植树问题课件和教学设计

植树问题课件与教学设计什么是植树问题？植树问题是小学数学中一类经典的应用题，它的基本模型是在一条线上等距离种树这类问题看似简单，实则包含了重要的数学思想，对培养学生的应用能力和数学建模思维有重要价值植树问题的核心在于理解间隔与树木数量之间的关系根据两端是否种树，我们可以将植树问题分为三种基本情况两端都植树（闭区间模型）•两端都不植树（开区间模型）•只在一端植树（半开区间模型）•生活中的植树问题道路绿化围墙栽树旗杆排列城市和乡村的道路两旁常常种植整齐的行道树，学校、公园或住宅区的围墙周围经常种植树木，操场上的旗杆、广场上的灯柱等也是按照等距离不仅美化环境，还能提供荫凉这些树木通常按形成封闭的种植模式这种情况下需要考虑拐角排列的，这也是植树问题的一种应用场景等距离种植，是最常见的植树问题实例处是否重复计算植树问题和数学建模植树问题是数学建模思想的优秀载体所谓数学建模，就是将实际问题抽象为数学模型，通过数学方法求解，再将结果回归到实际问题中在植树问题中，我们需要观察实际情况，确定两端是否种树

1.将连续的距离抽象为间隔数量

2.建立间隔数与树木数量的关系模型

3.应用模型求解问题

4.检验结果是否符合实际情况

5.通过植树问题的学习，学生可以发展以下数学思想模型思想学会将实际问题抽象为数学模型化归思想将新问题归结为已知模型分类思想根据不同情况建立不同模型两端都植树情境描述123情境特点实例场景模型识别在两端都植树的情况下，起点和终点各有一例如，一条直路从点到点，需要等距离当题目明确表述两端各种一棵或从到A B......棵树这种情况常见于道路两头没有障碍物，种树，且点和点处各种一棵树在城市共种时，通常是两端都植树的情况这种A B...可以自由种植的场景绿化带、公园步道等场所常见这种情况情况对应数学中的闭区间模型两端都植树间隔与棵树数关系规律发现当两端都植树时，我们可以发现一个重要规律树木数=间隔数+1这个规律可以通过以下例子直观理解•1个间隔需要2棵树•2个间隔需要3棵树•3个间隔需要4棵树•4个间隔需要5棵树这个规律的数学本质在于当两端都植树时，n个间隔将一条线段分成n+1个点，每个点上种一棵树解题步骤

1.确定总距离和间隔距离

2.计算间隔数=总距离÷间隔距离两端都不植树情境描述情境特点实例场景两端都不植树的情况下，起点和终点处不种树，只在内部等距离种植这种情况通常出现在道路两端有障碍物或特殊设施的场景例如，一条长廊两端有门，门口不能种树；或者围墙内侧需要种树，但拐角处不种等情况如图所示，长廊的两端各有一扇门，门口不适合种植树木，因此只能在中间部分等距离种植在教学中，可以设计情境学校有一条米的走廊，两端各有一个门，需要在走廊内侧每100隔米种一棵盆栽，请问需要多少棵盆栽？10两端都不植树间隔与棵树数关系规律发现当两端都不植树时，我们可以发现一个重要规律树木数间隔数=-1这个规律可以通过以下例子直观理解个间隔需要棵树•21个间隔需要棵树•32个间隔需要棵树•43个间隔需要棵树•54这个规律的数学本质在于当两端都不植树时，个间隔将一条线段分成个内部点，每个内部点上种一棵树n n-1解题步骤确定总距离和间隔距离

