苏教版高一数学教学课件

苏教版高一数学必修一教学课件第一单元主题导入集合与函数初步是高中数学的核心基础，它们构成了数学思维的基本框架在开始学习之前，让我们先思考一下在我们的日常生活中，哪些例子可以用集合来描述呢？例如1班级中的学生群体可以表示为一个集合，其中每个学生都是这个集合中的一个元素2图书馆中的图书分类不同类别的书籍可以构成不同的集合，如文学类图书集合、科学类图书集合等3商场中的商品种类可以按照不同的分类方式组成各种集合，比如按价格、种类或品牌等集合的定义与表示方法集合的基本定义集合的三种表示方法集合是具有某种特定性质的事物的全体，集合中的事物称为该集合的元素集合具有三个基本特性确定性对于任何一个给定的对象，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在模糊的情况互异性集合中的元素都是互不相同的，每个元素在集合中只出现一次无序性集合中元素的排列顺序不影响集合本身，只关注元素是否属于集合列举法将集合中的所有元素一一列举出来，用大括号括起来，元素之间用逗号分隔例如A={1,2,3,4,5}描述法用元素具有的共同特征来描述集合，格式为{x|x具有某种特性}集合中元素的基本性质元素与集合的关系实际例题讲解对于任意元素和集合，与的关系只有两种可能x Ax A属于关系∈若是集合中的元素，则称属于，记作∈x Ax Ax A例如对于集合，有∈A={1,3,5,7,9}3A不属于关系∉若不是集合中的元素，则称不属于，记作∉x Ax Ax A例如对于集合，有∉A={1,3,5,7,9}2A元素与元素的区别需要注意的是，元素本身可能也是一个集合，但我们要区分属于与包含的关系例如若，则有A={1,2,{3,4}}例题已知集合是以内的质数，判断下列各数是否属于集合1A={x|x20}A∈（是的元素）•1A1A解答A={2,3,5,7,11,13,17,19}∈（集合是的一个元素）•{3,4}A{3,4}A•但3∉A（3不是A的元素，而是A中一个元素{3,4}的元素）•2∈A（2是20以内的质数）∉（不是质数）•4A4∉（不是质数）•15A15∈（是以内的质数）•17A1720例题对于集合判断以下关系是否成立2B={∅,{∅},{∅,{∅}}},∅∈（✓空集是的元素）•B B∅∈（✓∅是的元素）•{}B{}B∅⊂（✓空集是任何集合的子集）•B集合的分类与常见集合集合的基本分类常用数集1有限集合含有有限个元素的集合例如A={1,2,3,4,5}是一个有限集合，包含5个元素2无限集合含有无限多个元素的集合例如B={x|x是自然数}是一个无限集合特殊集合空集∅不含任何元素的集合，记作∅或{}例如C={x|x既是奇数又是偶数}=∅全集U在讨论问题时所涉及的所有元素构成的集合全集的具体内容取决于具体问题的背景自然数集NN={0,1,2,3,...}注意有些教材中自然数不包含0，记作N+={1,2,3,...}整数集ZZ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}有理数集QQ={m/n|m∈Z,n∈N+}即所有可以表示为两个整数之比的数的集合集合的子集子集的定义空集与全集的特殊性质如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作⊆空集∅是任何集合的子集A B A B A B•任何集合都是全集的子集•U任何非空集合都有至少两个子集∅和本身•A A常考例题判断子集个数例题若集合有个元素，求的所有子集的个数A nA解答对于个元素的集合，每个元素都有取与不取两种选择，根据乘法原理，子集总数为个n2n元素个数子集个数真子集个数020=10121=21222=43323=87n2n2n-1真子集与非真子集真子集如果⊆且，则称是的真子集，记作⊂A B A≠B A BA B例如对于集合和，有⊂A={1,2}B={1,2,3}A B非真子集如果⊆且，则是的非真子集A BA=BA B例如对于集合和，有⊆但不是的真子集A={1,2,3}B={1,2,3}ABAB集合的基本运算集合的并集集合的补集集合A与集合B的并集是由所有属于A或属于B的元素组成的集合，记作A∪B在给定的全集U中，集合A的补集是由所有属于U但不属于A的元素组成的集合，记作Ac或U-A或~AA∪B={x|x∈A或x∈B}Ac={x|x∈U且x∉A}集合的差集集合的交集集合A与集合B的差集是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B集合A与集合B的交集是由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩BA-B={x|x∈A且x∉B}=A∩BcA∩B={x|x∈A且x∈B}运算的图表达Venn两集合图演示三集合图演示Venn