徐长青烙饼问题教学课件

徐长青烙饼问题教学课件数学广角·统筹优化真实案例统筹优化与生活统筹优化是数学中一个重要的思想方法，它不仅仅是数学课本上的知识点，更是与我们日常生活息息相关的实用技能通过合理安排各种活动的顺序和方式，我们可以在有限的资源条件下获得最大的效益在现代社会中，时间和资源的高效利用变得尤为重要无论是企业管理、交通规划、还是家庭活动安排，统筹优化的思想都能帮助我们作出更明智的决策本课件将通过徐长青老师的烙饼问题，展示如何将数学统筹优化思想应用到生活实际中，提高工作和学习效率趣味引入怎么发纸最快问题设计学生讨论想象一下班级里有40名学生需要发小组内交流不同的发纸方法教师从放试卷，如何设计最快的发放方案？前到后发？学生代表发？分组发？传递式发放？方案PK各小组派代表展示自己的发纸方案，全班实际操作并计时比较，体验优化的乐趣生活中的烙饼任务烙饼问题的生活背景烙饼是中国北方的传统美食，制作过程需要掌握时间和顺序在家庭生活中，特别是在早餐或节日时，我们常常需要在短时间内制作多张饼徐长青老师从生活中的烙饼经验得到启发，设计了这个既贴近生活又富含数学思想的教学案例这个问题巧妙地将日常烹饪活动与数学统筹优化思想结合起来通过烙饼这个熟悉的场景，学生能够更容易理解抽象的数学概念，体会数学与生活的密切联系每次看到妈妈烙饼时的忙碌身影，我就在思考有没有更高效的方法？这个看似简单的家务活动中蕴含着深刻的数学思想——徐长青问题呈现经典烙饼问题问题描述有一口锅，一次最多可以放2张饼每张饼需要两面都烙熟，每面需要烙3分钟才能熟如果要烙3张饼，最少需要多少时间？问题特点这是一个典型的时间优化问题，需要考虑如何安排烙饼的顺序和翻面时机，以使总时间最短思考方向学生需要理解问题中的限制条件，思考如何合理安排烙饼的顺序，充分利用锅的两个位置，避免不必要的等待时间预期目标任务细节分析关键条件·一口锅，最多同时放2张饼·每张饼需要烙两面·每面需要烙3分钟才能熟·目标求烙3张饼的最短时间这些看似简单的条件实际上构成了一个具有挑战性的优化问题学生需要理解每个条件的含义，并将它们结合起来思考解决方案隐含条件思考除了明确给出的条件外，还有一些隐含的信息需要学生理解·翻面和更换饼的时间可以忽略不计信息提炼与理解123明确对象明确条件明确目标饼需要烙的对象，共3张，每张有两面时间每面需要烙3分钟优化目标使所有饼两面都熟的总时间需要烙最短状态每张饼有两个状态——一面熟和锅烙饼的工具，一次最多可放2张饼两面熟评价标准总用时越少越好在解决问题之前，学生需要对问题信息进行整理和理解通过清晰地提炼关键信息，学生可以更好地把握问题的本质，避免在解题过程中遗漏重要条件教师可以引导学生思考哪些是已知条件？哪些是需要确定的变量？目标是什么？通过这种方式，培养学生的信息处理能力和问题分析能力学生复述与举例学生理解检查为确保学生真正理解了问题，教师可以请几位学生用自己的话复述问题这一环节可以暴露出学生对问题的误解，及时纠正常见理解偏差·每面3分钟可能被误解为每张饼总共需要3分钟·忽略两面都要烙的条件·混淆锅可以放2张饼与可以同时烙2张饼的2面通过举例澄清教师可以通过具体例子帮助学生理解如果只烙1张饼，需要先烙一面3分钟，再翻面烙另一面3分钟，总共需要6分钟锅可以放2张饼，意味着我们可以同时烙2张饼的同一面，或者1张饼的一面和另1张饼的另一面第一轮动手模拟模拟活动设计为了让抽象问题变得具体可感，教师组织学生进行实际模拟·每组4-5人，选出2-3名学生代表饼·桌面代表锅，有两个位置·用计时器记录时间·其他学生负责记录过程和时间通过这种角色扮演式的模拟，学生能够直观地体验烙饼过程，理解问题中的各种限制条件具体操作步骤

