人教版有理数教学课件

有理数人教版七年级数学课件学习目标与课程导入核心学习目标通过本课程的学习，你将能够准确理解有理数的概念与分类•掌握有理数的四则运算法则•理解有理数在日常生活中的应用•提高数学逻辑思维能力•回顾我们已学过的数在进入有理数学习前，让我们先回顾已经学过的数整数分数包括、、、以及、、形如的数（），如、

0123...-1-2a/b b≠01/

2、-

3...3/4-2/5例如房间的温度是度，海拔负例如一个蛋糕吃了四分之三，剩下23米等四分之一200小数带小数点的数，如、、

0.

52.75-

1.25例如一瓶水的容量是升，体重增加了千克

1.

50.5有理数的定义什么是有理数？有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即可以写成形式的数（其中）a/b b≠0包括所有的整数（可以表示为分母为的分数）•1所有的分数•所有的有限小数•所有的无限循环小数•有理数的集合用符号表示Q形式表示有理数可以表示为其中是整数•m,n不能为零•n正数、负数与零12正数positive numbers负数negative numbers大于零的数，在数轴上位于原点的右侧小于零的数，在数轴上位于原点的左侧表示方式可以加上号，也可以省略表示方式必须加上号+-例如或、或、或例如、、+55+

2.

52.5+3/4-3-

1.5-2/33/4生活中表示减少、下降、亏损、西方、生活中表示增加、上升、盈利、东方、南方等北方等3零zero既不是正数也不是负数，在数轴上位于原点表示方式0生活中表示无变化、平衡点、起始点等有理数的两种分类按正负分类按整数/分数分类正有理数整数大于0的有理数可以表示为n/1的有理数例如

1、

2、

3.

5、2/3例如-

2、-

1、

0、

1、2零分数既不是正数也不是负数不能表示为整数的有理数例如

0、

0.0例如1/

2、-3/

4、5/2整数的分类与实例正整数大于零的整数1,2,3,4,

5...日常应用物体的数量课堂上有名学生•42正序排名他在比赛中获得第名•1楼层标识电梯上升到层•18负整数小于零的整数-1,-2,-3,-4,-

5...日常应用整数的正式定义温度今天的气温是零下度•5地下楼层汽车停在地下层•2整数是有理数的一个子集，包括历史年代公元前年秦始皇统一中国•221整数集用符号表示，来源于德语（数）的首字母Z Zahlen零既不是正整数也不是负整数日常应用起点比赛从公里处开始•0平衡点收支平衡，利润为•0分数的分类与实例分数的形式与类型分数是形如的有理数，其中、是整数且a/b a b b≠0正分数大于零的分数，可以表示为分子分母同为正数、•3/45/2分子分母同为负数•-3/-4日常应用蛋糕吃了•3/4水杯装了杯水•1/2负分数小于零的分数，可以表示为分子为正数，分母为负数分数与小数的转换•5/-3分子为负数，分母为正数•-5/3分数可以转换为小数日常应用有限小数气温下降了度•1/2公司亏损了收入的•2/3例如、1/4=

0.253/5=

0.6当分母的质因数只有或时，分数可以表示为有限小数25无限循环小数例如、1/3=

0.

333...2/11=

0.

1818...当分母的质因数中包含除和以外的其他质数时，分数会表示为无限循环小数25有理数与实数的关系数的分类体系无理数简介实数系统可以分为以下几类无理数是不能表示为两个整数之比的实数，具有以下特点不能写成分数形式•表示为无限不循环小数•在数轴上也有对应点•常见的无理数例子3\sqrt{2}≈

1.

414213...\pi≈

3.

141592...实数Real Numberse≈

2.

