高中必修一数学教学课件

高中数学必修一教学课件第一章集合与常用逻辑用语集合论是现代数学的基础，它提供了一种系统的方式来描述和处理数学中的各种对象本章将从集合的基本概念出发，逐步探讨集合的表示方法、集合间的关系以及集合的基本运算，并将这些抽象概念与生活实例相结合，帮助同学们更直观地理解通过学习集合和逻辑用语，同学们将掌握集合的定义及表示方法•集合间的基本关系（包含、相等等）•集合的运算（并集、交集、补集等）•常用逻辑用语及其数学表达•量词的使用与理解•这些知识将为后续函数、不等式等内容的学习奠定坚实基础集合的概念和常见数集

1.1集合的定义集合是具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素数学上用大写字母表示集合，小写字母表示元素若元素属于集合，记作∈；若元素不属于集a A a Aa合，记作∉AaA集合的特点确定性、互异性、无序性所有集合元素必须能明确判断是否属于该集合，每个元素只计算一次，元素的排列顺序不影响集合本身常见数集自然数集（注意有些教材中自然数从开始）N N={0,1,2,3,...}1整数集Z Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}有理数集可以表示为分数形式（）的数的集合Q p/q q≠0实数集包含有理数和无理数的集合，对应数轴上的点R关系⊂⊂⊂，即自然数集是整数集的子集，整数集是有理数集的子集，有理数集是N ZQ R实数集的子集集合的表示方法

1.2列举法描述法维恩图（图）Venn将集合中的所有元素一一列举出来，用大括号括起来，元素之间用逗号隔开用集合元素的共同特征来表示集合，格式为具有某种特性，读作满足具有某种用封闭曲线（通常是圆或椭圆）表示集合，曲线内的点表示集合中的元素{x|x}x x特性的所有的集合示例表示由组成的集合x用于直观地表示集合之间的关系，特别适合表示集合的交集、并集、补集等运算A={1,2,3,4,5}1,2,3,4,5示例＜∈表示小于的所有自然数构成的集合，即适用情况集合元素有限且数量较少时B={x|x4,x N}4{0,1,2,3}图在解决复杂集合问题时特别有用，可以将抽象的集合关系可视化，使问题更易理Venn优点可以表示元素个数无限的集合，或者元素较多不便一一列举的集合解和解决注意事项列举法要求将集合中的每个元素都明确写出来，元素之间用逗号分隔元素不能重复出现，排列顺序不影响集合本身在实际应用中，描述法需要明确给出元素应满足的条件，条件应足够清晰以确定元素是否属于该集合在实际应用中，我们常常需要灵活选择最适合的表示方法例如，当描述班级中所有女生这个集合时，如果班级人数少，可以用列举法；如果人数多，则可以用描述法是该班级的女生{x|x}有时我们也需要在不同表示方法之间进行转换例如，将集合是小于的质数转换为列举法表示为这种转换能A={x|x10}A={2,3,5,7}力对于理解和解决集合问题至关重要集合间的基本关系

2.1子集概念如果集合中的每一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作⊆A B A B A B例如⊆，因为前者的每个元素都在后者中{1,3,5}{1,2,3,4,5}特殊情况任何集合都是自身的子集，即⊆；空集∅是任何集合的子集A A真子集如果⊆，且（即中至少有一个元素不属于），则称是的真子集，记作⊂A B A≠B B A A B A B例如⊂，因为前者的每个元素都在后者中，且后者含有不在前者中的元素{1,3}{1,2,3,4,5}2,4,5注意⊂意味着⊆，但反之不成立A B A B相等集合如果⊆且⊆，则称集合与集合相等，记作A B B A A B A=B集合相等意味着两个集合包含完全相同的元素例如∈，因为满足的实数只有和{x|x²=4,x R}={-2,2}x²=4-22上图使用图形象地展示了集合间的包含关系当一个圆完全包含在另一个圆内时，表示子集关系；当两个圆完全重合时，表示相Venn等集合集合关系典型例题

2.212求集合的子集数量判断集合包含关系问题已知集合，求的所有子集个数及其真子问题判断集合与之间的关系A={a,b,c,d}A A={x|x²-5x+6=0}B={2,3}集个数解析解方程x²-5x+6=0解析对于个元素的集合，其子集个数为个n2^nx-2x-3=0因此，集合有个子集A2^4=16得或x=2x=3真子集个数子集个数个=-1=16-1=15所以A={2,3}这是因为除去集合本身，其余子集都是的真子集A A因此A=B3集合元素判断题问题已知集合是三位数，且能被整除，是三位数，且能被整除，判断与的关系A={x|x x3}B={x|x x9}A B解析根据数论知识，能被整除的数必定能被整除93所有三位数中能被整除的数都能被整除，但并非所有能被整除的三位数都能被整除9339所以⊂，是的真子集B A BA思考要点集合元素个数规律包含个元素的有限集合，其子集个数为相等集合的判定证明两个集合相等的标准方法是证明它们互为子

1.n2^n

3.个这是因为对于集合中的每个元素，我们都有两种选择要么包含集，即⊆且⊆另一种方法是证明它们含有完全相同的元素A B BA它，要么不包含它空集和全集特点空集是任何集合的子集；全集是任何集合的超集

2.空集的子集只有空集自身集合的基本运算

3.1并集集合与集合的并集，记作∪，表示由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合A BA BA B数学表达∪∈或∈A B={x|x Ax B}例如∪{1,2,3}{3,4,5}={1,2,3,4,5}交集集合与集合的交集，记作，表示由所有既属于集合又属于集合的元素组成的集合A BA∩BA B数学表达∈且∈A∩B={x|x Ax B}例如{1,2,3}∩{3,4,5}={3}差集集合与集合的差集，记作，表示由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合A BA-BA B数学表达∈且∉A-B={x|x Ax B}例如{1,2,3,4}-{3,4,5}={1,2}集合运算基本律交换律∪∪，A B=BA A∩B=B∩A结合律∪∪∪∪，A B C=ABC A∩B∩C=A∩B∩C分配律∪∪，∪∪∪A∩BC=A∩BA∩C AB∩C=AB∩A C幂等律∪，A A=A A∩A=A并集与交集应用例题

