数学建模暑期培训课件

数学建模暑期培训课件数学建模简介什么是数学建模？数学建模是利用数学语言和工具将现实世界中的实际问题抽象化、简化，建立能够反映其本质特征的数学模型，并通过数学方法求解，最终将结果解释应用于实际问题的过程数学建模强调的不仅是数学知识的应用，更是一种思维方式和解决问题的方法论它要求我们能够观察现象、分析问题、提取关键因素，并找到合适的数学工具进行描述和求解随着科学技术的发展，数学建模已经成为连接理论与实践的桥梁，是众多学科研究的核心方法，也是培养创新思维和实践能力的重要途径数学建模的重要性在当今数据驱动的时代，数学建模已经渗透到科学研究、工程技术、经济管理、医疗健康等各个领域它已成为跨学科研究的基础工具和各类科技竞赛的核心内容数学建模的基本流程问题识别与分析仔细阅读问题，明确目标与要求，分析已知条件和约束，确定需要解决的核心问题这一阶段需要反复研读问题描述，理解背景知识，并与团队成员充分讨论，确保对问题有清晰准确的理解模型假设与建立根据问题特点，提出合理假设，简化问题，选择适当的数学工具，建立能够描述问题本质的数学模型这一阶段需要深入思考问题的核心特征，将复杂问题分解为可以用数学语言表达的组成部分求解与分析利用数学方法或计算机软件对模型进行求解，获取结果，并对结果进行分析和解释这一阶段可能需要使用各种数值方法、优化算法或统计分析技术，有时需要编写程序实现复杂计算验证与修改通过与实际数据对比、敏感性分析等方法验证模型的合理性和有效性，必要时对模型进行修改和完善一个好的模型通常需要经过多次迭代和调整，不断提高其准确性和适用性报告撰写系统清晰地阐述建模过程、求解方法和结果分析，形成完整的建模报告报告应当逻辑清晰、结构完整，包含问题分析、模型建立、求解过程、结果讨论和结论等部分建模常见问题类型12优化问题预测与拟合问题在给定约束条件下，寻找使目标函数达到最优值的解决方案典型问题包括资源基于已有数据，建立数学模型预测未来趋势或未知数据常见于经济预测、人口分配、路径规划、投资组合等常用方法有线性规划、非线性规划、整数规划、增长、疾病传播等领域常用方法包括回归分析、时间序列分析、神经网络等动态规划等典型案例生产计划安排、物流配送路线优化、投资组合配置典型案例股票价格预测、天气预报、销售额预测••关键技术目标函数设计、约束条件描述、求解算法选择关键技术数据预处理、模型选择、参数估计、精度评价••34分类与聚类问题动态系统模拟根据对象特征将其划分为不同类别或组群广泛应用于模式识别、医学诊断、市描述系统随时间变化的行为和状态适用于研究复杂系统的演化规律和长期趋场细分等领域常用方法有判别分析、支持向量机、K-means聚类等势常用方法有微分方程、差分方程、元胞自动机等典型案例垃圾邮件识别、客户群体划分、疾病诊断典型案例生态系统平衡、传染病传播、物理系统演化••关键技术特征提取、距离度量、分类准则设计关键技术系统状态描述、演化规则设计、数值求解方法••现实问题的抽象数学化的过程与方法典型案例剖析将现实问题转化为数学模型是建模的关键一步，也是最具挑战性的环节这一过程需要我们透过现象看本质，抓住问题的核心特征，忽略次要因素，找到合适的数学语言进行描述数学化的基本步骤包括

1.确定研究对象和边界，明确要解决的具体问题

2.识别关键变量和参数，确定它们之间的关系

3.提出合理假设，简化问题

4.选择适当的数学工具和方法

5.建立变量之间的数学关系式成功的数学化既需要扎实的数学基础，也需要对现实问题的深入理解和丰富的经验积累它是一门科学，也是一门艺术人口预测模型以人口增长预测为例，我们可以从复杂的人口变化现象中提取关键因素出生率、死亡率、迁移率等，忽略个体差异，建立如Logistic模型其中P表示人口数量，r为自然增长率，K为环境容纳量交通流模拟数学建模常用模型

①——回归模型回归模型基础最小二乘法回归分析是研究变量之间依赖关系的统计方法，是数学建模中最常用的工具之一它通过建立因变量与自变量之间的函数关系，用于数据拟合、关系分析和预测最小二乘法是求解回归参数的经典方法，其核心思想是使预测值与实际观测值之差的平方和最小线性回归最简单的回归模型是线性回归，表示为典型应用其中y是因变量，x为自变量，β为参数，ε为随机误差非线性回归当变量间关系为非线性时，可采用多项式回归、指数回归、对数回归等模型•多项式回归y=β₀+β₁x+β₂x²+...+βxⁿ+εₙ•指数回归y=β₀eᵝ¹ˣ+ε•对数回归y=β₀+β₁lnx+ε数学建模常用模型

②最优化模型——线性规划整数规划线性规划是最优化问题中最基础、应用最广的模型其标准形式为当决策变量必须取整数值时，问题转化为整数规划其中，x为决策变量向量，c为目标函数系数，A为约束条件系数矩阵，b为约束条件常数项0-1整数规划是其特例，决策变量只能取0或1，常用于表示是否选择某项目求解方法包括单纯形法、内点法等线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域求解方法包括分支定界法、割平面法、动态规划等整数规划适用于设备选址、工作排班、投资决策等问题目标与约束设置典型应用建立最优化模型的核心步骤最优化模型的应用极为广泛

1.确定决策变量明确需要决策的量•资源分配如工厂生产计划、预算分配

2.构建目标函数量化评价标准，如最大化利润、最小化成本•路线优化如配送路径规划、网络流问题

3.设置约束条件表达资源限制、技术要求、平衡关系等•调度问题如作业排序、人员排班

4.确定变量类型连续变量、整数变量或0-1变量•投资组合如资产配置、风险控制在实际问题中，正确识别和表达约束条件是建模成功的关键，往往需要深入分析问题背景和要求•设计优化如结构优化、参数调整数学建模常用模型

