坐标轴的平移教学课件

坐标轴的平移教学课件课程目标与知识结构12掌握点的平移规律能用坐标表示平移理解点在坐标平面上平移的基本规律，能准确判断平移后点的新坐标掌握用代数方式表示平移变换，建立几何直观与代数表达之间的联位置系34会作出平移后的图形培养用坐标处理几何变换的能力运用平移规律，在坐标平面上正确绘制平移后的图形，理解图形平移提高空间想象能力和抽象思维能力，为后续学习几何变换奠定基础的几何意义复习平面直角坐标系基础概念回顾平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴（坐标轴）组成•横轴（x轴）通常水平放置，向右为正方向•纵轴（y轴）通常垂直放置，向上为正方向•原点两轴的交点，坐标为0,0•坐标平面被分为四个象限，按逆时针方向依次为第

一、

二、

三、四象限平面上任意一点的位置可以用一个有序数对x,y表示，其中x表示该点在x轴上的投影，y表示该点在y轴上的投影例如点A2,3表示从原点出发，沿x轴正方向移动2个单位，再沿y轴正方向移动3个单位；点B-1,0表示从原点出发，沿x轴负方向移动1个单位，y坐标保持不变任务引入什么是平移？平移的基本概念平移的方向平移是指图形在平面内沿着某一方向平移可以是水平方向（左右）、垂直整体移动，移动过程中图形的形状和方向（上下）或斜向（同时包含水平大小保持不变，只有位置发生变化和垂直分量）平移与其他变换的区别平移≠旋转旋转会改变图形的方向平移≠对称对称会改变图形的朝向平移只改变位置，不改变形状、大小和方向点的平移意义平移的本质特征在平移变换中，图形上的每一个点都按照相同的方式移动，这意味着•所有点移动的方向相同•所有点移动的距离相同•任意两点之间的距离保持不变•任意线段的长度保持不变•任意角的大小保持不变正是因为每个点按相同方式移动的特性，平移变换才能保持图形的形状和大小不变，只改变图形的位置点向右平移个单位a向右平移的坐标变化规律当一个点Px,y向右平移a个单位长度后，得到新的点Px,y，其坐标满足•新的横坐标x=x+a•纵坐标保持不变y=y因此，点Px,y向右平移a个单位后的新坐标为Px+a,y示例分析例如点A1,2向右平移3个单位后，得到点A•A的横坐标x=1•A的纵坐标y=2图示点A1,2向右平移3个单位得到A4,2•向右平移3个单位，即a=3•A的横坐标x=x+a=1+3=4•A的纵坐标y=y=2所以，A的坐标为4,2点向左平移个单位a向左平移的坐标变化规律当一个点Px,y向左平移a个单位长度后，得到新的点Px,y，其坐标满足•新的横坐标x=x-a•纵坐标保持不变y=y因此，点Px,y向左平移a个单位后的新坐标为Px-a,y示例分析例如点B5,1向左平移3个单位后，得到点B•B的横坐标x=5•B的纵坐标y=1•向左平移3个单位，即a=3•B的横坐标x=x-a=5-3=2图示点B5,1向左平移3个单位得到B2,1•B的纵坐标y=y=1所以，B的坐标为2,1点向上平移个单位b向上平移的坐标变化规律当一个点Px,y向上平移b个单位长度后，得到新的点Px,y，其坐标满足•横坐标保持不变x=x•新的纵坐标y=y+b因此，点Px,y向上平移b个单位后的新坐标为Px,y+b示例分析例如点C0,2向上平移4个单位后，得到点C图示点C0,2向上平移4个单位得到C0,6•C的横坐标x=0•C的纵坐标y=2•向上平移4个单位，即b=4•C的横坐标x=x=0•C的纵坐标y=y+b=2+4=6所以，C的坐标为0,6点向下平移个单位b向下平移的坐标变化规律当一个点Px,y向下平移b个单位长度后，得到新的点Px,y，其坐标满足•横坐标保持不变x=x•新的纵坐标y=y-b因此，点Px,y向下平移b个单位后的新坐标为Px,y-b示例分析例如点D-3,4向下平移3个单位后，得到点D•D的横坐标x=-3•D的纵坐标y=4•向下平移3个单位，即b=3•D的横坐标x=x=-3•D的纵坐标y=y-b=4-3=1所以，D的坐标为-3,1图示点D-3,4向下平移3个单位得到D-3,1点斜向平移单位a,b斜向平移的坐标变化规律当一个点Px,y同时沿水平方向平移a个单位和沿垂直方向平移b个单位时，我们称之为斜向平移，记作平移a,b单位此时，得到的新点Px,y的坐标满足•新的横坐标x=x+a•新的纵坐标y=y+b因此，点Px,y斜向平移a,b单位后的新坐标为Px+a,y+b注意•a可正可负，a0表示向右平移，a0表示向左平移•b可正可负，b0表示向上平移，b0表示向下平移斜向平移可以看作是水平方向和垂直方向平移的组合平移向量a,b的模长√a²+b²表示平移的实际距离，而方向由a和b的正负及大小决定规律总结点的平移公式右移个单位左移个单位a ax,y→x+a,y x,y→x-a,y横坐标增加a，纵坐标不变横坐标减少a，纵坐标不变上移个单位下移个单位b bx,y→x,y+b x,y→x,y-b横坐标不变，纵坐标增加b横坐标不变，纵坐标减少b右上移单位左下移单位a,b a,bx,y→x+a,y+b x,y→x-a,y-b横坐标增加a，纵坐标增加b横坐标减少a，纵坐标减少b通用平移公式点Px,y平移a,b后得到Px,y，则其中，a为水平方向的平移量（正向右，负向左），b为垂直方向的平移量（正向上，负向下）例题点的多步平移1问题方法二一步计算已知点P2,-1，先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，求平移后点Q的坐标P2,-1先向右平移4个单位，再向上平移3个单位，相当于斜向平移4,3个单位解析根据平移公式方法一逐步计算Q的横坐标x=2+4=6第一步P2,-1向右平移4个单位，得到中间点P Q的纵坐标y=-1+3=2P的横坐标x=2+4=6所以Q6,2P的纵坐标y=-1（不变）所以P6,-1第二步P6,-1向上平移3个单位，得到最终点QQ的横坐标x=6（不变）Q的纵坐标y=-1+3=2所以Q6,2练习判断点的位置变化1问题问题12点A1,2向左平移2个单位，然后向上平移5个单点B-3,0向下平移4个单位后的坐标是多少？解析位后的坐标是多少？解析向下平移4个单位横坐标不变，纵坐标变为0向左平移2个单位横坐标变为1-2=-1-4=-4向上平移5个单位纵坐标变为2+5=7因此，平移后的坐标为B-3,-4因此，平移后的坐标为A-1,7问题3点C5,-2先向左平移7个单位，再向上平移3个单位，最后向右平移2个单位后的坐标是多少？解析向左平移7个单位横坐标变为5-7=-2向上平移3个单位纵坐标变为-2+3=1向右平移2个单位横坐标变为-2+2=0因此，平移后的坐标为C0,1小组活动找平移规律活动设计目的通过实践探索，加深对平移规律的理解活动流程