3.212集合的基本运算集合运算与图应用Venn问题已知集合A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}，求A∪B与A∩B问题某校高一年级有90名学生参加数学、物理竞赛，其中参加数学竞赛的有60人，参加物理竞赛的有50人求解析1既参加数学又参加物理竞赛的学生人数；A∪B是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，因此2只参加数学竞赛的学生人数；A∪B={1,2,3,5,7,9}3只参加物理竞赛的学生人数；A∩B是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，因此解析设参加数学竞赛的学生集合为M，参加物理竞赛的学生集合为PA∩B={3,5,7}已知|M|=60，|P|=50，|M∪P|=901|M∩P|=|M|+|P|-|M∪P|=60+50-90=20（人）2只参加数学竞赛的学生数=|M|-|M∩P|=60-20=40（人）3只参加物理竞赛的学生数=|P|-|M∩P|=50-20=30（人）图辅助分析Venn在解决集合问题时，Venn图是一个非常有用的工具，特别是处理两个或三个集合的关系时绘制Venn图时，我们通常用圆表示集合，圆的重叠部分表示交集例如，在第二个例题中，我们可以绘制一个Venn图，左圆表示数学竞赛参与者，右圆表示物理竞赛参与者根据已知条件，我们可以标注出各区域的人数交集区域20人，仅数学区域40人，仅物理区域30人通过Venn图，我们可以直观地看到集合之间的关系，使复杂的问题变得简单明了补集与补集性质

3.3补集的定义在给定的全集U中，集合A的补集是由所有属于全集U但不属于集合A的元素组成的集合，记作A（或A^C,~A,Ā）数学表达A={x|x∈U且x∉A}=U-A例如如果全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,3,5}，则A={2,4,6}补集的基本性质•A=A（补集的补集是原集合）•∅=U（空集的补集是全集）•U=∅（全集的补集是空集）•A∪A=U（集合与其补集的并集是全集）•A∩A=∅（集合与其补集的交集是空集）德摩根律德摩根律是连接集合运算与补集运算的重要法则•A∪B=A∩B（并集的补集等于各补集的交集）•A∩B=A∪B（交集的补集等于各补集的并集）这些法则可以推广到多个集合的情况A₁∪A₂∪...∪Aₙ=A₁∩A₂∩...∩AₙA₁∩A₂∩...∩Aₙ=A₁∪A₂∪...∪Aₙ德摩根律在集合论、逻辑学和电路设计中都有广泛应用例题验证德摩根律补集运算在实际问题中的应用问题已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7,9}，B={2,3,5,7}验证德摩根律A∪B=A∩B问题某班50名学生中，喜欢数学的有30人，喜欢物理的有25人，既喜欢数学又喜欢物理的有15人求既不喜欢数学也不喜欢物理的学生人数解析解析首先，计算A∪B={1,2,3,5,7,9}设喜欢数学的学生集合为M，喜欢物理的学生集合为P，全班学生集合为U然后，计算A∪B={4,6,8,10}要求的是既不喜欢数学也不喜欢物理的学生人数，即M∪P的元素个数接着，计算A={2,4,6,8,10}，B={1,4,6,8,9,10}|M∪P|=|M|+|P|-|M∩P|=30+25-15=40集合运算综合例题

3.4例题一多集合运算综合例题二三集合问题问题已知全集，集合，，问题某调查显示，在名学生中，喜欢篮球的有人，喜欢足球的有人，喜欢排球的有人，同U={1,2,3,...,10}A={1,2,3,4,5}B={4,5,6,7}C={1,3,5,100455542求∪时喜欢篮球和足球的有人，同时喜欢篮球和排球的有人，同时喜欢足球和排球的有人，三种球都7,9}A∩BB∩C251823喜欢的有人求10解析至少喜欢一种球的学生人数；1先计算A∩B={4,5}恰好喜欢两种球的学生人数；2再计算B∩C={5,7}解析然后计算B∩C={1,2,3,4,6,8,9,10}设喜欢篮球、足球、排球的学生集合分别为、、ABC最后计算∪A∩BB∩C={1,2,3,4,5,6,8,9,10}至少喜欢一种球的学生人数为∪∪1|ABC|这类题目的关键是按照运算顺序一步步计算，先计算括号内的内容，再进行后续运算∪∪|ABC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|（人）=45+55+42-25-18-23+10=86恰好喜欢两种球的学生人数2=|A∩B|-|A∩B∩C|+|A∩C|-|A∩B∩C|+|B∩C|-|A∩B∩C|（人）=25-10+18-10+23-10=15+8+13=36使用图解决三集合问题的步骤Venn绘制三个相交的圆，分别代表三个集合

