有理数分类教学课件

有理数分类教学课件学习目标12理解有理数的含义掌握有理数分类方法掌握有理数的定义和表示方法，理解其在数学体系中的位置能够根据不同标准对有理数进行分类，包括按整数与分数分类、按正负零分类34对常见数进行正确分类培养实际应用与思维能力能够判断一个数是否为有理数，并能正确归类到相应的子集中理解有理数在日常生活中的应用场景，提高数学思维和解决实际问题的能力导入日常生活中的数在我们的日常生活中，各种各样的数无处不在有些情况需要用到正数和负数来表示不同的状态或变化气温变化夏天可能是°的高温，冬天可能达到°的严寒，零度是水的冰点+35C-10C银行存取存款记为正数（），取款记为负数（），账户余额可正可负+-电梯楼层地上楼层用正数表示，地下楼层用负数表示，例如地下二层记为层-2有理数的起源有理数的概念有着悠久的历史，其发展与人类文明的进步紧密相连早期人类只有自然数的概念，用于计数和交易•随着商业和科学的发展，人们需要表示欠债、损失等概念，负数概念应运而生•公元前３世纪，中国古代数学著作《九章算术》中已出现负数的雏形，•用赤筹表示公元７世纪，印度数学家婆罗摩笈多系统地阐述了负数的运算规则•欧洲直到１７世纪才普遍接受负数的概念•现代有理数体系的完善是数学史上的重要突破，为后续数学发展奠定基础•回顾已学知识自然数1自然数是最基本的计数数字，包括１２３等所有用于计数的数,,,...特点只用于表示具体的数量，不能表示部分或负值2整数整数扩展了自然数的概念，包括正整数、０和负整数３...-,２１０１２３-,-,,,,,...分数3特点可以表示正向和负向的完整量，但不能表示部分量分数表示部分量，形式为（０），如１２３４等p/q q≠/,/特点可以精确表示部分量，弥补了整数的不足4小数小数是分数的另一种表现形式，包括有限小数（如０５）和无.限循环小数（如０３３３）....特点使用十进制表示，便于计算和比较有理数的定义有理数的正式定义有理数是指能够表示为两个整数之比的数，即可以写成分数形式的数，其中p/q、都是整数•p q不等于０（分母不能为零）•q、可以约分到最简•p q有理数的范围包括所有整数（可表示为１）•n/所有分数•所有有限小数•所有无限循环小数•有理数的理在中文中有道理的含义，表示这些数是有道理的、可理解的从数学角名称由来度看，有理指这些数可用比（）表示，英文名称中的ratio rationalnumber rational即来源于（比率）ratio有理数（）的名称来源于拉丁文（比率），因为任何Rational Numberratio有理数都可以表示为两个整数的比有理数与其他数整数分数包括正整数、０和负整数可以表示为的数（０）p/q q≠例如５１０３８例如１２３４５２-,-,,,/,-/,/整数都是有理数，可表示为１是有理数的直接表示形式n/无理数有限小数与循环小数不能表示为两个整数之比的数所有有限小数和循环小数例如２例如０５１３３３π,√,e.,....不属于有理数范畴都可以表示成分数形式有理数分类总览按整数与分数分类（二分法）这种分类方法根据数的表现形式将有理数分为两大类整数能表示为１的有理数n/分数不能表示为整数的有理数，即真分数和假分数（除去整数）例如５是整数，３４是分数/按正、负、零分类（三分法）这种分类方法根据数值的大小关系将有理数分为三类正有理数大于０的有理数负有理数小于０的有理数零既不是正有理数也不是负有理数两种分类方法各有用途例如５、１２是正有理数，３、２７是负有理数，０是零/--/按整数与分数分类，强调数的表示形式，有助于运算方法的选择•按正负零分类，强调数的大小关系，有助于实际问题的分析•整数（有理数分类一）负整数零正整数小于０的整数，例如１２３既不是正数也不是负数的特殊整数大于０的整数，例如１２３-,-,-,...,,,...