二次函数教学课件

二次函数教学二次函数的初步认识生活中的二次函数二次函数在我们的日常生活中无处不在当我们观察喷泉的水柱、投掷物体的轨迹或悬挂的电缆时，这些都呈现出抛物线的形状，正是二次函数的图像这些物理现象遵循着二次函数的规律，展示了数学与现实世界的紧密联系例如，当我们投掷一个篮球时，篮球的运动轨迹受到重力的影响，形成一条优美的抛物线同样，桥梁的悬索也常呈抛物线形状，这是因为均函数建模问题引入匀分布的重力作用下，绳索会自然形成这种曲线在实际问题中，我们常需要建立数学模型来描述现象例如，分析物体下落高度与时间的关系、研究产品价格与销售量的关系、或计算围成特定面积的长方形的周长这些问题可以通过二次函数来精确描述和解决二次函数的定义形式定义二次函数的标准形式为y=ax²+bx+c（其中a≠0）当a=0时，函数变为一次函数y=bx+c，不再是二次函数参数a不为零确保了函数中含有x的二次项，这是二次函数的本质特征二次函数是多项式函数中最简单的非线性函数，也是我们学习的第一个曲线关系参数含义•参数a决定抛物线开口方向和宽窄，a0时开口向上，a0时开口向下•参数b影响抛物线的平移和对称轴位置•参数c表示函数图像与y轴的交点坐标0,c与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax²+bx+c=0求解的是使函数值为零的自变量x的值，即二次函数与x轴的交点而二次函数研究的是x与y之间的对应关系，是一种函数关系联系当二次函数表达式等于0时，就得到一元二次方程一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴的交点的横坐标二次函数的基本性质概述12抛物线图像顶点与对称轴二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，这每条抛物线都有一个特殊点——顶点，它是抛物是二次函数最基本的几何表现抛物线是圆锥线最高点（当a0时）或最低点（当a0时）曲线的一种，具有独特的反射性质，这在卫星顶点是理解二次函数性质和应用的关键，它代天线、望远镜和探照灯等技术应用中非常重表了函数的极值点要通过顶点的铅垂线是抛物线的对称轴，抛物线抛物线的形状是光滑连续的曲线，没有尖点或关于此轴具有对称性对称轴的方程为x=-中断，这反映了二次函数是处处可导的函数b/2a，这是从二次函数表达式通过配方法推导从数学角度看，抛物线的形状源于二次项的存出来的对称性意味着，对称轴两侧等距离处在，它使得函数值的变化不再是均匀的，而是的函数值相等，这是解决许多二次函数问题的随着自变量的增大而加速变化重要性质3开口方向二次函数的开口方向完全由系数a的正负决定当a0时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值；当a0时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值二次函数的图像

（一）标准型——y=ax²的基本图像标准型二次函数y=ax²是最简单的二次函数形式，其图像具有以下特点•图像必然过原点0,0，因为当x=0时，y=0•关于y轴对称，因为-x²=x²•图像是一条抛物线，没有其他交点这种基本形式是理解一般二次函数图像的基础，我们可以将其视为二次函数家族的原型系数a的影响系数a的值对图像有两方面的影响

1.a的符号决定开口方向•a0抛物线开口向上，函数有最小值0（在x=0处）•a0抛物线开口向下，函数有最大值0（在x=0处）

2.|a|的大小决定抛物线的陡峭程度•|a|1抛物线比y=x²更窄，函数值变化更快•0|a|1抛物线比y=x²更宽，函数值变化更缓慢例如，对比y=x²、y=2x²和y=

0.5x²三个函数当x=2时，三个函数的值分别为

4、8和2，可以看出系数a越大，函数值增长越快这在实际应用中，如描述加速运动或成本增长时非常有用二次函数的图像

（二）一般型——一般形式一般形式的二次函数表达式为y=ax²+bx+c（a≠0）这种形式是我们最常见的二次函数表示方法，但从图像上不容易直接看出顶点位置和对称轴配方转换通过配方法，我们可以将一般形式转换为顶点形式y=ax²+bx+c=ax²+b/ax+c=ax²+b/ax+b/2a²-b/2a²+c=ax+b/2a²+c-ab²/4a²=ax+b/2a²+c-b²/4a顶点式最终得到顶点式y=ax-h²+k，其中h=-b/2a（顶点的x坐标）k=c-b²/4a（顶点的y坐标）这种形式直观显示了抛物线顶点坐标h,k和对称轴x=h图像变换从y=ax²到y=ax-h²+k，图像经历了