VennVenn图是表示集合关系的直观方法，通常用圆形或椭圆形来表示集合，全集U用矩形表示并集∪AB在Venn图中，A∪B表示为A和B两个圆的所有区域（阴影部分）交集A∩B在Venn图中，A∩B表示为A和B两个圆的重叠区域（阴影部分）补集Ac在Venn图中，Ac表示为全集U中除A以外的所有区域（阴影部分）差集A-B在Venn图中，A-B表示为只属于A而不属于B的区域（阴影部分）三个集合的Venn图包含8个区域，分别对应三个集合的各种包含与不包含关系运算实际应用场景集合运算在实际问题中有广泛应用1数据库查询数据库中的SQL查询语句使用AND、OR和NOT，对应集合的交集、并集和补集运算2网络搜索搜索引擎使用集合运算来组合关键词，如苹果AND电脑NOT水果市场调查分析不同产品用户群体的重叠部分，如同时使用产品A和产品B的用户数集合基本运算典型例题例题集合运算的基本应用例题复杂集合运算13已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,5,6}，求1A∪B2A∩B3A-B4B-A解答1A∪B={1,2,3,5,6,7}2A∩B={3,5}3A-B={1,7}4B-A={2,6}例题集合运算综合应用2已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}，求1Ac2Ac∩B3A∪Bc解答1Ac={2,4,6,8,10}2Ac∩B={2}3A∪Bc={4,6,8,10}已知全集U和集合A、B、C，请将下列集合在Venn图中表示出来1A∩B∪C2A∩B∪C3A∪B∩A∪C解答通过Venn图分析，可以得出1A∩B∪C表示A和B的交集与C的并集2A∩B∪C表示A与B和C的并集的交集3A∪B∩A∪C表示A和B的并集与A和C的并集的交集集合及运算综合应用高考真题讲解生活实际问题案例【2022年高考题】已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={1,2,4,6,8}，B={2,3,4,5,9}，求案例某学校对100名学生进行了一项调查，了解他们对数学M、物理P和化学C三门课程的喜好情况，调查结果如下1A∪B∩Ac•喜欢数学的有45人2Ac∩Bc∪A∩B•喜欢物理的有38人•喜欢化学的有40人•同时喜欢数学和物理的有20人•同时喜欢数学和化学的有15人•同时喜欢物理和化学的有12人•三门课都喜欢的有8人问题1有多少人至少喜欢一门课？2只喜欢数学的学生有多少人？解答使用集合运算，我们可以得到nM∪P∪C=nM+nP+nC-nM∩P-nM∩C-nP∩C+nM∩P∩C=45+38+40-20-15-12+8=84因此，至少喜欢一门课的有84人只喜欢数学的学生人数=nM-nM∩P-nM∩C+nM∩P∩C=45-20-15+8=18人解析步骤1先确定各集合Ac={3,5,7,9}集合的性质总结交集与并集的基本性质集合代数中的恒等式1交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A2结合律A∪B∪C=A∪B∪CA∩B∩C=A∩B∩C3分配律A∩B∪C=A∩B∪A∩CA∪B∩C=A∪B∩A∪C集合应用思维导图集合间的关系集合基本概念子集与真子集•相等集合定义与特性••包含关系判定元素与集合关系••表示方法•集合的运算并集与交集•补集与差集•运算优先级实际应用•计数问题集合运算律•统计问题•交换律、结合律•逻辑问题•分配律•德摩根律•本思维导图展示了集合论知识的逻辑关系，从基本概念出发，通过集合间的关系、集合的运算，到集合运算律和实际应用，形成了一个完整的知识体系学生可以通过这个思维导图，梳理集合论的知识脉络，明确各知识点之间的联系，从而更好地理解和掌握集合论的内容课后习题解答与讲评典型错题分析解题策略归纳错题集合表示混淆1错误将集合{1,2,3}与元素1混淆正确理解{1,2,3}是一个集合，而1是一个元素；1∈{1,2,3}，但1≠{1,2,3}错题子集判断错误2错误认为集合中必须要有共同元素才能构成子集关系正确理解空集是任何集合的子集，包括空集本身；子集的元素必须全部来自原集合错题运算顺序混乱3错误不按照运算优先级计算集合表达式正确做法严格按照补集→交集→并集→差集的优先级计算，遇到括号先计算括号内的表达式识别题型明确题目要求是求集合元素、子集数量、集合运算还是应用问题第二单元主题导入函数基本概念从实际问题出发函数的本质在我们的日常生活中，许多现象都可以用函数来描述1物体下落高度与时间的关系一个物体从高处自由落下，其高度h与时间t的关系可以用函数ht=h₀-