1.圆的重叠部分形成七个区域，分别代表不同的集合组合

2.从已知的交集、并集等信息，逐步推导出各个区域的元素个数

3.根据问题要求，计算相应区域的元素个数和

4.充要条件与必要、充分条件

4.1条件命题的基本形式必要条件与充分条件充要条件条件命题是具有如果p，那么q形式的复合命题，记作p→q，其中p称为条件（前提），q称为结论充分条件如果p→q为真命题，则称p是q的充分条件如果p是q的充分条件，同时也是q的必要条件，则称p是q的充要条件意味着若p成立，则q必定成立；但q成立时，p不一定成立表达为p→q且q→p，或者写成p↔q（当且仅当）例如如果一个数能被4整除，那么它能被2整除例如x²=4是x=2或x=-2的充分条件意味着p成立当且仅当q成立；p与q要么同时成立，要么同时不成立这里，能被4整除是条件p，能被2整除是结论q必要条件如果q→p为真命题，则称p是q的必要条件例如三角形的三个内角和为180°是这个图形是三角形的充要条件逻辑上，条件命题p→q的真假取决于p和q的真假只有当p为真而q为假时，p→q为假；其他情况下，意味着若q成立，则p必定成立；但p成立时，q不一定成立p→q都为真例如x为偶数是x能被4整除的必要条件条件命题的否定与逆否命题对于条件命题p→q逆命题q→p（不一定与原命题具有相同的真假性）否命题~p→~q（不一定与原命题具有相同的真假性）逆否命题~q→~p（与原命题具有相同的真假性）例如，对于命题如果一个数能被4整除，那么它能被2整除-逆命题如果一个数能被2整除，那么它能被4整除（假）-否命题如果一个数不能被4整除，那么它不能被2整除（假）-逆否命题如果一个数不能被2整除，那么它不能被4整除（真）条件关系典型题

4.212判断充分必要条件辨析充分条件与必要条件问题判断命题a²+b²=0是a=0且b=0的什么条件？问题设命题p x≥1，命题q x²≥1判断p是q的什么条件？解析解析首先，判断a²+b²=0是否为a=0且b=0的充分条件

（1）判断p是否为q的充分条件，即判断若x≥1，则x²≥1是否为真命题若a²+b²=0，因为a²≥0且b²≥0，所以a²=0且b²=0，进而得到a=0且b=0若x≥1，则x²≥1×1=1，所以x²≥1成立所以a²+b²=0是a=0且b=0的充分条件因此，p是q的充分条件其次，判断a²+b²=0是否为a=0且b=0的必要条件

（2）判断p是否为q的必要条件，即判断若x²≥1，则x≥1是否为真命题若a=0且b=0，则a²+b²=0²+0²=0当x=-2时，x²=4≥1，但x=-21，所以x≥1不成立所以a²+b²=0是a=0且b=0的必要条件因此，p不是q的必要条件综上，a²+b²=0是a=0且b=0的充要条件综上，x≥1是x²≥1的充分条件，但不是必要条件3条件命题的真假判断问题判断以下命题的真假若n²是奇数，则n是奇数解析该命题形式为若p，则q，其中p是n²是奇数，q是n是奇数要证明该命题为真，可以

1.直接证明若n²是奇数，则n²可表示为2k+1的形式若n是偶数，则n=2m，n²=4m²，是偶数，矛盾所以n必是奇数

2.逆否证明若n不是奇数（即n是偶数），则n=2k，n²=4k²=22k²，是偶数，所以n²不是奇数这也证明了原命题为真因此，该命题为真在判断条件关系时，需要注意以下几点

1.充分条件是从条件推结论p→q（若p成立，则q成立）

2.必要条件是从结论推条件q→p（若q成立，则p成立）充要条件是双向推导p↔q（p成立当且仅当q成立）

4.条件命题的真假判断可以通过直接证明、反证法或逆否命题证明全称量词与存在量词

5.1量词的概念存在量词量词是用来表示命题中变量取值范围的逻辑符号，在数学逻辑和集合论中有广存在量词用符号∃表示，读作存在或至少存在一个泛应用主要有两种量词全称量词和存在量词例如，∃∈表示存在实数，使得这是一个真命题，因为x R,x²=2x x²=2全称量词±时命题为真x=√2全称量词用符号∀表示，读作对任意的或对所有的存在量词命题的否定是对应的全称量词命题，即∃x,Px的否定是∀x,¬Px例如，∀∈表示对任意实数，都有这是一个真命题x R,x²≥0x x²≥0例如，∃∈的否定是∀∈x R,x²0x R,x²≥0全称量词命题的否定是对应的存在量词命题，即∀的否定是∃x,Pxx,唯一量词¬Px例如，∀∈的否定是∃∈唯一量词用符号∃表示，读作存在唯一或有且仅有一个x R,x0x R,x≤0!例如，∃∈表示存在唯一实数，使得这是一个真命题，!x R,x²=0x x²=0因为仅当时，成立x=0x²=0全称量词的应用全称量词适用于描述普适性规律或性质，表示某个性质对所有元素都成立例如∀∈（对任意自然数，都大于）•n N,n+1n n n+1n∀∈（对任意实数，其绝对值都非负）•x R,|x|≥0x∀⊆∪（对全集的任意子集，与其补集的并集等于全集）•A U,A A=U UAA全称量词命题的证明通常需要考虑所有可能的情况，或者使用反证法存在量词的应用存在量词适用于描述特例或可能性，表示至少存在一个元素满足某性质例如∃∈（存在整数，使得）•x Z,x²=4x x²=4∃∈（存在自然数，使得）•n N,n²100nn²100∃⊆（存在实数集的子集，使得等于其补集）•A R,A=AAA量词应用题

