高一数学上教学课件

高一数学上册教学课件第一章集合与常用逻辑用语章节概述集合论是现代数学的基础理论之一，本章将介绍集合的基本概念、表示方法以及集合间的基本关系和运算同时，我们还将学习常用逻辑用语，包括命题、充分必要条件以及量词等内容学习目标•掌握集合的基本概念和表示方法•理解集合间的包含关系和运算规则•学会使用逻辑用语准确表达数学命题•能够运用集合与逻辑知识解决实际问题集合的概念与常见数集

1.11集合的定义集合是具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素集合具有确定性、互异性和无序性三个基本特征•确定性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者必居其一•互异性一个集合中，任何两个元素都是不同的，即同一元素在集合中只能出现一次•无序性集合中的元素没有先后顺序之分2常见数集数学中最基本的集合是数集以下是常见的数集及其表示•自然数集N={0,1,2,3,...}•正整数集N+={1,2,3,...}•整数集Z={...,-2,-1,0,1,2,...}•有理数集Q（可以表示为分数形式的数）•实数集R（包括有理数和无理数）这些数集之间存在包含关系N⊂Z⊂Q⊂R集合的表示方法

1.2列举法描述法列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，描述法是用集合的元素所具有的共同特征来表并用花括号{}括起来的表示方法适用于元素示集合的方法一般形式为{x|x具有某种特有限且数量较少的集合性Px}，读作由满足条件Px的所有x组成的集合例如例如•A={1,3,5,7,9}（表示由1,3,5,7,9这五个元素组成的集合）•D={x|x∈N且x10}（表示小于10的所有自然数组成的集合）•B={a,b,c,d}（表示由字母a,b,c,d组成的集合）•E={x|x=2n,n∈N}（表示所有非负偶数组成的集合）•C={x|x是20以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}•F={x|x2-5x+6=0}（表示方程x2-5x+6=0的所有解组成的集合，即{2,3}）需要注意的是，列举法中元素的顺序可以任意，同一元素不能重复出现例如，{1,2,3}与{3,1,2}表示的是同一个集合集合间的基本关系

2.子集与真子集集合相等如果集合A中的任意元素都是集合B的元素，如果集合A和集合B互为子集，即A⊆B且则称A是B的子集，记作A⊆B B⊆A，则称集合A与集合B相等，记作A=B如果A⊆B，且A≠B（即B中至少有一个元素不两个集合相等的充要条件是它们的元素完全属于A），则称A是B的真子集，记作A⊂B相同例如{x|x2=9}={-3,3}，{x|x+1=4}={3}例如对于集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4,5}，有A⊂B空集与全集不含任何元素的集合称为空集，记作∅空集是任何集合的子集，即∅⊆A对任何集合A都成立在讨论问题时，所有涉及到的元素组成的集合称为全集，通常用U表示任何集合都是全集的子集，即A⊆U对任何集合A都成立集合的基本运算

3.并集补集由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，在给定的全集U中，由不属于集合A的所有元素组称为集合A与集合B的并集，记作A∪B成的集合，称为A在U中的补集，记作AC或~A形式化定义A∪B={x|x∈A或x∈B}形式化定义AC={x|x∈U且x∉A}例如若A={1,3,5}，B={2,3,4}，则A∪B=例如若全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，{1,2,3,4,5}则AC={2,4}交集差集由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集由属于集合A但不属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B合，称为集合A与集合B的差集，记作A-B形式化定义A∩B={x|x∈A且x∈B}形式化定义A-B={x|x∈A且x∉B}例如若A={1,3,5}，B={2,3,4}，则A∩B={3}例如若A={1,3,5}，B={2,3,4}，则A-B={1,5}注意A-B=A∩BC集合运算举例与练习并集运算示例交集运算示例补集与差集运算示例设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7,9}，B=使用上例中的集合，我们有使用上例中的集合，我们有{2,3,5,7}A∩B={3,5,7}AC={2,4,6,8,10}A∪B={1,2,3,5,7,9}韦恩图中A∩B对应的是两个圆重叠的部分，表示同时属于集合A和集A-B={1,9}注意观察韦恩图中A∪B对应的阴影部分，这是集合A和集合B的所有合B的元素B-A={2}元素的组合注意A-B和B-A通常是不相等的典型习题

1.若A={x|-2≤x≤5,x∈Z}，B={x|0x8,x∈Z}，求A∪B和A∩B

2.已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|x2-3x+2=0}，求A∪B和A∩B

3.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,3,5,7,9}，B={2,4,6,8}，证明A∪BC=AC∩BC充分条件与必要条件

4.基本概念充要条件在数学中，条件之间的关系是研究推理和证明的基础充分条件和必要条件是两种重要的逻如果P是Q的充分条件，且P也是Q的必要条件，则称P是Q的充要条件，记作P↔Q辑关系例如x2=4是|x|=2的充要条件，因为充分条件•若x2=4，则|x|=2（充分性）如果由条件P能够推出结论Q，则称P是Q的充分条件，记作P→Q•若|x|=2，则x2=4（必要性）例如x=3是x2=9的充分条件，因为x=3可以推出x2=9集合视角必要条件从集合角度理解如果结论Q成立必须满足条件P，则称P是Q的必要条件，记作Q→P•若A⊆B，则x∈A是x∈B的充分条件例如x2=9是x=3的必要条件，因为若x=3，则必有x2=9•若A⊆B，则x∈B是x∈A的必要条件•若A=B，则x∈A是x∈B的充要条件典型例题例1判断ab与a2b2之间的关系分析当ab0或ab→a2b2成立；但当a0b时，虽然ab，但a22不成立因此ab不是a2b2的充分条件当a2b2时，我们只能得出a2-b2=a+ba-b0，需要知道a+b的符号才能确定a与b的大小关系因此ab也不是a2b2的必要条件例2若x,y∈R，判断x2+y2=0与x=0且y=0之间的关系全称量词与存在量词

