高中众数教学课件

高中数学众数专题课件——导入情境生活中的众数在我们的日常生活中，众数无处不在服装店里最畅销的鞋码通常是或码•3940某班级男生身高最常见的是厘米•175超市中最受欢迎的饮料口味•电影院最受欢迎的观影时间段•统计最常见现象有助于我们理解群体特征，为决策提供依据例如，商家可以根据最受欢迎的尺码调整库存，学校可以根据学生身高分布调整桌椅高度课前小调查你最喜欢的颜色是什么？•你每天花在手机上的时间大约是多少小时？•你通常几点入睡？•学习目标与课程结构123理解众数定义掌握求众数的方法能用众数解决实际问题掌握众数的科学定义和数学表示方法，理解熟练掌握离散数据和分组数据中众数的计算学会在适当的场景中选择使用众数作为分析众数与其他统计量的区别，能够辨识单众数、方法，能够通过频数分析正确找出数据集中工具，理解众数在市场调研、教育评估、医多众数以及无众数的情况的众数，并会使用数学符号表示疗统计等领域的应用价值，能够分析众数结果的实际意义统计量的概念总览最值平均数中位数数据集中的最大值和最小值，反映数据的极所有数据的和除以数据个数，反映数据的总将数据从小到大排序后，位于中间位置的数端情况和范围体水平据值例如成绩的最高分和最低分数学表示̄₁₂不受极端值影响，反映数据的中心位置x=x+x+...+x/nₙ众数百分位数数据集中出现频率最高的数据值将数据分割成份的位置值，如四分位数、十分位数等100反映数据的集中趋势，特别适用于分类数据常用于描述数据分布和离散程度众数定义众数是一组数据中出现次数最多的数据值众数的特点只与数据出现的频次有关，与数值大小无关•可能存在一个众数（单众数）•可能存在多个众数（多众数）•可能不存在众数（当所有数据出现次数相同）•不需要对数据进行排序即可确定•适用于定量数据和定性数据•众数用符号₀表示，读作零，也可直接用汉字众数表示MM众数在直方图中的体现众数对应直方图中最高的条形，表示该数值出现的频率最高在多峰分布中，可能存在多个众数，对应多个高度相同的峰值例如数据集•2,3,3,4,5,5,5,6,7众数的表示方法符号表示众数通常用以下方式表示数学符号₀（读作零）•M M汉字表示众数•英文表示•Mode举例说明对于数据集5,1,3,5,2各数据出现次数出现次，出现次，出现次，出现次•52113121出现次数最多的是•5因此众数₀•M=5在实际应用中，我们常用众数为或₀来表述结果...M=...在统计图表中，众数通常以下列方式标识直方图或条形图中，众数对应最高的条形•基本例题一单众数例题分析解题思路数据集求众数的基本步骤2,4,4,5,7首先统计各数值出现次数统计每个数据值出现的次数