5.2123用量词表达数学命题判断含量词命题的真假量词命题的否定问题用量词符号表达以下命题问题判断下列命题的真假问题写出下列命题的否定1存在一个整数的平方等于16；1∀x∈R,∃y∈R,使得x+y=0；1∀x∈R,x²≥0；2对任意的实数x，都有|x|≥0；2∃y∈R,∀x∈R,使得x+y=0；2∃x∈Z,x²=2；3存在唯一的实数x，使得x²+1=03∀x0,x²x3∀ε0,∃δ0,使得当|x-a|δ时，有|fx-L|ε解析解析解析1∃x∈Z,x²=161真对任意实数x，都可以取y=-x，使得x+y=0成立1∃x∈R,x²02∀x∈R,|x|≥02假不存在一个固定的实数y，使得对任意的x都有x+y=0因为若有这样的y，当x=0时，y=0；2∀x∈Z,x²≠23∃!x∈R,x²+1=0当x=1时，y=-1，矛盾3∃ε0,∀δ0,使得存在x满足|x-a|δ，但|fx-L|≥ε注意第3题的表达不正确，因为方程x²+1=0在实数域内没有解正确表达应该是不存在实数x，使3分类讨论当01时，x²x因此该命题为假正确的命题应为∀x1,x²x第3题是函数极限的ε-δ定义，其否定表达了函数在点a处的极限不为L得x²+1=0，即∀x∈R,x²+1≠0量词顺序的重要性在包含多个量词的命题中，量词的顺序至关重要，不同的顺序可能导致完全不同的含义例如，比较-∀x∈R,∃y∈R,x+y=0（对每个x都存在对应的y使等式成立）-∃y∈R,∀x∈R,x+y=0（存在一个y使对所有x等式都成立）前者为真，后者为假这说明量词顺序的变化会影响命题的真假第一章知识点小结与易错点集合的基本概念1•集合是具有某种特定性质的事物的总体•元素与集合的关系属于∈与不属于∉•集合的三个特性确定性、互异性、无序性2集合的运算•常见数集自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R•并集∪A∪B={x|x∈A或x∈B}•子集⊆、真子集⊂、相等集合=•交集∩A∩B={x|x∈A且x∈B}易错点区分子集与真子集；理解空集是任何集合的子集；注意任何集合都是自身的子集•差集-A-B={x|x∈A且x∉B}•补集A={x|x∈U且x∉A}逻辑用语3•运算律交换律、结合律、分配律•充分条件与必要条件p是q的充分条件p→q，p是q的必要条件q→p•德摩根律A∪B=A∩B，A∩B=A∪B充要条件p是q的充分必要条件p↔q易错点混淆并集与交集；忽视补集运算需要明确全集；在复杂运算中忽略运算顺序•全称量词∀与存在量词∃•量词命题的否定转换规则易错点混淆充分条件与必要条件；忽视量词顺序的重要性；量词命题否定时的错误转换重点公式总结•集合关系A=B⟺A⊆B且B⊆A•元素个数|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|•三集合公式|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|•子集个数含n个元素的集合共有2^n个子集•补集关系A∪A=U，A∩A=∅，A=A•德摩根律A∪B=A∩B，A∩B=A∪B第二章函数的概念与表示函数概念的重要性函数是数学中最重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系函数思想不仅是高中数学的核心，也是高等数学的基础通过学习函数，我们能够•建立变量之间的对应关系•用数学模型描述现实世界的变化规律•预测和分析各种变化过程•为后续学习微积分奠定基础本章将系统介绍函数的基本概念、表示方法以及基本性质，帮助同学们建立完整的函数认知体系函数可以通过三种常用方法表示变量关系与函数整体认识

6.1变量间的关系函数的本质函数在现实中的应用在自然和社会现象中，我们经常观察到各种量之间的依赖关系函数本质上是一种特殊的对应关系，它具有以下特点函数思想广泛应用于各个领域•气温与海拔高度的关系确定性自变量取某值时，函数值唯一确定物理学描述物体运动、能量转换等物理过程•物体运动的位移与时间的关系对应性每个自变量都有与之对应的函数值经济学建立供需关系、成本收益分析模型•商品价格与销售量的关系范围性自变量和函数值都有其取值范围生物学描述种群增长、生物节律等变化规律•圆的面积与半径的关系函数可以看作是将输入值转换为输出值的规则或机器工程技术分析电路特性、结构受力等工程问题这些关系中，一个量的变化会导致另一个量相应变化，这就是变量间的依赖关系函数是连接数学与现实世界的重要桥梁初中函数知识回顾在初中数学中，我们已经接触了一些基本函数一次函数y=kx+b，图象是直线二次函数y=ax²+bx+c a≠0，图象是抛物线反比例函数y=k/x k≠0，图象是双曲线这些函数是高中函数学习的基础在高中，我们将深入研究这些函数的性质，并学习更多类型的函数，如幂函数、指数函数、对数函数等函数定义、定义域和值域

6.2函数的定义定义域值域设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，在集函数的定义域是指自变量x所有可能取值的集合确定函数定义域的方法函数的值域是指当自变量x取遍定义域中所有值时，函数值y=fx的所有可能取值构成的集合确定值合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=fx，其

1.若函数表达式中含有分母，则分母不能为0域的常用方法中x∈A，y∈B

2.若函数表达式中含有偶次根式，则根号下表达式不能为负

1.直接法根据函数表达式的特点直接判断函数的三要素

3.若函数表达式中含有对数，则对数的真数必须为正数

2.数形结合法借助函数图象分析定义域自变量x的取值范围，即集合A

4.特殊函数（如三角函数）可能有特定的定义域限制

3.定义法找出定义域中的x，使fx取遍值域中的所有值对应关系变量间的对应规则，即f例如函数fx=√1-x²的定义域为[-1,1]，因为要满足1-x²≥

04.单调性法利用函数的单调区间确定最值，进而确定值域值域函数值y的取值范围，即fA⊆B例如函数fx=x²的定义域为R，值域为[0,+∞函数与映射的关系函数是映射的一种特殊情况，它是从实数集（或其子集）到实数集（或其子集）的映射映射的概念更广泛，它可以在任意集合之间建立对应关系从映射的角度，函数可以分为以下几类单射函数不同的自变量值对应不同的函数值（一对一）满射函数值域等于函数给出的集合B双射函数既是单射又是满射，此时存在反函数例如，fx=x³是一个双射函数，它既是单射（不同x对应不同y），又是满射（值域为R）函数相等的条件两个函数相等，需要满足三个条件

