动到点，使得，求点的坐标；2P Ol1Q|PQ|=2√2Q已知直线的方程为，若与垂直，求点到直线的距离3l3y=kx l3l2P l3解题思路与方法演示由于过原点，与轴正方向夹角为°，所以的方程为1l1x45l1y=x点在上，所以满足，这是恒成立的Pm,m l1m=m点也在上，所以满足，解得P l2m=-m+b b=2m由于，所以，从而的方程为b0m0l2y=-x+2m点沿运动到点，2Pm,m l1Q|PQ|=2√2设，则Qn,n|PQ|=√n-m²+n-m²=√2|n-m|=2√2解得，因为向的方向运动，所以|n-m|=2P On=m-2所以的坐标为Q m-2,m-2的方程为，与垂直，则，解得3l3y=kx l2k·-1=-1k=1所以的方程为l3y=x易错点总结一个只能对应一个x y错误理解认为函数关系中，不同的不能对应相同的x y正确理解函数要求每个值只能对应唯一的值，但不同的可以对应相同的x yx y例如是函数，尽管和都对应y=x²x=2x=-2y=4定义域与值域容易混淆错误理解将定义域理解为可能的取值，将值域理解为可能的取值，但忽略了函数关系的限制x y正确理解定义域是使函数有意义的值集合，值域是当取遍定义域时，对应的值集合x xy例如函数的定义域是，值域是，而不是所有实数y=1/x{x|x≠0}{y|y≠0}分段函数定义容易出错错误理解在写分段函数时，忽略分段点处的函数值是否连续正确理解分段函数的每个分段条件必须覆盖整个定义域，且不能有重叠例如定义，在处，，函数是不连续的fx={x²,x≤0;x+1,x0}x=0f0=0函数图像与解析式对应错误错误理解看到直线图像就认为是一次函数，看到抛物线就认为是二次函数正确理解函数图像反映了和的对应关系，需要结合函数定义来判断函数类型xy知识结构梳理函数三要素函数基本概念定义域•对应法则函数定义••值域变量与常量••自变量与因变量•常见函数类型映射与对应关系•常值函数•正比例函数•一次函数•反比例函数•函数应用二次函数•建立数学模型•函数表示方法解决实际问题•列表法•函数思想拓展•图像法•解析法•函数是初中数学的核心概念之一，它将代数与几何紧密联系，为解决实际问题提供了强大工具掌握函数知识结构，对提高解题能力和数学思维有重要作用拓展提升函数思想与实际生活程序设计初步、语句与函数经济科技领域中的应用if for/函数思想在现代科技和经济领域有广泛应用//简单的JavaScript函数示例function calculateFeeminutes{if minutes=100{return30;}else{return30+

0.5*minutes-100;}}//大数据分析通过函数模型分析用户行为，预测市场趋势使用循环计算不同通话时长的费用for leti=50;i=200;i+=50人工智能神经网络本质上是复杂的多变量函数，用于图像识别、语音处理等{console.log`通话${i}分钟，费用${calculateFeei}元`;}金融建模利率、投资回报率等金融指标都可用函数表示工程设计建筑结构、电路设计等都依赖函数计算医学研究药物剂量与效果关系、疾病传播模型等在编程中，函数是一段可重复使用的代码块，它接收输入（参数），执行特定任务，并返回结果这与数学中的函数概念高度一致——函数思想远不止于解方程、画图像那么简单，它是描述世界变化规律的基本工具掌握函数思想，将帮助你在未来的学习和工作中建立数学模型，解决各种实际问题课程回顾与练习作业核心知识回顾课后练习题函数的定义一种特殊的对应关系，每判断下列关系是否为函数，并说明理由•

1.个自变量值唯一对应一个因变量值±1y=3x2y²=x3|y|=x函数三要素定义域、对应法则、值域求函数的定义域和值域•

2.fx=2x²-4x+3常见函数类型常值函数、正比例函数、画出函数的图像•

3.y=|x-1|-2一次函数、反比例函数、二次函数如果函数满足，且

4.fx fx+1=fx+2函数的表示方法列表法、图像法、解析法，求的值•f0=3f5函数应用建立数学模型解决实际问题•思考与探究探究问题在日常生活中，找出三个函数关系的例子，并尝试用数学公式表示

1.拓展思考如何利用函数知识优化你的学习计划或日常活动安排？

2.小组任务设计一个简单的计算器程序，实现基本函数（如一次函数、二次函数）的值计算和图像绘制

3.函数是数学世界的重要工具，也是理解自然科学和社会科学的基础希望通过本课程的学习，同学们能够掌握函数的基本概念和应用方法，培养数学建模思想，提高解决实际问题的能力课后请完成练习题，并思考函数知识在生活中的应用。