5.全称量词存在量词量词的嵌套全称量词表示对于所有，用符号∀表示全称命存在量词表示存在，用符号∃表示存在命题的在复杂命题中，可能出现多个量词的嵌套使用理题的形式为∀x∈D,Px，表示对于定义域D中的形式为∃x∈D,Px，表示存在定义域D中的某个解量词的顺序对于正确解读命题至关重要任意元素x，命题Px都成立元素x，使得命题Px成立例如∀x∈R,∃y∈R,yx表示对于任意实数x，例如∀x∈R,x2≥0表示对于任意实数x，x的平方例如∃x∈R,x2=2表示存在实数x，使得x的平方都存在某个实数y大于x都大于或等于0等于2而∃y∈R,∀x∈R,yx表示存在某个实数y，使得全称命题的否定形式为∃x∈D,¬Px，即存在定存在命题的否定形式为∀x∈D,¬Px，即对于定对于任意实数x，y都大于x义域D中的某个元素x，使得命题Px不成立义域D中的任意元素x，命题Px都不成立显然，第一个命题为真，第二个命题为假实际应用量词在数学定义和定理表述中有广泛应用例如，函数连续性的ε-δ定义就使用了嵌套的量词函数f在点x0处连续，当且仅当∀ε0,∃δ0,∀x∈D,|x-x0|δ→|fx-fx0|ε量词的否定转换规则•¬∀x,Px x,¬Px⟺∃•¬∃x,Px x,¬Px⟺∀第二章一元二次方程与不等式章节概述应用场景一元二次方程与不等式是高中数学的重要内容，是解决实际问题的基本工具本章将系统介绍一元二次方程的求解方法、一元二次不等式的解法以及它们在实际问一元二次方程与不等式在现实生活中有广泛的应用题中的应用•物理学中的抛物运动模型学习目标•经济学中的成本最优化问题•工程设计中的面积和体积计算•掌握一元二次方程的各种求解方法•数据分析中的拟合与预测•理解一元二次函数、方程与不等式的关系•能够解决一元二次不等式及其应用问题•学会使用数形结合的思想分析和解决问题等式与不等式的性质

6.1等式的基本性质2不等式的基本性质3不等式的其他重要性质等式是表示两个数学表达式相等的关系等式的基本不等式表示两个数学表达式之间的大小关系不等式除了基本性质外，不等式还有一些特殊性质性质包括的基本性质包括•如果a0,b0，则a+b0,ab0•对称性若a=b，则b=a•传递性若ab且bc，则ac•如果a0,b0，则a+b0,ab0•传递性若a=b且b=c，则a=c•加减性质若ab，则a±cb±c•如果a0,b0，则ab0•加减性质若a=b，则a±c=b±c•乘除性质•若ab，则-a-b•乘除性质若a=b，则a×c=b×c；若a=b且c≠0，•若ab且c0，则a×cb×c•若01/b则a÷c=b÷c•若ab且c0，则a×c•若a•幂运算性质若a=b，则an=bn（n为正整数）•若ab且c0，则a÷cb÷c•若ab且c0，则a÷c•幂运算性质若ab0，则anbn（n为正整数）代数推理例题例1若ab0，证明√a√b证明由ab0，根据不等式的基本性质，两边同除以√a·√b（注意√a·√b0），得到√a/√b√b/√a，即√a2√b2，所以√a√b例2已知a+b+c=0，且a,b,c都不为0，证明a2+b2+c20基本不等式

7.绝对值不等式一元一次不等式绝对值不等式是一类重要的不等式，常见形式及其等价形式如下一元一次不等式的标准形式为ax+b0（或,≤,≥），其中a≠0•|x|a a0-axa解法⟺•|x|a a0⟺x-a或xa•当a0时x-b/a•|x|≤a a0⟺-a≤x≤a•当a0时x-b/a•|x|≥a a0x≤-a或x≥a⟺一元二次不等式更复杂的形式一元二次不等式的标准形式为ax2+bx+c0（或,≤,≥），其中a≠0•|x-a|b a-bxa+b⟺•|x-a|b xa-b或xa+b解法⟺三角不等式对于任意实数a,b，有|a+b|≤|a|+|b|