4.9t²表示2温度与体积的关系固定压强下，气体的体积V与温度T成正比，可以用函数VT=k·T表示3商品价格与需求量的关系商品的需求量q通常与价格p成反比，可以用函数qp=a/p表示4投资回报与时间的关系复利投资的本息和S与时间t的关系可以用函数St=P1+rᵗ表示函数本质上是描述两个变量之间的对应关系，这种对应关系具有以下特点确定性自变量的每一个值都唯一确定因变量的一个值对应性定义域中的每个元素都有且仅有一个值与之对应可计算性映射与函数映射的概念函数与映射的区别映射是集合之间的对应关系设、是两个非空集合，如果按照某种规则，使得对中的每个元素，在中都有唯一确定的元素与之对应，X Y f Xx Y y则称为从到的映射，记作f XYf:X→Y定义域映射的定义域是集合，表示自变量的取值范围，记作或f Xx D_f domf值域映射的值域是中所有元素通过映射得到的中元素的集合，记作或f Xf YR_f ranf对应法则映射的对应法则是指定义域中的元素如何对应到值域中元素的规则，通常用公式表示f函数是特殊的映射，是实数集到实数集之间的映射即映射是一般概念，定义域和值域可以是任意集合•函数是定义在实数集（或其子集）上的映射，其值域也是实数集（或其子集）•函数可以表示为，其中⊆，⊆，且对任意∈，有唯一确定的∈，使得f:X→Y XR YR xX yYy=fx可以理解为函数是定义域和值域都是数集的映射函数表示法解析法图象法解析法是用代数式（公式）表示函数，这是最常用的函数表示方法显式表达式直接用y=fx的形式表示，例如y=2x+3y=x²-4x+4y=sin x隐式表达式用Fx,y=0的形式表示，例如x²+y²=1x²y-3xy+2y=0分段函数在不同的定义域上有不同的表达式，例如fx={x+1,x0{x²,x≥0图象法是用坐标平面上的曲线来表示函数，可以直观地表现函数的性质函数y=fx的图象是平面上满足y=fx的所有点x,y的集合列表法列表法通过表格形式列出自变量和因变量的对应值来表示函数，适用于离散数据或难以用解析式表达的函数x12345y25101726实际例题分析例题某城市在一周内的平均气温（摄氏度）如下表所示，请用不同方法表示这一函数关系星期一二三四五六日常见函数初步123一次函数二次函数指数函数一般式y=kx+b（k,b为常数）一般式y=ax²+bx+c（a≠0）一般式y=aˣ（a0,a≠1）图象特征直线；表示斜率，表示轴截距图象特征抛物线；顶点坐标图象特征过点；无限接近轴但不相交k by-b/2a,4ac-b²/4a0,1x性质性质性质当时，函数单调递增当时，抛物线开口向上，函数有最小值当时，函数单调递增•k0•a0•a1当时，函数单调递减当时，抛物线开口向下，函数有最大值当时，函数单调递减•k0•a0•0a1当时，函数为常数函数对称轴为定义域为，值域为•k=0•x=-b/2a•R0,+∞45对数函数幂函数一般式y=log_ax（a0,a≠1）一般式y=xᵃ（a为常数）图象特征过点；无限接近轴但不相交图象特征根据的不同值有不同形状1,0y a性质性质当时，函数单调递增当时，处函数单调递增•a1•a0x0当时，函数单调递减当时，处函数单调递减•0a1•a0x0定义域为，值域为当为偶数时，定义域为，函数为偶函数•0,+∞R•a R当为奇数时，定义域为，函数为奇函数•a R函数的定义域与值域定义域值域函数的定义域是指函数自变量x所有可能取值的集合确定函数定义域的一般步骤是1分母不为零若函数表达式中含有分母，则需要保证分母不为零例如fx=1/x-2的定义域为{x|x≠2}2偶次根式中的被开方数不小于零若函数表达式中含有偶次根式，则被开方数必须大于等于零例如gx=√x+3的定义域为{x|x≥-3}3对数的真数必须为正数若函数表达式中含有对数，则对数的真数必须大于零例如hx=logx-1的定义域为{x|x1}4复合函数需逐层确定对于复合函数，需要从内层函数开始，逐层确定定义域例如kx=log√x²-4的定义域需考虑√的条件和log的条件函数的单调性单调性的定义图象识别方法设函数fx的定义域为D，对于定义域D内的任意两个不同的值x₁和x₂单调递增若x₁x₂时，都有fx₁fx₂，则称函数fx在定义域D上是单调递增的单调递减若x₁x₂时，都有fx₁fx₂，则称函数fx在定义域D上是单调递减的严格单调如果等号不成立（即只有或），则称为严格单调递增或严格单调递减非单调如果函数在整个定义域上既不是单调递增也不是单调递减，则称为非单调函数从函数图象上判断单调性的方法•如果函数图象从左到右是上升的，则函数在该区间上单调递增•如果函数图象从左到右是下降的，则函数在该区间上单调递减•如果函数图象既有上升部分又有下降部分，则需要分区间讨论单调性应用实例例题讨论函数fx=x²-4x+3的单调性解答函数fx=x²-4x+3=x-2²-1奇偶性与周期性奇偶函数定义判别周期函数设函数fx的定义域D关于原点对称（即若x∈D，则-x∈D）奇函数若对于任意x∈D，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数图象特征关于原点对称例如fx=x³,gx=sin