1.代表饼的学生手心和手背分别代表饼的两面

2.站在桌边的学生代表饼的一面在烙，计时3分钟

3.3分钟后，学生转身或换人，模拟翻面或换饼

4.全组记录整个过程，包括每个时间点的操作和总用时体验小结与反思初次尝试1大多数小组第一次尝试可能需要15-18分钟完成3张饼的烙制学生们常采用最直观的方法先烙完1张再烙下1张问题发现2通过模拟，学生发现这种直线式的烙饼方法存在效率低下的问题锅的利用方法改进率不高，经常只有一个位置在使用3学生开始思考如何提高锅的利用率，尝试同时烙两张饼，或者采用交替放饼的方式，以减少总时间经验分享4各小组分享自己的烙饼策略和总用时，讨论不同方法的优缺点，为寻找最优解奠定基础数学模型抽象符号表示状态表示方法为了更清晰地分析问题，我们可以引入数学符号我们可以用时间线和状态表来记录烙饼过程·用A、B、C表示三张饼时间0-3分钟3-6分钟6-9分钟...位置1A1A2B

1...位置·用A

1、A2表示A饼的第一面和第二面2B1C1C

2...·同理，B

1、B2和C

1、C2表示其他饼的两面通过引入这些符号，我们可以将烙饼问题转化为数学模型，更系统地分析各种可能的烙饼顺序或者用状态表格记录每张饼在不同时间点的状态时间A饼状态B饼状态C饼状态0分钟生生生3分钟半熟半熟生6分钟全熟半熟半熟...两张饼的最优策略分钟分钟分钟0-33-66-9锅中放入A饼和B饼，烙它们的第一面A1,B1将A饼翻面，B饼保持原位，烙A2和B1A饼已全熟取出，B饼翻面，烙B2最优时间分析对于2张饼，最短时间是9分钟这是因为·每张饼需要烙两面，每面3分钟，至少需要6分钟·两张饼共需要烙4个面，每次最多烙2个面，至少需要2次，即6分钟·由于必须同时烙2个面才能达到最高效率，第三个3分钟只能烙1个面，总用时为9分钟三张饼的思考挑战学生探索阶段对于3张饼的情况，问题变得更加复杂教师可以让学生以小组形式探索不同的烙饼顺序，并计算总时间常见的尝试包括

1.按顺序烙先烙完A饼，再烙B饼，最后烙C饼

2.同时开始先烙A1和B1，再烙A2和C1，然后烙B2和C

23.交错安排各种可能的组合与顺序难点分析三张饼问题的难点在于·共有6个饼面需要烙·不同的烙饼顺序会导致不同的总时间·需要考虑如何最大限度地利用锅的两个位置·饼面之间存在依赖关系（第二面必须在第一面烙完后才能烙）四张饼及更多的谜题张饼1需要6分钟（3+3）张饼2需要9分钟（3+3+3）张饼3需要12分钟（3+3+3+3）张饼4需要15分钟（3+3+3+3+3）张饼n需要3n+3分钟当烙饼数量增加时，我们可以发现一个规律烙n张饼的最短时间是3n+1分钟，即3n+3分钟这个规律来自于对问题深入分析后的推导学生可以通过归纳法验证这个规律从已知的小规模问题出发，推导出一般情况下的解决方案例如，我们已经知道烙1张饼需要6分钟，烙2张饼需要9分钟，烙3张饼需要12分钟...从中可以发现规律并进行推广学生创意方案展示创新烙饼方法讨论在探索阶段后，各小组展示自己设计的烙饼方案教师鼓励学生用图表、时间线或角色扮演的方式展示自己的方案小组顺序法11按照A、B、C的顺序依次烙饼，总用时15分钟优点是操作简单，缺点是时间较长小组交错法22先烙A1和B1，再烙A2和C1，然后烙B2和C2，总用时12分钟这种方法充分利用了锅的两个位置小组优先翻面法33先烙A1和B1，然后立即翻A烙A2，同时放入C烙C1，再烙B2和C2，总用时12分钟评比结果4小组2和小组3的方法都达到了最优时间12分钟，证明了多种方案可以达到最优解结合生活谈经验生活经验的价值在讨论数学解法的同时，教师可以引导学生分享家庭烙饼的实际经验·家里长辈是如何烙饼的？有什么技巧？·在实际烙饼过程中，有哪些是数学模型没有考虑到的因素？·生活经验如何帮助我们理解和解决这个数学问题？通过这种讨论，学生能够建立数学模型与实际生活之间的联系，理解数学思想在生活中的应用价值观察最优解的特点最大化锅面利用最小化等待时间在最优解中，锅的两个位置在大部分最优解避免了饼面的不必要等待一时间都被充分利用只有在最后阶段旦某张饼的一面烙好，如果条件允才可能出现只用一个位置的情况许，就立即烙它的另一面这体现了时间最优化分配的原则这体现了资源最大化利用的原则合理的顺序安排最优解中，饼的放入和翻面顺序经过精心设计，确保在每个时间点都能做出最优决策这体现了整体规划与局部决策相结合的原则通过观察最优解的特点，学生可以总结出统筹优化问题的一般性原则充分利用资源、减少等待时间、合理安排顺序这些原则不仅适用于烙饼问题，也适用于许多其他优化问题推理论证最短时间如何得出数学推导过程为什么烙n张饼的最短时间是3n+1分钟？我们可以通过以下方式进行推导

