运算律教学课件

运算律教学课件运算律整体介绍加法交换律加法结合律乘法交换律××a+b=b+a a+b+c=a+b+c a b=b a改变加数的顺序，其和不变改变加法的结合方式，其和不变改变因数的顺序，其积不变乘法结合律乘法分配律×××××××a b c=a b c a b+c=a b+a c改变乘法的结合方式，其积不变乘法对加法的分配性质生活中的运算律班级跳绳问题商场购物假设四年级有人，五年级有人，每购买件恤（每件元）和件裤子28323T852人跳绳次，总共需要跳多少次？（每件元），总共花费多少？15120方法一××方法一××28+3215=60385+2120=255次元15=900+240=495方法二××方法二先计算单价总和，再乘以件数2815+3215=次420+480=900×元（恤）385=255T这就是乘法分配律的应用×a+b c×元（裤子）2120=240××=a c+bc加法交换律定义a+b=b+a定义解释数学表达在加法运算中，无论加数的顺序如何对于任意两个数和，都有a b a+b=改变，其和都保持不变这意味着两成立b+a个数相加，可以任意交换它们的位置，例如5+3=3+5=8所得的结果仍然相同意义加法交换律举例数学计算示例生活应用分组加人数一个班级有男生人，女生人，计算总人数有两种方15174+99+4式方法一人15+17=32第一种顺序交换顺序方法二人17+15=32先计算，再加，结果为先计算，再加，结果仍为4913941313最终结果无论哪种顺序，结果都相同加法交换律练习请尝试以下练习，体验加法交换律的应用计算并比较12+8=8+12=验证负数情况-2+5=5+-2=小数应用

1.5+

2.7=

2.7+

1.5=思考为什么无论数字如何变化，加法交换律总是成立的？加法结合律定义a+b+c=a+b+c定义解释数学表示加法结合律表明，在对三个或更多的数对于任意三个数、和，都有a bc进行加法运算时，可以任意改变加法的a+b+c=a+b+c结合方式（即括号的位置），而不会影响最终的计算结果例如简单来说，无论是先将前两个数相加再2+3+4=5+4=9加第三个数，还是先将后两个数相加再与第一个数相加，最终得到的结果都是2+3+4=2+7=9相同的加法结合律举例计算技巧实际场景三个人数合计例题计算与3+7+53+7一个学校有三个班级，一班人，二班2530+5人，三班人，求总人数28方法一3+7+5=10+5=15方法一人25+30+28=55+28=83方法二3+7+5=3+12=15方法二人25+30+28=25+58=83可以看出，无论如何调整加法的结合方式，不管是先计算一班和二班的总和再加三班，最终结果都是15还是先计算二班和三班的总和再加一班，最终得到的学校总人数都是人83加法结合律练习基础练习进阶练习计算以下等式，验证加法结合律使用加法结合律简化以下计算-1+2+3=15+27+85+73提示可以尝试先将和相加，-1+2+3=1585再将和相加2773结果是否相同？为什么？应用题小明、小红和小华分别存了元、元和元，他们一共存了多少钱？请用12598102两种不同的方式计算，并验证加法结合律运用加法律简算灵活运用交换律和结合律更多简算例子在进行多数相加时，合理运用加法交换律和结合律可以大大简化计算过程，提高1例137+25+63+75计算速度和准确性重组37+63+25+75例题计算79+56+21=100+100=200常规计算，然后2例79+56=135135+21=1562199+456+301运用运算律简化重组199+301+456（找整十数）79+21=100=500+456=956100+56=156例

31.75+

2.5+

8.25+

7.5这种计算方法利用了加法交换律将和交换位置，使计算更为便捷7921重组

1.75+

8.25+

2.5+

7.5运算律对比交换律结合律分配律改变运算数的顺序，结果不变改变运算的结合方式，结果不变一种运算对另一种运算的分配性质加法加法乘法对加法×××a+b=b+a a+b+c=a+b+c a b+c=a b+a c乘法××乘法××××乘法对减法×××a b=b aa bc=a bc a b-c=a b-a c重要提示只有加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法不满足这些规律