③——微分方程模型常微分方程与差分方程微分方程的求解方法微分方程是描述变量及其导数之间关系的方程，是刻画动态系统的强大工具常微分方程ODE是关于一个自变量的微分方程，如•解析解法分离变量法、换元法、特征根法等，适用于简单方程•数值解法欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等，适用于复杂方程•定性分析相平面分析、稳定性分析等，适用于研究系统整体行为应用案例差分方程是微分方程的离散形式，描述序列各项之间的递推关系微分方程按阶数可分为一阶、二阶及高阶微分方程；按线性性可分为线性与非线性微分方程；按是否含时间可分为自治系统与非自治系统建模流程与解法选择利用微分方程建模的基本流程

1.确定系统状态变量，明确它们随时间的变化规律

2.分析影响状态变化的各种因素和机制

3.建立状态变量的微分方程（导数=变化率）

4.确定初始条件/边界条件

5.求解方程并分析系统行为传染病预测-SIR模型数学建模常用模型

④——概率统计模型随机变量与分布假设概率统计模型的核心是对随机现象的数学描述，通过随机变量及其分布刻画不确定性常见的概率分布包括•离散分布二项分布、泊松分布、几何分布等•连续分布正态分布、指数分布、伽马分布等选择合适的分布假设是建模的关键一步，通常需要基于数据特征、理论分析和统计检验来确定例如，设备寿命常假设服从指数分布或韦伯分布，测量误差常假设服从正态分布蒙特卡洛模拟蒙特卡洛方法是一类基于随机抽样的数值计算方法，通过大量随机试验来逼近复杂系统的行为其基本步骤

1.构建概率模型，确定随机变量及其分布

2.生成符合分布的随机样本

3.根据样本计算期望结果

4.估计结果的准确性和可靠性蒙特卡洛方法特别适用于解决高维积分、复杂系统仿真和风险分析等问题例如，金融风险评估中常用蒙特卡洛方法模拟资产价格路径，计算风险价值VaR典型案例排队论排队论研究随机服务系统中的排队现象，是运筹学的重要分支典型的排队系统由输入过程、排队规则、服务机制和输出过程组成常用肯德尔符号M/M/s表示排队系统，其中第一个M表示泊松到达，第二个M表示指数服务，s表示服务台数量系统性能指标包括•系统中平均顾客数L•队列中平均顾客数Lq•顾客在系统中平均停留时间W•顾客在队列中平均等待时间Wq排队论广泛应用于银行服务、呼叫中心、交通管理等领域典型案例风险评估风险评估利用概率统计方法量化不确定事件的概率和影响常用方法包括•情景分析评估不同情景下的风险结果•敏感性分析研究参数变化对结果的影响•概率树分析构建事件序列的概率模型•价值风险VaR计算特定置信水平下的最大可能损失常用建模思维与策略简化与假设敏感性分析研究参数变化对模型输出的影响程度，帮助识别关键参数和评估模型稳健性常用方法有复杂现实问题往往无法直接用数学方法求解，需要通过合理的简化和假设，将问题转化为可处理的数学模型常见的简化策略包括•局部敏感性分析研究单个参数变化的影响•全局敏感性分析考虑多参数联合变化的影响•忽略次要因素识别主要影响因素，忽略影响较小的因素•极值分析研究参数取极端值时的模型行为•线性化处理将非线性关系近似为线性关系•均质化假设假设系统内部性质均匀一致•确定性假设将随机问题简化为确定性问题•静态假设忽略时间变化，考虑稳态情况•离散化处理将连续问题转化为离散问题做假设时需要把握恰当简化的原则简化后的模型应保留问题的本质特征，既不过于复杂难以处理，也不过于简单失去实际意义参数选取与敏感性分析参数是连接模型与实际问题的桥梁，参数选取直接影响模型的准确性和可靠性参数来源包括•文献数据从已发表研究中获取•实验测量通过实验直接获得•统计估计从历史数据中估计•专家经验基于领域专家的判断方案对比与优劣权衡实际问题往往有多种可能的解决方案，需要建立合理的评价体系进行对比和选择方案对比的基本方法包括•单目标评价根据单一指标（如成本、效率）比较•多目标评价综合考虑多个指标，如层次分析法AHP、TOPSIS方法等•情景分析在不同情景下比较方案表现数据收集与预处理数据清洗数据清洗是去除数据中的错误和不一致，提高数据质量的过程主要任务包括•去除重复数据识别并删除重复记录•纠正格式错误统一日期格式、单位换算等•检测异常值识别并处理可能的错误数据•结构化处理将非结构化数据转换为结构化形式数据清洗是数据分析的基础，垃圾进，垃圾出，只有高质量的输入数据才能获得可靠的分析结果缺失值处理实际数据中常存在缺失值，合理处理缺失值是数据预处理的重要任务常用方法包括•删除法删除含有缺失值的记录或变量•均值/中位数填充用变量的均值或中位数替代缺失值•回归填充基于其他变量建立回归模型预测缺失值•多重插补生成多个可能的填充值，反映不确定性•最近邻填充用相似样本的值填充缺失值选择何种缺失值处理方法，需要考虑缺失机制（完全随机缺失、随机缺失或非随机缺失）和数据特征标准化与归一化不同变量的量纲和范围可能差异很大，需要通过标准化或归一化处理，使各变量具有可比性常用方法•Z-score标准化x-μ/σ，使数据均值为0，标准差为1•最小-最大归一化x-min/max-min，将数据映射到[0,1]区间•小数定标规范化x/10^k，移动小数点使绝对值小于1标准化和归一化对许多算法（如基于距离的聚类、神经网络等）至关重要，可以加快收敛速度，提高模型性能异常值检测及修正异常值是明显偏离大多数观测值的数据点，可能是测量错误，也可能包含重要信息异常值检测方法包括•统计方法基于均值±3倍标准差、四分位距IQR等•可视化方法箱线图、散点图等直观判断•基于密度的方法如局部异常因子LOF•基于聚类的方法孤立点可能是异常值数学软件基础

①——MATLABMATLAB简介MATLAB编程结构MATLABMatrix Laboratory是一个集数值计算、可视化和编程于一体的高级技术计算语言和交互式环境，被广泛应用于工程计算、数值分析、信号处理、图像处%条件语句if x0y=sqrtx;else y=0;end%循环语句for i=1:10resulti=i^2;end%函数定义function y=myFuncx理等领域y=x^2+2*x+1;endMATLAB的主要特点•以矩阵为基本数据类型，支持高效的矩阵运算•强大的内置函数库，涵盖各类数学计算需求•丰富的工具箱，扩展特定领域的功能•集成的开发环境，便于交互式编程和调试•强大的可视化功能，支持2D/3D数据展示常用命令与编程结构MATLAB基本命令%变量赋值与运算a=10;b=20;c=a+b;A=[123;456;789];%创建矩阵B=A;%矩阵转置C=A*B;%矩阵乘法D=A.*B;%元素级乘法%常用函数x=linspace0,2*pi,100;%生成等间距向量y=sinx;%计算正弦值z=ffty;%快速傅里叶变换矩阵计算与可视化数学软件基础

