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倍数与因数教学课件课程目标1掌握基本定义2学会判断与求取方法3培养数感及推理迁移能力理解因数与倍数的基本概念，能够准确掌握判断一个数是否为另一个数的因数通过因数与倍数的学习，培养学生的数表述其定义及关系通过学习，能够清或倍数的方法，并能熟练运用相关算法感，增强数学直觉，提高逻辑推理能晰区分两者的本质区别与联系，建立坚求取特定数字的全部因数或特定范围内力学会将所学知识迁移应用到实际问实的数学基础的倍数题中，解决现实生活中的数学难题什么是因数因数的定义举例说明如果整数能被整数整除（即的余数为），则称是的因数（也称约数）a b a÷b0b a例是的因数1618简单来说如果能把除尽（没有余数），那么就是的因数b a b a因为（无余数）18÷6=3从代数角度若存在整数，使得，则是的因数k a=b×k b a或者说18=6×3例是的因数2412因为（无余数）12÷4=3或者说12=4×3什么是倍数倍数的定义举例说明如果一个数可被另一个数整除，则这个例是的倍数数是另一个数的倍数1186因为（无余数）简单来说若的余数为，则是18÷6=3a÷b0a b的倍数或者说18=6×3从代数角度若存在整数，使得k，则是的倍数a=b×k ab例是的倍数2305倍数关系表示一个数是另一个数的整数因为（无余数）倍例如，是的倍，所以是的30÷5=61052105倍数或者说30=5×6因数和倍数的关系相互依存因数与倍数是一种相对关系，互为对应如果是的因数，那么就是的倍数；反之亦然abb a数学表达若（无余数），则是的因数，是的倍数，也可表示为a÷b=c ba aba=b×c互换视角看待同一个等式，从不同角度可以得出因数或倍数关系这种思维转换是数学思维的重要训练典型例子例×例×例×126=12237=21359=45是的因数是的因数是的因数•212•321•545是的因数是的因数是的因数•612•721•945是的倍数是的倍数是的倍数•122•213•455是的倍数是的倍数•126•217求一个数的因数方法基本方法实例求的所有因数16要求一个数的所有因数，我们可以从1开始，逐一尝试整除这个数，直到该数本身当除得的商为整数（没有余数）时，该除数就是其因1数16÷1=16（整除）更高效的方法1和16都是因数实际上，我们只需要尝试到该数的平方根即可因为如果d是n的因数，那么n÷d也是n的因数找到一个小因数的同时，也就找到了一个大因数2步骤示例16÷2=8（整除）
1.从1开始，逐一尝试整除目标数2和8都是因数
2.若能整除（余数为0），则记录下该除数
3.同时记录商（目标数÷除数）也是因数
34.继续尝试下一个数，直到除数≥商为止16÷3=
5...1（不整除）3不是16的因数416÷4=4（整除）4是16的因数求一个数的倍数方法基本方法实例求的前个倍数58求一个数的倍数，只需将该数与自然数、、、依次相乘，得到的结果就是这个
1234...5×1=55×5=25数的倍数理论上，任何数都有无穷多个倍数步骤示例5×2=105×6=305×3=155×7=35取目标数
1.n分别计算
2.n×1,n×2,n×
3...5×4=205×8=40得到的每一个结果都是的倍数
3.n结论的前个倍数是
4.可以一直计算下去，获得无限多个倍数58在实际应用中，我们通常只需要求特定范围内的倍数，比如不超过的所有倍数，、、、、、、、100510152025303540或者前个倍数等10是所有整数的因数吗？1的特殊性思考题的因数有几个？11是的，是每个正整数的因数这是因为任何1分析过程整数都可以被整除而没有余数用代数表1示，对于任意正整数，都有n n=1×n要找出的因数，我们需要找出所有能整1除的正整数数学角度解析1尝试（整除）1÷1=1从数学角度，被称为单位元，它与任何数1相乘都不改变该数的值正是这个特性使得1所以，1的因数只有1本身成为所有整数的因数注意虽然是每个整数的因数，但在小学阶1答案个1段，我们通常不将本身称为质数或合数，而1是单独看待的因数只有本身这也是的一111个特殊性质，它是唯一一个因数个数为的正整数1思考为什么其他所有正整数至少有两个因数？