1.找出出现次数最多的数据值出现次

2.•21如果唯一一个数据的出现次数最多，则该数据为众数出现次

3.•42出现次•51出现次•71其中出现的次数最多（次），因此众数₀42M=4基本例题二多众数例题分析数据集2,3,3,4,4,5统计各数值出现次数数据值出现次数21324251数据和均出现次，且都是最多的，因此众数₀和342M=34多众数情况解释当数据集中有两个或多个数据值出现次数相同，且都是最多时，这些数据值都是众数，称为多众数多众数的表示方法列举所有众数₀•M=3,4使用集合表示₀•M={3,4}无众数情况例题分析数据集1,2,3,4,5,6统计各数值出现次数数据值出现次数112131415161所有数据均出现次，没有出现次数最多的数据，因此该数据集没有众数1无众数情况解释当数据集中所有数据出现的次数都相同时，不存在出现次数最多的数据，因此没有众数无众数的表示方法直接说明无众数或不存在众数•使用符号表示₀（空集）•M=φ无众数在频数分布上表现为均匀分布，所有数值的频数相同，直方图呈现等高的分布众数与中位数、平均数对比平均数̄中位数x M计算方法所有数据的和除以数据个数计算方法将数据排序后取中间位置的值••特点受极端值影响大特点不受极端值影响••适用情况数据分布较为对称，无明显适用情况数据有极端值或偏态分布••极端值优势能反映数据的中心位置，抗干扰•优势利用了所有数据的信息，计算简便能力强•例如班级平均成绩能反映整体水平例如家庭收入通常用中位数表示更合理••众数₀M计算方法出现次数最多的数据值•特点只与频数有关，与数值大小无关•适用情况分类数据、离散数据、需要找出最常见值•优势适用范围广，包括定性数据，计算简单•例如商店最畅销的服装尺码•众数实际意义众数的本质含义众数反映了数据的最集中位置，代表了样本中出现频率最高的特征或现象它揭示了数据中的主流或最常见情况，是理解群体行为和特征的重要指标统计学意义反映数据的主要聚集点•表示数据分布的峰值位置•揭示最具代表性的数据值•是描述数据集中趋势的三大统计量之一•认知价值众数帮助我们从纷繁复杂的数据中提炼出最具代表性的信息，发现规律和特征，为决策提供依据领域应用价值社会学了解社会群体中最普遍的观点和行为模式，如投票倾向、消费习惯等经济领域分析消费者最常购买的产品价格区间，指导定价策略和库存管理生态研究确定物种在特定环境中最常见的特征，揭示进化趋势教育评估分析学生成绩分布中的最常见分数，评估教学效果和难度设置计算众数的操作流程频数统计数据整理统计每个数据值出现的次数（频数）可以使用计数法、制表法或频数分布表等方式记录对于分将原始数据按需要进行排列（虽然众数计算不需要排序，但整理后更易于观察）对于大量数据，组数据，则统计每组的频数可以制作频数统计表，列出每个数据值及其出现次数记录众数结果确定最大频数用数学符号₀表示众数如果有多个众数，列出所有众数，或使用集合表示如果所有数据出现M比较各数据值的出现次数，找出频数最大的值如果有多个数据值的频数相同且最大，则这些数据次数相同，则说明没有众数值都是众数例题分步演示求数据集的众数{3,5,7,5,8,5,9,6,5,7}整理数据

1.3,5,5,5,5,6,7,7,8,9统计频数次次次次次次

2.31,54,61,72,81,91确定最大频数出现次，频数最大

3.54案例学生身高采样数据集情境求解过程某班级随机抽取名学生测量身高（单位厘米），结果如下统计各身高出现次数10厘米次•1681学生编号身高厘米次•1701厘米次1175•1721厘米次•17312168厘米次•17543173•178厘米1次厘米次•18014175其中厘米出现次，频数最大，因此众数₀厘米1754M=1755180结果分析617571708172917510178众数与分类数据分类数据的特点分类数据（又称定性数据）是指用文字或符号表示的非数值型数据，如颜色、类型、品牌等这类数据无法计算平均数，但可以求众数适用场景•消费者偏好调查（最受欢迎的品牌）•选举投票（得票最多的候选人）•学生兴趣调查（最受欢迎的科目）•交通方式统计（最常用的出行方式）计算方法统计每个类别出现的次数，出现次数最多的类别即为众数连续数据的分组众数分组数据的众数当处理大量连续数据时，通常先将数据分组，然后根据各组的频数确定众数所在的组众数组频数最大的组众数的估计值众数组的组中值（或区间中点）计算步骤