②——Python基础语法与数据结构numpy、pandas、matplotlib应用机器学习建模入门Python是一种简洁易读的高级编程语言，其简单的语法和丰富的库使其成为数据分析和科学计算的流行Python科学计算生态系统的核心库Python机器学习生态系统工具NumPy Scikit-learnPython基本语法提供高性能的多维数组对象和数学函数提供各种机器学习算法和工具#变量与基本运算a=10b=20c=a+b#条件语句if ab:printa大于belif aimportnumpy asnp#创建数组a=np.array[1,2,3]b=np.zeros3,3c=from sklearn.model_selection importtrain_test_splitfrom sklearn.linear_model==b:printa等于belse:printa小于b#循环语句for i in range5:np.random.rand5,5#数组运算d=a*2#广播运算e=np.dotb,c#矩阵乘法f importLinearRegressionfrom sklearn.metrics importmean_squared_error#数据准备printi#函数定义def squarex:return x**2=np.linalg.eige#特征值计算X=np.random.rand100,1y=2*X+1+

0.1*np.random.randn100,1#划分训练集和测试集X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split X,y,test_size=

0.2,random_state=42#模型训练model=LinearRegressionmodel.fitX_train,y_train#模型评估y_pred=model.predictX_testmse=mean_squared_errory_test,y_predprintf系数:{model.coef_}printf截距:{model.intercept_}printf均方误差:{mse}Pandas提供高效的数据结构和数据分析工具import pandas as pd#创建DataFramedata={name:[张三,李四,王五],age:[25,30,35],score:[85,92,78]}df=pd.DataFramedata#数据操作result=df[df[age]25]#筛选grouped=df.groupbyage.mean#分组统计Python主要数据结构•列表list有序可变序列，如[1,2,3]•元组tuple有序不可变序列，如1,2,3其他常用机器学习库•字典dict键值对集合，如{a:1,b:2}•TensorFlow/PyTorch深度学习框架•集合set无序不重复元素集，如{1,2,3}•StatsModels统计建模和假设检验•SciPy科学计算功能•XGBoost/LightGBM高性能梯度提升实现Matplotlib提供灵活的绘图功能import matplotlib.pyplot asplt#基本绘图x=np.linspace0,2*np.pi,100y=np.sinxplt.plotx,yplt.title正弦函数plt.xlabelxplt.ylabelsinxplt.show数学软件基础

③——ExcelExcel在数学建模中的价值规划求解器与基本回归虽然Excel不如专业数学软件功能强大，但其直观的界面、广泛的普及率和易于上手的特点，使其成为数学建模初学者和简单模型分析的实用工具Excel的优势在Excel的求解器Solver是一个强大的优化工具，可以解决各种优化问题于•线性规划如资源分配、配方优化•几乎无需编程即可进行数据处理•整数规划如排班问题、选址问题•可视化操作，所见即所得•非线性规划如投资组合优化•适合快速验证想法和原型设计使用求解器的基本步骤•便于与非技术人员交流模型结果•与Office生态系统无缝集成

1.设置决策变量单元格

2.定义目标函数单元格数据分析与图表制作

3.添加约束条件Excel提供了丰富的数据分析功能

4.选择求解方法

5.运行求解器并分析结果•数据排序与筛选快速整理和查找数据•数据透视表多维度汇总和分析数据Excel的回归分析功能•描述统计计算均值、标准差、分位数等•使用LINEST函数进行线性回归•单因素方差分析比较组间差异•使用数据分析工具包中的回归分析•相关性分析计算变量间的相关系数•使用图表趋势线进行简单拟合Excel的图表功能支持多种可视化方式•使用LOGEST函数进行指数回归•折线图/散点图展示数据趋势和关系快速验证模型工具•柱状图/条形图比较不同类别的数值Excel适合作为模型快速验证和原型设计的工具•饼图/环形图显示部分与整体的关系•雷达图多维度数据比较•使用表格进行数值实验，观察参数变化的影响•热力图二维数据密度展示•利用数据表功能进行一维或二维敏感性分析•使用情景管理器比较不同假设下的模型结果•利用宏和VBA扩展复杂功能基于案例的建模训练

①交通流建模问题描述与抽象以队列模型为例将道路视为服务系统，车辆作为顾客，道路通行能力作为服务能力，信号灯作为服务规则关键方程城市主干道交通拥堵问题是一个典型的复杂系统建模案例我们需要分析道路通行能力、信号灯设置与车流量之间的关系，预测交通状况并提出优化方案问题抽象•研究对象特定路段的车辆流动•关键变量车流量、车速、密度、信号灯周期•目标最大化通行效率，减少拥堵•约束道路容量、安全间距、最大/最小车速基本假设其中q为流量，ρ为密度，v为速度，λ为车辆到达率，μ为通行能力，Lq为平均排队长度，Wq为平均等待时间实证分析与结果解读

1.车辆可视为离散粒子或连续流体

2.车辆遵循基本的跟驰行为

3.忽略车道变换和个体差异

4.交通流具有守恒性（进入=流出+累积）模型选择（如队列模型）针对交通流问题，可选择多种建模方法•微观模型关注单个车辆行为，如元胞自动机模型•宏观模型关注整体交通流特性，如流体动力学模型•中观模型结合微观和宏观特性，如气体动理学模型实证分析流程