1.水平平移向右平移h个单位h0或向左平移|h|个单位h

02.垂直平移向上平移k个单位k0或向下平移|k|个单位k0二次函数的顶点与对称轴顶点的重要性顶点是二次函数图像上的特殊点，它是函数的极值点•当a0时，顶点是函数的最小值点•当a0时，顶点是函数的最大值点顶点在实际应用中具有重要意义，例如•在抛物运动中，顶点表示物体到达的最高点•在经济学中，顶点可能表示利润最大化或成本最小化的点•在几何问题中，顶点可能表示面积或周长的极值顶点坐标计算对于一般形式y=ax²+bx+c，顶点坐标为顶点的x坐标x=-b/2a顶点的y坐标y=f-b/2a=c-b²/4a对称轴抛物线的对称轴是通过顶点的铅垂线，方程为x=-b/2a对称轴具有以下性质•抛物线关于对称轴对称•对称轴两侧等距离的点，函数值相等•如果点x₁,y₁在抛物线上，则点2·-b/2a-x₁,y₁也在抛物线上二次函数的图像绘制步骤确定开口方向首先观察系数a的符号，确定抛物线的开口方向•a0开口向上，函数有最小值•a0开口向下，函数有最大值开口方向决定了函数的整体趋势和极值类型，是绘制图像的第一步计算顶点坐标利用公式计算顶点坐标顶点的x坐标x=-b/2a顶点的y坐标y=c-b²/4a或直接代入计算f-b/2a顶点是图像的核心特征点，确定了函数的极值位置确定对称轴对称轴方程x=-b/2a在坐标系中画出这条铅垂线，它将是我们绘制时的参考线，抛物线关于此轴对称计算特殊点坐标计算函数与坐标轴的交点•与y轴交点0,c•与x轴交点解方程ax²+bx+c=0这些特殊点有助于确定图像在坐标系中的位置选取其他点计算选择对称轴附近的几个x值，计算对应的y值，形成坐标点可以选择顶点左右两侧等距离的点，利用对称性减少计算通常选取3-5个点即可大致确定抛物线形状连接所有点绘制抛物线将所有计算得到的点在坐标系中标出使用光滑的曲线连接这些点，注意保持抛物线的对称性二次函数与一次函数对比一次函数特点二次函数特点变化率比较一次函数y=kx+b的图像是一条直线，其特点包括二次函数y=ax²+bx+c的图像是抛物线，其特点包括变化率是函数的重要特性，反映了函数值如何随自变量变化•变化率恒定无论在哪个区间，x每增加1个单位，y始•变化率不恒定函数的变化率随x的变化而变化终增加k个单位•存在极值点函数在顶点处取得最大值或最小值•一次函数变化率恒定，图像上任意两点连线斜率相同•斜率k表示直线的倾斜程度，也是函数的变化率•对称性图像关于对称轴对称•无极值点函数在定义域内单调递增或单调递减•应用例抛物运动、变速运动、经济中的最优化问题•二次函数变化率线性变化，可表示为2ax+b，这意味着变化率本身是一个一次函数•应用例匀速运动的位移-时间关系，简单的成本-产量关系•在实际应用中，很多现象的变化率不是恒定的，而是随时间或其他因素变化，这时二次函数比一次函数更适合描述二次函数的解析式变形一般式1y=ax²+bx+c这是二次函数最常见的表达形式从这种形式可以直接看出2顶点式•与y轴的交点坐标0,c•二次项系数a决定开口方向和宽窄y=ax-h²+k•适合进行函数运算和求导通过配方法从一般式转换而来这种形式的优点•直观显示顶点坐标h,k因式分解式3•对称轴方程x=h一目了然y=ax-x₁x-x₂•适合分析函数的平移变换当二次函数有两个零点时可用此形式特点•转换公式h=-b/2a，k=c-b²/4a•直接显示函数的零点x₁和x₂4完全平方式•适合分析函数与x轴的交点•展开后可得一般式y=ax-h²+k•通过求根公式获得x₁,x₂=-b±√b²-4ac/2a配方法推导过程y=ax²+bx+c=ax²+b/ax+c=ax²+b/ax+b/2a²-b/2a²+c=ax+b/2a²-ab²/4a²+c=ax+b/2a²+c-b²/4a参数a的作用开口方向决定参数a的正负决定了抛物线的开口方向•a0抛物线开口向上，函数有最小值•a0抛物线开口向下，函数有最大值这一特性对于理解函数的整体走势和极值非常重要例如，当描述一个物体的抛射运动时，由于重力作用，参数a总是负值，表示物体最终会下落开口宽窄影响参数a的绝对值|a|决定了抛物线开口的宽窄•|a|越大，抛物线开口越窄，函数值变化越剧烈•|a|越小，抛物线开口越宽，函数值变化越平缓参数、对图像的影响b c参数b的影响参数c的影响参数b主要影响抛物线的平移和对称轴位置参数c表示函数图像与y轴的交点坐标0,c，它主要影响抛物线的上下位置•对称轴方程x=-b/2a•b值的变化会导致对称轴左右移动•增大c值，整个抛物线向上平移•当b=0时，对称轴恰好是y轴•减小c值，整个抛物线向下平移•b0时，对称轴位于x轴负半轴•c=0时，抛物线通过原点•b0时，对称轴位于x轴正半轴参数c也影响顶点的纵坐标，通过顶点坐标公式k=c-b²/4a可以看出，c的变化会直接导致顶点的纵坐标变化，参数b还影响顶点的位置，通过顶点坐标公式可以看出，b从而影响函数的极值的变化直接影响顶点的横坐标，进而影响整个抛物线的位置参数组合效应在实际问题中，参数a、b、c的变化常常是组合作用的，综合影响函数图像•a决定基本形状（开口方向和宽窄）•b和a共同决定对称轴位置•a、b、c共同决定顶点位置•b、c影响函数与坐标轴的交点理解这三个参数的作用，有助于我们根据实际问题的需要，构造合适的二次函数模型，或者分析已有函数的性质二次函数与一元二次方程的关系几何意义联系二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0之间存在密切联系•一元二次方程ax²+bx+c=0的解，即为二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标•从几何角度看，求解一元二次方程相当于寻找二次函数图像与x轴的交点这种联系使我们可以通过函数图像直观理解方程的解，也可以通过方程的解确定函数图像的某些特点判别式与交点个数一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac决定了方程的解的情况，同时也决定了二次函数图像与x轴交点的个数•Δ0方程有两个不同的实数解，函数图像与x轴有两个不同的交点•Δ=0方程有两个相等的实数解，函数图像与x轴有一个交点（相切）•Δ0方程没有实数解，函数图像与x轴没有交点函数值的符号一元二次方程的解还可以帮助我们判断二次函数值的符号•如果方程有两个不同实数解x₁和x₂，则练习解二次函数图像与轴交点x例题求y=x²-4x+3与x轴的交点坐标解二次函数与x轴的交点，即为函数值为0时的点，需要解方程x²-4x+3=0使用判别式法解方程a=1,b=-4,c=3Δ=b²-4ac=-4²-4×1×3=16-12=40所以方程有两个不同的实数解x₁=-b-√Δ/2a=--4-√4/2×1=4-2/2=1x₂=-b+√Δ/2a=--4+√4/2×1=4+2/2=3所以，二次函数y=x²-4x+3与x轴的交点坐标为1,0和3,0几何意义分析从几何角度看，这两个交点将x轴分为三个区间-∞,