可表示为负的整数与１的比１１２１可表示为０１可表示为正的整数与１的比１１２１-/,-/,...//,/,...在数轴上位于０的左侧在数轴上是原点在数轴上位于０的右侧所有整数都是有理数，因为它们都可以写成分数形式，分母为１例如整数分数形式有理数类型５５１负有理数--/００１零/８８１正有理数/分数（有理数分类一）分数的基本形式分数的不同形式分数是有理数的最基本表现形式，定义为分类示例特点真分数２５３７分子绝对值小于分母绝对值/,-/分数的分类假分数７４９２分子绝对值大于等于分母绝对值/,-/正分数分子分母同号，值大于０例如３/４,-５/-６等于５/６带分数１又２/３,-２又１/４整数与真分数的和负分数分子分母异号，值小于０例如２７５９等于５９-/,/--/零分数分子为０，值等于０例如０５等于０/特殊情况分母不能为０，因为除以０是没有意义的重要提示小数（有限与循环）有限小数循环小数有限小数是指小数点后有有限位数字的小数循环小数是指小数点后某一位起，有一组数字不断重复出现的小数例如０.３,２.５６,-１.７５例如０.３３３...简写为０.３̅,１.４１４１４１...简写为１.４̅１̅有限小数可以写成分母是１０的整数次幂的分数循环小数也可以表示为分数形式•０.３=３/１０•０.３̅=１/３•２.５６=２５６/１００•０.９̅=９/９=１•-１.７５=-１７５/１００=-７/４•１.４̅１̅=１４１/９９因此，所有有限小数都是有理数所有循环小数都是有理数，并且可以通过特定的方法转换为分数这是一个重要的性质，它表明所有循环小数都能表示为两个整数的比按正负分类正有理数负有理数正有理数是指大于０的有理数，包括负有理数是指小于０的有理数，包括所有正整数１２３所有负整数１２３•,,,...•-,-,-,...所有正分数１２３４所有负分数１２３４•/,/,...•-/,-/,...所有正小数０５２７０３３３所有负小数０５２７０３３３•.,.,....•-.,-.,-....特点在数轴上位于原点的右侧，表示正向的量特点在数轴上位于原点的左侧，表示负向的量零零是一个特殊的有理数，它既不是正有理数也不是负有理数•可以表示为０１０２０３•/,/,/,...所有形如０（０）的分数都等于零•/q q≠特点在数轴上是原点，表示没有量或平衡状态按正负分类是有理数最基本的分类方法之一，对于理解数的大小关系和实际应用非常重要例如，在表示温度变化、财务盈亏、物体运动方向等问题时，正负分类能够直观地反映实际情况分类树结构演示上图展示了有理数的完整分类体系这种树状结构帮助我们清晰地理解有理数的各个子集之间的关系第一层有理数所有能表示为（０）形式的数p/q q≠第二层按整数与分数分类整数（如５０３）与分数（如１２２３）-,,-/,/第三层按正负零分类正整数、零、负整数、正分数、负分数第四层表示形式各种具体数值的表示方式理解这种分类结构有几个关键点每个整数都是有理数，但不是每个有理数都是整数•零是整数，但既不是正数也不是负数•正有理数和负有理数分别包含相应的整数和分数•任何有理数都只能属于一个最小的分类类别•符号表示有理数的标准符号表示类型数学符号示例正有理数通常不加符号，有时加５５２３２３+,+,/,+/负有理数必须加符号５２３０５--,-/,-.