1.收集实际交通数据车流量、车速、信号灯配时

2.拟合模型参数确定到达分布和服务分布

3.模型求解计算关键性能指标

4.敏感性分析研究参数变化对结果的影响基于案例的建模训练

②传染病传播SIR模型结构SIR模型是最基本的传染病数学模型，将人群分为三类易感者S、感染者I和康复者R模型基于常微分方程组描述这三类人群随时间的变化传染病模型背景传染病建模是医学与数学交叉的经典领域，对于疾病防控和公共卫生政策制定具有重要指导意义传染病模型需要考虑人口特征、疾病特性、接触模式和干预措施等多种因素其中，S、I、R分别表示三类人群的比例（S+I+R=1），β为传染率，γ为康复率基本再生数R₀=β/γ，表示一个感染者平均能感染的易感者数量传染病模型可以预测疫情发展趋势、评估防控措施效果、估计关键参数（如基本再生数R₀）、模拟不同干预策略的结果，为决策提供科学依据关键参数识别SIR模型的关键参数•传染率β与病原体传染性、接触频率有关•康复率γ与疾病持续时间相关，γ=1/D，D为平均感染期•初始条件初始易感者、感染者、康复者比例•扩展参数考虑潜伏期E、死亡率D、隔离措施Q等参数估计方法•基于历史数据的统计拟合干预措施建模•贝叶斯方法结合先验知识模型可用于评估不同干预措施的效果•基于临床研究的直接测量•社交距离降低接触率，减小β数据拟合与预测•隔离措施移除部分感染者，减少传播基于实际疫情数据拟合模型参数的步骤•疫苗接种将易感者直接转为康复者•治疗增加康复率γ，减少严重病例

1.收集每日新增病例、累计病例、康复数等数据

2.使用最小二乘法、最大似然估计等方法拟合参数干预措施评估指标

3.验证模型预测与实际数据的吻合度•峰值感染人数和出现时间

4.使用拟合后的模型进行短期和中期预测•累计感染人数预测中需要考虑的因素•流行持续时间•医疗资源需求•参数的时变性（如防控措施导致β变化）•人口异质性（年龄结构、空间分布）•随机性和不确定性•报告数据的延迟和不完整性建模论文写作基本要求建模论文的标准结构

5.模型评价一篇完整的数学建模论文通常包含以下几个部分对自己的模型进行客观评价

1.摘要•优点模型的创新点和特色•局限性模型的不足和适用范围简明扼要地概括问题、方法、结果和结论，字数通常控制在300字以内摘要应当独立于正文，能够让读者快速了解论文的主要内容和贡献•改进方向如何进一步完善模型

2.问题重述•推广应用模型的潜在应用场景用自己的语言重新描述问题，表明对问题的理解，明确建模目标、条件和假设这一部分应当展示对问题本质的深入理解，而不仅仅是原问题的简单复述

6.参考文献

3.模型建立列出所有引用的文献资料，格式应当规范统一详细阐述模型的建立过程，包括逻辑性与条理性•符号定义明确定义所有变量和参数一篇优秀的建模论文应当逻辑清晰、结构严谨•模型假设列出所有简化和假设，并说明合理性•层次分明各级标题清晰，段落划分合理•模型构建推导模型方程，解释每一步的思路•思路连贯各部分之间有自然过渡，前后呼应•理论依据说明所用数学方法的理论基础•论证严密每个结论都有充分的数据或理论支持

4.求解与分析•表达准确专业术语使用正确，避免歧义描述模型的求解过程和结果分析语言准确与规范•求解方法详细说明数值或解析求解方法建模论文的语言应当简洁明了、专业规范•参数确定说明参数来源和确定方法•结果呈现用图表清晰展示重要结果•用词准确选择最能表达准确含义的词汇•结果分析解释结果的物理意义和应用价值•句式清晰避免长句和复杂句式•敏感性分析研究关键参数变化对结果的影响•术语一致同一概念使用统一的术语•公式规范公式编号连续，符号定义清晰•图表标准图表有标题、轴标签和图例报告常见问题与修改建议摘要空泛问题常见现象•内容过于笼统，缺乏具体信息•堆砌术语而不说明实质内容•没有突出研究结果和贡献•与引言内容重复或雷同修改建议•明确指出所用的具体模型和方法•量化关键结果，如提高效率30%•突出创新点和主要贡献•控制在300字左右，确保精炼示例改进改前本文研究了交通流问题，建立了数学模型，得到了一些结果改后本文基于元胞自动机理论构建了城市交通流模型，通过引入自适应信号灯控制算法，将平均通行时间缩短25%，且在高峰期拥堵概率降低40%图表混乱问题常见现象•图表缺乏标题或说明•坐标轴无单位或标签•数据点过多或过少•颜色选择不当，难以辨识•表格布局混乱，数据对齐不规范修改建议•为每个图表添加清晰的标题和必要说明•确保坐标轴有正确的标签和单位•选择合适的数据密度和显示范围•使用对比鲜明的颜色和清晰的图例•表格采用规范的格式，数据对齐图表应当能够独立于正文传达信息，读者通过查看图表及其说明就能理解主要结果推理不清问题常见现象•模型假设不明确或不合理•推导过程跳跃，缺少中间步骤•结论与分析不匹配数学建模竞赛简介全国大学生数学建模竞赛其他重要建模竞赛全国大学生数学建模竞赛CUMCM是中国规模最大、影响最广的基础性学科竞赛之一，始于1992年，每年9月举行，持续3天（72小时）•全国研究生数学建模竞赛竞赛特点•中青杯全国大学生数学建模竞赛•APMCM亚太地区大学生数学建模竞赛•采用团队形式，通常3人一队•各省市及校级数学建模竞赛•提供多个不同领域的应用题目2024年全国参赛情况•强调理论与实际结合•重视建模思想和创新能力•要求提交完整的解决方案和论文竞赛分为本科组和专科组，设置