（因为其他正整数至少有和两个因n1n数）因数的个数一般规律实例展示随着数字的增大，其因数的个数通常也会增多，但这并不是绝对的因数4个数的增长与数的质因数分解密切相关因数个数的计算的因数个数8如果我们把一个数分解为质因数的乘积n=p₁ᵃ×p₂ᵇ×p₃ᶜ×...8的因数
1、
2、
4、8那么n的因数个数为a+1b+1c+
1...举例分析6•8=2³，所以8的因数个数为3+1=4个的因数个数12•12=2²×3，所以12的因数个数为2+11+1=6个12的因数
1、
2、
3、
4、
6、128的因数个数2424的因数
1、
2、
3、
4、
6、
8、
12、24思考为什么有些数虽然很大，但因数个数却很少？例如97只有两个因数（因为97是质数，只有1和它本身是它的因数）倍数的个数倍数的无限性实例的倍数2与因数不同，任何非零整数的倍数都有无限多个这是因为我们可以不断地将该数与越来越大的整数相乘，得到无限多个倍数2的倍数包括
2、
4、
6、
8、
10、
12、
14、
16、
18、
20、
22、
24...数学原理对于任意非零整数n，其倍数集合为{n,2n,3n,4n,...}，这是一个无限集合实际应用中，我们通常关注的是特定范围内的倍数，例如不超过100的倍数，或者前10个倍数等判断因数和倍数的方法基本方法除法判断实例演示判断b是否为a的因数，或a是否为b的倍数，最直接的方法例判断24是否为8的倍数，或8是否为24的因数是计算a÷b计算24÷8=3（余数为0，能整除）•如果余数为0（能整除），则b是a的因数，a是b的倍数结论24是8的倍数，8是24的因数•如果余数不为0（不能整除），则b不是a的因数，a不是b的倍数特殊数的倍数判断技巧•2的倍数个位是
0、
2、
4、
6、8的数•3的倍数各位数字之和能被3整除的数•4的倍数末两位能被4整除的数•5的倍数个位是0或5的数•10的倍数个位是0的数判断实例训练问题问题问题123判断36是否是9的倍数？判断7是否是42的因数？判断15是否是6的倍数？解36÷9=4（无余数）解42÷7=6（无余数）解15÷6=
2...3（有余数）所以36是9的倍数所以7是42的因数所以15不是6的倍数常见易错点关于的因数和倍数常见错误认识0在小学和初中数学阶段，我们通常不讨论的因数0错误说法和倍数问题，这是较为复杂的概念，留待高年级学习❌0是n的倍数（在小学数学教学中应避免）重要说明❌任何数都是0的因数（错误，0的因不是任何数的因数因为若是的因数，则数是不确定的）00a存在整数使得，这意味着只能是k a=0×k=0a❌负数不能是因数或倍数（错误，负但我们说不是任何数的因数是指不是000整数也可以是因数或倍数）任何非零整数的因数正确认识数学上严格来说，是任何非零整数的倍数，因为0（对任何非零整数）但在小学阶段，我0÷n=0n们不强调这点，以避免混淆正确说法✓是任何非零整数的因数1✓任何非零整数都是自己的倍数✓一个数的倍数有无限多个尝试找出指定数的所有因数示例找出的所有因数高效方法说明32我们可以从1开始，逐一尝试，看哪些数能整除32实际上，我们只需要尝试到√32≈
5.66，即只需要尝试到5因为如果有大于√32的因数d，那么32÷d必定小于√32，已经在之前被检查过了32÷1=32（整除）1和32都是因数结论总结32÷2=16（整除）2和16都是因数32÷3=
10...2（不整除）3不是32的因数32÷4=8（整除）4和8都是因数32÷5=
6...2（不整除）5不是32的因数32÷6=
5...2（不整除）6不是32的因数32÷7=