1.分配律表现的是乘法对加减法的分配性质，没有加法对乘法的分配律

2.在实际应用中，这些运算律可以组合使用，灵活选择最简便的计算方法

3.运算律适用于各种数系，包括整数、分数、小数和负数等

4.乘法交换律定义××a b=b a定义解释乘法交换律是指在进行乘法运算时，无论因数的顺序如何改变，乘积都保持不变简单来说，两个数相乘，可以任意交换它们的位置，所得的结果仍然相同数学表达对于任意两个数和，都有××成立a b a b=b a例如××35=53=15几何意义矩形图示行列与行列的点阵，虽然排列3553从几何角度看，乘法交换律可以理解为矩形的面积计算一个长为、宽为的矩形，其面积为a b a不同，但总点数相同，都是个点15×；若将矩形旋转度，则长变为、宽变为，面积为×根据乘法交换律，这两个面b90b a b a积相等，即××a b=ba乘法交换律举例数学计算示例计算×与×38831方法一×38=24方法二×83=24可以看出，虽然因数的顺序不同，但乘积都是24班级分组分糖果一个班级有个小组，每组分得颗糖果，一共需要多少颗糖果？762计算×颗76=42如果换一种思考方式每个小组分得颗糖果，相当于每颗糖果分给个人，共有组，即×颗66767=42两种思考方式得到的结果相同，这正是乘法交换律的应用实际应用场景购买物品件衣服，每件元，总共元520100表示为×520=1003也可以理解为每元能买件衣服，元能买×件1/201001001/20=5即×205=100这两种表达方式得到的结果相同，体现了乘法交换律乘法交换律练习基础练习情境题请计算并比较以下各组乘法的结果小明家的院子是长方形的，长米，宽米小红家的院子也是长方形的，长米，宽米158815×和×问题

1.4994×和×

2.

2.

5662.5小明家院子的面积是多少平方米？

1.×和×

3.1/312121/3小红家院子的面积是多少平方米？

2.×和×

4.-644-6两家院子的面积是否相同？为什么？

3.验证结果是否相同，思考乘法交换律在不同数值类型中的应用这个例子如何体现乘法交换律？

4.讨论题你能想到乘法交换律在日常生活中的哪些应用？举出两个例子并解释乘法结合律定义××××a bc=a bc定义解释乘法结合律表明，在对三个或更多的数进行乘法运算时，可以任意改变乘法的结合方式（即括号的位置），而不会影响最终的计算结果简单来说，无论是先将前两个数相乘再乘以第三个数，还是先将后两个数相乘再与第一个数相乘，最终得到的乘积都是相同的数学表示对于任意三个数、和，都有a bc××××a bc=a bc例如×××234=64=24×××234=212=24无论括号如何放置，结果始终为24应用意义乘法结合律使我们在进行连乘运算时可以灵活选择计算顺序，特别是当某些乘法组合能够简化计算时（如得到整数或易于计算的数），乘法结合律可以大大提高计算效率乘法结合律也是代数运算和高级数学中的重要基础乘法结合律举例数学计算示例批量购买计算计算××与××一家商店购买了箱饮料，每箱有瓶，每瓶售价元，求总销售额2542543245方法一×××方法一254=104=40方法二×××××254=220=403245可以看出，无论如何调整乘法的结合方式，最终结果都是×40=725简便计算应用元=360方法二计算××21/28××方法一×××324521/28=18=8×方法二×××=312021/28=24=8元在这个例子中，第一种方法计算更为简便，因为×，使后续乘法变得简单=36021/2=1无论是先计算箱数与瓶数的乘积再乘以单价，还是先计算单箱总价再乘以箱数，最终得到的总销售额都是元360乘法结合律练习基础练习进阶练习计算以下等式，验证乘法结合律使用乘法结合律简化以下计算××××-237=

1.

2580.8××提示可以尝试先将和相乘-237=

80.8结果是否相同？为什么？应用题一个工厂生产种型号的电视机，第一种型号生产了台，每台售价元；第3152400二种型号生产了台，每台售价元；第三种型号生产了台，每台售价12300010元计算这批电视机的总销售额3600尝试用乘法结合律来简化计算过程思考题在日常生活中，你能想到哪些需要多个数相乘的场景？试着用乘法结合律来简化这些计算运用乘法律简算利用交换律和结合律简化大数乘法在进行多数相乘时，合理运用乘法交换律和结合律可以大大简化计算过程，尤其是当某些数相乘可以得到整数或更易于计算的数时例题计算××2584常规计算×，然后×258=2002004=800运用运算律重组×××2584=2532=800或×××2548=1008=800找出最简便的方法×，然后×254=1001008=800这种方法更为简便，因为×是整百数254=100更多简算例子菜单式解法步骤例××观察所有因数，找出可能简化计算的组合

