比的化简微课教学课件

比的化简微课教学课件导入生活中的比比是我们日常生活中无处不在的数学概念，它帮助我们描述不同量之间的关系水果拼盘中的比例当我们准备一盘水果沙拉时，我们可能会关注苹果和香蕉的数量比比如，3个苹果和6个香蕉，这就形成了一个3:6的比班级男女生比例一个班级里有20名男生和25名女生，男女生人数比就是20:25这种比例关系帮助我们理解班级的性别构成日常生活中的其他比例调制饮料时的配料比例、建筑设计中的黄金比例、食谱中各种原料的比例，这些都是比在实际生活中的应用复习什么是比比的定义比的表示方法生活中的比比是两个量相互比较的结果，表示一个量是比通常用a:b的形式表示，其中a称为比的我们在日常生活中经常遇到比的概念-食另一个量的几倍比反映了两个量之间的倍前项，b称为比的后项例如，5:3表示前项谱中调料的比例-工资与支出的比例-长方形数关系是5，后项是3的长与宽的比-混合物中各成分的比例比与除法、分数的联系三种表达方式的等价性比、除法和分数是描述同一种数量关系的三种不同方式比的形式a:b表示将一个量与另一个量进行比较除法形式理解比、除法和分数之间的联系，有助于我们灵活运用这些概念解决实际问题比如a÷b表示一个量除以另一个量在配制溶液时，我们可能会说溶质与溶剂的比是1:5，这也意味着溶质的量是溶剂的1/5，或者溶质除以溶剂等于1/5分数形式a/b表示部分与整体的关系这三种表达方式在数值上是完全等价的，只是用途和语境可能不同例如•3:4=3÷4=3/4=

0.75•5:2=5÷2=5/2=

2.5•7:14=7÷14=7/14=1/2=

0.5学习目标12理解化简比的必要性掌握比的化简方法学生将能够解释为什么在实际应用中学生将能够熟练运用比的基本性质，需要将比化简为最简形式，以及这样找到前项和后项的最大公因数，并用做的好处通过实际例子，理解化简它来化简比能够处理包含整数、小比的意义和价值数和分数的各种类型的比3能解决简单实际问题学生将能够应用比的化简知识解决日常生活中的实际问题，如配方比例、混合物组成等能够将理论知识转化为解决问题的实际能力为什么要化简比化简比的重要性化简比不仅仅是数学运算的需要，更是理解和应用比概念的关键让我们来看看为什么化简比如此重要便于理解与比较化简后的比更加直观和清晰，便于我们理解数量间的实际关系例如，50:100和1:2表达的是相同的比例关系，但1:2更简洁明了，更容易被理解和记忆提高运算效率在进行比的运算（如比的合成、比的比较等）时，使用最简比可以大大减少计算量，避免处理过大的数字，从而提高运算效率和准确性强化数量间本质联系化简比能帮助我们看清数量间的本质关系，忽略具体数值的干扰例如，24:36和2:3本质上是相同的，这反映了数量间一种深层次的数学联系在实际应用中，化简比也有着重要意义例如，在配制药物时，如果比例是25:75，化简为1:3后更容易按比例增减剂量；在建筑设计中，使用最简比例可以更好地保证结构的协调与美观此外，化简比也是解决更复杂比例问题的基础当我们学习比例、相似、等比数列等高级概念时，如果不能熟练地化简比，就会在后续学习中遇到困难概念比的化简比的化简是将一个比化为最简整数比的过程具体来说最简整数比的定义将比化为前项和后项都是整数，且它们没有公因数（除了1以外）的形式，称为最简整数比比的前项与后项在形如a:b的比中，a称为前项，b称为后项化简比就是要求这两个项互质（没有公因数）化简的本质化简比的本质是找到前项和后项的最大公因数，然后将两项同时除以这个最大公因数，得到最简整数比例如，要化简比8:

121.找出8和12的最大公因数

42.将8和12都除以48÷4=2，12÷4=

33.得到最简整数比2:3化简后的比2:3与原比8:12表示相同的比例关系，但形式更加简洁，更易于理解和应用比的基本性质同乘性质比的前项和后项同时乘以同一个非零数，比的值不变例如2:3=2×4:3×4=8:12同除性质比的前项和后项同时除以同一个非零数，比的值不变例如8:12=8÷4:12÷4=2:3等值条件两个比a:b和c:d相等的充分必要条件是a×d=b×c例如2:3=8:12，因为2×12=3×8比的基本性质与分数的基本性质非常相似实际上，如果我们将比a:b看作分数a/b，那么比的同乘同除性质就对应着分数的基本性质分子和分母同乘或同除一个非零数，分数的值不变这一基本性质是比的化简的理论基础正是因为比的前项和后项可以同时除以它们的公因数而不改变比的值，我们才能将比化简为最简整数比例题基本性质操作例题演示让我们通过具体例题来理解比的基本性质例题一化简3:12根据比的基本性质，比的前项和后项同除以313:12=3÷3:12÷3=1:4这里我们找到了前项和后项的公因数3，将两项同时除以3，得到化简后的比1:4例题二化简4:16根据比的基本性质，比的前项和后项同除以424:16=4÷4:16÷4=1:4这里我们找到了前项和后项的公因数4，将两项同时除以4，得到化简后的比1:4从这两个例题可以看出，虽然原始的比不同（3:12和4:16），但它们化简后的结果是相同的（都是1:4）这说明不同的比可以表示相同的比例关系这种情况类似于分数的等值类，如1/

4、2/

8、3/12都是等值的分数在比的世界里，1:

4、2:

8、3:12等都表示相同的比例关系练习比的值不变思考问题观察以下三个比5:

10、10:

20、1:2它们的比值有什么关系？为什么会有这种关系？5:101前项5后项10210:20前项÷后项=5÷10=

0.5前项10后项201:23前项÷后项=10÷20=

0.5前项1后项2前项÷后项=1÷2=

0.5解析我们可以看到，这三个比的比值都是

0.5，这说明它们实际上表示的是相同的比例关系为什么会这样呢？这是因为•5:10可以通过同除以5得到1:2•10:20可以通过同除以10得到1:2根据比的基本性质，比的前项和后项同乘或同除一个非零数，比的值不变因此，5:

10、10:

20、1:2这三个比虽然形式不同，但它们表示的比例关系是相同的什么是最简整数比最简整数比是比的一种特殊形式，它具有以下特点整数特性比的前项和后项都必须是整数，不能是小数或分数互质特性前项和后项之间没有公因数（除了1），即它们互质最简特性在保持比值不变的前提下，不存在前后项更小的整数比最简整数比的概念可以类比最简分数就像分数需要约分到最简形式一样，比也需要化简到最简整数比的形式以下是一些最简整数比的例子•1:2-前项1和后项2互质，没有公因数•3:4-前项3和后项4互质，没有公因数•5:6-前项5和后项6互质，没有公因数以下不是最简整数比•2:4-前项和后项有公因数2，可以化简为1:2•15:25-前项和后项有公因数5，可以化简为3:5•