4...4（不整除）7不是32的因数32÷8=4（整除）8是32的因数124816尝试写出若干个倍数示例写出的前个倍数倍数的规律45要找出一个数的倍数，我们只需将这个数与自然数
1、
2、
3、
4、
5...依次相乘观察4的倍数
4、
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12、
16、
20、
24、
28、
32、
36、
40...4×1=4第1个倍数4×2=8第2个倍数等差性4×3=12第3个倍数相邻倍数之差等于原数44×4=16第4个倍数4×5=20第5个倍数整除性因此，4的前5个倍数是
4、
8、
12、
16、20所有倍数都能被4整除末位规律4的倍数的个位数循环出现
0、
4、
8、
2、6应用知道了倍数规律，可以快速判断一个数是否是另一个数的倍数，而无需进行除法运算特殊数字质数（素数）合数质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，还有其他因数的自然数数质数的特点合数的特点•只有两个因数1和它本身•因数个数大于2•最小的质数是2（也是唯一的偶质数）•可以表示为两个或多个质数的乘积•质数的因数个数恰好是2•最小的合数是4例如
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3、
5、
7、
11、
13、
17、
19、
23、29等都是质数例如
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8、
9、
10、
12、
14、15等都是合数实例比较质数例子77的因数1和7因数个数2个结论7是质数合数例子1212的因数
1、
2、
3、
4、
6、12因数个数6个结论12是合数特殊情况11的因数1因数个数1个结论1既不是质数也不是合数练习判断题题目解答的倍数只有、、、、81624324048错误分析这个说法是错误的要判断这个说法是否正确，我们需要考虑以下几点错误原因的倍数是指能被整除的数
1.88的倍数包括，，，，
2.88×1=88×2=168×3=248×4=328×5=40，8×6=
48...8的倍数有无限多个，不仅仅只有题目中列出的这些由于可以与任意正整数相乘，因此有无限多个倍数
3.88题目中遗漏了本身，而且只列出了有限个倍数
4.8题目中遗漏了最基本的倍数本身8题目列出的只是部分的倍数，而非8全部正确表述的倍数包括、、、、、等881624324048无限多个数练习选择题题目解答，是的（）36÷9=4369正确答案倍数A.倍数因数A.B.分析详细解释要解决这个问题，我们需要回顾因数和倍数的定义因数关系是的因数，因为（无余数）如果整数（无余数），则是的因数，是93636÷9=4•a÷b=ba a的倍数b等价表示36=9×4在本题中•36÷9=4（无余数）倍数关系根据定义，是的因数，是的倍数•936369是的倍数，因为36936=9×4是的倍3694易错分析有些学生可能会混淆因数和倍数的概念记住在的关系中，是的因数，是的倍数a÷b=c baab生活中的倍数与因数生活中的应用实例节日与日期农历的节气安排、阳历的月份天数都与倍数和因数有关例如，一年12个月是因为12有众多因数（
1、
2、
3、
4、
6、12），便于划分季节人员分组24名学生需要平均分组，可以分成
1、
2、
3、
4、
6、
8、12或24人一组，这些数字都是24的因数例如24人每队8人，正好分成3队，因为24是8的倍数实际应用场景因数和倍数的概念在日常生活中有着广泛的应用无论是在安排活动、物品分配还是时间规划中，都能见到它们的身影游戏活动许多拍手游戏和数数游戏都应用了倍数概念如3的倍数拍手游戏，参与者数到
3、