1.将全班分成4-5人小组

2.每组在坐标纸上选择不同的起点，如0,

0、1,

2、-1,-3等

3.对每个起点进行相同的多次平移操作，如•先向右平移3个单位•再向上平移2个单位•再向左平移1个单位

4.记录每次平移后的坐标

5.比较不同起点的平移结果，观察起点与终点坐标的关系

6.归纳平移规律，并在全班展示发现的结论图形的平移定义图形平移的本质图形的平移是指图形中的每一个点都按照相同的方式（相同的方向和距离）移动，从而使整个图形的位置发生变化，但形状和大小保持不变图形平移的特点•图形中的每个点都按照相同的方向移动相同的距离•图形的形状保持不变•图形的大小保持不变•图形的方向保持不变•图形内部各点之间的相对位置保持不变从数学上讲，如果图形F中的每个点Px,y都平移到Px+a,y+b，则称图形F平移到图形F，记作F→F图形平移可以看作是图形中所有点的同步平移由于每个点都按照相同的规则移动，因此图形的整体形状和大小不变，只是位置发生了变化简单图形平移演示示例三角形向右平移个单位2已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为•A1,1•B3,1•C2,3现将三角形ABC向右平移2个单位，求平移后三角形ABC的顶点坐标解法根据向右平移的规律，只有横坐标增加，纵坐标不变•A的坐标1+2,1=3,1•B的坐标3+2,1=5,1•C的坐标2+2,3=4,3因此，平移后的三角形ABC的顶点坐标为A3,