1.求出对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根x1,x2（假设x1≤x2）

2.确定二次函数y=ax2+bx+c的开口方向

3.根据开口方向和不等号，确定解集二次函数与一元二次方程、不等式

8.二次函数的基本形式一元二次方程一元二次不等式二次函数的一般形式为fx=ax2+bx+c a≠0，其图像是一条一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0与二次函数fx=ax2+bx+一元二次不等式ax2+bx+c0（或,≤,≥）与二次函数fx=抛物线c的关系ax2+bx+c的关系标准形式fx=ax-h2+k，其中h,k是抛物线的顶点•方程的根是函数图像与x轴的交点的横坐标•不等式的解集对应于函数图像在x轴上方（或下方）的部分的横坐标集合标准形式与一般形式的关系•判别式Δ=b2-4ac决定了方程根的情况•Δ0方程有两个不同的实根，函数图像与x轴有两个•解决一元二次不等式的步骤•h=-b/2a不同的交点•找出对应的二次函数•k=c-b2/4a•Δ=0方程有两个相等的实根，函数图像与x轴相切•确定抛物线的开口方向（由a的符号决定）•Δ0方程没有实根，函数图像与x轴没有交点•求出方程ax2+bx+c=0的根•根据不等号和开口方向确定解集数形结合思想数形结合是解决数学问题的重要思想方法，它将代数和几何方法结合起来，通过图形直观地理解代数关系，或通过代数精确地表达几何关系在处理一元二次方程和不等式时，数形结合思想体现在•通过二次函数的图像理解方程的根和不等式的解集•利用顶点坐标和对称性简化计算•通过平移、伸缩等变换理解不同形式的二次函数之间的关系典型例题二次函数的图像与性质抛物线的顶点轴对称性最大（小）值问题二次函数fx=ax2+bx+c a≠0的顶点坐标为-b/2a,f-b/2a抛物线关于直线x=-b/2a对称，这条直线称为抛物线的对称轴二次函数fx=ax2+bx+c的最值在顶点处取得例题求函数fx=2x2-4x+5的顶点坐标例题若抛物线y=ax2+bx+c a0的顶点在第二象限，且抛物线与x轴有两个交点，这两个交点分别在•当a0时，fx在x=-b/2a处取得最小值f-b/2a=c-b2/4a解a=2,b=-4,c=5第

三、四象限，求a,b,c的符号•当a0时，fx在x=-b/2a处取得最大值f-b/2a=c-b2/4a顶点的横坐标x=-b/2a=--4/2×2=1解顶点在第二象限，即顶点坐标-b/2a,f-b/2a满足-b/2a0,f-b/2a0，所以b0,f-b/2a0例题求函数fx=-3x2+12x-7在区间[1,5]上的最大值和最小值顶点的纵坐标f1=2×12-4×1+5=2-4+5=3抛物线与x轴的两个交点分别在第

三、四象限，说明这两个交点的横坐标一个为负，一个为正，即方程ax2+解a=-30，说明抛物线开口向下，函数有最大值bx+c=0的两个根一正一负根据韦达定理，两根之和为-b/a0，两根之积为c/a由于两根一正一负，所所以顶点坐标为1,3以c/a0，又a0，所以c0顶点的横坐标x=-b/2a=-12/2×-3=2顶点的纵坐标f2=-3×22+12×2-7=-12+24-7=5综上，a0,b0,c0由于2∈[1,5]，所以函数在区间内的最大值为f2=5函数在区间端点处的值为f1=-3×12+12×1-7=-3+12-7=2，f5=-3×52+12×5-7=-75+60-7=-22所以函数在区间[1,5]上的最小值为f5=-22应用举例优化问题二次函数的最值性质在实际问题中有广泛应用，特别是在优化问题中例题一个长方形花坛的周长为20米，如何确定长和宽，使花坛的面积最大？解设长方形的长为x米，宽为y米，则有周长2x+y=20，即x+y=10面积S=xy=x10-x=10x-x2=-x2+10x这是一个开口向下的二次函数，当x=10/2=5时，S取最大值所以当长和宽都为5米时，花坛的面积最大，最大面积为25平方米二次方程求解方法123因式分解法配方法求根公式将二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，然后利用零因子定理求解通过恒等变形，将二次多项式变为完全平方式与常数项之和，然后求解利用公式直接求解二次方程基本步骤基本步骤对于一般形式的二次方程ax2+bx+c=0a≠0，其根为

1.尝试将ax2+bx+c分解为px+qrx+s的形式

1.将方程整理为ax2+bx+c=0的形式x=-b±√b2-4ac/2a

2.令每个因式等于0，求出方程的根

2.将ax2+bx变形为ax+b/2a2-b2/4a其中Δ=b2-4ac称为判别式例题解方程x2-5x+6=

03.整理方程并求解•当Δ0时，方程有两个不同的实根解x2-5x+6=x-2x-3=0例题解方程2x2-4x-3=0•当Δ=0时，方程有两个相等的实根所以x=2或x=3解2x2-4x-3=0•当Δ0时，方程没有实根因式分解法适用于系数简单、易于分解的情况2x2-4x=3例题解方程3x2+5x-2=02x2-2x=3解a=3,b=5,c=-22x2-2x+1-1=3Δ=b2-4ac=52-4×3×-2=25+24=492x-12-2=3x=-b±√Δ/2a=-5±7/62x-12=5x1=-5+7/6=2/6=1/3x-12=5/2x2=-5-7/6=-12/6=-2x-1=±√5/2求根公式适用于任何二次方程，是最通用的解法x=1±√5/2配方法适用于求解任何二次方程，尤其是不易因式分解的情况在实际解题中，我们可以根据方程的具体形式选择最合适的方法例如，对于x2-2x-3=0这样的方程，可以很容易地发现它可以分解为x-3x+1=0，所以使用因式分解法更为便捷而对于3x2+5x-2=0这样的方程，因为系数不易整数分解，使用求根公式更为直接不等式的解集表示数轴表示法区间表示法数轴表示法是利用数轴直观地表示不等式解集的方法基本步骤区间表示法是用区间符号代数化地表示不等式解集的方法常见的区间表示形式