6、9等3的倍数时需要拍手而不是报数思考你能想到生活中还有哪些应用了因数和倍数概念的例子？例如购物时的打包、排队等情况小组活动数的分拆活动设计示例小组的工作A本活动旨在通过合作学习的方式，加深学生对因数和倍数概念的理解假设小组A抽到的数字是24和35每个小组将被分配不同的数字，需要完成以下任务的因数活动步骤
2411、
2、
3、
4、
6、
8、
12、
241.将全班分成4-6人的小组
2.每组抽取两个10-100之间的数字共8个因数
3.任务1写出抽到的数字的所有因数
4.任务2写出抽到的数字的前10个倍数的倍数
245.各组展示成果并互相评价前10个倍数
6.讨论不同数字的因数特点和倍数规律
224、
48、
72、
96、
120、
144、
168、
192、
216、240教师提示鼓励学生寻找因数与倍数之间的关系，观察不同数字的因数个数差异，分析其中的规律的因数
3511、
5、
7、35共4个因数的倍数35前10个倍数
235、
70、
105、
140、
175、
210、
245、
280、
315、350迁移与拓展分配问题因数与分配示例问题因数和倍数的概念在解决分配类问题时非常有用这类问题通常涉及将物品平均分配或组织人员分组等情境48人分成若干组，每组人数相同，问可以分成几种不同的分组方式？常见问题类型解题思路均分问题将n个物品平均分给若干人，每人分得相同数量要解决这个问题，我们需要找出48的所有因数，因为每组的人数必须是48的因数分组问题将n个人分成若干组，每组人数相同48的因数
1、
2、
3、
4、
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8、
12、
16、
24、48排列问题将n个物品排成若干行，每行物品数量相同解决这类问题的关键是找出这个数的所有因数，因为只有因数才能作为分组的数量或每组的人数每组人数组数1人/组48组2人/组24组3人/组16组4人/组12组6人/组8组8人/组6组12人/组4组16人/组3组24人/组2组48人/组1组答案共种不同的分组方式10有趣的因数图像因数的可视化因数树示例将抽象的数学概念可视化是帮助理解的有效方法因数和倍数也可以通过各种图形方式呈现，帮助学生形象地理解其规以24为例，我们可以将其分解为不同因数的乘积律和性质常见可视化形式因数树将数字分解为因数的树状图因数链连接相关因数的链式结构因数方阵展示数的各种因数分解形式倍数数轴在数轴上标注特定数的倍数24拓展最大因数、最小倍数特殊因数与倍数关于倍数的特殊情况关于最小倍数在研究因数和倍数时，有一些特殊情况值得我们关注关于最大因数一个非零整数的最小正倍数是它本身例如一个正整数的最大因数是它本身例如•18的最小正倍数是18•7的最小正倍数是7•18的最大因数是18•100的最小正倍数是100•7的最大因数是7关于最大倍数•100的最大因数是100关于最小因数理论上，任何非零整数都有无限多个倍数，所以没有最大倍数的概念但在实际问题中，我们可能会限定范围，例如不超过1000的最大倍数任何正整数的最小因数是1例如思考问题•18的最小因数是1•7的最小因数是1100%•100的最小因数是1一个数是自己的倍数吗？特例1的唯一因数是1，所以1的最大因数和最小因数都是1是的，任何非零数都是自己的倍数，因为n=n×1100%一个数是自己的因数吗？是的，任何非零数都是自己的因数，因为n÷n=1（整除）辨析与讨论练习题判断正误分析与答案请判断以下说法是否正确，并说明理由说法分析11正确因为如果a是b的因数，则b÷a=整数说法1k，所以b=a×k，其中k≥1，因此a≤b如果a是b的因数，那么a一定小于等于b2说法2分析正确如果a是b的倍数，则a=b×k，其中k≥1，因此a≥b说法2说法分析33如果a是b的倍数，那么a一定大于等于b正确任何正整数的因数个数都是有限的，最多不超过这个数本身4说法分析4说法3正确质数的定义就是只有1和它本身两一个数的因数个数总是有限的个因数的数说法分析55错误反例2和3都是6的因数，但2+3=5说法4不是6的因数所有的质数都只有两个因数讨论要点这些性质对理解因数和倍数的本质特征非常重要鼓励学生举例验证或寻找反例，培说法5养数学思维和论证能力如果a和b都是c的因数，那么a+b也是c的因数难点突破因数、倍数的综合应用突破示例因数和倍数的概念在更复杂的数学问题中经常结合使用掌问题握这些应用技巧，能够帮助学生解决更高层次的问题常见难点一个数被6除余4，被8除余6，求这个数除以24的余数