一、

二、三等奖，获奖比例约为参赛队伍的30%高水平的参赛论文有机会被推荐到《数学建模及其应用》等期刊发表美国大学生数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛MCM/ICM由美国数学及其应用联合会COMAP主办，是国际性的数学建模赛事，每年2月举行，持续4天（96小时）竞赛特点•题目涵盖数学建模MCM和交叉学科建模ICM•每队最多3人，可自选一个题目解答•论文须用英文撰写•评审更注重问题的创新性解决方案•设Outstanding Winner特等奖、Finalist一等奖、Meritorious Winner二等奖、Honorable Mention三等奖等奖项2024年全国大学生数学建模竞赛参赛规模创历史新高•参赛院校超过1400所高校•参赛队伍约18万队，54万人次•覆盖地区全国所有省份、自治区、直辖市•国际参与港澳台地区及新加坡、马来西亚等国家的高校竞赛热度持续增长的原因•就业导向建模能力受用人单位青睐•学科交叉适合不同专业背景学生参与•院校重视多数高校将其作为重点赛事竞赛流程与评分标准赛前准备阶段1组队报名通过学校或官方网站报名，确定队员和指导教师学习准备系统学习数学建模理论和方法，熟悉常用软件工具，练习历年真题2比赛阶段分工协作根据队员特长确定分工，通常包括建模、编程和论文写作题目发布竞赛开始时，组委会发布题目，通常提供多个题目供选择分析建模团队讨论问题，确定建模方向和方法，提出初步方案评审阶段3求解实现使用数学方法和计算机程序求解模型，获取结果论文撰写整理分析结果，撰写完整的建模论文，包括摘要、问题分析、模型建立、求解过程和结果讨论等部分初评专家组对提交的论文进行初步评审，筛选出优秀作品提交作品在规定时间内完成并提交论文，美赛为96小时，国赛为72小时复评对通过初评的作品进行更详细的评审，确定获奖等级公示与颁奖公布获奖名单，颁发证书和奖励竞赛题型数学建模竞赛的题目通常具有以下特点评分标准开放性数学建模竞赛的评分通常基于以下几个方面问题没有唯一标准答案，允许参赛者从不同角度建立模型并提出解决方案这类题目考察参赛者的创造性思维和多角度分析能力模型创新性（25%）应用性评估模型的创新程度、独特视角和解决问题的新思路优秀作品往往能提出与众不同的建模方法，或将已有模型创造性地应用于新问题题目来源于实际问题，要求将数学知识应用于解决现实世界中的复杂问题，如环境保护、资源分配、工程设计等模型合理性（30%）综合性评估模型是否合理反映了问题的本质，假设是否合理，是否考虑了关键因素好的模型应当既能简化问题又能保留其核心特征解决问题通常需要综合运用多种数学方法和工具，如优化、统计、微分方程等，还可能涉及其他学科知识求解的正确性（20%）创新型评估模型求解方法的正确性和有效性，结果的可靠性和精确度这包括数学方法的正确应用、计算过程的准确性以及结果的验证鼓励参赛者提出新颖的解决方案和建模思路，重视问题的创新性解决和独特视角论文表达（25%）赛前准备与组队建议团队成员分工一个理想的建模团队应当优势互补，通常需要以下角色理论建模者负责问题分析、模型构建和数学推导，需要扎实的数学理论基础和抽象思维能力编程实现者负责算法设计、程序编写和数值计算，需要熟练掌握MATLAB、Python等编程工具文档整理者负责论文撰写、图表制作和排版，需要良好的逻辑思维和表达能力在实际比赛中，这些角色往往有交叉，每个队员都应当参与建模讨论，共同完善方案时间管理与任务分配以72小时竞赛为例，合理的时间规划第一阶段（0-12小时）分析问题、查阅资料、确定建模方向第二阶段（12-36小时）建立模型、编写程序、初步求解第三阶段（36-60小时）完善模型、分析结果、准备论文框架第四阶段（60-72小时）撰写论文、制作图表、检查完善需要预留充足时间用于论文撰写和检查，避免在最后时刻匆忙提交团队应当定期沟通进度，及时调整计划经验分享历届优秀队伍安排历届获奖队伍的成功经验赛前长期准备系统学习数学建模理论，准备常用模型库和代码库高效团队合作建立顺畅的沟通机制，明确分工但保持灵活注重模型创新不拘泥于常规模型，敢于尝试新思路重视论文质量投入足够时间完善论文，注重逻辑性和专业性有效利用资源合理使用参考资料、软件工具和历年获奖论文许多成功队伍采用并行工作+定期同步的方式，既提高效率又保证团队思路一致必备工具与资源赛前应当准备以下资源软件工具MATLAB/Python/Excel等计算软件，LaTeX/Word等文档工具常用模型库整理常见问题的模型及求解方法参考资料数学建模教材、论文写作指南、专业词典历年题目研究历年真题及优秀论文，了解题型和要求交流平台建立团队协作平台，如GitHub、腾讯文档等比赛前应确保所有工具和资源可用，团队成员都熟悉这些工具的使用方法心理准备与应对策略除了技术准备，心理准备同样重要压力管理做好应对高强度工作的准备，保持良好心态赛题实战演练

①近三年竞赛真题拆解2023年A题共享单车潮汐现象分析与调度优化可用模型与方法问题背景共享单车在早晚高峰期出现的供需不平衡现象，导致某些区域单车过多而其他区域单车短缺•SEIR模型及其变种描述疾病传播过程•元胞自动机模拟个体行为和空间传播核心任务•多目标优化平衡多个冲突目标

1.分析共享单车使用数据，识别潮汐现象特征•蒙特卡洛模拟评估不确定性影响

2.建立需求预测模型，预测不同区域的单车需求难点与突破口

3.设计调度策略，优化单车分布，提高用户满意度最大挑战是如何量化防控措施的经济社会成本突破口是引入综合评价函数，将感染人数、医疗资源消耗、经济损失等指标统一到一个框架中可用模型与方法2021年C题智能电网负载均衡与调度•时间序列分析预测不同时段需求•聚类分析识别相似使用模式的区域问题背景如何在可再生能源占比增加的情况下，保持电网的稳定性和效率•网络流优化设计调度路线和数量核心任务•启发式算法解决大规模调度NP难问题

1.建立发电、输电和用电模型，考虑可再生能源的波动性难点与突破口

2.设计负载均衡算法，平滑用电高峰最大难点在于如何平衡运营成本与用户满意度突破口是构建合理的评价指标体系，综合考虑调度成本、用户步行距离和等待时间

3.优化电价策略，引导用户调整用电行为2022年B题流行病传播模型与防控策略可用模型与方法问题背景在有限医疗资源条件下，如何控制传染病传播并最小化社会经济影响•预测模型预测发电量和用电需求•线性/非线性规划优化电网调度核心任务•博弈论分析用户响应电价变化的行为