1、1,3和3,+∞在这三个区间内，函数值的符号分别为•x∈-∞,1时，fx0（图像位于x轴上方）•x∈1,3时，fx0（图像位于x轴下方）•x∈3,+∞时，fx0（图像位于x轴上方）这种分析对于解决与函数值符号相关的问题很有帮助例如，若要解不等式x²-4x+30，答案就是x∈1,3同时，我们还可以通过求导或配方法确定函数的顶点位置二次根公式回顾与二次函数二次方程的根与系数关系对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其根与系数有以下关系•根的和x₁+x₂=-b/a•根的积x₁·x₂=c/a这些关系在二次函数中有直观的几何意义•根的和等于对称轴的两倍x₁+x₂=2·-b/2a•当a=1时，常数项c等于根的积c=x₁·x₂这些关系使我们能够通过二次函数的表达式直接判断其与x轴交点的位置关系，反之亦然韦达定理在二次函数中的应用韦达定理（根与系数的关系）在二次函数问题中有广泛应用•利用已知的根快速构造二次函数•通过根的和与积确定二次函数的系数•分析特殊点（如顶点）与根的关系二次函数的应用类型举例抛物体运动轨迹金融经济模型建筑与工程应用在物理学中，忽略空气阻力时，抛物体的运动轨迹遵循二次函数规律在经济学和商业分析中，二次函数常用于描述成本、收入和利润关系在建筑和工程领域，二次函数的图像——抛物线具有重要应用高度h与水平距离x的关系h=-gx²/2v₀²cos²θ+x·tanθ+h₀典型模型应用实例其中g为重力加速度，v₀为初速度，θ为抛射角度，h₀为初始高度•总成本函数Cx=ax²+bx+c（包含固定成本和变动成本）•悬索桥的设计承重均匀时，缆索呈抛物线形状应用场景•总收入函数Rx=px（价格×数量）•拱形结构许多建筑物的拱门和拱桥采用抛物线设计，能有效分散压力•利润函数Px=Rx-Cx•篮球、足球等球类运动的轨迹分析•抛物面天线和反射镜利用抛物面的聚焦特性•喷泉水流的设计应用场景•防洪堤坝的横截面设计•炮弹、导弹等弹道计算•确定利润最大化的产量抛物线在建筑中的应用不仅具有美学价值，还有重要的力学意义，能够提通过二次函数模型，可以预测物体的落点、最高点等关键参数•分析价格变动对销售量的影响高结构的稳定性和承重能力•计算盈亏平衡点利用二次函数的顶点可以找出最优生产量，实现利润最大化或成本最小化实际问题建模与二次函数建模的基本步骤将实际问题转化为二次函数模型通常遵循以下步骤