1.将数据按照一定的区间进行分组

2.统计每组数据的频数

3.找出频数最大的组，即众数组

4.取众数组的区间中点作为众数的估计值例身高分组统计某校100名学生身高分组统计表身高区间厘米人数频数155-1605160-16515165-17030170-17535众数的优点简便直观适用范围广众数的计算不需要复杂的数学运算，只需统计频数并比较，过程简单明了即使众数是唯一可以用于定性数据分类数据的集中趋势度量，如颜色、品牌、职业是不懂数学的人也能轻松理解众数的含义最常见的值等非数值型数据既可用于离散数据，也可用于连续数据——例如商店老板无需复杂计算就能知道哪种商品最畅销，哪个尺码需要多备货例如调查最受欢迎的手机品牌时，只能用众数来表示结果不受极端值影响适合大样本分析众数只关注数据出现的频率，不受极端值的干扰，能更稳定地反映数据的主要特在大样本数据中，众数能快速识别出最主要的特征，帮助理解数据的集中趋势征在存在异常值的数据集中，众数比平均数更能反映真实情况特别是在市场调研、消费者行为分析等领域，众数具有重要价值例如一个班级大部分学生成绩在分左右，一个学生得了分，众数仍是8010左右，不会受这个极端低分影响80众数的局限性信息利用不充分众数只关注数据的频率，忽略了数值大小及其分布情况，未能充分利用数据中包含的全部信息例如在分析学生成绩时，众数只能告诉我们最常见的分数是多少，无法反映整体水平和分布状况不适合进一步数学运算众数不具备良好的数学性质，无法进行进一步的数学运算和推导，在高级统计分析中应用有限例如两组数据的众数相加，不等于合并后数据的众数；不同样本的众数无法直接合成总体的众数分组数据的精度问题对于分组数据，众数只能估计在某个区间内，精确值难以确定，且分组方式不同可能导致众数组不同众数的应用市场调查1最畅销手机型号分析最高频消费区间研究手机市场众数应用消费者行为众数应用识别最受欢迎的价格区间，指导定价策略分析不同类别商品的最常见购买频率••确定最畅销的屏幕尺寸，引导产品设计确定消费者最集中的购买时段，优化营业时间••分析最受欢迎的存储容量配置，优化库存结构研究不同地区的消费习惯差异，调整区域战略••发现不同年龄段用户的偏好差异，精准营销追踪促销活动前后众数的变化，评估效果••实例某品牌发现英寸是众数屏幕尺寸，据此将主力新品定位在此尺寸，提高了市场

6.1占有率众数的应用医疗卫生2最常见病例类型分析医疗数据中的众数应用确定特定疾病的高发年龄段•分析季节性疾病的发病高峰期•研究特定人群的常见健康问题•统计药物副作用的主要表现形式•分析患者就诊时间分布特征•实例分析某社区医院统计一个月内就诊患者的主诉，发现呼吸道感染是众数病种，且集中在岁儿童医院据此增加了儿科5-10医生排班，并加强了呼吸道疾病防治宣传，有效提高了医疗资源利用效率指导资源配置众数在医疗资源配置中的应用根据疾病众数分布，合理配置专科医生•依据就诊时间众数，优化医护人员排班•基于药品使用频率众数，调整药房库存•参考检查项目众数，规划医疗设备购置•数据驱动决策案例众数的应用教育测评3成绩分布众数错题分布众数通过分析学生成绩的众数，教师可以了解大多分析学生错题的众数，可以找出共性问题和知数学生掌握知识的程度，评估教学效果和难度识盲点，有针对性地进行教学调整和强化训练设置是否合理例如某班数学考试成绩众数为分，表明例如某测验中第题是错误众数，教师应重857多数学生掌握程度良好；若众数为分，则点分析该题涉及的知识点，并加强相关内容的55可能需要调整教学方法教学学习时间众数问题类型众数研究学生学习时间分布的众数，可以了解学习分析学生提问的众数类型，可以发现普遍的学习惯，优化教学安排和作业设计习困难，调整教学策略和重点例如发现学生做数学作业时间的众数为40例如如果函数应用问题是提问众数，教师可分钟，可据此合理控制作业量，避免过多或过以增加此类型的例题讲解和练习少众数与数据质量众数对噪音与离群值的抵抗力众数是三大集中趋势度量中抗干扰能力最强的，它只关注出现频率，不受极端值的影响这一特性在处理含有噪音或离群值的数据时尤为重要噪音数据由于测量误差、记录错误等产生的不准确数据•离群值与大多数数据相差较大的极端值•在存在这些异常数据的情况下，平均数会显著偏离，而众数通常保持稳定，能更准确地反映数据的主体特征异常数据对比案例考虑以下数据集{25,28,28,29,30,30,30,31,32,100}各统计量计算平均数•25+28+28+29+30+30+30+31+32+100/10=