1.计算间隔数总距离÷间隔距离

2.=应用公式树木数间隔数

3.=-1检验结果是否合理

4.示例一条长米的走廊，两端各有一扇门，需要在内侧每隔米种一棵盆栽，求需要多少棵盆栽？10020间隔数÷=10020=5只种一端拓展情境在实际生活中，有时我们会遇到只能在一端种树的情况例如步道的一头是建筑物或其他障碍物，只能从另一端开始种植•围墙的一角不适合种树，需要从另一端开始等距离种植•装饰性栽植时，可能设计上只要求从一端开始种植•这种情况在数学上对应半开区间模型，它是两端都植树和两端都不植树这两种基本模型的结合在教学中，可以设计这样的情境学校操场的一侧有一条米长的直线步道，一端连接教学楼不能种树，需要80从另一端开始每隔米种一棵树请问需要种多少棵树？10只种一端规律分析规律发现数学解释示例应用当只在一端种树时，我们可以发现这个规律的数学本质在于一条长米的步道，一端连接建筑物不能80种树，从另一端开始每隔米种一棵树20树木数间隔数当只在一端种树时，如果从第一个点开始种，=求需要多少棵树？那么个间隔对应个位置点n n这个规律可以通过以下例子理解间隔数÷=8020=4可以理解为两端都植树模型的变形，只是个间隔需要棵树•11最后一个点不种树；或者理解为两端都不个间隔需要棵树•22植树模型的变形，只是在起点种树个间隔需要棵树•33个间隔需要棵树•44间隔的概念间隔的定义在植树问题中，间隔是指相邻两棵树之间的距离理解间隔的概念是解决植树问题的关键需要注意的是，间隔数与树的数量不同例如，棵树之间有个间隔，而不是个434间隔数的计算当我们知道总距离和每棵树之间的间隔距离时，间隔数可以通过以下公式计算间隔数总距离÷间隔距离=实例理解例如，一条米长的道路，每隔米种一棵树，那么10025不同植树方案对比种植方案间隔数树木数公式关系两端都种树木数间隔数n n+1=+1两端不种树木数间隔数n n-1=-1只种一端树木数间隔数n n=通过上表可以清晰地看出三种不同植树方案下，间隔数与树木数的关系在教学中，可以引导学生通过实例和图示来理解这些关系，而不是简单地记忆公式可以设计这样的问题一条米长的道路，每隔米种一棵树，如果采用不同的种植方案，分别需要多少棵树？12030间隔数÷个间隔•=12030=4两端都种棵树•4+1=5两端不种棵树•4-1=3植树问题常见误区误区一仅根据总距离除以间隔误区二混淆间隔数和树的数量误区三忽视实际情境计算有些学生认为间隔数就等于树的数量，这有些学生机械地应用公式，而不思考实际许多学生简单地用总距离除以间隔距离，是对植树问题的根本误解情境例如，当题目说每隔米种一棵树5认为结果就是树的数量这忽略了两端是时，没有认真分析两端是否种树正确理解间隔是树与树之间的距离，间否种树的关键条件，导致计算错误隔数与树木数的关系取决于两端是否种树正确方法仔细阅读题目，判断两端是否正确做法先计算间隔数，再根据两端是种树，选择正确的模型否种树选择相应公式案例米路一边每米植树1205我们来分析一个具体案例一条长米的路，一边每隔米种一棵树分别考虑205三种不同的种植方案情境分析首先计算间隔数间隔数÷个间隔=205=4三种方案计算两端都种树木数棵=4+1=5两端不种树木数棵=4-1=3只种一端树木数棵=4板书设计可以在黑板上画出三种不同的种植方案，用点表示树，用线段表示间隔，直观展示间隔数与树木数的关系教学建议让学生通过小棒或其他道具模拟种树过程，亲自动手摆放，观察不同种植方案下树木的数量，加深对规律的理解动手操作摆小棒模拟材料准备小组合作观察总结准备一些小棒（如冰棍棒、筷子等）作为树，将学生分成小组，每组给一个植树任务，如通过动手操作，引导学生观察树与间隔的对应关10准备尺子或绳子作为路让学生亲自动手摆放，厘米长的线段，每隔厘米种一棵树让他们分系，发现不同种植方案下间隔数与树木数的规律2体验不同植树方案别尝试三种不同的种植方案，记录每种方案需要让学生自己总结出公式，而不是直接给出的树木数量课堂讨论实际选用哪种方案？讨论内容在实际生活中，我们应该根据具体情况选择合适的植树方案可以组织以下讨论什么情况下适合两端都植树？

1.什么情况下适合两端都不植树？

2.什么情况下适合只种一端？

3.不同方案对总成本有何影响？

4.情境案例可以设计一些实际情境让学生讨论学校操场周围需要种树，但四个角落各有一个照明灯柱，应该采用哪种方案？•一条步行街两端各有一个雕塑，需要在两侧种植树木，应该如何设计？•一条米长的道路，每隔米种一棵树，三种方案分别需要多少棵树？在预算有限的情况下应该选择哪种方案？•10010多步应用题围成四边形123问题情境解题思路例题分析在实际应用中，我们常常会遇到更复杂的植树问题，如在一个矩形场地的四周将封闭图形的植树问题分解为多个线段上的植树问题，然后注意处理交点处的一个长米、宽米的矩形操场，四周每隔米种一棵树，四个角落也要种805010等距离种树这类问题需要考虑拐角处的树木是否重复计算重复计算问题树求需要多少棵树？解题过程计算四边的间隔数