1、B5,

1、C4,3图示三角形ABC平移到ABC在图形平移过程中，图形的每个顶点都按照相同的规则移动由于每个顶点都向右平移了2个单位，所以整个三角形向右平移了2个单位，形状和大小保持不变平移后的图形作图法逐点法

1.确定原图形的关键点（通常是顶点）

2.对每个关键点应用平移规则，计算平移后的新坐标

3.在坐标系中标出这些新的关键点

4.按照原图形的连接方式，连接这些新的关键点，得到平移后的图形坐标法

1.列出原图形关键点的坐标

2.根据平移向量a,b，使用公式x,y→x+a,y+b计算新坐标

3.在坐标系中标出新坐标点

4.连接这些点，绘制出平移后的图形平移向量法

1.确定平移向量a,b

2.在坐标系中绘制从原点O到点Pa,b的向量

3.对原图形中的每个点，画出与OP平行且等长的向量

4.这些向量的终点连起来就是平移后的图形作图时的注意事项•保持精确的测量，确保平移距离的准确性•对于复杂图形，可以先确定几个关键点的平移位置，再完成其余部分•利用网格线辅助测量平移距离，提高准确性例题三角形的平移2问题已知三角形ABC的三个顶点坐标为A0,

1、B2,1和C2,3将该三角形向右平移1个单位，同时向上平移1个单位，求平移后三角形ABC的顶点坐标解析根据平移公式，点x,y向右平移a个单位，向上平移b个单位后的坐标为x+a,y+b在本题中，a=1，b=1，即平移向量为1,1对三角形的每个顶点应用这一公式图示三角形ABC平移到ABC•A0,1→A0+1,1+1=A1,2•B2,1→B2+1,1+1=B3,2我们可以看到，平移后的三角形ABC与原三角形ABC的形状和大小完全相同，只是位置发生了变化每个顶点都向右上方移动了相同的距离，使得整•C2,3→C2+1,3+1=C3,4个三角形保持其几何特性不变因此，平移后三角形ABC的顶点坐标为A1,

2、B3,2和C3,4平移与数形结合数形结合的意义数形结合是数学思想方法中的重要原则，它强调代数表达与几何直观的统一在坐标平移中，这一原则表现得尤为明显•坐标变化（代数）x,y→x+a,y+b•点的移动（几何）点沿着一定方向移动一定距离数形结合的优势•通过坐标精确描述平移的方向和距离•利用代数公式简化平移计算•借助几何直观理解平移的物理意义•建立平移的数学模型，处理复杂问题练习图形整体平移2问题1已知正方形ABCD的顶点坐标为A1,

1、B4,

1、C4,4和D1,4将该正方形向左平移3个单位，向下平移2个单位，求平移后正方形ABCD的顶点坐标解析平移向量为-3,-2，应用平移公式x,y→x-3,y-2•A1,1→A1-3,1-2=A-2,-1•B4,1→B4-3,1-2=B1,-1•C4,4→C4-3,4-2=C1,2•D1,4→D1-3,4-2=D-2,2因此，平移后正方形ABCD的顶点坐标为A-2,-

1、B1,-

1、C1,2和D-2,2问题2已知矩形PQRS的顶点坐标为P0,

0、Q3,

0、R3,2和S0,2将该矩形向右平移2个单位，向上平移3个单位，求平移后矩形PQRS的顶点坐标解析平移向量为2,3，应用平移公式x,y→x+2,y+3•P0,0→P0+2,0+3=P2,3•Q3,0→Q3+2,0+3=Q5,3•R3,2→R3+2,2+3=R5,5•S0,2→S0+2,2+3=S2,5因此，平移后矩形PQRS的顶点坐标为P2,