x偶函数若对于任意x∈D，都有f-x=fx，则称fx为偶函数图象特征关于y轴对称例如fx=x²,gx=cos x非奇非偶函数若既不满足奇函数条件也不满足偶函数条件，则为非奇非偶函数例如fx=x²+x若存在一个正数T，使得对于函数fx的定义域内的任意x，都有fx+T=fx，则称fx为周期函数，T为函数的周期特点•若T为函数的周期，则nT（n为非零整数）也是函数的周期•函数的最小正周期是所有正周期中最小的一个•周期函数的图象具有重复性常见的周期函数•正弦函数y=sin x，周期为2π•余弦函数y=cos x，周期为2π•正切函数y=tan x，周期为π•余切函数y=cot x，周期为π实际例题例题判断函数fx=|sin x|+cos2x的奇偶性和周期性解答奇偶性函数图象与性质判别图像与解析式结合题型高频考点梳理这类题型要求根据函数图象推断函数的解析式，或者根据函数的解析式描述其图象特征解题思路识别函数类型根据图象特征判断是基本初等函数还是复合函数分析关键特征确定函数的单调区间、极值点、对称性、渐近线等特征推导解析式根据特征点建立方程，解出函数表达式中的参数验证结果检查得到的函数解析式是否符合题目给出的所有条件复合函数与反函数初步复合函数反函数如果函数y=f[gx]中，自变量x通过函数g得到中间值gx，再通过函数f得到因变量y，则称y=f[gx]为复合函数，记为f∘gx定义域确定要求gx的定义域内的值经过g映射后都在f的定义域内即{x|x∈D_g且gx∈D_f}求值方法先计算内层函数gx的值，再将结果代入外层函数f例如若fx=x²+1,gx=2x-3，则f[gx]=2x-3²+1常见错误注意复合函数f[gx]与函数乘积fx·gx的区别例如f[gx]=fgx，而fx·gx是两函数值的乘积如果函数y=fx是单调函数，且值域R_f=D_g，则存在一个函数x=gy，使得g[fx]=x（x∈D_f）且f[gy]=y（y∈R_f）此时，称函数g为函数f的反函数，记作f^-1y反函数的性质•函数f的定义域等于反函数f^-1的值域•函数f的值域等于反函数f^-1的定义域•函数与其反函数的图象关于直线y=x对称•如果f是增函数，则f^-1也是增函数；如果f是减函数，则f^-1也是减函数函数知识网络图函数性质函数基本概念单调性（递增、递减）•映射与函数定义•奇偶性（奇函数、偶函数）•定义域与值域•周期性•表示方法（解析法、图象法、列表法）•有界性（上界、下界）•12基本初等函数应用•幂函数（y=xᵃ）实际问题建模•6•指数函数（y=aˣ）最值问题••对数函数（y=logₐx）方程与不等式•三角函数（正弦、余弦等）•复合与反函数函数变换复合函数（）平移变换（±，±）•y=f[gx]•y=fx ay=fx b反函数（⁻）伸缩变换（，）•y=f¹x•y=fkx y=kfx函数方程对称变换（，）••y=f-x y=-fx通过这个思维导图，我们可以清晰地看到函数知识的整体结构函数的学习从基本概念出发，通过理解函数的性质，掌握各类基本初等函数的特点，进而学习函数的变换和复合、反函数等高级内容，最终应用于解决实际问题这种系统化的学习方法有助于构建完整的函数知识体系，为后续学习打下坚实基础第三单元基本初等函数指数函数对数函数指数函数的一般形式为y=aˣ（a0，a≠1）定义域与值域定义域R（所有实数）值域0,+∞（所有正实数）图象特点图象恒过点0,1x轴是水平渐近线（当x→-∞时，y→0）单调性当a1时，函数单调递增当0a1时，函数单调递减指数与对数运算性质指数运算定律对数运算定律乘方定律a^m·a^n=a^m+n例如2³·2⁵=2⁸=256除法定律a^m÷a^n=a^m-n（a≠0）例如3⁶÷3²=3⁴=81幂的乘方a^m^n=a^m·n例如2²³=2⁶=64幂的分配律a·b^n=a^n·b^na/b^n=a^n/b^n（b≠0）例如2·3⁴=2⁴·3⁴=16·81=1296乘法对数logₐM·N=logₐM+logₐN例如log₂8·4=log₂8+log₂4=3+2=5指数函数与对数函数图象指数函数图象特征对数函数图象特征对数函数y=logₐx的图象特征1共有特征所有对数函数图象都经过点1,0定义域为0,+∞，值域为R图象没有与x轴的交点（除了1,0），但以y轴为垂直渐近线2a1时的特征函数在0,+∞上单调递增图象在第