718281...包括所有有理数和无理数有理数Rational Numbers可以表示为两个整数之比的数3整数Integers包括正整数、负整数和零自然数Natural Numbers从开始的正整数集合1数轴与有理数数轴的三要素在数轴上表示有理数有理数与数轴上的点一一对应正数位于原点右侧•原点Origin负数位于原点左侧•数轴上表示数字的点，是数轴的中心点零位于原点0•数的绝对值越大，对应点离原点越远•具体操作方法确定原点和单位长度

1.正方向Positive Direction根据数的正负确定在原点的左侧还是右侧

2.从原点向右的方向，表示数值增大的方向根据数的绝对值确定离原点的距离

3.例如在原点右侧个单位处，在原+22-

1.5点左侧个单位处，在原点右侧个

1.53/

40.75单位处单位长度Unit Length数轴上相邻两个整数点之间的距离有理数的大小比较规则有理数大小比较的基本规则规则一零的比较规则二同号数比较任何正数都大于两个正数绝对值大的数更大0任何负数都小于两个负数绝对值小的数更大0例如例如，50-353-2-7规则三异号数比较正数总是大于负数不需要比较绝对值大小例如，2-

100.5-100例题解析比较以下数的大小，，，，-

2.53/4-102解根据上述规则，可得23/40-1-

2.5数轴与大小关系在数轴上一个数对应的点在另一个数的右侧，则这个数更大•一个数对应的点在另一个数的左侧，则这个数更小•符号表示表示大于•ab a b绝对值的概念绝对值的定义一个数的绝对值是指这个数在数轴上对应的点到原点的距离记作|a|简单理解绝对值就是把负数变成正数，正数和零保持不变绝对值的几何意义数轴上，|a|表示点a到原点的距离，因此绝对值总是非负的例题1计算下列各数的绝对值相反数的定义相反数的定义特殊情况0的相反数两个数互为相反数，是指它们的和等于的相反数是自身，即000-0=0的相反数记作，满足这是因为a-a a+-a=00+0=0相反数的几何意义例题求下列各数的相反数在数轴上，相反数是关于原点对称的两个点的相反数是15-5相反数的性质的相反数是2-77的相反数是300性质一绝对值相等的相反数是42/3-2/3互为相反数的两个数，其绝对值相等的相反数是5-

1.

251.25|a|=|-a|应用场景性质二符号相反温度上升°的相反变化是下降°•5C5C如果是正数，则是负数；财务盈利元的相反是亏损元a-a•100100方向向东公里的相反是向西公里•33如果是负数，则是正数；a-a如果是，则也是a0-a0性质三两次取相反数等于原数--a=a有理数的基本性质同号数与异号数同号数两个同为正数或同为负数的数例如2和5都是正数，-3和-7都是负数异号数一个是正数，一个是负数的两个数例如3和-4，-2和1注意0既不是正数也不是负数，与任何非零数都是异号数有理数的乘方有理数a的n次方记作an，表示n个a相乘例如•23=2×2×2=8•-32=-3×-3=9•-23=-2×-2×-2=-8有理数的加法法则有理数加法法则同号数相加异号数相加（绝对值相等）绝对值相加，符号不变结果为0例如例如+5++3=+8+5+-5=0-4+-2=-6-7++7=0异号数相加（绝对值不等）绝对值相减，取绝对值大的数的符号例如+5+-2=+3-8++3=-5例题解析加法的几何意义计算-

3.5++

4.2在数轴上，加一个正数相当于向右移动，加一个负数相当于向左移动解两数异号，且|

4.2||

3.5|加法符号规则所以结果为，取正号

4.2-

3.5=

0.7正正正+=-

3.5++

4.2=+

0.7负负负+=计算-2/3+-1/5正负或负正看绝对值大小++解两数同号为负，所以-2/3+-1/5=-2/3+1/5=-10/15+3/15=-13/15=-13/15有理数的减法法则减法的定义减法的常见情况有理数的减法定义为a-b=a+-b正数减正数即减去一个数等于加上这个数的相反数a-b=a+-b例如5-3=5+-3=22-7=2+-7=-5正数减负数a--b=a+b例如5--3=5+3=8负数减正数-a-b=-a+-b=-a+b例如-5-3=-5+-3=-8负数减负数-a--b=-a+b=b-a例如减法的几何意义-5--3=-5+3=-2-2--7=-2+7=5在数轴上，减去一个正数相当于向左移动，减去一个负数相当于向右移动例题计算差值计算