1.明确问题目标确定需要最大化或最小化的量

2.选择变量用恰当的变量表示问题中的未知量

3.建立关系根据问题条件，建立变量之间的函数关系

4.转化为二次函数将关系式整理为二次函数形式

5.求解分析利用二次函数的性质（如顶点）求解问题

6.验证解释检验结果是否符合实际，并给出实际意义解释最值问题分析许多实际问题可归结为求二次函数的最大值或最小值，典型问题类型包括•面积最大/最小问题如固定周长求最大面积•成本最小问题如生产和运输的综合成本最小化•利润最大问题如确定最优定价或产量•时间/距离最优问题如最短路径或最少时间从题意到模型的转化技巧成功建立二次函数模型的关键在于

1.识别隐含的二次关系•长方形面积S=ab，且a+b=定值，则S是a的二次函数实例分析实际问题模型——例题一生产利润最大化例题二围地问题问题描述某厂生产一种产品，市场调研表明，当定价为p元/件时，日销量为q=1000-50p件生问题描述有一长为40米的篱笆，用来沿河围成一个矩形的菜地河岸一边不需要篱笆求菜地产成本为每件20元加上固定成本500元求应如何定价才能使利润最大，并求最大利润面积最大时的矩形尺寸解题思路解题思路

1.设置变量设矩形的长为x米，宽为y米，河岸在矩形的一边

1.建立变量关系

2.建立约束条件篱笆长度为x+2y=40，则y=40-x/2•销售量q=1000-50p

3.建立目标函数面积S=x·y=x·40-x/2=20x-x²/2•总收入R=p·q=p1000-50p=1000p-50p²

4.分析二次函数S=-1/2·x²+20x，a=-1/20，开口向下•总成本C=20q+500=201000-50p+500=20000-1000p+500=20500-1000p

5.求顶点x₀=-b/2a=-20/2·-1/2=20，此时y=40-20/2=10•利润P=R-C=1000p-50p²-20500-1000p=2000p-50p²-

205006.计算最大面积S20=-1/2·20²+20·20=

2002.分析二次函数P=-50p²+2000p-20500，a=-500，开口向下

7.结论当矩形长20米，宽10米时，菜地面积最大，为200平方米

3.求顶点p₀=-b/2a=-2000/2·-50=20，最大利润P20=-50·20²+2000·20-20500=

195004.结论产品定价为20元/件时，利润最大，为19500元顶点应用及运算策略利用顶点求极值二次函数y=ax²+bx+c的顶点是其极值点•当a0时，顶点是函数的最小值点•当a0时，顶点是函数的最大值点求极值的步骤