1.多步骤的因数倍数问题
2.因数与倍数的转换思维解题思路
3.间接利用因数倍数关系解题这是一个结合因数、倍数和余数的问题，需要分步骤分析
4.结合余数的因数倍数问题
5.与其他数学概念结合的复合问题
1.设所求的数为x
2.根据x被6除余4，可知x=6k+4（k为非负整数）
3.根据x被8除余6，可知x=8m+6（m为非负整数）
4.从x=6k+4得知x除以6的余数是
45.从x=8m+6得知x除以8的余数是
66.根据数论知识，我们可以找出满足这两个条件的x的通式
7.x=24n+22（n为非负整数）
8.因此，x除以24的余数是22答案这个数除以24的余数是22深度挑战数字谜题谜题解题过程有个数的最大因数与最小倍数都是18，这个数是多少？让我们进一步分析这两个条件的含义分析思路
1.最大因数是18数n的所有因数中，最大的是18，这表明要解决这个问题，我们需要分析最大因数和最小倍数的概念•如果n18，那么n必须是18的倍数（否则n自关于最大因数身将是大于18的因数）•n不能有比18更大的因数，这限制了n的形式如果一个数n的最大因数是18，那么最小倍数是
2.18•n必须能被18整除（18是n的因数）数n的所有倍数中，最小的是18，这表明•n不能有比18更大的因数•这意味着n=18或n=18×质数•18必须是n的倍数关于最小倍数•n必须是18的因数•这意味着n必须满足n×k=18，其中k是正整数如果一个数n的最小倍数是18，那么结合两个条件•n必须是18的因数（18是n的倍数）如果一个数的最大因数是18，且最小倍数也是•n不能有比18更小的倍数18，那么这个数只能是18本身•这意味着n必须等于18答案这个数是18拓展因数倍数与公因数公倍数概念引入公倍数的概念在学习了因数和倍数的基础概念后，我们可以进一步探讨公因数和公倍数的概如果整数m同时是整数a和整数b的倍数，那么m就是a和b的公倍数念，为后续学习打下基础例如公因数的概念•4的倍数
4、
8、
12、
16、
20、
24、
28、
32、
36...如果整数m同时是整数a和整数b的因数，那么m就是a和b的公因数•6的倍数
6、
12、
18、
24、
30、
36...例如•4和6的公倍数
12、
24、
36...其中，12是4和6的最小公倍数，通常记作[4,6]=12或lcm4,6=12•12的因数
1、
2、
3、
4、
6、12•18的因数
1、
2、
3、
6、
9、18两者的关系•12和18的公因数
1、
2、
3、6其中，6是12和18的最大公因数，通常记作12,18=6或gcd12,18=6对于任意两个正整数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数之间存在关系a×b=最大公因数×最小公倍数例如4×6=24=2×121因数概念一个数的因数是指能整除这个数的数2倍数概念一个数的倍数是指能被这个数整除的数3公因数两个或多个数共有的因数4公倍数两个或多个数共有的倍数巩固训练求因数练习写倍数练习
1.求36的所有因数
1.写出7的前5个倍数
2.求25的所有因数
2.写出9的前5个倍数
3.求60的所有因数
3.写出11的前5个倍数
4.求17的所有因数
4.写出3的不超过50的所有倍数
5.求100的所有因数
5.写出6的不超过60的所有倍数答案答案
1.36的因数
1、
2、
3、
4、
6、
9、
12、
18、
361.7的前5个倍数
7、