2.5--

1.8解

2.5--

1.8=

2.5+

1.8=

4.3计算-3/4-2/3解-3/4-2/3=-3/4+-2/3=-3/4+2/3=-9/12+8/12=-17/12=-17/12有理数加减混合运算混合运算的原则综合例题解析在进行有理数的加减混合运算时，需要遵循以下原则例1计算-5+7--2+-

41.按照运算顺序，从左到右依次计算解-5+7--2+-

42.先计算小括号内的表达式=-5+7+2+-

43.利用加法和减法的定义转化问题=2+2+-4=4+-4=0例2计算-

3.6-

2.4--

5.8解-

3.6-

2.4--

5.8=-

3.6+-

2.4+

5.8=-

6.0+

5.8=-

0.2例3计算-1/2+-3/4-2/3+5/6解首先通分-1/2=-6/12-3/4=-9/12-2/3=-8/125/6=10/12然后计算-6/12+-9/12-8/12+10/12=-6/12+-9/12+-8/12+10/12=-23/12+10/12=-13/12有理数的乘法法则乘法的符号规则乘法法则公式化表示设是两个有理数，则a,b同号相乘得正数×++=+×--=+简单记忆口诀同号得正，异号得负，任何数乘以得异号相乘得负数00典型例题×+-=-例计算××1+5+3-+=-解同号相乘得正，所以×+5+3=+15任何数乘以0等于0例计算×2-7-2×解同号相乘得正，所以×a0=0-7-2=+14×例计算×0a=03+4-6解异号相乘得负，所以×+4-6=-24例计算×4-1/23/5解异号相乘得负，所以××-1/23/5=-1/23/5=-3/10=-3/10例计算×5-

2.5-

0.4解同号相乘得正，所以××-

2.5-

0.4=+

2.

50.4=+

1.0=1有理数的除法法则除法的定义除法的符号规则除法是乘法的逆运算÷表示一个数与的乘积等于的数a b b a同号相除得正数即÷，其中×（）a b=c cb=a b≠0÷++=+也可以表示为分数形式÷（）ab=a/b b≠0÷--=+例如÷，÷62=3-8-4=2异号相除得负数÷+-=-÷-+=-例如÷，÷6-2=-3-84=-2口诀除法的符号规则与乘法相同，同号得正，异号得负除法转化为乘法除以一个数，等于乘以这个数的倒数÷×（）ab=a1/bb≠0典型例题0的除法特例例1计算+15÷+3解同号相除得正，所以÷除以任何非零数都等于÷（）+15+3=+5000a=0a≠0例计算÷任何数都不能除以，因为没有任何数与的乘积能得到非零数2-14-700解同号相除得正，所以÷-14-7=+2例计算÷3+10-2解异号相除得负，所以÷+10-2=-5例计算÷4-3/43/8解÷×-3/43/8=-3/48/3=-6/4=-3/2有理数乘除混合运算乘除混合运算的原则综合例题解析按照从左到右的顺序计算例计算×÷

1.1-64-3先乘除，后加减

2.解从左到右计算括号内的运算先进行

3.×-64=-24可以利用乘法分配律简化计算

4.÷-24-3=8所以×÷-64-3=8例计算÷×2-102-

0.5解÷-102=-5×-5-

0.5=

2.5所以÷×-102-

0.5=

2.5例计算×÷3-2/33/4-5/6解×-2/33/4=-6/12=-1/2÷×-1/2-5/6=-1/2-6/5=6/10=3/5所以×÷常见误区-2/33/4-5/6=3/5例计算×÷×4-

1.2-

30.6-5误区一忽视负号解×-

1.2-3=

3.6例如×应该是，而不是×-23-6-23=6÷

3.