1.判断a的符号，确定极值类型

2.计算顶点坐标x₀=-b/2a，y₀=fx₀=c-b²/4a

3.若有定义域限制，需比较顶点值与端点值在实际应用中，针对不同问题可采用不同的求解策略•直接应用顶点公式•配方法将函数转化为顶点式•利用导数fx=2ax+b，令fx=0求极值点二次函数的对称性与几何意义轴对称特性二次函数的图像——抛物线具有显著的轴对称特性•对称轴方程x=-b/2a•对称点性质如果点x₁,y₁在抛物线上，则点2·-b/2a-x₁,y₁也在抛物线上•函数值对称fx₀+h=fx₀-h，其中x₀=-b/2a是对称轴的横坐标这种对称性是二次函数的本质特征，源于二次项x²的性质对称性使我们能够利用已知点推断对称点，简化计算和分析几何意义二次函数的对称性在几何上有重要意义•抛物线上的点到焦点和准线的距离相等•抛物面能将平行于轴的光线汇聚到焦点•抛物线的切线与焦点连线的夹角等于切点处的法线与轴的夹角生活中的对称形抛物线的对称性在自然界和人造物中广泛存在•抛物面天线利用抛物面的聚焦特性接收信号•汽车前灯利用抛物面反射器将光线聚焦并平行投射•悬索在均匀重力作用下，悬挂的绳索近似呈抛物线•液体表面旋转容器中的液体表面形成抛物面•喷泉水流受重力作用，水流呈抛物线轨迹抛物线的对称美在建筑和设计中也有体现•拱形结构许多桥梁和门拱采用抛物线设计•现代建筑如悉尼歌剧院等标志性建筑利用抛物面元素•体育场馆如足球场的抛物线顶棚设计二次函数的最值问题专项1一般定义域的最值当二次函数fx=ax²+bx+c在所有实数域上寻找最值时•若a0，则最小值为f-b/2a=c-b²/4a，无最大值•若a0，则最大值为f-b/2a=c-b²/4a，无最小值这是最基本的情况，顶点直接给出函数的极值2有限闭区间上的最值当二次函数fx=ax²+bx+c在闭区间[m,n]上寻找最值时•计算顶点横坐标x₀=-b/2a•若x₀∈[m,n]，则需比较fx₀、fm和fn•若x₀•若x₀n，则在[m,n]上的最值为fm或fn闭区间上的最值可能在顶点处，也可能在区间端点处，需要比较取舍3参数化最值问题当二次函数含有参数，求最值可能涉及到•参数对顶点位置的影响•参数对函数开口方向的影响•参数取值范围对最值的约束解决参数化最值问题，通常需要分类讨论参数取值情况4隐含条件最值问题实际应用中，最值问题常常包含隐含条件•物理约束（如长度、时间不能为负）•经济条件（如价格、产量必须在合理范围）•几何限制（如三角形三边关系）解题时必须考虑这些隐含条件对定义域的限制二次函数与图像变换（平移、对称）垂直平移水平平移垂直平移改变常数项c水平平移通过变量替换实现•y=ax²+bx+c+d相当于y=ax²+bx+c向上平移d•y=ax-h²+bx+c相当于y=ax²+bx+c向右平移h个单位d0或向下平移|d|个单位d0个单位h0或向左平移|h|个单位h0•只影响图像的上下位置，不改变开口方向和对•改变对称轴位置，不影响开口方向和开口宽窄称轴•顶点坐标变为h-b/2a,c-b²/4a•顶点坐标变为-b/2a,c-b²/4a+d关于x轴对称关于y轴对称将y替换为-y实现关于x轴对称将x替换为-x实现关于y轴对称•-y=ax²+bx+c，即y=-ax²-bx-c•y=a-x²+b-x+c=ax²-bx+c•所有系数变号，开口方向相反•一次项系数b变为-b，其他保持不变•对称轴保持不变，顶点的y坐标变号•对称轴从x=-b/2a变为x=b/2a•与x轴交点保持不变，与y轴交点关于x轴对称•顶点坐标变为b/2a,c-b²/4a平移变换是理解二次函数图像的重要工具通过平移变换，我们可以将一般形式的二次函数y=ax²+bx+c视为基本形式y=ax²经过平移得到的首先将y=ax²向右平移b/2a个单位，再向上平移c-b²/4a个单位，得到y=ax-b/2a²+c-b²/4a利用图像直观解二次函数问题图像判断函数性质通过二次函数图像，我们可以直观判断许多函数性质•函数值的符号图像在x轴上方为正，下方为负•函数的增减性图像左侧下降，右侧上升（当a0时）•函数的对称性关于对称轴对称•函数的极值顶点处取得利用图像判断函数性质，比纯代数计算更直观，也更不容易出错区间值域判断通过图像可以判断函数在特定区间的值域•找出区间对应的图像部分•确定该部分图像的最高点和最低点•这两点的纵坐标即为值域的上下界例如，对于开口向上的抛物线，如果区间包含顶点，则最小值在顶点处取得；如果区间不包含顶点，则最小值在区间端点处取得例题用图像判断解集范围问题已知二次函数fx=x²-4x+3，求解不等式fx≤0的解集二次函数与方程、不等式的关系一元二次方程与图像交点方程ax²+bx+c=0与函数fx=ax²+bx+c的关系•方程的解即为函数图像与x轴的交点的横坐标1•判别式Δ=b²-4ac决定交点个数•Δ0两个不同的交点•Δ=0一个交点（相切）•Δ0没有交点•应用通过图像直观理解方程解的存在性和分布一元二次不等式与图像位置不等式ax²+bx+c0（或0）与函数fx=ax²+bx+c的关系•fx0表示图像在x轴上方的点的横坐标集合•fx0表示图像在x轴下方的点的横坐标集合2•解不等式的步骤•求出方程fx=0的解，这些解是临界点•临界点将数轴分为若干区间•在每个区间选取一点判断fx的符号•符合不等式条件的区间构成解集参数问题与图像分析含参数的二次函数问题常结合图像特征求解3•函数过定点代入坐标得到参数关系•函数与直线相切方程组的判别式为0•函数图像特殊位置如对称轴、顶点位置等条件•分类讨论根据参数不同值，函数图像可能有不同情况实例解不等式并解释图像意义例题解不等式x²-6x+80，并解释其图像意义解•对应的函数为fx=x²-6x+8•解方程fx=0x²-6x+8=0x-2x-4=0x=2或x=4⟹⟹•这两个解将数轴分为三个区间-∞,2，2,4，4,+∞•在各区间选取一点判断符号•取x=0f0=80•取x=3f3=3²-6·3+8=-10•取x=5f5=5²-6·5+8=25-30+8=30典型例题训练及解析