1.在数轴上标出不等式边界点（方程的根）•a,b表示axb，开区间

2.将数轴分成若干区间•[a,b]表示a≤x≤b，闭区间

3.在每个区间内取一个点代入不等式，判断是否满足条件•a,b]表示ax≤b，半开半闭区间

4.用实心点或空心点表示边界点是否包含在解集中•[a,b表示a≤xb，半闭半开区间

5.用粗线段或箭头表示满足条件的区间•a,+∞表示xa•-∞,b表示xb例如，对于不等式x2-3x-4≤0•[a,+∞表示x≥a•解对应的方程x2-3x-4=0，得到x=-1或x=4•-∞,b]表示x≤b•这两个点将数轴分为三个区间-∞,-1,-1,4,4,+∞•-∞,+∞表示全体实数•在每个区间取一点代入原不等式，判断是否成立对于由或连接的不等式，其解集用区间的并集表示，记作∪例如，x2或x5的解集为-∞,2∪5,+∞•由于原不等式中包含等号，所以边界点-1和4也是解•最终解集为[-1,4]，在数轴上表示为从-1到4的闭区间对于由且连接的不等式，其解集用区间的交集表示，记作∩例如，x3且x7的解集为3,7解集判断在实际问题中，我们常需要判断一个值是否属于某个不等式的解集，或者比较不同不等式的解集例题1判断x=

2.5是否是不等式|x-3|≤1的解解|x-3|≤1等价于-1≤x-3≤1，即2≤x≤4由于2≤

2.5≤4，所以x=

2.5是原不等式的解例题2比较不等式3x-20和x2-4x+30的解集解对于不等式3x-20，解得x2/3所以其解集为2/3,+∞对于不等式x2-4x+30，解对应的方程x2-4x+3=0，得到x=1或x=3由于二次项系数为正，所以抛物线开口向上，当1x3时，y0所以不等式的解集为1,3习题课基本不等式应用初级难度中级难度高级难度基础题型主要考察基本不等式的求解方法和解集表示中级题型要求综合运用不等式性质和解法，涉及参数问题高级题型综合多种数学方法，要求灵活应用数形结合思想例1解不等式x+1x-20例3求不等式m-1x2+2mx+m+30对任意x∈R恒成立的参数m的取值范围例5设a,b,c满足a+b+c=0且a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的取值范围解将不等式展开得x2-x-20解二次函数fx=m-1x2+2mx+m+3对任意x恒为正，需要分情况讨论解由a+b+c=0，得c=-a+b令fx=x2-x-2=x+1x-2当m=1时，fx=2x+40并不对所有x成立所以a2+b2+c2=a2+b2+a+b2=2a2+2b2+2ab=1当x=-1或x=2时，fx=0当m≠1时，判别式Δ=2m2-4m-1m+3=4m2-4m2+2m-3=4m2-4m2-8m+12=-即a2+b2+ab=1/28m+12由于二次项系数为正，抛物线开口向上，所以当x-1或x2时，fx0又ab+bc+ca=ab+-a+b×a+-a+b×b=ab-a2-ab-b2=-a2+b2+ab=-1/2又因为要使fx0对任意x成立，需要所以不等式的解集为-∞,-1∪2,+∞所以ab+bc+ca=-1/2

①Δ0，即-8m+120，解得m3/2例2解不等式|x-3|+|x+2|≤7例6已知a,b,c0且abc=1，求a+1/bb+1/cc+1/a的最小值

②二次项系数0，即m-10，解得m1解需要分情况讨论解利用算术-几何平均不等式，有综合

①②，得到m3/2当x≤-2时，|x-3|+|x+2|=-x-3-x+2=-2x+1≤7，解得x≥-3a+1/b≥2√a×1/b=2√a/b例4已知ab0，且a+b=1，求a3+b3的最小值所以在这种情况下，解集为[-3,-2]b+1/c≥2√b×1/c=2√b/c解由a+b=1，得a=1-b当-2x≤3时，|x-3|+|x+2|=-x-3+x+2=5≤7，恒成立c+1/a≥2√c×1/a=2√c/a所以a3+b3=1-b3+b3=1-3b+3b2-b3+b3=1-3b+3b2所以在这种情况下，解集为-2,3]所以a+1/bb+1/cc+1/a≥2√a/b×2√b/c×2√c/a=8√a/b×b/c×c/a=8√1=8令fb=1-3b+3b2，则fb=-3+6b当x3时，|x-3|+|x+2|=x-3+x+2=2x-1≤7，解得x≤4当且仅当a+1/b=2√a/b,b+1/c=2√b/c,c+1/a=2√c/a时，等号成立令fb=0，解得b=1/2，此时fb=60，所以fb在b=1/2处取得最小值所以在这种情况下，解集为3,4]解得a/b=b/c=c/a，即a2=bc,b2=ca,c2=ab由于0ba且a+b=1，所以0b1/2a1，即b=1/2时在允许范围内综合三种情况，不等式的解集为[-3,4]结合abc=1，解得a=b=c=1所以a3+b3的最小值为f1/2=1-3×1/2+3×1/22=1-3/2+3/4=1/4所以a+1/bb+1/cc+1/a的最小值为8解题思路与方法归纳通过上述习题，我们可以归纳出以下解决不等式问题的主要思路和方法

