圆的面积教学设计 课件

圆的面积教学设计课程目标123理解圆面积的实际含义推导圆面积公式应用公式解决问题通过直观感受和实例分析，让学生真正理解通过分割拼接、多边形逼近等方法，引导学掌握圆面积公式的应用方法，能够解决涉及圆面积代表的物理意义，知道面积表示平生自主探索并推导出圆面积公式S=πr²，理圆面积的实际问题，包括已知半径求面积、面图形所占的平面大小解公式背后的数学原理已知直径求面积以及面积应用问题情境导入生活问题引入同学们，看一看这个美丽的圆形草坪如果你是这个公园的设计师，需要在这片草坪上铺设新草皮，你必须知道需要多少草皮才够那么，这个问题的核心是什么呢？没错，我们需要知道这个圆形草坪的面积是多少今天，我们就来学习如何计算圆的面积思考问题这个圆形草坪占地有多大？•我们需要哪些信息才能计算出草坪的面积？•你认为圆的面积应该如何计算？•什么是面积？面积的基本概念面积是表示平面图形占平面的大小我们用平方单位来度量面积，如平方厘米、平方米等cm²m²我们已学过的面积公式长方形面积长宽•S=×正方形面积边长边长•S=×三角形面积底高•S=×÷2平行四边形面积底高•S=×圆的面积直观感受在正式推导圆的面积公式之前，让我们先建立对圆面积的直观感受观察与比较我们可以看到，随着圆的大小变化，圆的面积也在变化圆越大，它所占的面积就越大•同样形状的圆，半径增大一倍，面积会增大多少倍？•如果有两个圆，一个半径是厘米，另一个半径是厘米，它们的面积•36比是多少？通过观察和思考，你能猜测圆的面积与半径之间可能存在什么关系吗？我们接下来就要通过实验和探究来揭示这个关系探究一圆和正方形面积比较实验设计我们先来做一个简单的比较实验

1.准备一个圆和一个正方形，使圆的直径等于正方形的边长

2.仔细观察它们的面积大小关系

3.尝试比较圆的面积占正方形面积的比例大约是多少？观察结果当圆的直径等于正方形的边长时，圆被内接在正方形中，圆的面积明显小于正方形的面积通过精确计算，圆的面积约占正方形面积的π/4（约

0.7854）这个实验告诉我们，圆的面积与正方形有一定的关系，但我们还需要更进一步的探索来找出圆面积的计算公式圆的面积问题提出关键问题思考方向可能的探究工具我们如何才能精确计算一个圆的面积？对于直线图形（如长方形、三角形），我们可以利用哪些工具来探究圆的面是否有一个通用的公式可以应用于所有我们有现成的公式但圆是曲线图形，积？的圆？我们需要寻找新的方法可以尝试将圆剪刀、纸张通过剪切和拼接•转化为我们熟悉的图形来思考方格纸通过数格子来估算•数学模型通过图形变换来推导•探索方法一分割法分割法基本原理我们可以通过将圆分割成若干小部分，然后重新排列这些部分，将圆近似转化为我们熟悉的图形（如长方形），从而计算面积实验准备

1.准备几个相同的圆形纸片

2.将圆沿半径方向分割成若干等份（如8份、16份或更多）

3.尝试将这些小部分重新排列，拼成近似的长方形或平行四边形分割得越细，拼成的图形就越接近长方形，这为我们提供了一种推导圆面积公式的思路动手实验圆的剪拼分成8等份分成16等份分成更多等份将圆沿半径方向平均分成个等份扇形，然后交将圆分成个等份扇形，然后重新排列此时得如果分得更细（比如份或更多），重新排列后81632错排列观察得到的图形形状，它看起来有点像到的图形更接近长方形，弯曲程度明显减小，两得到的图形将非常接近一个长方形这个长方形平行四边形，但两边仍然是弯曲的边的锯齿状更加细密的长约为圆的半周长，宽约为圆的半径思考与讨论关键问题•当我们将圆分割得越来越细时，拼出的图形越来越像什么？•这个图形的长和宽分别是多少？•分割无限细时，会得到什么图形？小组讨论请同学们在小组内讨论以下问题

1.如果将圆分成无数个扇形，拼出的图形会是一个完美的长方形吗？为什么？

2.这个长方形的长和宽与圆的哪些部分有关系？

3.我们如何利用这个关系来推导圆的面积公式？观察图中的变化过程，思考分割越细，最终图形会趋近于什么形状？探索方法二多边形近似多边形逼近法除了分割-拼接法外，我们还可以使用多边形逼近法来理解圆的面积这种方法是通过在圆内部或外部构造正多边形，随着边数增加，多边形的面积会越来越接近圆的面积步骤演示