（一）选择题类型归纳

1.分析函数的性质例下列函数中，定义域为R，值域为[-1,+∞的是（）A.y=x²-2x+1B.y=-x²+2x-1C.y=x²+2x+1二次函数的选择题主要考查以下知识点D.y=2x²-4x+1解析值域为[-1,+∞说明函数有最小值-1A中，y=x-1²，最小值为0；B中，y=-x-1²-1，最大

1.判断函数图像的开口方向和形状例已知二次函数值为-1；C中，y=x+1²，最小值为0；D中，y=2x-1²-y=ax²+bx+c（a≠0），若a0，b0，则抛物线的开口方1，最小值为-1选D向和对称轴位置是（）A.开口向上，对称轴在x轴正半轴B.开口向上，对称轴在x轴负半轴C.开口向下，对称

2.解方程与不等式例不等式m-轴在x轴正半轴D.开口向下，对称轴在x轴负半轴解析1x²+2m+1x+m+50对任意x∈R恒成立，则实数m的a0，抛物线开口向下；对称轴x=-b/2a，因为a0，取值范围是（）A.m-5或m1B.-51D.m-5解析设b0，所以-b/2a0，对称轴在x轴正半轴选C fx=m-1x²+2m+1x+m+5，要使fx0对任意x恒成立，需要1若m-10，即m1，则抛物线开口向上，最