60.6=6误区二连续除法理解错误×6-5=-30例如÷÷不等于÷84288所以×÷×-

1.2-

30.6-5=-30正确计算÷÷÷842=22=1有理数的运算优先级四则运算的优先顺序第一优先级括号内的运算例如计算5+3×4时，先计算括号内3×4=12，然后再计算5+12=17第二优先级乘方（乘方比乘除优先级更高）例如计算2×3²时，先计算3²=9，然后再计算2×9=18第三优先级乘法和除法（从左到右依次计算）例如计算6÷2×3时，先计算6÷2=3，然后再计算3×3=9第四优先级加法和减法（从左到右依次计算）例如计算8-5+2时，先计算8-5=3，然后再计算3+2=5记忆口诀先括号内，后乘方，再乘除，最后加减绝对值符号的处理绝对值符号也可以看作是一种括号，先计算绝对值内的表达式，再取绝对值例如|3-5|=|−2|=2综合例题例1计算3+2×5解乘法优先级高于加法2×5=103+10=13所以3+2×5=13例2计算−2²×3−4÷2解按照优先级计算−2²=44×3=12有理数相关运算典型习题综合计算题例题1计算-2/3×[-1/4+-3/8]÷

0.5解先计算括号内-1/4+-3/8=-2/8+-3/8=-5/8然后计算-2/3×-5/8=10/24=5/12最后计算5/12÷

0.5=5/12÷1/2=5/12×2=10/12=5/6所以-2/3×[-1/4+-3/8]÷

0.5=5/6例题2计算5-[3+2×-4]÷-2解先计算括号内2×-4=-8，3+-8=-5然后计算-5÷-2=

2.5最后计算5-

2.5=

2.5所以5-[3+2×-4]÷-2=

2.5应用题例题3一个数减去它的相反数，再除以这个数的绝对值，结果是多少？解设这个数为a（a≠0）则这个数的相反数为-a这个数的绝对值为|a|所求的结果为[a--a]÷|a|=a+a÷|a|=2a÷|a|当a0时，|a|=a，所以结果为2a÷a=2当a0时，|a|=-a，所以结果为2a÷-a=-2有理数在物理中的应用温度变化问题海拔高度问题例题某座山的山顶海拔为米，某海底洼地海拔为米，求二者的高度差23250-2680解高度差山顶海拔海底洼地海拔=-=3250--2680=3250+2680（米）=5930所以高度差为米5930位移与距离问题例题小明从家出发，先向东走米，然后向西走米，最后向东走米求小明的总位移和总路程3300500100解总位移（米）=300+-500+100=-100位移为米，表示最终位置在家的西边米处-100100总路程（米）=|300|+|−500|+|100|=300+500+100=900例题早晨点气温是°，到中午点上升了°，下午点又下降了°，问下午点的气温是16-5C128C33C3所以总位移是米，总路程是米多少？-100900速度方向问题解早晨气温为°-5C中午气温为°例题一列火车以千米小时的速度向东行驶，另一列火车以千米小时的速度向西行驶如果规定向东为正方向，向西为-5+8=3C436/45/负方向，求两车的相对速度下午点气温为°33-3=0C解第一列火车的速度为千米小时36/所以下午点的气温是°30C第二列火车的速度为千米小时-45/相对速度（千米小时）=36--45=36+45=81/所以两车的相对速度为千米小时81/有理数在经济中的应用收支记录应用利润与亏损应用在记账时，通常用正数表示收入，负数表示支出例题2某商店进货一批商品，每件进价150元，售价180元，销售了60件，同时有5件因质量问题退货如果用正数表示利润，负数表示亏损，求该商店销售这批商品的盈亏情况解销售利润=60×180-150=60×30=1800（元）退货损失=5×150=750（元）总盈亏=1800+-750=1050（元）所以商店销售这批商品盈利1050元电费正负值应用例题3某居民家庭安装了光伏发电系统，当发电量大于用电量时，多余的电量可以卖给电网一个月内•使用电网电力消费300度，每度电

0.5元•向电网出售电力120度，每度电

0.3元求该月电费账单金额解消费电费=300×

0.5=150（元）出售电费收入=120×

0.3=36（元）电费账单金额=150+-36=114（元）所以该月电费账单金额为114元例题1小李这个月的收支情况如下•工资收入5000元•奖金1200元•房租支出1500元•购物支出2300元判断与分类小测试判断题0是正有理数答案错误0既不是正有理数也不是负有理数负分数是负有理数答案正确所有负分数都是负有理数两个负数相乘一定得负数答案错误两个负数相乘得正数一个数的绝对值一定是非负数答案正确绝对值表示距离，所以一定是非负数在数轴上，5与-5关于原点对称答案正确互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称常见易错点分析运算顺序错误误区1忽视运算优先级错误示例5-3×2=4正确计算5-3×2=5-6=-1纠错要点先乘除，后加减误区2连续除法顺序错误错误示例12÷4÷2=12÷8=