1.区间法对于一元不等式，可以找出临界点并进行区间讨论

2.配方法将二次不等式转化为完全平方式与常数的和或差，便于判断符号

3.数形结合将代数问题转化为几何问题，利用函数图像分析不等式的解集

4.基本不等式熟练应用算术-几何平均不等式、柯西不等式等求解最值问题

5.换元法通过适当的代换简化不等式，使问题更容易处理知识整合与目标总结集合与逻辑一元二次方程•掌握集合的基本概念与表示方法•掌握一元二次方程的三种解法因式分解法、配方法、求根公式•理解集合间的基本关系子集、相等•理解判别式与方程根的关系•熟练运用集合的基本运算并集、交集、补集•掌握二次函数与一元二次方程的关系•理解充分条件与必要条件的区别与联系•能够应用韦达定理解决与方程根有关的问题•正确使用全称量词与存在量词表达命题•能够解决实际问题中的一元二次方程应用核心能力一元二次不等式•逻辑推理能力能够正确理解并运用逻辑关系•掌握一元二次不等式的解法利用二次函数的图像•代数运算能力熟练进行各类代数运算和变形•熟练运用数轴表示不等式的解集•数形结合思想能够将代数问题与几何直观结合起来•能够运用区间表示法表达不等式的解集•问题解决能力能够将数学知识应用于实际问题•理解解集的并集、交集运算•数学建模能力能够建立数学模型解决实际问题•能够解决含参数的不等式问题重难点回顾重点内容难点内容•集合的基本运算及其性质•全称量词与存在量词的理解与应用•充分条件与必要条件的判断•分段函数和绝对值函数的性质与应用•一元二次方程的解法及应用•含参数的一元二次方程与不等式•一元二次不等式的解法及解集表示•基于二次函数的最值问题•二次函数的图像与性质•综合性问题的建模与求解第三章函数的概念与性质函数的基本定义映射与关系式函数是描述两个变量之间对应关系的数学工具，是现代数学中最基本、最重要的概念之一函数可以看作是一种特殊的映射，它满足以下条件定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称f:A→B为从•存在性定义域中的每个元素都有像集合A到集合B的一个函数，记作y=fx，其中x是自变量，y是因变量，A称为函数的定义域，B中与A中元素相对应的元素的集合称为函数的值域•唯一性定义域中的每个元素的像是唯一的函数的三要素函数的关系式是描述自变量与因变量之间对应关系的数学表达式常见的关系式形式有•定义域函数中自变量x所有可能取值的集合•显函数y直接用x表示，如y=2x+1•对应关系自变量与因变量之间的变化规律•隐函数y与x的关系通过方程给出，如x2+y2=1•值域函数中因变量y所有可能取值的集合•分段函数在不同区间上有不同的表达式，如y=|x|函数的定义与表示法

9.函数的表示方法显函数与隐函数函数的定义域函数可以通过多种方式表示，包括显函数是将因变量y直接用自变量x表示的函数，如y=fx这种形式便于计算函数值、求函数fx的定义域是使函数表达式有意义的所有x值的集合确定定义域的基本原则导数等•解析法用代数式表示，如y=2x+3•分母不为零如fx=1/x-2的定义域为{x|x≠2}•列表法用表格列出自变量和因变量的对应值隐函数是通过方程Fx,y=0给出x与y之间关系的函数，如x2+y2=1有时候隐函数可以•偶次根号内非负如fx=√x+3的定义域为{x|x≥-3}转化为显函数，但并非总是可行•图像法用坐标系中的曲线表示函数•对数的真数为正如fx=lnx-1的定义域为{x|x1}•描述法用文字描述自变量与因变量的对应关系例如，方程x2+y2=1可以转化为y=±√1-x2，但此时需要分段定义若未特别指定，函数的定义域通常取使函数表达式有意义的最大范围不同的表示方法适用于不同的情况，解析法最为精确，图像法最为直观数形结合思想数形结合是数学中的重要思想方法，它将代数表达式（数）与几何图形（形）结合起来，相互转化，互相补充，从而更深入地理解问题，寻求解决方案在函数学习中，数形结合思想主要体现在•通过函数图像直观理解函数性质，如增减性、奇偶性等•利用代数表达式精确计算函数值、导数等•通过图像推测函数的代数表达式•利用图像解方程、不等式例如，对于函数fx=x2•从代数角度看，当x增大时，x2的增长速度更快•从几何角度看，其图像是开口向上的抛物线，在原点处有最小值•结合两者，我们可以更全面地理解二次函数的性质数形结合思想是解决高中数学问题的重要方法，也是培养数学思维的关键途径分段函数及应用

11.绝对值函数符号函数取整函数绝对值函数是最基本的分段函数之一，定义为fx=|x|它可以表示为符号函数定义为fx=sgnx它可以表示为取整函数定义为fx=[x]，表示不超过x的最大整数例如，[

3.7]=3，[-

2.3]=-3fx=|x|={x,x≥0-x,x0}fx=sgnx={1,x00,x=0-1,x0}取整函数的主要性质绝对值函数的主要性质符号函数的主要性质•定义域R（全体实数）•定义域R（全体实数）•定义域R（全体实数）•值域Z（全体整数）•值域[0,+∞•值域{-1,0,1}•在每个区间[n,n+1上，函数值恒为n•奇偶性偶函数•奇偶性奇函数•在每个整数点处不连续•单调性在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增符号函数在信号处理、控制理论等领域有重要应用取整函数在离散数学、计算机科学等领域有重要应用绝对值函数在距离计算、误差分析等领域有广泛应用函数的实际应用场景阶梯收费函数物理学中的应用在现实生活中，许多收费标准是按照阶梯式设计的，例如水电费、税率等这种收费方式可以用分段函数表示分段函数在物理学中有广泛应用，例如描述物体的运动状态、电路中的电流-电压关系等例某城市的水费计算标准如下例一个物体的运动可以描述为•月用水量在0-10吨（含）内，每吨3元•在0-5秒内，做匀速运动，速度为2m/s•月用水量在10-30吨（含）内，超过10吨的部分每吨

3.5元•在5-8秒内，做匀加速运动，加速度为3m/s2•月用水量超过30吨，超过30吨的部分每吨4元•在8-12秒内，做匀减速运动，直至停止若设月用水量为x吨，水费为y元，则若设时间为t秒，速度为vt m/s，则y={3x,0x≤1030+