零０００１００,/,.重要规则正数前的符号可以省略•+负数前的符号不能省略•-零既不用也不用•+-负号与减号的区别虽然符号相同，但负号是表示数的性质，减号是表示运算如常见错误５（负号）表示数负五•-省略负数前的负号，如将２错写成２-８５（减号）表示８减去５的运算•-给零加正负号，如０或０（在标准数学中，０００）+-+=-=在编程和一些科学计算中，可能会区分０和０，但在中学数学中，零就是零，没有正负之分+-正确使用符号是数学表达的基础，也是避免计算错误的重要一环在解答问题时，要特别注意负数符号的使用典型示例分类判断1请对下列数进行分类５、０、４５、８３-/-.按整数与分数分类按正负零分类整数５０正有理数４５-,/分数４５８３（可写成８３１０）负有理数５８３/,-.-/-,-.零０分析过程５的分类４５的分类-/可以表示为５１，是有理数已经是分数形式，是有理数•-/•是整数，因为分母为１不是整数，是分数••是负有理数，因为小于０是正有理数，因为大于０••０的分类８３的分类-.可以表示为０１，是有理数可以表示为８３１０，是有理数•/•-/是整数，因为分母为１不是整数，是分数（有限小数）••是零，既不是正有理数也不是负有理数是负有理数，因为小于０••这个例子展示了如何系统地对不同形式的有理数进行分类掌握这种分类方法，有助于我们更深入地理解有理数的性质和结构典型示例混合运用2请对下列数进行全面分类０２５０３８１３７.,-.,,-/数有理数形式整数分数正负零最终分类///０２５１４分数正正分数./０３８１９５０分数负负分数-.-/１１１整数正正整数/３７３７分数负负分数-/-/分析过程０２５的分类１的分类.这是一个有限小数，可以转化为分数这是一个整数，可以表示为是分数，不是整数是整数，因为分母为１••值大于０，是正有理数值大于０，是正有理数••最终分类正分数最终分类正整数••０３８的分类３７的分类-.-/这是一个负的有限小数，可以转化为分数这已经是分数形式是分数，不是整数是分数，不是整数••值小于０，是负有理数值小于０，是负有理数••最终分类负分数最终分类负分数••这个例子演示了如何对各种形式的有理数进行全面分类注意小数需要先转换为分数形式，才能确定其在有理数中的准确位置易错点分析易错点一混淆正负号错误示例正确分析认为-３/-４是负分数-３/-４=３/４，是正分数（负负得正）认为５/-２是正分数５/-２=-５/２，是负分数（正负得负）易错点二忽视零的特殊性错误示例正确分析将０归类为正数或负数０既不是正数也不是负数混淆０/５与５/００/５=０，而５/０无意义易错点三小数与分数转换错误示例正确分析认为０.６不是有理数０.６=６/１０=３/５，是有理数认为０.３３３...不是有理数０.３３３...=１/３，是有理数数轴上的有理数数轴的基本结构数轴的作用数轴是一条直线，上面标有刻度直观展示有理数的大小关系••原点对应数０帮助理解有理数的密度性质••正方向（通常是右方）对应正数作为坐标系的基础••负方向（通常是左方）对应负数辅助理解有理数的加减运算••相邻整数点之间的距离相等•实例在数轴上标出点有理数在数轴上的表示标出２３２０１５３这些点的步骤-,-/,,,/每个有理数都对应数轴上的一个点•画一条水平直线，标出原点０