1.建立传染病传播模型，考虑人口流动和防控措施•强化学习设计自适应控制策略

2.分析不同防控策略的效果，包括隔离、疫苗接种等难点与突破口

3.优化资源分配，平衡疫情控制与社会经济活动赛题实战演练

②不同题型建模思路及范例12优化类问题预测类问题特点寻找最优方案，通常有明确的目标函数和约束条件特点基于历史数据预测未来发展趋势建模思路建模思路

1.明确决策变量，如资源分配、路径选择等

1.数据预处理，如去除异常值、处理缺失值

2.构建目标函数，如最大化利润、最小化成本

2.特征提取与选择，识别关键影响因素

3.识别约束条件，如资源限制、平衡要求

3.选择合适的模型，如回归、时间序列

4.选择合适的求解方法，如线性规划、动态规划

4.模型训练与验证，评估预测精度典型范例物流配送中心选址问题典型范例股票价格预测问题#数学模型\begin{align}\min\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}+\sum_{i=1}^{m}f_iy_i\\\text{s.t.}#ARIMA模型\begin{align}1-\phi_1B-\cdots-\phi_pB^p1-B^dX_t-\mu=\sum_{i=1}^{m}x_{ij}=d_j,\forall j\\\sum_{j=1}^{n}x_{ij}\leq M_iy_i,\forall i\\x_{ij}\geq0,y_i\in\{0,1\},1+\theta_1B+\cdots+\theta_qB^q\varepsilon_t\end{align}\forall i,j\end{align}或采用机器学习方法#随机森林回归model=RandomForestRegressorn_estimators=100model.fitX_train,y_trainpredictions=model.predictX_test其中xij表示从中心i到客户j的配送量，yi表示是否开设中心i，cij表示单位配送成本，fi表示固定建设成本，dj表示客户j的需求，Mi表示中心i的容量预测类问题的关键在于特征工程和模型选择，需要通过交叉验证等方法评估不同模型的表现34评价类问题模拟类问题特点建立综合评价体系，对多个对象进行排序或分类特点模拟系统运行过程，分析系统行为和性能建模思路建模思路

1.确定评价指标体系，涵盖多个维度

1.确定模拟单元和规则，如个体、环境

2.确定指标权重，如层次分析法、熵权法

2.设计状态转移函数，描述系统演化

3.标准化处理，使不同量纲指标可比

3.设置初始条件和参数，反映实际情况

4.综合评分计算，如加权和、TOPSIS

4.运行模拟并收集数据，分析结果典型范例大学综合实力评价典型范例交通流模拟问题#层次分析法确定权重A=[[1,3,5],[1/3,1,2],[1/5,1/2,1]]eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eigAweights#元胞自动机交通流模型def updateroad:new_road=road.copy foriinrangelenroad:if road[i]==1:#有=eigenvectors[:,np.argmaxeigenvalues.real]weights=weights.real/sumweights.real#TOPSIS综合评价Z=X-车next_pos=i+v[i]%lenroad#检查前方是否有车can_move=True forj inX.minaxis=0/X.maxaxis=0-X.minaxis=0#标准化Z_plus=Z.maxaxis=0#正理想解Z_minus=Z.minaxis=0#负理想range1,v[i]+1:if road[i+j%lenroad]==1:can_move=False解S_plus=np.sqrtnp.sumweights*Z-Z_plus**2,axis=1S_minus=np.sqrtnp.sumweights*Z-Z_minus**2,axis=1C breakif can_move:new_road[i]=0new_road[next_pos]=1=S_minus/S_plus+S_minus#贴近度v[next_pos]=minv[i]+1,v_max else:v[i]=maxv[i]-1,0return new_road赛中软件技巧与应急策略构建复杂模型的软件组合如何查找资料与文献常见BUG排查技巧不同软件工具有各自优势，巧妙组合可以提高建模效率高效的资料查找是解决未知问题的关键高效调试是保证模型正确实现的关键Excel数据预处理、简单计算和图表制作专业数据库MATLAB常见问题•技巧使用数据透视表快速汇总分析数据•IEEE Xplore工程与计算机科学文献维度不匹配•技巧利用Solver插件解决小型优化问题•Web ofScience跨学科高质量期刊•使用size检查矩阵维度MATLAB数值计算、复杂优化和可视化•CNKI中文学术资源•注意转置操作与共轭转置.的区别•技巧利用vectorization提高计算速度搜索技巧内存溢出•技巧使用parfor并行计算加速大规模仿真•使用精确关键词组合，如traffic flowAND cellularautomata•使用稀疏矩阵存储大型稀疏数据Python数据分析、机器学习和自动化处理•限定特定领域或发表时间，筛选高相关文献•及时清除不需要的大变量clear variable•技巧利用pandas进行高效数据处理•查看高被引文献的参考文献列表，寻找经典文献函数错误•技巧使用scikit-learn快速实现机器学习模型开放资源•使用try-catch捕获异常LaTeX专业排版和数学公式编辑•ArXiv预印本论文库，包含最新研究•检查函数输入参数类型和数量•技巧使用模板加速论文编写•Google Scholar全文检索学术资源Python常见问题•技巧用BibTeX管理参考文献•ResearchGate与研究者直接交流索引错误软件间数据传递方法非学术资源•注意Python索引从0开始•CSV文件作为通用数据交换格式•政府报告和统计数据•使用len检查序列长度•使用API直接调用不同语言代码•行业标准和技术规范类型错误•构建数据管道实现自动化流程•专业论坛和问答网站，如Stack Exchange•使用type检查变量类型建立个人知识库•注意数值与字符串的转换•使用文献管理软件如Zotero组织文献包依赖问题•建立学科关键词索引，便于快速检索•使用虚拟环境隔离依赖•整理常用模型和算法的实现代码•记录requirements.txt确保环境一致通用调试策略•使用打印语句或调试器追踪程序执行•将大问题分解为小模块单独测试•使用简化数据验证基本功能•保留中间结果，便于定位错误应急方案竞赛中可能面临各种意外情况，需要提前准备应对策略团队协作论文查重与学术规范查重工具介绍正确引用参考文献标准格式数学建模竞赛对论文原创性有严格要求，参赛作品需通过查重检测常用的查重工具包括规范的引用是学术诚信的基本要求，也是避免抄袭的重要手段数学建模论文中的引用应遵循以下原则中国知网查重系统最权威的中文学术查重工具，涵盖期刊、学位论文等资源库明确标注引用他人观点或数据时必须注明出处万方查重拥有丰富的中文文献资源，界面友好，操作简便恰当引入引用内容应与本文有关联，不是为引用而引用PaperPass面向学生的查重工具，价格相对低廉合理比例引用内容不应占论文的主体部分Turnitin国际通用的查重系统，对英文文献查重效果较好格式统一全文采用一致的引用格式查重系统的工作原理常用的引用格式标准

1.将待检测文本分解为句子或段落GB/T7714（中文）

2.与数据库中的文献进行比对

3.计算相似度，标记重复内容

[1]作者.文献题名[J].刊名,出版年份,卷号期号:起止页码.