3、Q5,

3、R5,5和S2,5课本拓展函数图像的平移函数图像平移的规律函数图像的平移是坐标平移在函数图像上的应用对于函数y=fx，其图像的平移遵循以下规律

1.向右平移a个单位y=fx-a

2.向左平移a个单位y=fx+a

3.向上平移b个单位y=fx+b

4.向下平移b个单位y=fx-b综合形式函数y=fx的图像向右平移a个单位，向上平移b个单位后，得函数图像的平移可以看作是图像上每一点按照相同的规则移动通过对到的新函数为y=fx-a+b函数表达式的变换，我们可以实现函数图像的平移注意事项例如，对于函数y=x²，其图像向右平移3个单位，向上平移2个单位后，得到的新函数为y=x-3²+2•函数水平平移时，自变量x的符号与平移方向相反•函数垂直平移时，常数项的符号与平移方向相同问题探究逆过程思考已知原点和平移后的点，求平移向量₁₁₂₂如果我们知道点Px,y平移后得到点Qx,y，如何确定平移向量a,b？根据平移公式₂₁x=x+a₂₁y=y+b解得₂₁a=x-x₂₁b=y-y₂₁₂₁因此，平移向量为x-x,y-y例题已知点A3,4平移后得到点A1,7，求平移向量解平移向量a,b满足a=1-3=-2b=7-4=3所以平移向量为-2,3，表示向左平移2个单位，向上平移3个单位已知平移前后的两个图形，求平移向量如果已知图形F平移后得到图形F，如何确定平移向量？

1.选择图形F中的一个特征点P，找出它在F中对应的点P₂₁₂₁

2.计算从P到P的位移向量a,b=x-x,y-y

3.验证选择F中的其他点，检查它们是否都按照向量a,b平移到F中的对应点易错点分析1正负号混淆错误将向左平移a个单位写成x+a,y而不是x-a,y正确向左平移是横坐标减少，向右平移是横坐标增加记忆技巧左减右加，与数轴正负方向一致2方向理解错误错误混淆上、下与左、右，如将向上平移理解为横坐标变化正确向上、向下平移影响纵坐标；向左、向右平移影响横坐标记忆技巧横平竖直，横坐标对应左右，纵坐标对应上下3函数图像平移混淆错误认为函数y=fx向右平移a个单位后变为y=fx+a正确函数y=fx向右平移a个单位后变为y=fx-a记忆技巧函数水平平移时，自变量的变化与平移方向相反4平移量单位不统一错误在计算中混用不同的单位长度正确确保所有平移量都使用相同的单位长度解决方法在解题前明确统一的单位标准巩固练习练习单点平移练习多点平移12点P-2,5向右平移3个单位，向下平移4个单位后得到点点A0,

0、B3,

0、C3,2和D0,2是一个矩形的四个顶点P，求P的坐标将这个矩形向左平移2个单位，向上平移1个单位后，求新解析矩形的顶点坐标解析P-2,5向右平移3个单位横坐标变为-2+3=1平移向量为-2,1，应用于每个顶点向下平移4个单位纵坐标变为5-4=1A0,0→A0-2,0+1=A-2,1因此，P的坐标为1,1B3,0→B3-2,0+1=B1,1C3,2→C3-2,2+1=C1,3D0,2→D0-2,2+1=D-2,3练习图形平移应用3已知正三角形的三个顶点坐标为A0,