36.3中位数•30众数（出现次）•303分析由于存在一个极端值，平均数被显著拉高到，远离数据的主体部分而众数不受这个离群值影响，准确反映了数

10036.330据的集中位置众数与概率分布概率分布的众数定义在概率论中，众数是指概率密度函数或概率质量函数取得最大值的点直观理解，就是随机变量最可能取到的值对于连续型随机变量，如果其概率密度函数在处取得最大值，则为的众数X fx x=a a X对于离散型随机变量，如果对所有成立，则为的众数X PX=a≥PX=xxaX众数的性质众数可能不唯一（如均匀分布）•众数可能不存在（如柯西分布）•众数与期望值、中位数之间没有确定的大小关系•典型分布的众数正态分布众数均值中位数，位于曲线的最高点，体现了分布的对称性==指数分布众数，曲线在原点处取最大值，表明最小值出现的概率最大=0均匀分布所有点的概率密度相同，因此无众数（或者说区间内所有点都是众数）偏态分布众数与均值、中位数不同，众数位于曲线的峰值处右偏分布中，众数中位数均值；左偏分布中，均值中位数众数二项分布当为偶数时，众数为或；当为奇数时，众数为的整数部分n npnp-1n np众数与决策支持大数据分析中的众数应用实例销售数据的决策依据众数指导的精准决策在海量数据环境中，众数能高效识别主流模众数分析如何支持企业决策如何利用众数制定更精准的策略式库存管理根据销售众数确定最佳库存市场细分识别不同客户群体的偏好众••社交媒体热词分析发现最流行的话题水平，减少积压数差异•和观点人员配置基于客流众数时段合理安排区域策略根据地域众数特征调整营销••用户行为模式识别最常见的浏览路径员工排班方案•和点击行为产品开发依据客户偏好众数设计新产预测趋势通过众数随时间变化分析市••消费习惯分析揭示最主流的购买时间品特性场走向•和商品组合促销策略针对购买频率众数设计促销风险评估利用异常事件众数评估可能••交通流量研究确定最拥堵的时段和路活动时机风险•段经典习题演练1例题投票统计分析某班举行班干部选举，5名候选人获得的票数如下候选人小明小红小华小张小李票数8125123问1该数据的众数是什么？2众数的实际意义是什么？解答1分析票数分布•小明8票•小红12票•小华5票•小张12票•小李3票其中，小红和小张均获得12票，为最多，因此众数为12票从候选人角度看，小红和小张是众数候选人2众数的实际意义表示最受欢迎的候选人是小红和小张，他们获得了相同的最高票数，说明班级中有相同数量的同学最信任这两位候选人现场求众数练习数据集调查20名学生每天使用手机的时间（小时）{

2.5,

1.0,

3.0,

2.0,

2.0,

1.5,

2.0,

4.0,

2.0,

3.5,

2.0,

1.0,

2.5,

2.0,

5.0,

3.0,

2.0,

1.5,

2.0,

3.0}请现场统计各时长的出现次数，找出众数使用时间（小时）出现次数

1.

021.

522.07经典习题演练2实例练习分组数据众数求解某学校对名学生的体重进行调查，得到以下分组数据300体重区间人数频数kg40-451845-504250-557555-609660-654565-701570-759解答分析频数最大的区间是（人），因此众数组为55-60kg9655-60kg众数估计值分析原因=55+60/2=