3.5x-10,10x≤30100+4x-30,x30}vt={2,0≤t52+3t-5,5≤t811-11t-8/4,8≤t≤120,t12}函数的单调性

12.单调性定义单调性判定函数的单调性是描述函数图像走势的重要特征判断函数单调性的常用方法单调递增定义法设函数fx的定义域为D，若对于定义域D中的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1x2时，都有fx1fx2，则称函数fx在定义域D上是单调递增的直接根据单调性的定义，考察自变量增大时，函数值的变化情况单调递减导数法设函数fx的定义域为D，若对于定义域D中的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1x2时，都有fx1fx2，则称函数fx在定义域D上是单调递减的利用导数判断函数的单调性是微积分中的重要应用严格单调性与非严格单调性•若在区间I上，对任意x都有fx0，则fx在区间I上单调递增•若在区间I上，对任意x都有fx0，则fx在区间I上单调递减上述定义中的不等号和表示严格单调性如果将不等号改为≤和≥，则对应的是非严格单调性在高中数学中，除非特别说明，单调性通常指严格单调性在高一阶段，虽然还未系统学习导数，但可以通过对典型函数导数性质的初步认识，为后续学习打下基础函数的最大值与最小值

13.函数的最值概念求最值的方法数学建模初步设函数fx的定义域为D，区间I⊆D求函数最值的基本方法最值问题是数学建模的重要应用之一，涉及优化设计、资源配置等实际问题若存在x0∈I，使得对于任意的x∈I，都有fx≤fx0，则称fx0是函数fx在区间I上的最大值

1.确定研究的区间I建模步骤若存在x0∈I，使得对于任意的x∈I，都有fx≥fx0，则称fx0是函数fx在区间I上的最小值

2.寻找可能取得最值的点

1.确定目标函数（要优化的量）函数在区间上的最大值和最小值统称为函数在该区间上的极值•区间内部的驻点（导数为零的点）

2.确定约束条件（变量的取值范围）•区间端点

3.建立数学模型（目标函数与约束条件的关系）•函数不可导的点

4.求解模型，得到最优解

3.计算这些点处的函数值

5.解释结果，验证合理性

4.比较这些函数值，确定最大值和最小值通过函数最值问题的学习，培养数学建模和问题解决能力在高一阶段，主要通过单调性分析和函数图像来求最值做题方法梳理基于单调性分析法特殊函数最值法这是求解函数最值最基本的方法，步骤如下对于一些特殊类型的函数，可以利用其特点直接求最值

1.确定函数的定义域和研究区间

1.二次函数

2.分析函数的单调性，找出单调性的分界点对于fx=ax2+bx+c a≠

03.根据单调性，确定可能取得最值的点•当a0时，fx在x=-b/2a处取得最小值f-b/2a=c-b2/4a

4.计算这些点处的函数值，找出最大值和最小值•当a0时，fx在x=-b/2a处取得最大值f-b/2a=c-b2/4a例题求函数fx=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,3]上的最大值和最小值

2.分段函数解fx=6x2-6x-12=6x2-x-2=6x-2x+1对于分段函数，需要在每一段上分别求最值，然后比较当x=-1或x=2时，fx=

03.周期函数在[-2,-1]上，fx0，函数单调递减对于周期函数，只需在一个周期内求最值在[-1,2]上，fx0，函数单调递增例如，对于fx=sin x，其最大值为1，最小值为-1在[2,3]上，fx0，函数单调递增

4.复合函数所以函数可能的极值点有x=-2,-1,2,3对于复合函数，可以利用内外函数的性质求最值例如，对于fx=ghx，如果知道hx的值域和gx的单调性，可以简化求最值的过程计算各点函数值f-2=-27,f-1=12,f2=-7,f3=14因此，最大值为14，最小值为-27函数的奇偶性

14.奇函数偶函数非奇非偶函数设函数fx的定义域D关于原点对称，若对于任意x∈D，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数设函数fx的定义域D关于原点对称，若对于任意x∈D，都有f-x=fx，则称fx为偶函数不满足奇函数或偶函数定义的函数称为非奇非偶函数奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y轴对称例如典型的奇函数有典型的偶函数有•fx=x2+x•fx=x•fx=c常数函数•fx=ex•fx=x3•fx=x2•fx=ln x•fx=sin x•fx=|x|值得注意的是，一个函数要么是奇函数，要么是偶函数，要么是非奇非偶函数，不可能既是奇函数又是偶函•fx=tan x•fx=cos x数（除非是零函数fx≡0）一般地，y=xn n为奇数都是奇函数一般地，y=xn n为偶数都是偶函数对称性分析奇偶性的判定奇偶性的应用判断函数奇偶性的步骤函数的奇偶性在数学中有广泛应用

1.检查函数的定义域是否关于原点对称•简化计算利用奇偶性可以减少计算量

2.对于定义域内的任意x，计算f-x和比较它与fx或-fx的关系•积分计算奇函数在对称区间上的积分为

03.如果f-x=-fx，则fx为奇函数•方程求解奇函数的零点必包含原点（如果原点在定义域内）

4.如果f-x=fx，则fx为偶函数•图像绘制利用对称性可以简化函数图像的绘制

5.如果以上两条都不满足，则fx为非奇非偶函数例题已知fx是定义在R上的奇函数，且f2=3，求f-2和f0的值例题判断函数fx=x3-x是奇函数还是偶函数解因为fx是奇函数，所以f-x=-fx解f-x=-x3--x=-x3+x=-x3-x=-fx所以f-2=-f2=-3所以fx=x3-x是奇函数又因为f0=-f0，所以f0=0第四章指数函数与对数函数指数与对数的基本定义与实际生活的联系指数和对数是高中数学中的重要概念，它们是描述特定增长和衰减模式的基本工具指数和对数函数在现实生活中有广泛应用指数指数增长模型指数是表示乘方的次数例如，在表达式an中，a是底数，n是指数初中阶段主要学习了整数指数幂，高中阶段将拓展到有理•人口增长在理想条件下，人口以指数方式增长数指数幂和实数指数幂•细菌繁殖细菌数量在适宜条件下呈指数增长对数•复利计算银行存款的复利增长遵循指数模型•放射性衰变放射性物质的衰变遵循指数衰减模型对数是指数的逆运算如果ax=N（其中a0，a≠1），则x是以a为底N的对数，记作x=logaN对数解决了a的几次方等于N这一问题对数应用•地震强度里氏震级是地震释放能量的对数表示•声音强度分贝是声音强度的对数表示•酸碱度pH值是氢离子浓度的负对数•信息论信息量的度量基于对数函数指数的概念与运算