14、
21、
28、
352.25的因数
1、
5、
252.9的前5个倍数
9、
18、
27、
36、
453.60的因数
1、
2、
3、
4、
5、
6、
10、
12、
15、
20、
30、
603.11的前5个倍数
11、
22、
33、
44、
554.17的因数
1、
174.3的不超过50的倍数
3、
6、
9、
12、
15、
18、
21、
24、
27、
30、
33、
36、
39、
42、
45、
485.100的因数
1、
2、
4、
5、
10、
20、
25、
50、
1005.6的不超过60的倍数
6、
12、
18、
24、
30、
36、
42、
48、
54、60综合训练1判断判断15是否是45的因数解45÷15=3（无余数），所以15是45的因数2填空一个数的因数有
1、
2、
3、
4、
6、12，这个数是________解这个数是123应用一个长方形操场的长是48米，宽是36米如果要用边长相同的正方形瓷砖铺满，那么瓷砖的边长最大可以是多少米？解需要找出48和36的最大公因数，即12米自主探究探究主题探究参考资料如何快速分辨某数是否为另一个数的因数或倍数？的倍数判别法2探究目标一个数的个位是
0、
2、
4、
6、8中的任意一个，则这个数是2的倍数•探索判断因数和倍数关系的快速方法原理偶数都是2的倍数•发现数字末位特征与因数倍数关系的联系•总结特定数（如
2、
3、
4、
5、9等）的倍数判别法则的倍数判别法3•理解这些判别法则的数学原理一个数的各位数字之和是3的倍数，则这个数是3的倍数探究方式原理基于同余原理，各位数字求和能被3整除小组讨论形式，4-5人一组，各组可选择不同的数字进行研究，最后汇总分享成5的倍数判别法果一个数的个位是0或5，则这个数是5的倍数原理与5的倍数的末位特征有关探究过程示例同学们可以
1.列出特定数（如9）的若干倍数
2.观察这些倍数的特征和规律
3.尝试总结判别方法
4.用新的数字验证判别方法
5.探讨判别方法的数学原理总结回顾基本定义因数若a÷b=整数，则b是a的因数倍数若a÷b=整数，则a是b的倍数求解方法求因数从1逐一尝试整除到该数的平方根求倍数将该数与
1、
2、
3...相乘基本性质因数个数有限，倍数个数无限1是任何正整数的因数任何非零数都是自己的因数和倍数实际应用应用于均分问题、分组问题在生活中的应用（节日安排、物品分配等）作为理解公因数公倍数的基础知识图谱通过本章的学习，我们系统掌握了因数和倍数的基本概念、判别方法和实际应用这些知识不仅是后续学习公约数、公倍数等内容的基础，也是解决实际问题的重要工具希望同学们能够熟练运用这些知识，并在实践中不断加深理解课堂小测与反思课堂小测答案与反思选择题答案
1.下列各数中，既是6的倍数又是8的倍数的是（）
1.B（24是6和8的公倍数）A.12B.24C.36D.
402.D（任何正整数的最小因数都是1）
2.下列说法正确的是（）
3.9（
1、
2、
3、
4、
6、
9、
12、
18、36）A.任何数都是0的因数
4.0，5B.0是任何数的倍数
5.18（需验证18的所有因数确实是题目所列的这些）C.一个数的因数个数是无限的D.一个数的最小因数是1常见错误分析•混淆因数和倍数的概念填空题•遗漏因数（特别是1和数本身）
3.36的所有因数有________个•误认为某些数是因数或倍数
4.5的倍数的个位数字只可能是________或________•不理解0的特殊情况学习收获反思应用题通过本节课的学习，我们应该
5.一个自然数的因数有
1、
2、
3、
6、
9、18，求这个数•能够准确理解和表述因数、倍数的定义•掌握求因数和倍数的方法•能够应用因数倍数知识解决简单实际问题•为后续学习公因数、公倍数等内容打下基础。
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