1.5:3-前项不是整数，不符合整数比的定义判断例题例题判断比是否为最简整数比让我们通过具体例题来学习如何判断一个比是否为最简整数比1判断是否最简9:15分析我们需要判断9和15是否有公因数（除了1）解答9=3×3，15=3×5，所以9和15有公因数3结论9:15不是最简整数比，可以进一步化简为3:52判断一个比是否为最简整数比的关键在于判断前项和后项是否互质（没有公因数）有几判断是否最简7:11种方法可以帮助我们判断分析我们需要判断7和11是否有公因数（除了1）分解质因数将前项和后项分解为质因数的乘积，看是否有共同的质因数计算最大公因数使用辗转相除法等方法求前项和后项的最大公因数，如果最大公因数为解答7是质数，11也是质数，它们之间没有公因数（除了1）1，则该比已经是最简整数比结论7:11是最简整数比尝试约分尝试用各种可能的公因数去除前项和后项，看是否能同时整除化简比的步骤一找到前项和后项的最大公因数化简比的第一步是找到比的前项和后项的最大公因数最大公因数（Greatest CommonDivisor，简称GCD）是能够同时整除两个数的最大正整数有几种方法可以找到最大公因数分解质因数法将前项和后项分解为质因数的乘积，然后取共同质因数的乘积例如24=2³×3，36=2²×3²共同质因数2²=4×3=3=12短除法将前项和后项不断地同时除以它们的公因数，直到互质为止例如24和36都能被2整除，得12和1812和18都能被2整除，得6和96和9都能被3整除，得2和32和3互质，所以最大公因数是2²×3=12辗转相除法这是一种高效的算法，特别适合处理大数例如求24和36的最大公因数36÷24=1余12找到最大公因数是化简比的关键一步无论使用哪种方法，目标都是找到能够同时整除前项和后项的最大整数24÷12=2余0在实际应用中，我们可以根据具体的数字大小和复杂度选择合适的方法对于较小的数字，直接试除或短除法往往最为方便；除数是12，余数是0，所以最大公因数是12对于较大的数字，辗转相除法则更为高效值得注意的是，如果前项和后项本身已经互质（没有公因数），那么它们的最大公因数就是1，这种情况下比已经是最简整数比，无需进一步化简化简比的步骤二用最大公因数同时除前、后项找到前项和后项的最大公因数后，化简比的第二步是用这个最大公因数同时除以前项和后项这一步骤基于比的基本性质比的前项和后项同时除以同一个非零数，比的值不变具体操作步骤如下第一步找到最大公因数使用上一节介绍的方法（分解质因数法、短除法或辗转相除法等）找到前项和后项的最大公因数第二步同时除以最大公因数将比的前项和后项都除以找到的最大公因数第三步得到最简整数比经过上述步骤，得到的新比即为最简整数比，其前项和后项互质（没有公因数）例题讲解化简比的详细过程12:18让我们通过一个具体例题，详细讲解比的化简过程步骤一寻找最大公因数1分解质因数12=2²×318=2×3²步骤二同时除以最大公因数2共同质因数2¹×3¹=612÷6=218÷6=3因此，12和18的最大公因数是6因此，化简后的比是2:3步骤三验证结果3检查2和3是否互质（没有公因数）2是质数，3也是质数，它们之间没有公因数所以2:3确实是最简整数比辗转相除法找最大公因数我们也可以使用辗转相除法来找到12和18的最大公因数•18÷12=1余6•12÷6=2余0•除数是6，余数是0，所以最大公因数是6短除法找最大公因数或者使用短除法•12和18都能被2整除，得6和9探究相等的比比的等值类相等的比是指虽然形式不同，但表示相同比例关系的比例如，3:12和1:4是相等的比，因为它们表示的是相同的比例关系让我们探究与1:4相等的更多比根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以同一个非零数，比的值不变因此，我们可以通过将1:4的前项和后项同时乘以不同的数，得到无数个与1:4相等的比例如•1:4=1×2:4×2=2:8•1:4=1×3:4×3=3:12•1:4=1×5:4×5=5:20•以此类推...1:4这些相等的比形成了一个等值类在实际应用中，我们通常使用其中最简单的形式，即最简整数比（在这个例子中是1:4）来表示整个等值类基本形式2:81:4的各项乘以2化简比的常见误区避免这些错误在化简比的过程中，学生常常会犯一些错误了解这些常见误区，可以帮助我们避免犯同样的错误误区一遗漏同除错误示例将8:12化简为8:3（只将后项除以4）正确做法前项和后项必须同时除以相同的数8:12应化简为2:3（前后项都除以4）误区二前后项不是整数错误示例将5:8化简为

0.625:1（用后项除以前项）正确做法最简整数比的前后项都必须是整数5:8已经是最简整数比，不需要进一步化简误区三除数不能为0错误示例表示比0:5正确理解比的后项不能为0，因为除数不能为0但前项可以为0，表示为0:a（a≠0）其他常见误区误区四忽略负数当比的前项或后项含有负数时，需要特别注意比如-6:9和6:-9是相等的（都等于-2:3），但与6:9（等于2:3）不同误区五混淆比与分数虽然比和分数有相似之处，但它们表示的含义不同比表示两个量的相对大小，而分数表示部分与整体的关系例如，3:5表示第一个量是第二个量的3/5，而不是整体的3/5误区六忽略约定在某些特定领域，比的表示有特定约定例如，在某些场合，人们习惯将比a:b理解为a/a+b与b/a+b的比，而不是a与b的比在使用比时，需要了解具体场合的约定拓展带小数比的化简如何化简含有小数的比在实际问题中，我们可能会遇到含有小数的比化简这类比的基本思路是先将比转化为整数比，再进行化简步骤一转化为整数比1找到一个适当的倍数（通常是10的整数次幂），将比的前项和后项同时乘以这个倍数，使它们都变成整数步骤二化简整数比2按照前面学习的方法，找到前项和后项的最大公因数，步骤三得到最简整数比然后用它来化简整数比3经过上述步骤，得到的新比即为最简整数比例如，要化简比