1.定义域相同函数的表示法

7.1123解析法图象法列表法用数学表达式或公式直接表示变量间的对应关系在直角坐标系中用曲线表示函数关系，横坐标表示自变量，纵坐标表示函数值通过表格列出自变量和对应函数值的方式表示函数优点精确、简洁，便于进行理论分析和推导优点直观、形象，便于观察函数整体性质和变化趋势优点具体、清晰，适合离散数据或有限数据点局限性对复杂关系不直观，理解需要一定的数学基础局限性不够精确，无法获取具体数值局限性无法表示连续变化，难以观察整体规律常见形式常见图象常见形式•显函数y=fx，如y=2x+3•直线一次函数y=kx+b•隐函数Fx,y=0，如x²+y²=1•抛物线二次函数y=ax²+bx+c xx₁x₂x₃...xₙ•参数方程x=φt,y=ψt，如x=cost,y=sint•双曲线反比例函数y=k/x yfx₁fx₂fx₃...fxₙ适用场景理论分析、函数性质研究、导数计算等适用场景函数性质直观分析、趋势观察、零点近似求解等适用场景实验数据记录、离散函数表示、数值计算等三种表示法的相互转换在实际应用中，常需要在不同表示法之间进行转换解析法→图象法通过描点或利用函数性质绘制图象解析法→列表法代入特定自变量值计算函数值图象法→解析法通过曲线特征推导数学表达式图象法→列表法从图象上读取特定点的坐标列表法→解析法通过数据拟合寻找数学模型列表法→图象法将数据点绘制在坐标系中并连线不同表示法各有优势，应根据问题特点选择合适的表示方法分段函数举例

7.2分段函数的定义绝对值函数符号函数分段函数是指在定义域的不同部分，函数的解析表达式不同的函数分段函数通常表示为绝对值函数是最基本的分段函数之一，定义为符号函数是另一个常见的分段函数，定义为fx={f₁x,x∈D₁f₂x,x∈D₂...fₙx,x∈Dₙ}fx=|x|={x,x≥0-x,x0}sgnx={1,x00,x=0-1,x0}其中D₁,D₂,...,Dₙ是定义域D的一个划分，即D=D₁∪D₂∪...∪Dₙ，且Di∩Dj=∅i≠j函数图象以原点为顶点的V形图象函数图象由三条水平线段组成分段函数在各分段交界处的连续性需要特别关注，这是分段函数研究的重点基本性质基本性质•定义域R•定义域R•值域[0,+∞•值域{-1,0,1}•奇偶性是偶函数，|x|=|-x|•奇偶性是奇函数，sgn-x=-sgnx•单调性在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增•单调性在-∞,0和0,+∞上都不增不减•最小值在x=0处取得最小值0•在x=0处不连续分段函数的应用例题例题已知函数fx={ax+b,x1cx²+d,x≥1}，若fx在x=1处连续，且f1=2，求a,b,c,d的值解析

1.函数在x=1处连续，即左右极限相等limx→1⁻fx=limx→1⁺fxa·1+b=c·1²+da+b=c+d...

12.计算fx fx={a,x12cx,x1}

3.已知f1=2，则左导数limx→1⁻fx=a右导数limx→1⁺fx=2c·1=2c由于f1=2，可得a=

2...22c=2，即c=

1...

34.将23代入12+b=1+db=d-

1...

45.为确定唯一解，还需附加条件假设b=0，则d=1因此，a=2,b=0,c=1,d=1其他常见分段函数函数的单调性

8.1单调性的定义设函数fx的定义域为D，区间I⊆D单调递增若对于区间I上的任意两点x₁,x₂，当x₁单调递减若对于区间I上的任意两点x₁,x₂，当x₁fx₂，则称函数fx在区间I上单调递减单调函数在其定义域内单调递增或单调递减的函数严格单调性保证了函数在区间上是一一对应的，即单射函数单调性例题

8.2123证明函数单调性确定单调区间利用单调性解题问题证明函数fx=3x³-6x²+2在区间[0,+∞上单调递增问题求函数fx=x³-3x²+2的单调递增区间和单调递减区间问题已知函数fx=x-ln1+x在定义域内单调递增，求方程fx=1的近似解解析解析解析方法一导数法

1.求导数fx=3x²-6x=3xx-

21.确定函数定义域因为1+x0，所以x-1计算fx=9x²-12x

2.求fx=0的解x=0或x=

22.验证单调性fx=1-1/1+x=x/1+x0当x-1时fx=3x3x-

43.分析fx的符号

3.解方程fx=1在区间[0,4/3]上-当x0时，fx0，函数单调递减x-ln1+x=1当x=0时，f0=0-当0x-1=ln1+x当0-当x2时，fx0，函数单调递增这个方程难以直接求解，可以通过数值方法或图象法求近似解在区间[4/3,+∞上

4.结论函数fx在区间-∞,2上单调递减，在区间2,+∞上单调递增

4.尝试代入一些值当x4/3时，fx0，函数单调递增当x=1时，f1=1-ln2≈

0.3071所以fx在区间[0,4/3]上单调递减，在区间[4/3,+∞上单调递增当x=2时，f2=2-ln3≈

0.9021修正题目要求证明在[0,+∞上单调递增，这个结论是错误的当x=3时，f3=3-ln4≈

1.