[2]作者.书名[M].版次.出版地:出版社,出版年:起止页码.

4.生成查重报告，包含总体重复率和具体重复内容竞赛对重复率的要求APA格式（英文）•总体重复率通常要求低于30%•单篇文献重复率通常要求低于5%Author,A.A.,Author,B.B.Year.Title ofarticle.Journal Title,VolumeIssue,pp-pp.Author,A.A.Year.Title•公式、模型定义等通用内容可能被标记为重复，但一般不计入实际重复率of book.Location:Publisher.IEEE格式（理工科常用）

[1]A.Author,Title ofpaper,Title ofJournal,vol.x,no.x,pp.xxx-xxx,Month Year.

[2]A.Author,Title ofBook.City:Publisher,Year,pp.xxx-xxx.引文在正文中的标注方式•顺序编码制如王等人

[1]研究表明...或研究表明...

[2]•著者-出版年制如Wang etal.2020指出...或研究表明...Smith,2019英文建模论文撰写要点常用表达与模板美赛论文结构与英语要求实用写作技巧英文建模论文有一些特定的表达方式和句式，掌握这些表达可以使论文更加专业和地道美国大学生数学建模竞赛MCM/ICM的论文有特定的结构要求和写作风格提高英文建模论文质量的实用技巧标准论文结构提高可读性论文结构常用表达封面页Cover Sheet包含题号、团队控制号、摘要等段落组织每段一个中心思想，段首句表明主题摘要开头目录Table ofContents列出主要章节和页码过渡词使用使用however,therefore,moreover等连接句子和段落•This paperpresents/proposes/develops amathematical modelfor...摘要Summary/Abstract一页内概括整个工作图表标注为每个图表提供清晰的标题和说明•In this study,we investigate/explore/analyze...引言Introduction介绍问题背景和研究目标强调重点使用黑体、斜体等格式突出关键内容问题引入假设与符号Assumptions andNotations列出模型假设和使用的符号简化表达复杂思想分解为简单句表达•The problemof...has attractedconsiderable attentionin recentyears.模型构建Model Development详细阐述模型建立过程表达多样化•...poses significantchallenges dueto itscomplexity andimportance.求解过程Solution Approach描述模型求解方法和过程•使用同义词丰富表达，如模型描述结果分析Results andDiscussion呈现和分析模型结果•increase→rise,grow,enhance,improve•We formulatethe problemasalinear programmingmodel where...敏感性分析Sensitivity Analysis分析参数变化对结果的影响•decrease→decline,reduce,diminish•Our approachincorporates...to accountfor...模型评价Model Evaluation讨论模型的优缺点•show→demonstrate,illustrate,indicate结果讨论结论Conclusion总结主要发现和贡献•避免重复使用如In thispaper、we cansee等词组•The resultsdemonstrate thatour modeleffectively...参考文献References列出引用的文献修改与润色•Sensitivity analysisreveals thatparameter Xhas themost significant附录Appendices包含程序代码、详细数据等多轮修改内容、结构、语言分别修改impact on...英语写作要求结论部分朗读检查大声朗读发现不流畅的表达语言准确性使用正确的语法和专业术语•In conclusion,thisstudyprovides valuableinsights into...工具辅助使用Grammarly等工具检查语法学术风格采用正式、客观的表达方式同伴审阅邀请英语好的同学审阅•Future workcould extendthis modelby considering...简洁明了避免冗长复杂的句子，直接表达核心意思参考范文学习优秀论文的表达方式数学表述常用词汇一致性时态、人称、术语使用保持一致时间管理变量和参数variable,parameter,coefficient,constant专业性避免口语化、感情色彩浓厚的表达约束条件constraint,restriction,bound,limitation•留出足够的英文写作和修改时间，至少占总时间的25%常见语言错误优化目标objective function,cost function,utility function•准备常用表达的模板库，比赛中直接套用主谓不一致注意单复数一致，如The setof equationsis...而非are...求解方法algorithm,procedure,method,approach,technique冠词使用注意a、an、the的正确使用结果评价accuracy,efficiency,robustness,sensitivity介词选择如increase in而非increase of时态混乱方法描述用现在时，结果描述用过去时中式英语避免直接翻译中文表达，如according tothe actualsituation评审标准与高分论文特质评审标准解析案例历年一等奖论文特征对比理解评委关注的重点，有助于有针对性地提高论文质量数学建模竞赛的评审通常包括以下几个维度通过分析历年获奖论文，可以总结出高分论文的共同特征创新性（25%）问题理解深刻•模型或方法的原创性•不仅分析表面问题，还深入挖掘潜在因素•解决问题的新颖视角•将问题放在更广阔的背景中考虑•对已有方法的改进和创新应用•自主提出更高要求，超出题目基本要求•评分标准从传统套用低分到独创性解决方案高分案例2023年优胜奖论文在分析共享单车问题时，不仅考虑了空间分布，还结合时间变化、天气因素和用户行为心理学，提出了多维度分析框架实用性（20%）模型设计巧妙•模型与实际问题的契合度•选择恰当的数学工具，不盲目使用复杂方法•解决方案的可操作性•多种模型结合，取长补短•结果的实际应用价值•创造性地引入其他领域的方法•评分标准从理论化抽象低分到可直接应用高分案例2022年特等奖论文将传统流行病模型与复杂网络理论结合，创新性地引入社区结构和信息传播动力学，大大提高了模型的准确性严谨性（30%）求解方法高效•数学理论和方法使用的准确性•算法选择合理，能处理大规模问题•推导