1.在圆内作正六边形，计算其面积

2.增加边数，作正八边形、正十二边形等

3.观察随着边数增加，内接多边形的面积如何变化？

4.推断当边数趋于无穷大时，多边形的面积趋近于什么？随着内接正多边形的边数增加，多边形的面积越来越接近圆的面积当边数趋于无穷大时，多边形的面积就是圆的面积实践活动环节分组活动操作步骤观察记录将全班分成若干小组，每组准备以下材在圆上标出中心点完成实验后，各小组记录并回答以下问

1.料题从中心向圆周画出均匀分布的半径线

2.（分成份、份等）•圆形纸片（半径5厘米）若干

8161.拼成的图形近似于什么形状？沿着半径线剪开，得到若干个扇形剪刀、尺子、笔

3.这个图形的长和宽分别是多少？•

2.将这些扇形按照特定方式排列，尝试拼记录纸

4.分割越细，拼成的图形有什么变化？•

3.成近似的长方形测量拼成图形的长和宽，记录数据

5.长方形面积回顾长方形面积计算在进一步推导圆的面积公式前，让我们回顾一下长方形的面积计算公式长方形面积长宽=×关键思考根据我们前面的分割拼接实验，当圆分割成无数个扇形并重新排列后，会形成一个近似-的长方形那么这个长方形的长对应圆的什么部分？•这个长方形的宽对应圆的什么部分？•我们如何利用这个关系来推导圆的面积公式？•长方形面积计算公式长宽S=×拼接后的图形解析原始圆形我们从一个半径为r的圆开始，它的周长是2πr分割成扇形将圆分割成许多小扇形，每个扇形的弧长为圆周长的一小部分，高为半径r重新排列将扇形重新排列，形成一个近似的长方形当分割无限细时•长方形的长≈圆的半周长=πr•长方形的宽≈圆的半径=r公式推理（核心）推导过程根据我们的分割拼接实验，当圆分割成无限多个扇形并重新排列后，形成的长方形有以下特-点

1.长方形的长等于圆的半周长πr长方形的宽等于圆的半径

2.r因此，我们可以利用长方形面积公式来计算圆的面积圆的面积长方形的面积长宽==×=πr×r=πr²数学表达用数学符号表示，如果一个圆的半径为，则它的面积为r SS=πr²其中π（读作派）是一个特殊的数学常数，约等于

3.14正式给出圆面积公式S=πr²公式解读公式变形表示圆的面积我们也可以用直径来表示圆的面积由•S d于（直径等于半径的倍），所以•π是一个特殊的数学常数，约等于d=2r

23.

14159...S=πr²=πd/2²=πd²/4表示圆的半径•r单位说明表示半径的平方（）•r²r×r在小学阶段，我们通常取π≈

3.14进行计算公式背后思想转化思想极限思想将不熟悉的问题（圆的面积）转化为通过分割得越来越细，拼成的图形越熟悉的问题（长方形的面积）这种来越接近长方形这里蕴含了极限的转化思想在数学问题解决中非常重思想，是高等数学中的重要概念要数形结合通过图形变换来推导代数公式，体现了数形结合的数学思想，使抽象问题具体化、可视化典型例题知半径求面积1例题一个圆的半径是7厘米，求这个圆的面积分析已知圆的半径r=7厘米，要求圆的面积S我们可以直接应用圆的面积公式S=πr²解题思路

1.明确已知条件半径r=7厘米

2.确定使用的公式S=πr²

3.代入数值计算S=

3.14×7²

4.得出结果并注意单位例题解析提取已知条件圆的半径r=7厘米确定使用公式圆的面积公式S=πr²代入数值计算S=

3.14×7²S=

3.14×49S=

153.86完整解答这个圆的面积S=

153.86平方厘米典型例题知直径求面积2例题一个圆形草坪的直径是米，求这个圆形草坪的面积20分析已知圆的直径米，要求圆的面积d=20S我们需要先将直径转换为半径，然后应用圆的面积公式解题思路明确已知条件直径米

1.d=20计算半径米

2.r=d/2=20/2=

103.应用圆面积公式S=πr²代入数值计算

4.S=

3.14×10²得出结果并注意单位

5.例题解析提取已知条件1圆形草坪的直径米d=20计算半径2米r=d/2=20/2=10应用面积公式3S=πr²=

3.14×10²=

3.14×100=314平方米因此，这个圆形草坪的面积是平方米314实际应用情景应用背景继续我们的圆形草坪例子现在我们知道这个直径为米的圆形草坪面20积是平方米314问题情境如果要在这个草坪上铺设新的草皮，每平方米草皮的价格是元，那么铺8设整个草坪需要多少钱？解决思路计算草坪的总面积（已知为平方米）