61315.由函数的单调性，方程fx=1的解在2,3之间，近似值约为

2.5单调性的应用函数的单调性在数学中有广泛的应用方程唯一解的判定若函数fx在区间I上严格单调，且方程fx=0在I上有解，则该解唯一不等式证明利用函数单调性可以将不等式转化为自变量之间的大小比较最值问题单调函数在闭区间上的最大值和最小值必定在区间端点处取得数值近似利用单调性可以设计高效的近似算法，如二分法求方程近似解函数的最大值与最小值

9.1函数极值的定义求最值的常用方法值域的确定设函数fx在点x₀的某邻域内有定义，如果对于这个邻域内的任意点x都有fx≤fx₀，那么称fx₀闭区间上连续函数的最值函数的值域就是函数在其定义域上所有函数值构成的集合对于闭区间上的连续函数，其值域是一个是函数的极大值；如果对于这个邻域内的任意点x都有fx≥fx₀，那么称fx₀是函数的极小值极

1.求出函数在区间内的所有驻点（导数为零的点）和不可导点闭区间[m,M]，其中m和M分别是函数的最小值和最大值大值和极小值统称为极值

2.计算函数在这些特殊点和区间端点的函数值确定函数值域的常用方法函数在区间上的最大值是指函数在该区间上所有函数值中的最大者；最小值是指函数在该区间上所有

3.比较所有这些函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值定义法直接根据函数表达式分析可能的函数值范围函数值中的最小者利用单调性求最值单调性法利用函数的单调区间确定最值，进而确定值域注意极值是局部概念，最大值和最小值是全局概念极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小数形结合法结合函数图象分析函数值的变化范围值如果函数在整个区间上单调，则分类讨论法对不同的自变量取值区间分别讨论函数值范围•单调递增函数的最小值在左端点取得，最大值在右端点取得•单调递减函数的最大值在左端点取得，最小值在右端点取得例题求值域问题求函数fx=2x²-4x+3的值域解析

1.首先明确函数定义域为R

2.求导数fx=4x-4=4x-

13.令fx=0，得x=

14.判断极值当x1时，fx0，函数单调递减当x1时，fx0，函数单调递增所以x=1是函数的极小值点

5.计算极小值f1=2-4+3=

16.当x→±∞时，由于首项系数为正，fx→+∞

7.综上，函数的值域为[1,+∞多种函数的最值特点二次函数fx=ax²+bx+c a≠0•抛物线顶点的横坐标为x=-b/2a•当a0时，函数有最小值f-b/2a=c-b²/4a•当a0时，函数有最大值f-b/2a=c-b²/4a绝对值函数fx=|x|极值问题典型例

9.2123闭区间上函数的最值求函数的值域实际应用问题问题求函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值问题求函数fx=x²-1/x²+1的值域问题一个开口向上的抛物线通过点0,4和4,0，求这条抛物线的最低点坐标解析解析解析

1.求导数fx=3x²-6x=3xx-

21.函数定义域为R（注意x²+1≠0对任意实数x均成立）

1.设抛物线方程为y=ax²+bx+c a

02.令fx=0，得x=0或x=

22.变形函数表达式

2.利用已知条件

3.分析单调性fx=x²-1/x²+1=x²+1-2/x²+1=1-2/x²+1点0,44=a·0²+b·0+c，得c=4在[-1,0]上，fx0，函数单调递减

3.分析变形后的表达式点4,00=a·4²+b·4+c=16a+4b+4在[0,2]上，fx0，函数单调递减因为x²+10对任意实数x成立，所以2/x²+1016a+4b=-4在[2,3]上，fx0，函数单调递增当|x|→+∞时，2/x²+1→0，fx→14a+b=-

1...

14.计算特殊点和端点的函数值当x=0时，f0=-

13.抛物线的最低点在顶点，横坐标为x=-b/2af-1=-1³-3-1²+2=-1-3+2=-

24.求导数分析单调性

4.从式1得b=-1-4af0=0-0+2=2fx=4x/x²+1²

5.代入顶点横坐标公式f2=8-12+2=-2当x0时，fx0，函数单调递增x=-b/2a=--1-4a/2a=1+4a/2af3=27-27+2=2当x0时，fx0，函数单调递减

6.还需确定a的值由于题目给出的条件不足，可以假设a=

15.比较得到最大值为2，在x=0和x=3处取得；最小值为-2，在x=-1和x=2处取得所以x=0是函数的极小值点，极小值为f0=-1则b=-1-4=-

55.综上，函数的值域为[-1,1最低点横坐标x=1+4/2·1=

2.5最低点纵坐标y=a·x²+b·x+c=1·

2.5²+-5·

2.5+4=

6.25-

12.5+4=-

2.25最低点坐标为

2.5,-

2.25求解极值问题的关键步骤确定定义域明确函数的定义范围，特别是闭区间边界求导数计算函数的导数，为寻找驻点做准备找驻点解方程fx=0，找出所有可能的极值点分析单调性根据导数的符号，确定函数在各区间上的单调性计算函数值计算函数在端点和内部驻点处的函数值函数的奇偶性

10.1奇函数与偶函数的定义奇函数如果对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=-fx，则称fx为奇函数奇函数的图象关于原点对称例如fx=x³,gx=sin x偶函数如果对于函数fx的定义域内的任意x，都有f-x=fx，则称fx为偶函数偶函数的图象关于y轴对称例如fx=x²,gx=cos x非奇非偶函数既不满足奇函数条件，也不满足偶函数条件的函数例如fx=x²+x奇偶性的判断方法定义法将f-x计算出来，与fx或-fx比较图象法观察函数图象是否关于原点或y轴对称表达式分析法分析函数表达式中各项的奇偶性判断函数奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，即如果x在定义域内，则-x也在定义域内如果定义域不满足这一条件，函数既不是奇函数也不是偶函数奇偶函数的性质函数奇偶性的运算奇函数性质和与差