过程的逻辑性和完整性•程序实现高效，运行速度快•数据处理和分析的科学性•结果验证充分，考虑极端情况•假设的合理性和局限性讨论•评分标准从错误频出低分到严密无误高分案例2021年一等奖论文设计了改进的遗传算法，通过巧妙的编码方式和自适应交叉变异算子，将求解时间缩短90%，同时提高了解的质量表达能力（25%）分析讨论深入•论文结构的清晰度和完整性•全面分析结果，解释其物理意义•语言表达的准确性和专业性•进行深入的敏感性分析，探究参数影响•图表的质量和说明性•客观评价模型局限性，提出改进方向•格式规范性和美观度•评分标准从混乱难懂低分到清晰专业高分建模能力提升路径专家水平1创新研究与竞赛指导高级应用2跨学科建模、复杂系统建模、创新方法开发系统实践3参与建模竞赛、实际项目应用、团队协作解决复杂问题工具掌握4编程技能（MATLAB/Python/R）、数据分析、专业软件应用方法学习5数学模型、算法、统计方法、优化技术、仿真方法课程学习系统性的课程学习是建立坚实数学建模基础的关键途径文献阅读核心数学课程通过阅读专业文献，了解最新研究进展和方法数学分析/高等数学奠定连续数学基础学术期刊线性代数掌握矩阵理论和线性变换•《数学建模及其应用》概率论与数理统计理解随机性和数据分析•《Mathematical Modelingand Applications》常微分方程学习动态系统建模•《Applied MathematicalModelling》运筹学掌握优化理论和方法•《Journal ofMathematical Analysisand Applications》专业建模课程会议论文•全国数学建模教学和应用会议论文集数学建模导论系统学习建模思想和方法•International Conferenceon Mathematical Modeling计算方法掌握数值计算和算法实现竞赛论文统计建模学习基于数据的建模方法•历年全国大学生数学建模竞赛优秀论文集金融数学了解金融领域的数学应用•MCM/ICM OutstandingPapers系统仿真学习复杂系统的模拟方法经典教材跨学科课程•《数学模型》姜启源等计算机科学编程、数据结构、算法•《数学建模方法与实践》司守奎等人工智能机器学习、深度学习•《Mathematical Modeling》Mark M.Meerschaert经济学微观经济学、博弈论实践训练物理学力学、电磁学、热力学生物学生态系统、生物信息学扩展资源与自学建议推荐教材在线课程系统学习数学建模的优质书籍优质的数学建模网络学习资源入门级中文平台•《数学建模入门与提高》叶其孝等•中国大学MOOC《数学建模》清华大学•《数学建模简明教程》李大潜等•学堂在线《数学建模方法与实践》北京大学•《数学建模算法与应用》司守奎等•网易公开课《数学建模与数学实验》复旦大学进阶级国际平台•《数学模型》姜启源、谢金星、叶俊•Coursera《MathematicalModelingBasics》University ofWaterloo•《数学实验》卓金武•edX《Introduction toComputational Thinking》MIT•《动力系统建模与仿真》刘华锋•Khan Academy《Differential Equations》系列课程专业级专业视频•《Mathematical Models in Biology》Leah Edelstein-Keshet•YouTube3Blue1Brown数学可视化系列•《Nonlinear Dynamicsand Chaos》Steven H.Strogatz•Bilibili数学建模竞赛系列讲座•《Applied MathematicalModelsinHuman Physiology》J.T.Ottesen软件与工具自学路线图数学建模常用软件工具系统自学数学建模的推荐路径商业软件基础准备巩固高等数学、线性代数、概率统计•MATLAB强大的数值计算和可视化工具编程入门学习MATLAB或Python基础•Mathematica符号计算和数学可视化建模导论系统学习建模思想和基本方法•SPSS/SAS专业统计分析软件经典模型掌握回归、优化、微分方程等模型开源工具工具应用熟练使用建模软件和编程工具•Python科学计算生态NumPy,SciPy,Pandas案例学习研究经典建模案例和竞赛题目•R统计分析和数据可视化实践训练解决小型建模问题，参加竞赛•Julia高性能科学计算语言领域深化选择感兴趣的应用领域深入研究专业工具前沿探索学习新型建模方法，如机器学习•Gurobi/CPLEX优化问题求解器•NetLogo复杂系统多主体模拟平台•AnyLogic混合仿真建模工具开源社区论坛与交流数学建模相关的开放资源平台建模学习交流的社区平台MathWorks国内平台•MATLAB FileExchange共享MATLAB代码和模型•知乎数学建模专栏和话题•MATLAB Central交流MATLAB使用经验•CSDN算法与建模专区•MATLAB Answers解答技术问题•数学中国论坛建模专区Kaggle国际平台•数据科学竞赛平台•Stack ExchangeMathematicsComputational Science•丰富的数据集和建模案例总结与展望培训收获与考核创新创业通过这次数学建模暑期培训，学员们将获得丰富的知识和能力提升•技术创新的理论基础•商业模式优化的量化工具系统掌握数学建模理论与方法从基础概念到高级模型，建立完整的知识体系•风险评估和决策支持的方法论熟练应用软件工具掌握MATLAB、Python等常用软件，能够独立完成建模实现持续学习与发展提升问题分析能力学会将复杂问题抽象化、数学化，找到关键因素和解决思路增强团队协作能力通过小组实践，培养分工合作和沟通协调能力锻炼论文写作能力掌握专业论文的写作规范和技巧，提高表达能力课程考核与学分平时表现课堂参与度和作业完成情况（30%）小组项目团队协作完成建模案例（30%）结课考核独立解决一个完整的建模问题（40%）学分认定成绩合格可获得2学分，计入专业选修学分建模能力的职业价值数学建模能力在当今各行各业都有广泛应用，具有显著的职业竞争力学术研究•跨学科研究的重要工具•高质量论文发表的基础能力•科研项目申请的核心竞争力工业界应用•数据科学家和算法工程师的必备技能•运筹优化、预测分析等岗位的专业要求•产品开发和运营决策的科学支持数学建模是一门不断发展的学科，学员们在培训结束后应持续学习和探索跟踪前沿发展关注新型建模方法和应用领域，如人工智能、区块链、生物医学等参与学术交流加入相关学术组织，参加学术会议和研讨会实践应用将建模方法应用于实际问题，积累经验知识共享分享学习心得，参与开源项目，回馈社区结语与勉励数学建模不仅是一种技能，更是一种思维方式它教会我们如何抽象思考、理性分析和创新解决问题在日益复杂的现代社会，这种能力将变得越来越重要希望学员们通过本次培训，不仅掌握具体的建模方法和技巧，更能够培养起数学建模的思维习惯，将其应用于学习、工作和生活的各个方面最后，鼓励大家在培训后积极参加各类数学建模竞赛，将所学知识应用于实践，在挑战中成长同时，也希望大家能够组建学习小组，相互支持、共同进步，形成持续学习的良好氛围。