19.指数的拓展an的取值范围基本运算规则从整数指数到有理数指数再到实数指数，指数概念不断拓展指数表达式an的取值范围取决于底数a和指数n指数的运算满足以下基本法则（假设所有表达式都有定义）•整数指数an n∈Z•当a1时•同底数幂的乘法am×an=am+n•正整数指数an=a×a×...×a n个a相乘•随着n增大，an无限增大•同底数幂的除法am÷an=am-n a≠0•零指数a0=1a≠0•随着n减小，an无限接近于0•幂的乘方amn=am×n•负整数指数a-n=1/an a≠0•当0a1时•幂的乘积a×bn=an×bn•有理数指数am/n=n√am=n√am a0•随着n增大，an无限接近于0•幂的商a÷bn=an÷bn b≠0•实数指数通过极限过程定义，如a√2•随着n减小，an无限增大•负指数幂a-n=1/an a≠0•当a=1时，无论n为何值，1n=1•当a=0时，0n=0n0，00无定义，0n无定义n0•当a0时，an在n为整数时有定义，在n为非整数时通常无定义指数的应用举例指数在科学计数法和增长模型中有重要应用科学计数法科学计数法用于表示非常大或非常小的数，形式为a×10n，其中1≤a10，n为整数例如•地球质量

5.97×1024千克•电子质量

9.11×10-31千克•光速

3.00×108米/秒指数增长模型许多自然和社会现象遵循指数增长模型Nt=N0ekt，其中N0是初始值，k是增长率，t是时间例如，某细菌群落的数量遵循Nt=1000×2t/5，其中t是小时数这意味着每5小时，细菌数量翻倍对数的定义及性质

21.对数的定义特殊对数基本性质对数是指数的逆运算如果ax=N（其中a0，a≠1），则x是以a为底N的对数，记作x=logaN有两种特殊的对数在实际应用中特别常用对数具有以下基本性质（假设所有表达式都有定义）形式化定义logaN=x ax=N（a0，a≠1，N0）常用对数•loga1=0（任何数的0次方等于1）⟺注意事项以10为底的对数称为常用对数，记作lg N=log10N常用对数在工程计算、物理学等领域广泛应用•logaa=1（任何数的1次方等于它本身）•底数a必须是正数且不等于1•logaM×N=logaM+logaN（乘积的对数等于对数的和）•真数N必须是正数自然对数•logaM÷N=logaM-logaN（商的对数等于对数的差）•对数运算与指数运算互为逆运算，即alogaN=N，logaax=x以无理数e（约等于

2.71828）为底的对数称为自然对数，记作ln N=logeN自然对数在微积分、统计•logaNp=p×logaN（幂的对数等于对数乘以指数）学等领域有重要应用•logaN=logbN÷logba（换底公式）这两种特殊对数可以通过换底公式相互转换对数与逆运算常用对数换底公式对数作为指数的逆运算，在数学中有着重要的地位理解对数与指数的关系，有助于更深入地掌握这两个概念换底公式是将一个底数的对数转换为另一个底数的对数的重要工具指数与对数的对应关系logaN=logbN÷logba对于任意a0且a≠1，N0特殊情况下，可以表示为•如果ax=N，则logaN=x•logaN=ln N÷ln a•如果logaN=x，则ax=N•logaN=lg N÷lg a这种对应关系在解方程时特别有用例如，对于方程2x=8，可以两边取以2为底的对数，得到x=log28=3例题计算log35的值恒等式解使用换底公式，可以将log35转换为自然对数或常用对数的比值对数与指数的逆运算关系导出两个重要的恒等式log35=ln5÷ln3≈

1.609÷

1.099≈

1.465•alogaN=N（对任意N0）换底公式在计算器没有特定底数对数功能时特别有用，因为大多数计算器都有ln和lg函数•logaax=x（对任意x）这两个恒等式在对数方程和指数方程的求解中经常使用指数、对数函数的图像与性质