1.5正确计算12÷4÷2=3÷2=

1.5纠错要点从左到右依次计算符号混淆错误误区3负号与减号混淆错误示例3+-2=3-2=1（其中-2前的+被忽略）正确计算3+-2=1纠错要点注意区分负号和减号，括号不能省略误区4负数乘法符号错误错误示例-2×3=6（认为负负得正）教师点评正确计算-2×3=-6有理数运算的错误主要集中在符号处理、运算顺序和特殊情况理解三个方面认真梳理这些易错点，有助于同学们更好地掌握有纠错要点只有两个负数相乘才得正，一正一负得负理数运算的技巧特殊情况处理错误误区5绝对值计算错误错误示例|-3+5|=|-3|+|5|=3+5=8正确计算|-3+5|=|2|=2纠错要点先计算绝对值符号内的表达式，再取绝对值误区6分数加减运算错误巩固练习题集基础题型比较大小比较下列各组数的大小

1.-

1.2和-

1.

52.-3/4和-2/

33.|−5|和|−4|

4.-8和0基本运算计算下列各题

1.-5+

122.7--

33.-2×-

64.-10÷

25.2/3+-1/4中等难度题型混合运算计算下列各题

1.5-2×-3+

42.-6÷3×-2-

53.2/3×[3/4--1/2]

4.[-4+7]÷[8-3×3]拓展有理数的乘方乘方的定义基础实例有理数a的n次方记作an，表示n个a相乘正数的乘方23=2×2×2=832=3×3=

91.52=

1.5×

1.5=

2.252/33=2/3×2/3×2/3=8/27负数的乘方正负号与乘方的关系-23=-2×-2×-2=-8当底数为负数时，指数的奇偶性决定结果的正负-32=-3×-3=9•当指数为偶数时，结果为正-

1.52=-

1.5×-

1.5=

2.25•当指数为奇数时，结果为负-2/33=-2/3×-2/3×-2/3=-8/27奇偶次方结果分析偶次方任何实数的偶次方结果都是非负的例如22=4，-22=434=81，-34=81奇次方奇次方保持底数的符号例如23=80-23=-80乘方的应用乘方在面积和体积计算中有重要应用•正方形的面积边长的2次方•正方体的体积边长的3次方拓展无限循环小数与分数无限循环小数的分类无限循环小数转化为分数的方法纯循环小数纯循环小数转分数从小数点后第一位开始就循环的小数设循环部分有n位数，则例如

0.

333333...=

0.

30.

142857142857...=

0.142857例如

0.

333...=

0.3混循环小数解设x=

0.3则10x=

3.3小数点后有一部分不循环，然后才开始循环的小数10x-x=

3.3-

0.3例如

0.

3222...=

0.329x=

33.

1415926535897932...πx=3/9=1/3所以

0.

333...=1/3混循环小数转分数设不循环部分有m位，循环部分有n位，则例如

0.

2333...=

0.23解设x=

0.23则100x=

23.310x=

2.3100x-10x=

23.3-

2.390x=21x=21/90=7/30所以

0.

2333...=7/30判断有限小数和无限循环小数一个最简分数a/b，当且仅当b的质因数只有2或5时，这个分数才能表示为有限小数；否则，这个分数一定表示为无限循环小数例如•1/4=

0.25有限小数，因为4=2²•1/5=

0.2有限小数，因为5是质数总结与提升核心知识体系导图本单元知识要点回顾有理数是我们数学学习的重要基础，掌握有理数的概念和运算规则，对于后续学习代数、几何等内容都至关重要概念与分类有理数定义、分类、数轴表示四则运算加减乘除法则、混合运算顺序。