2.求函数的顶点、对称轴和交点例函数y=x²-2x-3的顶小值应大于0，即顶点纵坐标大于0顶点横坐标x₀=-点坐标为（）A.1,4B.1,-4C.-1,4D.-1,-4解析m+1/m-1，代入得到fx₀=…0；2若m-10，即a=1,b=-2,c=-3，顶点横坐标x₀=-b/2a=--2/2·1=1，顶点纵m1，则抛物线开口向下，无最小值，不存在使fx0对坐标y₀=f1=1²-2·1-3=-4，顶点坐标为1,-4选B任意x恒成立的情况综合得到m1选C填空题型归纳填空题常考查计算能力和理解能力

1.求特定点的函数值例已知二次函数fx=ax²+bx+c，且f1=2，f2=1，f3=4，则f0=_____解析代入三个点得到三个方程a+b+c=2，4a+2b+c=1，9a+3b+c=4解得a=1，b=-3，c=4所以f0=c=4近年中考中，二次函数的考查趋势主要有1注重与实际问题的结合，如用二次函数建模解决优化问题；2考查对函数图像的理解和应用，如通过图像判断函数性质；3加强与其他知识点的联系，如与一元二次方程、不等式、几何等内容的综合应用在备考中，应注重对基本概念和性质的理解，培养函数思维，加强应用能力典型例题训练及解析

（二）解答题典型例题应用题巩固例题已知二次函数fx=ax²+bx+c的图像过点1,2和3,0，且对称轴为x=2例题某商店出售一种商品，当定价为每件x元时，日销量为y=100-x件已知该商品的成本为每件20元，店主希望获得最大利润1求函数的解析式；1求商品的最佳定价和最大日利润；2若直线y=kx+1与此抛物线相交于A、B两点，求|AB|的最小值2若因市场变化，日销量变为y=120-x件，商品成本不变，最大日利润将增加解答多少？1对称轴x=2，所以-b/2a=2，即b=-4a解答代入点1,2a·1²+b·1+c=2，即a+b+c=21当定价为x元时，日销量为100-x件，总收入为x100-x元，总成本为20100-代入点3,0a·3²+b·3+c=0，即9a+3b+c=0x元将b=-4a代入a+-4a+c=2，即c=2+3a日利润P=x100-x-20100-x=x-20100-x再代入第二个方程9a+3-4a+2+3a=0，即9a-12a+3a+2=0，解得a=-2/3将P展开P=x-20100-x=100x-20·100-x²+20x=100x+20x-x²-2000=-x²+120x-所以b=-4a=-4·-2/3=8/3，c=2+3a=2+3·-2/3=2-2=02000函数解析式为fx=-2/3x²+8/3x此二次函数开口向下，顶点横坐标x₀=120/2=60，此时最大利润P60=-60²+120·60-2000=1600元2直线方程y=kx+1，与抛物线联立求交点...所以，最佳定价为60元/件，最大日利润为1600元2当销量变为y=120-x件时，日利润P=x-20120-x...提升型训练例题已知二次函数fx=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线顶点1若|AB|=6，|OC|=3（O为原点），求点D的坐标；2若点P为抛物线上一点，且四边形ABPC为菱形，求点P的坐标解答1设Am,0，Bn,0，则m+n=-b/a，m·n=c/a由|AB|=6，得到|m-n|=6又因为C0,c，|OC|=3，所以|c|=3由于二次函数可以表示为fx=ax-mx-n，展开得fx=ax²-m+nx+mn=ax²-am+nx+amn所以b=-am+n，c=amn考虑两种情况c=3或c=-