57.5kg这表明该学校学生体重最集中在

57.5kg左右体重分布呈现以

57.5kg为中心的单峰分布，可能的原因分析年龄因素高中生正处于生长发育后期，体重逐渐稳定在成年人水平饮食习惯学校食堂提供的标准化饮食使学生营养摄入相对均衡运动状况学校体育课和课外活动提供了相似的运动量生活环境相似的作息时间和生活方式影响了学生的体重状况这一众数信息可用于学校体育教学和健康管理的参考依据•食堂饮食结构的合理调整•拓展众数与生活密切相关交通高峰时段分析通过分析城市交通流量数据，发现工作日早上和下午是交通流量的众数时段，即交通最拥堵的时间7:30-8:3017:30-18:30应用价值交通管理部门可在这些时段增加警力疏导交通•公交公司可增加这些时段的车次频率•导航软件可提前提醒用户规划绕行路线•企业可调整上下班时间，错开高峰•食品销售高频产品超市分析发现，在各类蔬菜中，西红柿是销量众数产品；在肉类中，猪肉是销量众数；在饮料中，矿泉水是销量众数应用价值合理规划货架空间，将众数产品放在最佳位置•优化采购和库存策略，确保众数产品不断货•设计促销活动，利用众数产品带动其他商品销售•分析消费者需求变化，及时调整经营策略•移动设备使用习惯研究表明，智能手机用户每天查看手机的众数次数为次，单次使用的众数时长为分钟，最常用的众数应用是社交软件582应用价值手机厂商据此优化用户界面设计•应用开发者调整功能设计，适应短时高频使用场景•电池技术研发针对性地提升短时高频使用的续航表现•团队讨论众数并非唯一头脑风暴哪些数据会出现多个众数？思考可能出现多众数的实际情境偏好均分的情况如选举中两位候选人获得相同票数•双峰分布数据如混合了男女生体重的数据集•季节性变化如一年中销售额在夏季和冬季都有高峰•年龄段分布如社交媒体用户集中在青少年和中年两个群体•消费习惯如购物高峰同时出现在早上和晚上•评分系统如产品评价中的五星和一星评价同样多（两极分化）•多众数的情况通常反映数据具有复杂的内部结构或来自多个子群体的混合识别多众数现象有助于深入理解数据特征，避免过度简化分享真实数据例子城市通勤时间双众数某城市居民通勤时间调查显示，数据有两个众数分钟和分钟深入分析发现，这反映了两种主要居住模式市中心居民（短2545通勤）和郊区居民（长通勤）学生学习时间双众数高中生每天学习时间调查中，出现了小时和小时两个众数，反映了不同学习策略的学生群体24消费者购物金额多众数某电商平台订单金额分布有三个众数元（小额日用品）、元（中等价位电子产品）和元（高端数码产品），反映了不50299999同消费层次的集中点小结与反思众数的定义与特点众数是一组数据中出现次数最多的数据值•可能存在一个众数、多个众数或无众数•用符号₀表示•M不受极端值影响•计算简便，概念直观•适用于定性数据和定量数据•众数的计算方法离散数据统计频数，找出频数最大的数据值•分组数据找出频数最大的组，取区间中点作为众数•要注意判断是单众数、多众数还是无众数•分组方式会影响众数结果，需谨慎选择•众数的实际意义反映数据的最集中位置•表示最常见、最具代表性的数据值•在市场分析中反映主流需求•在教育评估中揭示普遍水平•在医疗统计中指示高发情况•应用情境思考何时选择使用众数而非平均数或中位数？•如何解释多众数情况下的数据特征？•如何将众数与其他统计量结合使用？•众数分析如何帮助实际决策？•课后练习与思考题数据集自选练习统计收集班级同学的身高数据，计算众数并分析其意义

1.统计一周内每天完成作业的时间，分析众数时长及其原因

2.记录连续一个月的气温数据，观察众数温度与平均温度的异同

3.调查同学最喜欢的学科，找出众数学科，思考原因

4.收集家庭每日用水量数据，计算众数用水量，思考节水措施

5.设计一组有趣的调查题应用众数计算题设计一个小型调查研究，应用众数进行数据分析数据集的众数是多少？

1.{3,5,2,7,5,8,5,9,5,4,6}确定一个有趣的研究主题（如手机使用习惯、休闲活动偏好等）

1.某班人参加考试，成绩分布如下分人，分人，

2.4060-70570-801280-设计个调查问题，确保至少有一个问题适合用众数分析

2.3-5分人，分人求众数成绩901590-1008收集至少个样本的数据

3.20某组数据的众数是，若将每个数据都乘以再加，新数据的众数是

3.{a,b,c,d,e,f,g}c23进行众数分析，并与平均数、中位数结果对比多少？

4.解释众数结果的实际意义，并思考为什么这种情况下众数是有用的统计量

5.制作简短的调查报告，包括数据收集方法、分析过程和结论

6.思考题为什么有些数据分析更适合使用众数而非平均数？举例说明

1.当数据呈双峰分布时，仅报告一个集中趋势值可能产生什么问题？

2.课堂总结与提问环节1知识点回顾今天我们学习了众数的定义数据中出现次数最多的值•众数的计算方法统计频数，找出频数最大的数据值•众数的特点简便直观，不受极端值影响，适用于定性数据•众数的应用领域市场调查、医疗卫生、教育测评等•众数与平均数、中位数的比较与适用场景•2核心概念理解请思考以下问题以检验你的理解为什么众数对异常值不敏感？•什么情况下会出现多个众数？无众数？•什么类型的数据最适合用众数来描述？•众数在实际应用中有哪些优势和局限性？•如何判断应该使用众数而非其他统计量？•3提出本节疑问欢迎针对以下方面提出你的疑问对众数概念的理解困难•众数计算中遇到的特殊情况•众数与其他统计量的关系•众数在实际问题中的应用方法•如何解释众数分析结果•4深入思考与实践后续学习与应用建议尝试使用众数分析你感兴趣的实际数据•探索众数在概率分布中的深层含义•比较不同分组方式对众数结果的影响•思考众数与均值、中位数联合使用的策略•。