1.整数对应数轴上的整数点•确定单位长度，标出整数点２１０１２

2.-,-,,,分数对应整数点之间的点•将区间１０等分为２份，标出１２

3.[-,]-/相等的有理数对应同一个点（如１２与２４）•//将区间２１等分为２份，标出３２

4.[-,-]-/将区间１２等分为３份，标出５３

5.[,]/数轴是理解有理数的重要工具，它将抽象的数与几何位置联系起来，使数的大小关系一目了然数轴上，越在右边的数越大，越在左边的数越小生活中的正有理数温度上升当气温从１５°C上升到２０°C时，温度变化是+５°C在寒冷的冬天，气温从-１０°C上升到-５°C，变化同样是+５°C收入增加小李这个月收入比上个月增加了５００元，这个增加量可以表示为+５００元质量增长小明参加体育锻炼一个月后，体重从６０千克增加到６２.５千克，增加了２.５千克高度提升电梯从１楼上升到５楼，上升了４层其他正有理数实例场景数值有理数形式生活中的负有理数水位下降水库水位从上周的１５米下降到本周的１３５米，变化是１５米.-.金融亏损公司上季度亏损了２００万元，可以表示为２００万元-负债情况小张的信用卡透支了３００元，账户余额可以表示为３００元-温度降低一场冷空气使气温从５°降到８°，变化是１３°C-C-C其他负有理数实例场景数值有理数形式海拔高度死海４３０米４３０--体重减轻减少２５千克２５５２.-.=-/降价幅度降价１５１５１００３２０%-/=-/时区差异比北京慢３小时３-负有理数在生活中通常表示减少、下降、反向变化或不足它们代表了数量的减少或消极的变化趋势零的特殊作用零的基本概念零是一个特殊的有理数，既不是正数也不是负数它在数学和实际应用中有着独特的地位表示没有量或空集•表示起点或参考点•表示平衡状态•零的数学性质任何数加零等于该数本身０•a+=a任何数减零等于该数本身０•a-=a任何数乘以零等于零×００•a=零除以任何非零数等于零０÷０（０）•a=a≠任何数除以零是无意义的•零在生活中的应用场景零的含义温度计上的０°水的冰点，温度的参考点C海平面高度０米高度测量的参考点账户余额０元既不欠款也无存款的平衡状态体重变化０千克表示体重没有变化有理数与无理数对比定义对比1有理数能表示为两个整数之比（，０）的数p/q q≠无理数不能表示为两个整数之比的数小数表示2有理数表示为有限小数或无限循环小数无理数表示为无限不循环小数典型例子3有理数１２０５，１３０３３３，２２７３１４２８５７/=./=..../≈....无理数２１４１４２１３５，３１４１５９２６√≈....π≈....数轴上的分布4有理数在数轴上分布稠密，但有空隙无理数填补了有理数之间的空隙尽管和２等无理数常用小数近似值表示（如３１４或１４１），但它们的精确值永远不能用有限小数或循环小数π√..表示无理数与有理数共同构成了实数系统值得注意的是，初中阶段主要学习有理数，无理数将在高中阶段进一步深入学习拓展有理数的密度性什么是密度性？有理数的密度性是指在任意两个不同的有理数之间，总能找到无穷多个其他的有理数数学表述对于任意两个有理数和（），总存在有理数，使得a bab cacb证明方法一种常用的方法是取两数的平均值显然，acb举例说明在１３和１２之间找有理数//验证１３４１２５１２６１２１２/=///=/拓展思考在任意两个有理数之间，不仅可以找到一个有理数，实际上可以找到无穷多个有理数！密度性的实际意义说明数轴上有理数的分布非常稠密•无论如何放大数轴的某一部分，总能找到有理数点•有助于理解测量的精确性问题•为理解连续性奠定基础•拓展有理数与数轴数轴的无限性有理数与无理数的共存数轴向左右两侧无限延伸，对应着有理数的尽管有理数在数轴上分布稠密，但仍有空隙无限性，这些空隙被无理数填补正有理数可以无限大１１０１００有理数点在数轴上处处稠密•,,,•１０００,...但有理数点的数量仍不足以覆盖整个数轴•负有理数可以无限小１１０１•-,-,-数轴上的每一点要么对应一个有理数，•００１０００,-,...要么对应一个无理数数轴的可分性思考问题数轴上任意一段可以无限分割，对应有理数的密度性如果数轴上有理数点已经处处稠密，为什么还需要无理数？１和２之间有无穷多个有理数•答尽管有理数在数轴上稠密分布，１５和１６之间也有无穷多个有理数•..但仍然有些点不能用有理数表示，任意小的区间内都有无穷多个有理数•如２对应的点数轴上的每一点√都需要一个数来对应，这就需要引入无理数典型分类题选择题判断下列各数中，既是正数又是分数的是（）２３２３０５A.-/B./C.D.选项分析我们需要找出既是正数又是分数的数正数大于０的数•分数不是整数的有理数•２３A.-/这是一个负分数（小于０），不是正数不符合条件２３B./这是一个正分数（大于０），且不是整数符合既是正数又是分数的条件０C.０既不是正数也不是负数，所以不是正数不符合条件５D.５是正数（大于０），但它是整数而不是分数不符合条件因此，正确答案是２３既是正数（大于０），又是分数（不是整数），满足题目要求B/应用题实际分类例题根据实际情况分类小明的银行账户在以下变化后，请判断账户余额分别属于何种有理数余额为０元，存入２００元气温从５°升高７５°

1.