3...解答题和应用题是中考中二次函数的重点题型，解题关键在于深入理解二次函数的性质，熟练掌握解题技巧，并能灵活应用对于函数解析式的求解，通常通过已知点代入或利用对称轴等性质建立方程；对于应用题，关键是正确建立模型，将实际问题转化为数学问题；对于提升型题目，常需要综合运用多种知识，如坐标几何、函数性质等学生常见易错点归纳1公式记忆错误常见错误•顶点坐标公式记忆错误，如将x₀=-b/2a写成x₀=b/2a•对称轴方程写错，如将x=-b/2a写成x=b/2a•配方法计算错误，特别是符号处理不当改正方法•理解公式推导过程，而不仅仅死记硬背•通过简单例子验证公式的正确性•建立概念间的联系，如顶点横坐标就是对称轴方程2图像绘制失误常见错误•判断开口方向错误，未看清系数a的正负•顶点位置确定不准确，导致整个图像偏移•未考虑函数与坐标轴的交点，图像不准确•忽略了抛物线的对称性，图像不均衡改正方法•绘图前先确定关键特征点顶点、与坐标轴交点•利用对称性减少计算量，确保图像准确•使用表格法计算多个点，以提高图像精度3参数理解偏差常见错误•混淆参数a、b、c对图像的影响•忽略参数符号的重要性，如a的符号决定开口方向•在变形过程中参数变化不对应，如将y=ax²平移后的函数写错改正方法•明确每个参数的几何意义a影响开口，b影响对称轴，c影响与y轴交点•通过对比不同参数值的函数图像，加深理解•掌握函数变换的规律，如平移、伸缩等4解题方法单一常见错误•只会用代数方法，不善于利用函数图像解题•在求最值问题中忽略定义域的限制•解不等式时未考虑函数的单调性和符号变化改正方法知识结构梳理与思维导图二次函数核心知识体系定义与形式•定义y=ax²+bx+c a≠0•一般式y=ax²+bx+c•顶点式y=ax-h²+k•因式分解式y=ax-x₁x-x₂图像特征•抛物线形状•开口方向由a决定核心考点串联•对称轴x=-b/2a•顶点-b/2a,c-b²/4a二次函数的核心考点可以串联为以下几条主线•与坐标轴交点

1.表达式与图像转换•从表达式确定图像特征（开口、顶点、交点）函数性质•从图像特征确定表达式（已知点、对称轴等）•定义域通常为R

2.性质应用主线•值域与a的符号有关•最值问题（顶点应用）•单调性分段单调•单调区间判断•最值在顶点处取得•函数值符号判断•对称性关于对称轴对称

3.实际应用主线•建模方法应用场景•优化问题•实际问题建模•现实意义解释•最值问题掌握这些核心主线，有助于系统理解二次函数的知识体系，提高解题能力和应用水平同时，注意二次函数与其他知识点的联系，如•方程与不等式与一元二次方程、不等式、几何等内容的结合应用•运动轨迹•经济模型课后提升与自我评价课外推荐题目学习自测清单以下是几类具有提升作用的二次函数题目通过以下自测清单检查自己的掌握程度

1.参数问题已知二次函数fx=ax²+bx+c，若f1=f3=0，f2=m，•能否准确写出二次函数的顶点坐标和对称轴方程？求a、b、c的值，并求m的最小值•能否快速判断函数图像的开口方向、宽窄和位置？

2.最值优化问题有一长为100米的篱笆，要围成一个矩形和一个圆形•能否熟练运用配方法将一般式转化为顶点式？区域设矩形的边长为a和b，求当总面积最大时，a、b各为多少？•能否正确分析函数的单调区间和值域？

3.函数图像与变换如果将函数fx=x²的图像先向右平移3个单位，再•能否利用二次函数解决实际问题，如最大值/最小值问题？向下平移2个单位，再关于y轴对称，最后得到的函数解析式是什么？•能否分析函数图像与参数变化的关系？

4.综合应用题某产品的单位成本cx与日产量x的关系为cx=

0.01x²-

0.8x+20（x≥0），市场价格为12元/件求企业获得最大利润时的日•能否灵活运用代数法和图像法解决二次函数问题？产量和最大利润值对于上述问题回答否的地方，需要重点加强练习和理解提升建议根据不同学习阶段，可采取以下提升策略•基础薄弱者•重点掌握基本概念和性质•多做基础题，巩固公式应用•通过图像辅助理解抽象概念•中等水平者•加强解题方法的多样性•注重知识点间的联系•提高应用题解决能力•优秀水平者•挑战高难度综合题•探究知识的本质和延伸•培养数学建模思维学习二次函数是理解函数概念的重要一步，也是连接初中与高中数学的桥梁良好的二次函数基础，不仅有助于中考取得好成绩，也为后续学习指数函数、对数函数、三角函数等奠定基础希望通过本课件的学习，同学们能够掌握二次函数的本质，培养函数思维，提高解决实际问题的能力记住，数学学习不仅是为了应对考试，更是培养逻辑思维和问题解决能力的过程。