23.指数函数y=ax a1指数函数y=ax0a1对数函数y=logax a1当底数a1时，指数函数y=ax具有以下性质当0a1时，指数函数y=ax具有以下性质当底数a1时，对数函数y=logax具有以下性质•定义域R（全体实数）•定义域R（全体实数）•定义域0,+∞•值域0,+∞•值域0,+∞•值域R（全体实数）•单调性在R上单调递增•单调性在R上单调递减•单调性在0,+∞上单调递增•奇偶性非奇非偶函数•奇偶性非奇非偶函数•奇偶性非奇非偶函数•图像特点过点0,1，当x→-∞时，y→0；当x→+∞时，y→+∞•图像特点过点0,1，当x→-∞时，y→+∞；当x→+∞时，y→0•图像特点过点1,0，当x→0+时，y→-∞；当x→+∞时，y→+∞•增长速度当x很大时，ax的增长速度超过任何多项式函数•注意y=ax0a1可以改写为y=1/a-x，其中1/a1•增长速度当x很大时，logax的增长速度低于任何多项式函数对数函数y=logax0a1当0a1时，对数函数y=logax具有以下性质•定义域0,+∞•值域R（全体实数）•单调性在0,+∞上单调递减•奇偶性非奇非偶函数•图像特点过点1,0，当x→0+时，y→+∞；当x→+∞时，y→-∞•注意y=logax0a1可以改写为y=-log1/ax，其中1/a1指数与对数函数的关系指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称这一关系导致它们具有一些互补的性质•指数函数的定义域是对数函数的值域•指数函数的值域是对数函数的定义域•当a1时，指数函数单调递增，对数函数也单调递增经典应用与实际建模人口增长模型复利计算人口增长通常可以用指数模型描述Pt=P0ert，其中P0是初始人口，r是增长率，t是时间银行存款的复利增长遵循指数规律A=P1+rt，其中P是本金，r是利率，t是时间例题某城市2020年人口为100万，年增长率为2%假设增长率保持不变，预测2030年该城市的人口例题存入10000元，年利率为3%，5年后本息和是多少？解A=10000×1+3%5=10000×

1.

159...≈11592（元）解P10=100×1+2%10≈100×

1.219=

121.9（万）相关概念复利的72法则——资金翻倍所需年数≈72÷年利率%例如，年利率3%，则资金大约需要如果用连续复利模型P10=100×e

0.02×10≈100×e

0.2≈100×

1.221=

122.1（万）72÷3=24年才能翻倍尺度测量对数尺度广泛用于测量跨越多个数量级的物理量放射性衰变•地震强度（里氏震级）M=logA/A0，其中A是地震波振幅，A0是标准振幅放射性物质的衰变遵循指数衰减规律Nt=N0e-λt，其中N0是初始量，λ是衰变常数，t是时间•声音强度（分贝）L=10logI/I0，其中I是声强，I0是参考声强例题碳-14的半衰期约为5730年一个含碳样本中的碳-14含量仅为现代样本的25%，估计该样本的年•酸碱度（pH值）pH=-log[H+]，其中[H+]是氢离子浓度龄例题一个地震的震级比另一个高2级，其释放的能量是后者的多少倍？解Nt/N0=25%=1/4=1/22，说明经过了2个半衰期，所以t=2×5730=11460（年）解能量比例=

101.5×2=103=1000（倍）函数模型解决实际问题建模过程二分法求方程近似解使用函数模型解决实际问题通常遵循以下步骤对于无法用代数方法直接求解的方程，如某些含有指数或对数的方程，可以使用二分法求近似解

1.问题分析明确已知条件和求解目标二分法的基本步骤

2.确定变量选择合适的自变量和因变量

1.确定方程fx=0的一个解区间[a,b]，使得fa×fb

03.建立函数关系根据问题情境建立数学模型

2.计算区间中点c=a+b/2的函数值fc

4.求解问题应用数学知识求解模型

3.判断fc的符号

5.检验结果验证解的合理性，必要时修正模型•如果fc=0，则c是方程的解例题某种细菌在适宜条件下培养，其数量Nt满足微分方程dN/dt=kN，其中k是正常数，t是小时数若初始时细菌数量为N0，求t小时后的细菌数量•如果fc×fa0，则解在区间[a,c]中，令b=c解根据微分方程，可得Nt=N0ekt这是典型的指数增长模型•如果fc×fb0，则解在区间[c,b]中，令a=c

4.重复步骤2和3，直到区间长度足够小或达到预设精度全书复习与知识整合综合应用能力将所学知识应用于复杂问题的能力，包括数学建模、实际问题解决和创新思维这需要灵活运用各个知识点，形成综合解决问题的能力函数思想理解变量之间的依赖关系，掌握函数的性质和应用函数是高中数学的核心概念，连接了代数与几何，为后续学习奠定基础方程与不等式掌握各类方程和不等式的解法，理解其几何意义这是解决数学问题的基本工具，也是函数应用的重要方面集合与逻辑理解基本的集合概念和逻辑运算，培养严谨的数学语言和思维方式这是整个数学学习的基础五大单元重点归纳集合与逻辑用语指数函数与对数函数•掌握集合的基本概念、表示方法和运算•掌握指数的运算法则和有理指数幂的定义•理解充分条件、必要条件和充要条件的区别•理解对数的定义、性质和运算法则•正确使用全称量词和存在量词表达数学命题•掌握指数函数与对数函数的图像和性质一元二次方程与不等式•应用指数和对数函数解决实际问题数学思想方法•掌握一元二次方程的各种解法及应用•理解一元二次不等式的解法及解集表示•数形结合思想将代数与几何相结合，相互转化•应用数形结合思想解决问题•函数与方程思想理解函数与方程、不等式的联系函数的概念与性质•数学建模思想用数学语言描述实际问题•转化与化归思想将复杂问题转化为已知问题•理解函数的定义、三要素和表示方法•掌握函数的单调性、奇偶性等基本性质•熟悉分段函数的定义和应用典型易错点总结与突破集合运算误区函数定义域判断易错点混淆集合的交、并、补运算，特别是在复合运算中易错点判断复合函数、分段函数的定义域时容易遗漏条件突破方法突破方法•利用韦恩图直观理解集合运算•列出使函数表达式有意义的所有条件•记住基本运算律，如分配律A∪BC=AC∩BC•对于复合函数gfx，需同时考虑fx的定义域和gy中y=fx的取值范围•多做练习，熟练掌握运算规则•分段函数要考虑各分段的定义域再求并集。