一、四象限当x→+∞时，y→+∞；当x→0⁺时，y→-∞30a1时的特征函数在0,+∞上单调递减图象在第

一、四象限基本初等函数应用题生活与生产问题建模高考真题解析许多实际问题可以通过指数和对数函数建立数学模型人口增长模型Pt=P₀·e^rt，其中P₀是初始人口，r是增长率，t是时间例如如果某城市初始人口为100万，年增长率为3%，则10年后人口约为P10=100·e^

0.03·10≈

134.99万复利计算模型S=P·1+r^t，其中P是本金，r是利率，t是时间（年）例如投资10000元，年利率5%，10年后本息和为S=10000·1+

0.05^10≈16289元放射性衰变模型Nt=N₀·e^-λt，其中N₀是初始量，λ是衰变常数，t是时间例如碳-14的半衰期约为5730年，则λ=ln2/5730，可用于计算考古样本的年龄声音强度模型分贝数L=10·log₁₀I/I₀，其中I是声强，I₀是参考声强例如声强增加100倍，分贝数增加L=10·log₁₀100=20分贝单元知识梳理与归纳主要知识点汇总易错难点提示集合基础•集合的概念与表示方法1•集合间的基本关系•集合的基本运算（并、交、补、差）•运算律（交换律、结合律、分配律、德摩根律）函数概念•函数的定义与表示2•定义域与值域•函数的四种表示方法•映射与函数的关系函数性质•单调性（递增、递减）3•奇偶性（奇函数、偶函数）•周期性与有界性•复合函数与反函数基本初等函数•指数函数（y=aˣ）的性质与图象4•对数函数（y=logₐx）的性质与图象•指数与对数的运算定律•函数的应用与建模检测测试与讲评单元同步测试卷详细讲解与思路分析第一部分选择题（每题5分，共25分）

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B=A.{3,4}B.{1,2}C.{5,6}D.{1,2,5,6}

2.若函数fx=2ˣ⁺¹-1，则f-1=A.0B.1C.-1D.

23.下列函数中，定义域为R的是A.y=log₂x-1B.y=√1-x²C.y=2ˣD.y=1/x

4.函数y=log₃x+2的值域是A.-∞,+∞B.-2,+∞C.0,+∞D.R

5.下列函数中，是奇函数的是A.y=|x|B.y=x³-x C.y=eˣD.y=x²+1第二部分填空题（每题5分，共25分）

6.已知集合A={x||x|2}，B={x|-1x3}，则A∪B=__________

7.函数fx=|2x-3|+1的最小值是__________

8.log₂8+log₂2=__________

9.若3ˣ=27，则x=__________

10.函数fx=2ˣ的反函数是__________总结与学习建议高一数学学习方法指导学以致用，逐步提升综合能力打牢基础概念高一数学是高中数学的基础，集合、函数等核心概念将贯穿整个高中数学学习建议制作概念卡片，反复记忆和理解，确保基本概念清晰重视公式推导不要单纯记忆公式，而要理解公式的推导过程和适用条件建议尝试自己推导公式，理解每一步的数学含义系统化学习将知识点系统化，建立知识网络，理解各知识点之间的联系建议定期绘制思维导图，梳理知识结构多做典型例题通过解题培养数学思维，掌握解题技巧和方法建议每个知识点至少掌握2-3个典型例题的解法。