1.共有n张饼，每张饼有2面，所以总共有2n个饼面需要烙

2.每个饼面需要烙3分钟

3.锅一次最多可以烙2个饼面

4.理想情况下，需要⌈2n/2⌉=n次才能烙完所有饼面

5.但由于存在依赖关系（第二面必须在第一面烙完后才能烙），最优安排下需要n+1次

6.每次烙饼需要3分钟，所以总时间为3n+1分钟证明的严谨性上述推导基于以下假设·每次烙饼都能保持锅的最大利用率（除了最后一次可能只用一个位置）·不存在比n+1次更少的烙饼次数安排数学建模思维点拨模型建立问题分析将实际问题抽象为数学模型，引入变量和符号表示明确对象、条件、目标，提取关键信息求解分析应用数学方法求解模型，分析不同策略的效果应用推广检验验证将解决方案应用到类似问题，总结一般性规律检查解的正确性，验证是否满足所有条件数学建模是将实际问题转化为数学问题并求解的过程在烙饼问题中，我们经历了问题分析、模型建立、求解分析、检验验证和应用推广的完整过程这种思维方式不仅适用于烙饼问题，也适用于解决各种实际问题教师可以通过表格、思维导图等工具帮助学生梳理数学建模的思维过程，培养学生的模型意识和优化思维实际操作与理论结合理论指导实践数学模型提供了最优解的理论基础，这些理论可以指导我们在实际生活中更高效地完成烙饼任务·合理安排烙饼顺序，遵循最优解的特点·充分利用锅的空间，避免资源浪费·减少等待时间，提高整体效率通过将数学理论应用到实际操作中，我们可以切实提高烙饼的效率，节省时间和精力实践检验理论同时，实际操作也能帮助我们检验和完善理论模型·现实中可能存在模型未考虑的因素，如翻面时间、温度变化等教师总结设计感悟好的数学问题应该像一面镜子，让学生在解决问题的过程中看到数学思想的力量，也看到自己思维的成长烙饼问题之所以有价值，在于它将抽象的统筹优化思想具体化为学生熟悉的生活情境，让数学变得可感、可触、可用——徐长青好问题的标准质疑精神的培养好的数学问题应该来源于生活，又在教学过程中，教师应鼓励学生质高于生活；应该具有适当的难度，疑现有方法，思考更优的解决方能够激发学生的思维；应该有多种案质疑是创新的起点，也是数学解法，鼓励学生的创造性思考思维发展的重要标志创新思维的价值通过烙饼问题，学生不仅学习了特定的解法，更重要的是体验了创新思维的过程发现问题、分析问题、提出假设、验证解法、优化方案典型易错点分析时间理解偏差1误解每面3分钟被理解为每张饼总共需要3分钟正确理解每张饼需要烙两面，每面需要3分钟，所以每张饼总共需要6分钟锅容量混淆2误解锅可以放2张饼，意味着可以同时烙4个饼面正确理解锅可以放2张饼，最多同时烙2个饼面（可以是2张饼的同一面，也可以是1张饼的两面）依赖关系忽略3误解认为所有饼面都可以任意顺序烙正确理解每张饼的第二面必须在第一面烙完后才能烙，存在依赖关系最优解误区4⌈⌉误解认为最短时间一定是2n/2×3分钟正确理解由于依赖关系的存在，最短时间是3n+1分钟扩展统筹优化在其他场景洗衣服问题分发物品问题交通规划问题如何安排洗衣、晾晒的顺序，使得在有限的晾如何设计最优的路径和顺序，使得在班级中分如何设计红绿灯的时间间隔和交通路线，使得晒空间下，最快完成所有衣物的洗涤和晾晒？发作业本、试卷等物品的时间最短？这也是一车辆通行效率最高？这是更复杂的统筹优化问这与烙饼问题有着相似的结构个典型的统筹优化问题题，但基本原理相通统筹优化思想在生活中有着广泛的应用通过学习烙饼问题，学生能够掌握这种思维方式，并将其应用到各种实际问题中教师可以鼓励学生发现生活中的其他统筹优化问题，并尝试用类似的方法解决数学新课标四基理念烙饼问题与新课标的契合新课标强调四基理念基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验烙饼问题很好地体现了这一理念基础知识时间计算、顺序安排等基础数学知识基本技能问题分析、数学建模、逻辑推理等技能基本思想统筹优化、整体规划等数学思想基本活动经验通过实际模拟、讨论交流等活动获得的直接经验实际体验的价值新课标特别强调基本活动经验的重要性在烙饼问题的教学中，通过角色扮演、实际模拟等活动，学生获得了直接的体验，这比单纯的讲解更有利于理解和记忆趣味互动环节拓展挑战四饼以上的最优策略为了进一步激发学生的探