0.6:

1.2转化为整数比

0.6:

1.2=

0.6×10:

1.2×10=6:12找到最大公因数6和12的最大公因数是6化简整数比6:12=6÷6:12÷6=1:2得到最简整数比1:2再如，要化简比

0.25:

0.75转化为整数比

0.25:

0.75=

0.25×100:

0.75×100=25:75找到最大公因数25和75的最大公因数是25化简整数比25:75=25÷25:75÷25=1:3拓展带分数比的化简如何化简含有分数的比在一些高级应用中，我们可能会遇到含有分数的比化简这类比的基本思路是先将比转化为整数比，再进行化简步骤一转化为整数比找到分母的最小公倍数，将比的前项和后项同乘以适当的数，使它们都变成整数步骤二化简整数比按照前面学习的方法，找到前项和后项的最大公因数，然后用它来化简整数比步骤三得到最简整数比经过上述步骤，得到的新比即为最简整数比例如，要化简比2/3:4/9找到分母的最小公倍数3和9的最小公倍数是

92.转化为整数比所以，2/3:4/9=6:4•2/3=2/3×9/3=6/9=6•4/9=4/9×9/9=4/9×1=4/9=4找到最大公因数6和4的最大公因数是2化简整数比6:4=6÷2:4÷2=3:2得到最简整数比3:2再如，要化简比1/2:3/4典型例题演示一化简比的详细解析24:36寻找最大公因数分解质因数24=2³×336=2²×3²共同质因数2²×3=12同除最大公因数24÷12=236÷12=3验证结果检查2和3是否互质2是质数，3是质数它们没有公因数我们也可以用辗转相除法来找到24和36的最大公因数

1.36÷24=1余

122.24÷12=2余0因此，24:36化简后的最简整数比是2:

33.除数是12，余数是0，所以最大公因数是12或者使用短除法

1.24和36都能被2整除，得12和

182.12和18都能被2整除，得6和

93.6和9都能被3整除，得2和

34.2和3互质，所以最大公因数是2²×3=12典型例题演示二化简比的详细解析

0.5:

0.75转化为整数比

10.5=5/10，

0.75=75/100为了使分母相同，我们将

0.5乘以

100.5×10=5，寻找最大公因数

20.75×100=75分解质因数50=2×5²75=3×5²所以

0.5:

0.75=50:75同除最大公因数3共同质因数5²=2550÷25=275÷25=3最简整数比是2:3这个例子展示了如何化简含有小数的比关键步骤是先将小数转化为整数比，然后再进行标准的化简过程值得注意的是，我们可以用不同的方法将小数转化为整数方法一同乘100•

0.5:

0.75=

0.5×100:

0.75×100=50:75方法二先将小数化为分数，再找分母的最小公倍数•

0.5=1/2，

0.75=3/4•2和4的最小公倍数是4•1/2×2:3/4×1=1:3/4•1:3/4不是整数比，需要继续处理小组合作化简比比赛活动设计为了巩固对比的化简的理解，我们可以组织一个小组合作的比赛活动活动规则

1.将全班分成若干小组，每组3-4人

2.每组获得3个需要化简的比

3.小组成员一起合作，在规定时间内完成化简

4.比赛评分标准正确性（60%）和速度（40%）比赛内容每组需要化简的比包括-一个整数比（如36:48）-一个小数比（如

0.35:

0.7）-一个分数比（如5/6:10/9）合作策略小组可以采用分工合作的方式-一名成员负责找最大公因数-一名成员负责计算-一名成员负责验证结果-一名成员负责记录和整理活动目的这个小组合作活动旨在•巩固学生对比的化简方法的理解和应用•培养学生的团队合作精神•锻炼学生的快速计算能力•增强学生的数学交流能力比赛示例题课堂提问思考与讨论让我们通过一个实际问题来应用比的化简知识小明和小华的体重比是45:60，请将这个比化简为最简整数比1分析问题我们需要找到45和60的最大公因数，然后用它来化简比2寻找最大公因数使用短除法45和60都能被5整除，得9和129和12都能被3整除，得3和43和4互质，所以最大公因数是5×3=153拓展思考化简比这个问题也可以引发一些拓展思考45÷15=3比的实际意义在这个问题中，体重比3:4意味着什么？它告诉我们小明的体重是小华体重的3/4，或者小华的体重是小明体重60÷15=4的4/3所以，45:60化简为3:4比与倍数关系如果小明的体重是x千克，那么小华的体重是多少？根据比3:4，小华的体重是4/3x千克已知总量求部分量如果小明和小华的体重总和是140千克，那么小明和小华各自的体重是多少？（解设小明体重为3y，小华为4y，则3y+4y=140，解得y=20，所以小明60千克，小华80千克）实际应用一配制饮料时的糖水比比的概念在日常生活中有广泛的应用，其中一个常见的例子是配制饮料时的糖水比例问题描述一种饮料的糖水比为3:7如果要制作2升这种饮料，应该分别加入多少克糖和多少毫升水？分析解答根据糖水比3:7，总共10份中糖占3份，水占7份如果要制作2升2000毫升饮料糖的量2000×3/10=600克水的量2000×7/10=1400毫升验证检查600+1400=2000，满足总量要求比例600:1400=3:7，满足比例要求实际应用二比在许多专业领域都有重要应用让我们来看看比在美术、建筑、工程等职业场景中的应用建筑与结构美术与设计建筑师在设计建筑物时，需要考虑各部分之间的比例关系，以确保建筑物既美观又实用例如，古希腊的帕特农神庙就在绘画和设计中，黄金比例（约1:

1.618）被广泛应用于构图遵循了严格的比例关系，使整个建筑看起来和谐统一现代和设计元素的布局画家们使用比例来创造和谐的构图，设建筑也常常应用比例原理来设计各种建筑元素的尺寸计师们利用比例来设计美观的产品和界面例如，达芬奇的工程与制造名画《蒙娜丽莎》中就运用了黄金比例在工程领域，比例被用于计算物料配比、力的分配、缩放模型等例如，在混凝土配制中，水泥、沙子、石子和水的比例对混凝土的强度和耐久性有着重要影响在化学与配方机械设计中，各部件的尺寸比例也需要精确计算音乐与声学在化学反应中，元素按照固定的比例结合形成化合物，这就是著名的定比定律在药物研发和生产中，各种成分的比例音乐中的和弦、音程都与声波频率的比例有关例如，两个需要精确控制，以确保药效和安全性在化妆品、食品等行音的频率比为2:1时，它们相差一个八度；频率比为3:2时，业，产品配方中各成分的比例也是产品质量的关键它们构成完全五度这些比例关系是音乐和谐的基础在乐器设计中，弦长、管长的比例也直接影响音色引导比的化简与分数约分比的化简与分数约分的联系比的化简和分数的约分在本质上是相同的过程，都是通过消去公因数来得到最简形式让我们来探讨它们之间的联系操作相似性比a:b的化简过程是找到a和b的最大公因数k，然后用k同时除以a和b，得到a/k:b/k分数a/b的约分过程是找到a和b的最大公因数k，然后用k同时除以a和b，得到a/k/b/k两者的操作步骤完全相同！理论基础比的化简基于比的基本性质比的前项和后项同时除以同一个非零数，比的值不变分数的约分基于分数的基本性质分子和分母同时除以同一个非零数，分数的值不变这两个性质本质上是一致的具体比较互通转换让我们通过具体例子比较比的化简和分数的约分任何比a:b都可以看作分数a/b，反之亦然原始形式比的化简分数的约分例如，比3:4可以看作分数3/4，而分数5/7可以看作比5:724:3624:36=24÷12:36÷12=2:324/36=24÷12/36÷12=2/3因此，掌握了一种化简方法，也就掌握了另一种15:2515:25=15÷5:25÷5=3:515/25=15÷5/25÷5=3/5从这些例子可以看出，比的化简和分数的约分在操作上是完全一致的这种联系帮助我们理解比的化简实际上就是将比看作分数，然后进行约分课堂总结比的概念比是两个量相互比较的结果，表示一个量是另一个量的几倍比反映了两个量之间的倍数关系比的基本性质比的前项和后项同时乘以或除以同一个非零数，比的值不变这是化简比的理论基础最简整数比最简整数比是指比的前项和后项都是整数且互质（没有公因数）的比化简比的目标就是得到最简整数比化简比的步骤找到前项和后项的最大公因数，然后用它同时除以前项和后项，得到最简整数比比的应用比在日常生活和各个专业领域都有广泛应用，如配方比例、建筑设计、艺术创作等在本节课中，我们学习了比的化简的基本原理和方法我们理解了为什么需要化简比，掌握了寻找最大公因数和用它化简比的技巧，并通过各种例题和应用问题练习了这些技能比的化简是数学学习中的一个基础技能，它不仅帮助我们更好地理解和表达比例关系，也为后续学习比例、相似等概念打下基础在实际生活中，比的化简也有着广泛的应用，能够帮助我们更清晰地表达和理解各种比例关系巩固练习题练习题目通过以下练习题，巩固对比的化简的理解和应用1化简整数比将比32:48化简为最简整数比解答找到32和48的最大公因数1632÷16=2，48÷16=3所以，32:48化简为2:32化简小数比将比