1.图象关于原点对称•两个奇函数的和是奇函数

2.若定义域包含原点，则f0=0•两个偶函数的和是偶函数

3.在定义域对称的区间上，函数图象的形状相同，但方向相反•奇函数与偶函数的和通常是非奇非偶函数奇偶性例题

10.2123基本函数奇偶性判断复合函数奇偶性奇偶性的应用问题判断以下函数的奇偶性问题已知函数fx是奇函数，gx是偶函数，判断以下函数的奇偶性问题已知fx是定义在R上的奇函数，且f2=3，求f-2和f|x|的奇偶性1fx=x²-31Fx=fx·gx解析2gx=x³-x2Gx=fgx1因为fx是奇函数，所以f-x=-fx3hx=x²+x3Hx=gfx代入x=2，得f-2=-f2=-3解析解析2判断Fx=f|x|的奇偶性1计算f-x=-x²-3=x²-3=fx1F-x=f-x·g-x=-fx·gx=-Fx计算F-x=f|-x|=f|x|=Fx因为f-x=fx，所以fx是偶函数因此Fx是奇函数因为F-x=Fx，所以Fx是偶函数2计算g-x=-x³--x=-x³+x=-x³-x=-gx2G-x=fg-x=fgx这是因为|x|是偶函数，而奇函数与偶函数复合得到的是偶函数因为g-x=-gx，所以gx是奇函数由于f是奇函数，所以G-x=fgx=Gx3计算h-x=-x²+-x=x²-x这里出现错误，正确分析应为G-x=fg-x=fgx，由于f是奇函数，所以fgx=-f-而hx=x²+x，所以h-x≠hx且h-x≠-hxgx，但无法进一步简化所以需要具体情况具体分析因此hx既不是奇函数也不是偶函数实际上，当f是奇函数，g是偶函数时，fgx是奇函数3H-x=gf-x=g-fx由于g是偶函数，所以H-x=g-fx=gfx=Hx因此Hx是偶函数易错点分析在判断函数奇偶性时，常见的错误有忽略定义域对称性判断函数奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称例如，函数fx=√x的定义域是[0,+∞，不满足对称条件，因此既不是奇函数也不是偶函数混淆奇偶幂次容易误认为含有奇次幂的函数就是奇函数，含有偶次幂的函数就是偶函数实际上，函数的奇偶性需要通过定义判断复合函数判断错误在判断复合函数奇偶性时，需要按照从内到外的顺序分析，不能简单套用公式基本幂函数与其性质

11.1幂函数的定义基本幂函数图象幂函数的性质幂函数是形如fx=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量根据n的不同取值，幂函数可以有不同的n0时奇偶性定义域和性质•当n1时，函数图象经过点0,0和1,1，在0,+∞上单调递增且增长越来越快•当n为奇数时，fx=x^n是奇函数当n为正整数时，定义域为R；•当n=1时，函数图象是一条过原点的直线，即y=x•当n为偶数时，fx=x^n是偶函数当n为负整数时，定义域为R\{0}；•当0n1时，函数图象经过点0,0和1,1，在0,+∞上单调递增但增长越来越慢单调性当n为分数p/q（最简形式）时n0时•当n0时，fx=x^n在0,+∞上单调递增•若q为偶数，p为奇数，则定义域为[0,+∞；•函数图象不经过原点，在定义域内单调递减•当n0时，fx=x^n在0,+∞上单调递减•若q为偶数，p为偶数，则定义域为[0,+∞；•当x接近0时，|fx|趋于+∞有界性•若q为奇数，则定义域为R（当p为负数时）或R\{0}（当p为负数且|p|≥q时）•当|x|趋于+∞时，fx趋于0•当n0时，fx=x^n在[0,1]上有上界1•当n0时，fx=x^n在[1,+∞上有上界1特殊幂函数的性质平方函数fx=x²•定义域R•值域[0,+∞•奇偶性偶函数•单调性在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增•特殊点0,0是函数图象的对称中心立方函数fx=x³•定义域R•值域R•奇偶性奇函数•单调性在R上单调递增•特殊点0,0是函数图象的对称中心反比例函数fx=1/x•定义域R\{0}•值域R\{0}•奇偶性奇函数•单调性在-∞,0和0,+∞上均单调递减•特殊点函数图象是双曲线，x轴和y轴是其渐近线幂函数实际应用题

11.2123物理学中的应用经济学中的应用生物学中的应用问题自由落体运动中，物体下落的距离s与时间t的关系可以表示为s=½gt²，其中g≈

9.8m/s²是重问题某企业的成本函数Cx和收入函数Rx分别为问题生物学中，种群增长模型之一是指数增长模型，表示为Nt=N₀e^rt，其中N₀是初始种群力加速度若一个物体从高处自由落下，请分析数量，r是增长率，t是时间另一种是逻辑斯蒂增长模型，近似为S形曲线对于细菌培养实验，若初Cx=

0.01x²+5x+2001这是什么类型的函数关系？始有100个细菌，增长率r=

0.2/小时，请问Rx=15x-

0.02x²2物体下落5秒后，下落的总距离是多少？其中x表示产量求110小时后，细菌数量约为多少？3如果物体下落了100米，大约需要多少时间？1利润函数Px的表达式2要使细菌数量达到1000个，需要多长时间？解析解析2使利润最大的产量x和最大利润1s=½gt²是关于t的二次函数，属于幂函数的特例，幂指数n=2解析注意指数函数e^x不是幂函数，但这个例子说明了不同类型函数在生物学中的应用2当t=5s时，s=½×