1.长边间隔数÷（两条长边共个间隔）•8010=816宽边间隔数÷（两条宽边共个间隔）•5010=510总间隔数•=16+10=26按照两端都种的模式计算

2.每条边树木数间隔数•=+1四边合计棵•8+1+8+1+5+1+5+1=30考虑重复计算问题

3.四个角落的树被重复计算了一次•需要减去重复计算的树木数棵•4最终树木数棵•=30-4=26高阶拓展环形植树环形植树的特点环形植树是一种特殊的植树情况，它没有起点和终点的区分，是一个封闭的循环在环形上等距离种树时，有一个重要规律树木数间隔数=这个规律的数学本质在于在封闭图形中，点的数量等于边的数量例题分析一个周长为米的圆形操场，沿着跑道每隔米种一棵树求需要多少棵树？20020间隔数÷=20020=10树木数棵=10生活实际问题案例校园大道绿化操场围栏植树居民区围墙绿化学校希望在米长的校园大道两旁种植树木，一个长米、宽米的矩形操场，要在四周一个小区围墙内侧需要每隔米种一棵树，围墙500100608每隔米种一棵，道路两端各有一个标志性建围栏外侧每隔米种一棵树，拐角处也要种问呈正方形，每边长米，四个拐角处不适合种105200筑，那里也需要种树问需要多少棵树？需要多少棵树？树问需要多少棵树？分析两端都种，间隔数÷，分析两条长边间隔数共个，两条宽边间隔=50010=5040树木数棵两边各种棵，数共个，总间隔数个四边各按两端都=50+1=51512464共棵种计算后减去个重复计数的角，得到102464+4-棵4=64植树问题公式归纳n+1n-1n n两端都植树两端都不植树只种一端环形植树当两端都植树时，个间隔需要当两端都不植树时，个间隔需要当只种一端时，个间隔需要棵树在环形或封闭图形上等距离种树时，n n n n棵树这适用于道路两端无障棵树这适用于道路两端有障这是一种混合情况，适用于只有一个间隔需要棵树这适用于操场、n+1n-1nn碍，可以自由种植的情况碍物或特殊设施的情况端可以种植的场景环形道路等封闭场景建模思维培养观察探究猜想假设引导学生观察实际生活中的植树现象，发现不同情况下的种植模式例鼓励学生根据观察结果提出猜想不同种植方式下，间隔数与树木数可如，校园道路、公园步道等场所的植树方式能存在什么样的关系？让学生自己尝试归纳规律验证规律应用拓展通过实例计算、动手操作或图示分析，验证猜想的正确性让学生解释鼓励学生将发现的规律应用到新的问题中，如封闭图形的植树问题、不为什么会有这样的规律，加深对规律的理解规则图形的植树问题等，培养迁移能力教学目标设计123知识目标能力目标情感目标理解植树问题的基本概念和分类培养数学建模能力，能将实际问题抽象体会数学与生活的密切联系，增强学习•••为数学模型数学的兴趣掌握三种基本植树模型及其对应的计算公式•发展逻辑推理能力，能分析问题的条件培养细心、严谨的学习态度和习惯能够根据具体情境选择合适的计算模型•••和结构发展合作意识，乐于与他人交流和分享理解间隔数与树木数之间的关系••提高解决实际问题的能力，能灵活应用•增强环保意识，关注植树造林和环境保护•所学知识培养空间想象能力，能通过图示理解植树问题•教学重点与难点教学重点教学难点理解间隔与树木数的关系明确间隔是两端是否植树对树数的影响理解为什树与树之间的距离，而不是树的数量么两端都植树、两端都不植树、只种一端会导致不同的树木数量掌握三种基本植树模型两端都植树、两端都不植树、只种一端，及其对应的复杂情境的分析如封闭图形的植树问计算公式题，需要考虑重复计算的问题根据情境选择模型能够根据题目描述实际问题的建模将生活中的植树问题判断使用哪种植树模型抽象为数学模型，选择合适的解题策略计算间隔数正确计算总距离除以间隔距离得到间隔数课堂导入策略节日引入生活故事实践活动借助植树节（月日）这一时间节点，讲述植讲述一个与学生生活相关的故事，如学校要在操组织学生进行