0、B2,0和C1,√3该三角形先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，最后再向左平移3个单位求最终三角形的顶点坐标解析综合平移向量为1-3,-2=-2,-2A0,0→A0-2,0-2=A-2,-2B2,0→B2-2,0-2=B0,-2C1,√3→C1-2,√3-2=C-1,√3-2生活中的平移应用地图标志的平移在地图软件中，当我们移动屏幕时，地图上的所有标志（如商店、学校、医院等图标）都会按照相同的方式移动，这就是平移的应用例如，如果我们将地图向右拖动200像素，向上拖动150像素，那么地图上的每个标志都会向右移动200像素，向上移动150像素，它们之间的相对位置保持不变地铁线路图调整在设计地铁线路图时，有时需要调整整个线路的位置，这也是平移的应用例如，如果发现某条线路与其他线路重叠或者太靠近边缘，设计师可能会将整条线路向某个方向平移一定距离，以改善可读性其他生活应用•电脑中的窗口拖动当我们拖动一个窗口时，窗口内的所有内容都跟着一起移动，这是一种平移•机械设计在设计机械装置时，常需要考虑零件的平移运动•动画制作角色或物体的平移是最基本的动画效果之一•建筑设计调整建筑布局时，有时需要整体平移某些结构•视频游戏游戏中的场景滚动和角色移动都涉及平移变换数学建模初步用平移简化实际问题数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程平移作为一种基本的数学工具，在简化实际问题方面有重要应用应用示例机器人路径规划在机器人编程中，常需要规划机器人的移动路径通过坐标平移，可以简化路径计算

1.建立坐标系以机器人起始位置为原点

2.表示目标位置用相对坐标a,b表示目标相对于起点的位置

3.路径规划将复杂路径分解为一系列基本平移

4.优化算法计算最短路径或最省能源的路径例如，机器人需要从位置0,0移动到位置5,3，可以将这个任务表示为向右平移5个单位，向上平移3个单位课堂小结平移的本质平移的定义平移是图形在平面内沿某一方向整体移动，使每个点都按相同方式移动的变换平移的特性平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置平移的代数表示点x,y平移a,b后得到点x+a,y+b，其中a为水平平移量，b为垂直平移量平移的几何意义平移可以看作是图形沿着平移向量a,b移动，该向量决定了平移的方向和距离通过学习坐标平移，我们掌握了用代数方法统一描述几何变换的思想这种思想不仅适用于平移，也适用于其他几何变换，如旋转、对称等在后续学习中，我们将看到这些变换如何通过代数方式统一表示，从而建立起几何与代数的紧密联系知识点升华与对称、旋转区别平移变换旋转变换特点特点•每个点沿相同方向移动相同距离•图形绕某一点旋转一定角度•图形的形状、大小和方向不变•图形的形状和大小不变，但方向改变•代数表示x,y→x+a,y+b•绕原点旋转θ角x,y→xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ123对称变换课后思考与拓展思考题连续平移的结果问题如果一个点Px,y先向右平移a个单位，再向上平移b个单位，然后向左平移c个单位，最后向下平移d个单位，求最终点的坐标提示考虑综合平移向量拓展多步连续平移的合成规律进阶思考平移的矩阵表示当图形经过多次平移后，最终的效果等同于一次平移，这个平移向量是所有平移向量的和在高中和大学数学中，平移可以用矩阵表示例如₁₁₂₂₁₂₁₂•先平移a,b，再平移a,b，相当于直接平移a+a,b+b₁₁₂₂ᵢᵢₙₙ•多次平移a,b,a,b,...,a,b，相当于直接平移∑a,∑b这一规律体现了向量加法的几何意义，是线性代数中重要的基础概念这种表示方法称为齐次坐标，它将平移纳入线性变换的框架，使得平移、旋转、对称等变换可以用统一的方式表示和组合总结与反馈核心公式回顾作图法要点自我检测题点x,y平移a,b后得到点x+a,y+b

1.确定原图形的关键点（通常是顶点）点P3,-2先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，最后向右平移2个单位后的坐标是什么？其中

2.对每个关键点应用平移规则

3.连接平移后的关键点，得到新图形答案P0,2•a0表示向右平移|a|个单位•a0表示向左平移|a|个单位•b0表示向上平移|b|个单位•b0表示向下平移|b|个单位学习建议

1.注重理解平移的几何意义，不要只机械记忆公式

2.多做练习，特别是涉及多步平移和图形平移的题目

3.结合实际生活中的例子，加深对平移概念的理解

4.尝试用不同方法解决同一问题，培养数学思维的灵活性

5.提前了解平移与其他几何变换的联系，为后续学习做准备。