9.8×5²=

4.9×25=

122.5m1利润函数Px=Rx-Cx1N10=100e^

0.2×10=100e^2≈100×

7.389≈739个细菌3已知s=100m，求t2要求t使得Nt=1000=15x-

0.02x²-

0.01x²+5x+200100=½×

9.8×t²1000=100e^

0.2t=15x-

0.02x²-

0.01x²-5x-20010=e^

0.2tt²=100/

4.9≈

20.4=10x-

0.03x²-200ln10=

0.2tt≈

4.52s2求导数Px=10-

0.06x这个例子显示了二次函数在物理学中的应用，描述了自由落体运动中位移与时间的关系t=ln10/

0.2≈

2.303/

0.2≈

11.5小时令Px=0，得x=10/

0.06≈

166.67这个例子说明了指数函数在生物学中的应用，描述了种群指数增长的情况检验Px=-

0.060，所以x≈

166.67时，利润取最大值最大利润P

166.67=10×

166.67-

0.03×

166.67²-200≈

1666.7-

0.03×

27778.9-200≈

1666.7-

833.4-200=

633.3这个例子展示了幂函数在经济学模型中的应用，用于分析成本、收入和利润的关系幂函数模型的建立在实际问题中，我们常需要建立幂函数模型来描述实际现象建立模型的一般步骤明确变量确定自变量和因变量，以及它们的物理意义收集数据通过实验或观测获取数据点选择模型根据数据点的分布情况，初步判断可能的函数关系参数拟合利用最小二乘法等方法确定函数的具体参数模型检验通过残差分析、预测能力等评估模型的有效性应用模型利用建立的模型进行预测和分析在许多自然现象中，幂函数关系非常普遍，如面积与边长的平方关系、体积与边长的立方关系等章末综合例题与练习集合与函数关系1问题设集合A={x|x²-x-6=0}，B={x|3x²-2x-1=0}，函数fx=x²-41求集合A和B;2函数性质综合分析2设C={fx|x∈A∪B}，求集合C;3若fD=C，求集合D问题已知函数fx=|x²-4|/x，求解析1函数的定义域;1解方程x²-x-6=0，得x-3x+2=0，所以x=3或x=-2，即A={-2,3}2函数的奇偶性;解方程3x²-2x-1=0，应用求根公式3函数的单调区间;x=[2±√4+12]/6=[2±√16]/6=[2±4]/64函数的值域解析x=1或x=-1/3，所以B={-1/3,1}2A∪B={-2,-1/3,1,3}1由于分母不能为0，所以x≠0，定义域为R\{0}C={fx|x∈A∪B}={f-2,f-1/3,f1,f3}2计算f-x f-x=|-x²-4|/-x=|x²-4|/-x=-|x²-4|/x=-fxf-2=-2²-4=4-4=0所以f-x=-fx，函数fx是奇函数f-1/3=-1/3²-4=1/9-4=-35/93函数可以分段表示为f1=1²-4=1-4=-3fx=x²-4/x=x-4/x,当|x|2时f3=3²-4=9-4=5所以C={-35/9,-3,0,5}fx=4-x²/x=4/x-x,当0|x|2时分别求导3由fx=x²-4，若fD=C，则D中的元素x满足x²-4∈C若x²-4=-35/9，则x²=-35/9+4=-35/9+36/9=1/9，所以x=±1/3当|x|2时，fx=1+4/x²0，所以fx在2,+∞和-∞,-2上单调递增若x²-4=-3，则x²=1，所以x=±1当0|x|2时，fx=-1-4/x²0，所以fx在0,2和-2,0上单调递减若x²-4=0，则x²=4，所以x=±24根据单调性分析和函数奇偶性，可以确定若x²-4=5，则x²=9，所以x=±3当x→0⁺时，fx→-∞所以D={-3,-2,-1,-1/3,1/3,1,2,3}当x→0⁻时，fx→+∞当x=2时，f2=0函数解析式的确定3当x→+∞时，fx→+∞问题已知函数fx满足

①f0=1；

②fx+1=fx+2x，求当x=1时，f1=1-4=-31f1,f2,f3的值;所以函数的值域为R2fn的表达式n∈N;3设gx=fx-x²，求gx的表达式解析1由

②，代入x=0，得f1=f0+2×0=1由

②，代入x=1，得f2=f1+2×1=1+2=3由

②，代入x=2，得f3=f2+2×2=3+4=72根据上述计算，可以猜测fn与n²有关假设fn=an²+bn+c由f0=1，得c=1总结与学习建议集合与逻辑用语章节要点函数概念与表示章节要点集合是数学中最基本的概念之一，是后续学习的重要基础本章核心内容包括函数是描述变量之间对应关系的数学工具，是高中数学的核心概念本章要点包括集合的表示方法（列举法、描述法、图）函数的定义、定义域和值域•Venn•集合间的关系（子集、真子集、相等）函数的三种表示方法（解析法、图象法、列表法）••集合的运算（并集、交集、差集、补集）分段函数及其应用••充分条件与必要条件的判断函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性）••全称量词与存在量词的应用函数的最值问题••掌握好集合论知识对于理解离散数学、概率论等后续课程至关重要•幂函数及其性质与应用函数思想贯穿于整个高中数学，是解决实际问题的重要工具学习方法建议建立知识结构将知识点系统化，构建完整的知识网络，理解各概念之间的联系多做习题通过解决各类问题，加深对概念的理解，提高应用能力重视基础牢固掌握基本概念和定义，这是学好高中数学的基石图形与代数结合学会用图形直观理解函数性质，同时掌握代数推导方法注重应用学会将数学知识应用到实际问题中，培养数学建模能力课外拓展建议及时复习制定合理的复习计划，及时巩固所学知识除了课本知识，建议同学们可以关注以下拓展内容勤于思考遇到问题时，尝试多角度思考，培养数学思维能力数学史了解集合论和函数概念的历史发展，加深理解函数图象绘制软件如，帮助直观理解函数性质GeoGebra数学建模竞赛参与数学建模活动，锻炼应用数学解决实际问题的能力推荐阅读《数学分析》（华东师范大学出版社）、《高等数学》（同济大学出版社）的相关章节，提前了解大学数学内容在线资源、等优质数学视频，帮助理解抽象概念Khan Academy3Blue1Brown。