1.314确定单位价格（每平方米元）

2.8计算总价总价面积单价

3.=×应用计算31482512草坪总面积单价元/㎡总价元圆形草坪的面积为平方每平方米草皮的价格为元总价元3148=314×8=2512米变式训练已知面积求半径圆环面积复合图形如果一个圆的面积是平方厘米，求这个一个圆环的外圆半径是厘米，内圆半径是一个图形由一个边长为厘米的正方形和一

78.51010圆的半径6厘米，求圆环的面积个半径为5厘米的半圆组成，求这个图形的总面积解析根据圆的面积公式S=πr²，可得解析圆环面积=外圆面积-内圆面积=π

78.5=

3.14×r²，解得r²=

78.5÷

3.14=×10²-π×6²=

3.14×100-36=

3.14×64，所以厘米平方厘米25r=5=

200.96拓展圆面与的奥秘ππ的历史π是圆周率，表示圆的周长与直径的比值，是一个无理数自古以来，数学家们一直在尝试计算π的精确值•古埃及人使用16/9²≈

3.16作为π的近似值古巴比伦人使用•

3.125•中国古代数学家祖冲之计算出π≈355/113≈

3.14159292，是当时世界上最精确的近似值•现代计算机已经计算出π的万亿位小数π的应用π不仅在几何学中有重要应用，在物理学、工程学等众多领域也有广泛应用它是自然界的一个基本常数巩固练习基础题应用题思考题

1.一个圆的半径是3厘米，求它的面积

1.一个圆形花坛的半径是4米，求它的面

1.如果一个圆的半径增加一倍，它的面积一个圆的直径是厘米，求它的面积如果每平方米需要种植9棵花，那会增加多少倍？

2.14么这个花坛一共需要种植多少棵花？积

2.如果一个圆的面积是另一个圆的4倍，一个圆的周长是厘米，求它的面

2.一个圆形水池的面积是

78.5平方米，求它们的半径之比是多少？

3.

31.4它的半径如果要在水池边缘安装栏积你能想出生活中还有哪些应用与圆的面

3.杆，栏杆的每米造价是元，那么安50积有关？一个圆的面积是平方厘米，求它的

4.154装栏杆一共需要多少钱？半径易错点总结半径与直径混淆在应用圆面积公式时，一定要区分清楚已知的是半径还是直径如果已知直径d，需要先除以2得到半径r，再代入公式S=πr²错误示例直径10厘米的圆，面积S=

3.14×10²=314平方厘米（错）正确计算r=d/2=10/2=5厘米，S=

3.14×5²=

3.14×25=

78.5平方厘米单位遗漏或错误计算面积时，要注意结果的单位是平方单位如果半径的单位是厘米，那么面积的单位是平方厘米；如果半径的单位是米，那么面积的单位是平方米错误示例半径3米的圆，面积S=

3.14×3²=

28.26米（错）正确表述半径3米的圆，面积S=

3.14×3²=

28.26平方米公式使用错误有时候会将圆的面积公式与周长公式混淆圆的面积公式是S=πr²，而圆的周长公式是C=2πr错误示例半径5厘米的圆，面积S=2×

3.14×5=

31.4平方厘米（错）探究性小任务生活中的圆形物体探索请同学们在日常生活中寻找圆形物体，如表盘、井盖、铁环等，并完成以下任务测量这些物体的直径或半径

1.计算它们的面积

2.思考为什么这些物体设计成圆形

3.创意挑战设计一个实际问题，需要应用圆的面积公式来解决比如设计一个圆形游泳池，计算需要的水量•计算一个圆形披萨可以分给多少人•设计一个由多个圆组成的图案，计算需要的材料面积•本节课收获掌握公式实验探究学会圆的面积公式S=πr²，并能灵活应用于计通过动手实验，理解圆面积公式的推导过程算数学思维解决问题学会分割与转化的数学思想，提升解决问能够应用圆面积公式解决各种实际问题题的能力课堂总结与提升知识回顾

1.圆的面积公式S=πr²，其中r是圆的半径，π≈

3.14推导方法通过分割拼接，将圆转化为近似长方形

2.-应用技巧区分半径和直径，注意单位转换

3.能力提升通过本课学习，同学们应该能够解释圆面积公式的由来•会运用公式解决实际问题•能够将数学知识与实际生活联系起来•掌握转化思想这一重要的数学思维方法•思考与延伸我们已经学习了长方形、三角形、平行四边形和圆的面积计算你能总结出这些图形面积公式之间的联系吗？这些公式背后有什么共同的数学思想？。