一个简单的种树活动，如在黑板312树节的由来和意义，引导学生思考植树造林的重场周围种树，需要计算树木的数量和成本，引发上画一条线段，让学生用粉笔在线段上种树，要性，然后自然过渡到植树问题的数学模型学生思考如何解决这类问题体验不同种植方案的区别教学活动设计小组讨论动手操作将学生分成小组，给每组一个植树问题的情境准备一些小棒和尺子，让学生亲自动手模拟植卡片，让他们讨论如何解决例如，一条树过程，直观感受间隔与树木数的关系可以米长的道路，每隔米种一棵树，问需设计不同的操作任务，如在厘米长的线段1002010要多少棵树？各组可以采用不同的种植方案，上，每隔厘米种一棵树，分别试试三种不同2比较结果的差异的种植方案逐步推理交流分享引导学生通过具体实例，一步步推导出三种植树模型的计算公式例如，从个间隔开始，1逐渐增加到个、个、个间隔，观察树木234数量的变化规律，归纳出公式数学与生活的联系道路绿化公园设计城市和乡村道路两旁的行道树通常是等距离种植的，这是植树问公园中的树木、灯柱、座椅等设施的布置也常常涉及到等距离排题的典型应用可以引导学生观察自己上学路上的行道树，思考列的问题可以组织学生参观附近的公园，观察这些设施的排列它们是如何种植的方式农业生产建筑工程农作物的种植也需要考虑间距问题，不同的作物有不同的最佳种建筑工程中的柱子、栏杆、窗户等构件的排列，也常常涉及到等植间距可以介绍一些农业生产中的实际案例，拓展学生的视野距离的问题可以引导学生观察校园建筑，发现这些数学规律板书和设计建议PPT板书设计设计PPT板书应简洁明了，层次分明，突出重点应注重视觉效果，辅助教学可以PPT可以采用以下结构包含以下内容标题植树问题生活实例展示各种植树场景的图片基本概念间隔、间隔数、树木数动态演示通过动画展示不同种植方案的过程三种模型用图示表示三种植树方式对比表格直观展示三种模型的异同计算公式用表格整理三种模型的公式计算步骤分步骤展示解题过程例题分析至少一个详细的例题解析练习题提供一些有层次的练习题板书中应多使用图示，如用点表示树，用线段表示间隔，直观展示三种模型的区别课堂评价与反思及时检测误区纠正难点突破在教学过程中，设置一些小测验或练习，及针对常见的误区，如只按总距离除以间隔计对于理解困难的学生，可以采用更具体的操时检测学生的理解情况例如，可以设计一算树木数，或混淆间隔数和树木数等，设计作方法，如用实物模型、图示或动画来辅助些选择题，让学生判断给定情境应该采用哪一些陷阱题，引导学生发现错误并纠正理解也可以安排学习小组，让理解较好的种植树模型学生帮助其他同学还可以使用小黑板或答题卡，让学生同时展可以将错误解法展示出来，让学生找出错误示自己的答案，教师一目了然地掌握全班的所在，培养批判性思维学习情况后续延展与家庭作业生活中的植树问题实际测量与设计鼓励学生在日常生活中寻找植树问题的可以布置以下家庭作业实例，如测量家门前的一段路，如果要等距离

1.观察并记录上学路上的行道树种植情况种树，分别按三种方案计算需要多少•棵树调查家附近公园的树木、灯柱等设施为自家小区或学校设计一个植树方案，•

2.的排列方式考虑美观和成本因素搜集有关植树造林的新闻报道或图片查阅资料，了解不同树种的最佳种植•

3.间距，并解释原因让学生将观察结果记录下来，尝试用所学的知识进行分析总结与提升建模思维实践应用植树问题是数学建模思想的绝佳载体，通过学习植树问题与生活紧密相连，学生可以在日常观察植树问题，学生能够体会到将实际问题抽象为数中发现这类问题，并运用所学知识解决实际问题，学模型的过程，培养建模能力体会数学的实用价值创新意识思维拓展鼓励学生提出新问题、新假设，如研究不规则图通过植树问题的学习，学生可以发展多种数学思形的植树问题、变间距的植树问题等，培养创新想，如模型思想、化归思想、分类思想等，提高意识和探究精神数学思维能力。