153621.利用乘法交换律调整因数顺序重组×××

2.5236=1036=360利用乘法结合律重新分组

3.例××

20.125168选择最简便的计算路径

4.重组

0.125×16×8=

0.125×128=

165.完成最终计算或者×××

0.125816=116=16乘法分配律定义×××a b+c=a b+a c定义解释乘法分配律表明，一个数与一个和式的乘积，等于这个数分别与和式中各项相乘后的和简单来说，当一个数乘以一个括号内的加法表达式时，可以将这个数分别乘以括号内的每一项，然后将结果相加数学表达对于任意三个数、和，都有a bc×××a b+c=a b+a c同样，乘法对减法也有分配性质矩形图示长为、宽为的矩形，可以分割为长为、宽为和43+243长为、宽为的两个小矩形，面积分别为和，总面积为×××4212820a b-c=a b-a c数学表示几何意义××43+2=45=20从几何角度看，乘法分配律可以理解为矩形面积的计算一个长为、宽为的矩形，其面积为×a b+c a；这个矩形可以分割为两个小矩形，一个长为、宽为，另一个长为、宽为，这两个小矩形的面积××b+c a ba c43+42=12+8=20和为××a b+a c乘法分配律举例数学计算示例分项结账购物计算×与××一个顾客购买了个苹果（每个元）和37+537+35423个梨（每个元），总共需要支付多少钱？3方法一××37+5=312=36方法一计算总个数后乘以单价方法二××37+35=21+15=36个苹果×元442=8可以看出，两种计算方法得到的结果相同，验证了乘法分配律个梨×元333=9总价元8+9=17方法二先计算每种水果的总价，再相加××元42+33=8+9=17负数应用计算×与××-53+4-53+-54方法一××-53+4=-57=-35方法二××-53+-54=-15+-20=-35乘法分配律在负数运算中同样适用多步分配律理解逆用分配律合并项多项分配律分配律不仅可以用来将乘法分配到加法的各项中，还可以反向使用，将含有相同因数的项合并，这称为逆用分配律分配律可以扩展到多项的情况例题计算4×9+4×6a×b+c+d+...=a×b+a×c+a×d+...正向分配律a×b+c=a×b+a×c例题计算5×3+7+2逆向应用×××方法一××a b+a c=a b+c53+7+2=512=60所以方法二×××53+57+52=15+35+10=60××××逆用多项分配律49+46=49+6=415=60通过提取公因数4，可以简化计算过程例题计算7×8+7×6+7×5提取公因数××78+6+5=719=133乘法分配律练习123基础练习逆用分配律实际应用题计算以下等式，验证乘法分配律利用逆向分配律简化以下计算写出以下应用场景的数学表达式×××一个班级有名学生，每人分得本语文书和

1.65+8=

1.712+78=122本数学书，一共需要多少本书？3××××

2.65+68=

2.59+511=解答×××

3.410-3=

3.315-35=方法一××本122+3=125=60××

4.410-43=方法二××本122+123=24+36=60生活中的分配律跳绳分组问题购物计算学校组织跳绳比赛，四年级个班和五年级个班参加，每个班级每位同学需要跳下，求总共需要跳多少下？小明在文具店购买了支钢笔（每支元）和个笔记本（每个元），总共花费多少元？642451258解法一先计算总班级数，再乘以每班跳的次数解法一分别计算各类物品的价格，再相加××下钢笔×元6+424=1024=240512=60解法二分别计算每个年级的总次数，再相加笔记本×元58=40四年级6×24=144下总价60+40=100元解法二先计算单套价格，再乘以套数五年级×下424=96总次数下单套价格元144+96=24012+8=20两种解法得到相同的结果，体现了乘法分配律×××总价×元a b+c=a b+a c520=100这个例子体现了分配律的逆用×××ab+a c=ab+c运算律综合训练例题简化计算××例题计算××1247+243212584分析该式中含有相同的因数，可以使用乘法分配律的逆用分析可以使用乘法交换律和结合律重新排列因数顺序24×××××××××247+243=247+3=2410=24012584=12584=12532=4000或者×××××12584=12548=5008=4000例题计算例题计算×3198+473+102+2741799分析可以使用加法交换律和结合律重组数字，寻找整百或整十的组分析可以将看作，使用乘法分配律99100-1合××××1799=17100-1=17100-171=1700-17=1683198+473+102+27=198+102+473+27=300+500=800运算律在简算中的作用口算提升速度合理分配提升准确率50%熟练掌握并灵活运用运算律，可以大大提高计算速度，特别是在进行口算时研究表明，合理应用运算律可以将计算速度提升约50%，同时减少计算错误运算律不仅能提高计算速度，还能提升计算的准确率通过选择合适的计算路径，可以减少中间步骤的复杂度，降低出错概率口算技巧计算案例对比

1.寻找易于计算的组合（如凑整

十、整百等）32%47%

2.灵活调整计算顺序

3.合理分组错误率降低速度提升

4.提取公因数例如，计算195+237+105，可以重组为195+105+237=300+237=537，比按原顺序计算要简便得多应用运算律后，计算错误率平均下降32%实际测试中，应用运算律的计算速度平均提升47%65%学生喜爱度65%的学生表示掌握运算律后，对数学计算更有信心常见错误与注意事项错误将运算律应用于不适用的运算错误混淆不同的运算律12错误示例认为÷÷错误示例将××误认为是分配律84=48ab+c=ab+c正确理解交换律和结合律仅适用于加法和乘法，不适用于减法和除正确表述乘法对加法的分配律为×××ab+c=ab+ac法例如××，而×34+5=39=2734+5=12+5÷，而÷，结果明显不同，结果不同84=248=