究兴趣，教师可以设计拓展挑战活动12小组竞赛规则评分标准·每个小组选择一个烙饼数量（4张或以上）·策略的正确性（30%）是否能够在声称的时间内完成烙饼·设计最优烙饼策略，计算理论最短时间·推导的严谨性（30%）是否有清晰的数学推导过程·通过模拟演示验证策略的可行性·表达的清晰性（20%）是否能够清楚地表达自己的策略·比较各组的策略，评选最创新、最严谨的方案·创新性（20%）是否有独特的思路和方法通过这种竞赛式的互动，学生能够在轻松愉快的氛围中深化对统筹优化思想的理解，同时培养团队协作和表达能力技巧总结简单与快乐数学教学应该是简单而快乐的简单不是浅显，而是将复杂的问题简化为学生能够理解和掌握的形式；快乐不是热闹，而是学生在思考和探究中获得的成就感和满足感——徐长青徐长青老师强调，好的数学教学应该让学生感到简单和快乐这种简单来自于教师对知识的深刻理解和精心设计，这种快乐来自于学生对数学本质的领悟和问题解决的成就感教学技巧要点·从生活实际出发，设计有意义的问题情境·注重学生的亲身体验，通过活动促进理解·鼓励多种解法，培养创新思维·关注思维过程，而非仅仅关注结果·引导学生发现数学与生活的联系·营造轻松愉快的学习氛围，激发学习兴趣反思方法与坚持的力量方法的力量习惯的养成正确的方法可以事半功倍在烙好习惯的形成需要持续的优化和饼问题中，学生通过比较不同的坚持通过烙饼问题，学生理解烙饼策略，体会到方法选择对效了持续改进的价值，这对于形成率的重要影响这种体验可以迁良好的学习习惯和生活习惯有着移到学习方法和生活方式的选择重要启示上思维的严谨数学思维的严谨性在烙饼问题中得到了充分体现学生需要严格按照问题条件进行分析，避免主观假设，这种严谨的态度对于解决各种问题都至关重要教师可以引导学生反思烙饼问题带给自己的启示我们在解决这个问题的过程中，学到了哪些思考方法？这些方法如何应用到其他问题中？通过这种反思，帮助学生形成元认知能力，提升解决问题的能力课堂实录精彩片段趣味对话学生A老师，我妈妈没给我带饼，我可以用什么代替？徐老师（笑）你可以用你的小手当饼，手心和手背分别代表饼的两面学生B老师，如果我们有两口锅，可以同时烙4张饼，那最短时间是多少？徐老师好问题！这就是资源增加后的优化问题，大家可以思考一下学生C我发现一个规律，烙n张饼需要3n+1分钟！徐老师太棒了！你能解释一下你是怎么发现这个规律的吗？互动氛围徐长青老师的课堂充满了生动的互动和思维的碰撞学生们积极参与、勇于质疑、乐于思考，形成了良好的学习氛围在这样的氛围中，学生不仅学到了知识，更重要的是培养了主动探究的态度和解决问题的能力课堂不再是单向的知识传授，而是师生共同参与的思维盛宴案例回顾与提升问题设计1烙饼问题源于生活实际，具有适当的难度和丰富的数学内涵，是一个优秀的统筹优化教学案例教学流程2从趣味引入、问题呈现、动手模拟到数学建模、推理论证、应用拓展，形成了完整的教学链条活动设计3通过角色扮演、小组讨论、竞赛展示等多种形式，使抽象的数学问题变得具体可感教学反思4在教学过程中，注重学生的主体性，关注思维过程，强调数学与生活的联系烙饼问题是小学数学广角优化主题的典型教案通过这个案例，学生不仅学习了特定的问题解法，更重要的是体验了数学思维的过程，感受到了数学在生活中的应用价值这种基于实际问题的教学方式，符合新课标的理念，有助于培养学生的核心素养总结与应用展望烙饼问题的本质烙饼问题本质上是一个资源分配与时间安排的优化问题通过这个问题，我们学习了如何在有限资源条件下，通过合理安排顺序，达到最高效率的目标这种统筹优化的思想，是数学思维的重要组成部分，也是解决各种实际问题的有力工具生活应用展望数学思维的培养统筹优化思想可以应用到生活的方方面面通过烙饼问题的学习，我们培养了以下数学思维能力·学习计划的安排如何合理分配时间，提高学习效率·抽象能力将实际问题抽象为数学模型·家务活动的组织如何安排家务顺序，节省时间和精力·推理能力通过逻辑推理得出最优解·出行路线的规划如何选择最优路线，减少时间和成本·优化意识追求在约束条件下的最优方案·资源使用的优化如何合理利用各种资源，避免浪费·模式识别发现并验证一般规律鼓励学生将数学优化思想应用到日常生活中，用数学的眼光看待世界，用数学的方法解决问题。