7.5:12化简为最简整数比解答首先将

7.5转化为分数

7.5=15/2所以

7.5:12=15/2:12=15:24找到15和24的最大公因数315÷3=5，24÷3=8所以，

7.5:12化简为5:83化简分数比将比5/8:15/16化简为最简整数比解答首先找到分母的最小公倍数8和16的最小公倍数是165/8=5/8×2/2=10/16，15/16保持不变所以5/8:15/16=10/16:15/16=10:15找到10和15的最大公因数510÷5=2，15÷5=3拓展思考比中含有负数的情况在更高级的数学学习中，我们可能会遇到比的前项或后项中含有负数的情况让我们来探讨这种情况下如何化简比理解负数比1负数比表示两个量的大小关系，同时还包含方向或正负的信息例如，-3:4表示第一个量是第二个量的-3/4，即大小是3/4但方向化简原则相反2含有负数的比的化简原则与正数比相同找到前项和后项的最大符号处理公因数（取绝对值），然后同时除以这个最大公因数3在化简过程中，需要保留原始比的符号信息通常有两种表示方法

1.保持前项为负数如-6:9化简为-2:

32.保持后项为负数如6:-9化简为2:-3这两种表示方法在数值上是等价的举例说明让我们通过具体例子来理解含有负数的比的化简例1化简比-8:12•找到|-8|=8和12的最大公因数4•-8÷4=-2，12÷4=3•所以，-8:12化简为-2:3例2化简比15:-25•找到15和|-25|=25的最大公因数5•15÷5=3，-25÷5=-5•所以，15:-25化简为3:-5•也可以表示为-3:5（将符号移到前项）例3化简比-18:-24•找到|-18|=18和|-24|=24的最大公因数6•-18÷6=-3，-24÷6=-4课后反思与提升数学在实际中的应用体会通过本节课的学习，我们不仅掌握了比的化简的方法，也了解了比在实际生活中的广泛应用让我们来反思数学学习与实际应用的关系数学与生活的联系提出本课未解决的新问题比的概念源于生活实践，而比的化简帮助我们更清晰地表达和理解生活中的比例关系例如，在烹饪、配药、建筑等领域，都需要准确理解和应用比例关系学习是一个不断深入和拓展的过程在学习比的化简后，我们可能会产生一些新的问题和思思维方式的培养考比的延伸除了两个量的比，三个或更多量之间的比如何表示和化简？例如，三个量a:b:c的学习比的化简不仅是掌握一种计算技能，更是培养逻辑思维和问题解决能力这种思维化简方法是什么？方式可以迁移到其他学科和生活领域，帮助我们更有效地分析和解决问题比与比例比和比例有什么联系和区别？如何利用比解决比例问题？连比连乘在实际应用中，有时会遇到连比连乘的情况，如a:b=b:c，这种情况如何理解和应知识的内在联系用？黄金比例为什么某些特定的比例（如黄金比例约1:

1.618）在自然界和艺术中如此普遍？这比的化简与分数的约分有着密切的联系，这反映了数学知识的内在联系和系统性理解背后有什么数学原理？这种联系，有助于我们构建更完整的知识体系，提高学习效率比的动态变化在实际问题中，比例关系可能随时间变化，如何描述和分析这种动态变化？。