0.5=17错误认为存在加法对乘法的分配律错误忽略括号或错误使用括号34错误示例××错误示例认为××a+bc=a+ba+c34+5=34+5正确理解不存在加法对乘法的分配律，只有乘法对加减法的分配正确理解乘法优先级高于加法，没有括号时先计算乘法律×，而××，结果不同34+5=12+5=1734+5=39=27例如×，而×2+34=2+12=142+32+4=5×，结果明显不同6=30应用运算律解决实际问题123水果采购总价速算购物结算问题工程分包计算一个家庭购买了千克苹果（每千克元）一个超市促销，购买同一款商品满件九折一个建筑工程分给两个队完成，第一队有385和千克梨（每千克元），计算总价小红购买了件相同的恤，每件原价元，人，每人每天工资元；第二队有2125T601518012实际需要支付多少？人，每人每天工资元工程共需要20025方法一分别计算各类水果的价格，再相加天，计算总工资方法一先计算原价总和，再乘以折扣苹果×元38=24方法一分别计算各队的总工资，再相加×××元

5600.9=

3000.9=270梨×元212=24第一队××元1518025=67500方法二先计算折后单价，再乘以数量总价元24+24=48第二队××元1220025=60000×××元

600.95=545=270方法二使用分配律总工资元67500+60000=127500两种方法得到相同的结果，体现了乘法交换××××38+212=83+122律和结合律方法二先计算每天的总工资，再乘以天数××元=83+64=24+24=48×××15180+1220025=××2700+240025=510025元=127500拓展有理数加减乘法律适用范围扩展例题负数运算律应用我们学习的运算律不仅适用于正整数，还适用于所有有理数，包括负数、分数和小数无论数字类型如何变化，运算律的本质不变计算-3+-7+12负数示例利用加法交换律和结合律加法交换律-3+5=5+-3=2-3+-7+12=-3+12+-7=9+-7=2加法结合律-3+5+-7=-3+5+-7=-3+-2=-5计算-4×-2×5乘法交换律××利用乘法交换律和结合律-46=6-4=-24乘法结合律-2×3×5=-2×3×5=-2×15=-30-4×-2×5=-4×-2×5=8×5=40乘法分配律×××分数和小数示例-52+-4=-52+-5-4=-10+20=10加法交换律1/3+2/5=2/5+1/3乘法分配律×××

0.53/4+1/4=

0.53/4+

0.51/4课堂练习题123选择题填空题解答题下列运算中，不满足交换律的是（）根据乘法分配律，××利用运算律简化计算××

1.

4.899+81=

6.2548××8_____+_____=8_____=_____加法减法乘法平方一个工厂生产了甲、乙两种产品，甲产A.B.C.D.

7.根据加法交换律和结合律，计算品件，每件成本元；乙产品件，

5.71+24035180计算××的结果是（）

2.1252，可以先计算每件成本元计算这批产品的总成本46+29+54_______+45A.80B.100C.120D.150，再计算（请用两种不同的方法计算）_______=100_______+_______=，最后得到下列等式正确的是（）100100+100=

2003.某学校举行运动会，六年级有个班参加，

8.5每班有名学生；五年级有个班参加，××406A.35-2=35-2每班有名学生每名学生需要准备一瓶38××B.46+3=46+3矿泉水（每瓶元）和一份午餐（每份215C.5×7-4=5×7-5×4元）计算需要准备的总费用（请用运算律简化计算）×××D.28+5=285总结与反思运算律的核心作用生活中的运算律通过本课的学习，我们系统地掌握了加法和乘法的交换律、结合律以及乘法分配律这三个基本我们鼓励同学们在课后继续探索和发现生活中的运算律应用运算律这些运算律不仅是数学计算的基本规则，也是简化计算、提高效率的重要工具可以从以下方面入手运算律的核心作用包括购物计算和优惠折扣•团体活动的人数和费用计算•简化计算过程通过调整计算顺序和重新组合，使计算更加简便家庭日常开支的汇总•提高计算效率合理应用运算律可以大大减少计算时间，提高效率各种测量和分组统计•增强数学思维灵活运用运算律需要分析和判断，有助于培养逻辑思维能力为高级数学奠基运算律是代数学习的基础，对后续数学学习至关重要通过将抽象的数学原理与具体的生活实践相结合，我们可以更深入地理解运算律的本质和应用价值，真正做到学以致用。