4.-C.C分析变化为２００元，余额为０２００２００元分析变化为７５°，最终温度为５７５２５°++=+.C-+.=.C分类２００是正整数，属于正有理数分类２５是正分数（可写成５２），属于正有理数./余额为５００元，取出７００元（透支）某药物每次服用剂量为成人剂量的２３

2.

5./分析变化为７００元，余额为５００７００２００元分析剂量是成人剂量的２３--=-/分类２００是负整数，属于负有理数分类２３是正分数，属于正有理数-/余额为１００元，还款１００元

3.-分析变化为１００元，余额为１００１０００元+-+=分类０既不是正有理数也不是负有理数，是零分组讨论讨论主题如何有效区分整数与分数分成小组，讨论以下问题如何快速判断一个有理数是整数还是分数？

1.有限小数何时可以化为整数？何时一定是分数？

2.循环小数能否是整数？为什么？

3.整数与分数在实际应用中有何不同？

4.分享观点各小组代表分享讨论结果，可以包括判断方法和技巧•易混淆的情况及解决方法•实际应用中的例子•参考答案整数与分数的快速判断看能否表示为的形式，或者小数部分是否为n/10有限小数的判断小数部分为时是整数，否则是分数0循环小数的判断纯循环小数是整数，其他循环小数都是分数

0.

999...=1归纳小结有理数的定义1有理数是能表示为两个整数之比（，）的数，包括整数和分数p/q q≠02有理数的表示形式有理数可以表示为分数、小数（有限小数或循环小数）、百分数等形式有理数的分类方法3按整数与分数分类整数、分数按正负零分类正有理数、负有理数、零4分类判断的关键整数判断能否表示为的形式n/1正负判断与的大小比较有理数的重要性质50密度性任意两个不同的有理数之间，总有无穷多个有理数在数轴上有理数对应数轴上的点，但不能覆盖所有点通过本节课的学习，我们全面了解了有理数的概念、表示方法和分类体系这些知识是理解数学体系的基础，也是解决实际问题的重要工具能力提升推荐拓展阅读《数学的故事》了解数的发展历史•《数学之美》探索数学在实际生活中的应用•《思考的乐趣》提升数学思维能力•进阶学习内容有理数的四则运算•无理数的概念和性质•实数系统的构建•数轴与坐标系•相关学科链接物理学中的测量与误差•化学中的物质量计算•计算机科学中的数值表示•思维训练题挑战一分类填空在内填入适当的有理数，使其符合要求[]一个正分数

1.[]一个负整数

2.[]一个既不是整数也不是分数的数

3.[]挑战二创造性思考课后作业与答疑课后习题判断下列各数是否为有理数，并说明理由２３０２５４０１２１２１２/,.,-,....,π将下列各数分类为整数或分数，正数或负数或零７０３４２５１０-,,/,-.,.在数轴上标出点３３２０２５２

3.-,-/,,,/找出１４与１２之间的三个有理数

4.-//某商品原价１００元，打８５折后又降价１５元，最终价格是多少？这个价格是哪种有理数？

5..常见问题解答问如何判断一个循环小数是否为有理数？答所有循环小数都是有理数，可以转化为分数形式问零是正数还是负数？答零既不是正数也不是负数，是一个特殊的有理数更多常见问题问２０是整数还是分数？答２０２，是整数小数部分为０的数等同于整数..=问如何区分有理数和实数？答有理数是实数的子集有理数可以表示为两个整数之比，而实数包括有理数和无理数问分数１３写成小数是什么？答１３０３３３，是无限循环小数//=....问生活中哪里会用到负分数？答比如温度变化（下降２５度可表示为２５度或５２度）、欠款（欠１５元可表示为.-.-/.１５元或３２元）等-.-/。