分数混合运算三教学课件

分数混合运算三第一章分数混合运算基础回顾在开始学习分数混合运算的复杂内容前，我们需要回顾一些基础知识分数运算是数学学习中的重要环节，掌握好分数的基本性质和运算规则，对于理解和应用分数混合运算至关重要本章我们将复习•分数的基本概念和性质•同分母和异分母分数的加减法•分数的乘法和除法•分数的约分与通分什么是分数混合运算？分数混合运算是指在一个算式中同时包含分数的加、减、乘、除等多种运算的综合计算这类运算要求我们•严格按照运算顺序进行计算•正确应用分数的各种运算法则•熟练掌握约分和通分技巧•灵活运用简便计算方法分数混合运算是数学学习的重要内容，也是提高数学思维能力的有效途径通过学习分数混合运算，我们不仅能够解决日常生活中的实际问题，还能为后续学习分式运算、代数运算等高级数学内容打下坚实基础分数混合运算需要我们掌握加减法运算要通分后计算乘除法运算分子分母分别运算运算顺序运算顺序的重要性例题在分数混合运算中，运算顺序是确保计算结果正确的关键数学运算遵循以下优先顺序\\frac{2}{5}+\frac{3}{10}\times\frac{4}{7}\括号内的运算优先先计算小括号内的运算，再计算中括号，最后计算大括号解题步骤乘除运算优先于加减运算在没有括号的情况下，先计算乘法和除法，再计算加法和减法步骤一同级运算从左到右进行当有多个同级运算（如多个乘除或多个加减）时，按从左到右的顺根据运算顺序，先计算乘法\\frac{3}{10}\times\frac{4}{7}\序进行计算\\frac{3}{10}\times\frac{4}{7}=\frac{3\times4}{10\times7}=\frac{12}{70}\记住运算顺序的口诀先乘除，后加减，有括号先算括号步骤二计算加法，需要先通分\\frac{2}{5}+\frac{12}{70}\\\frac{2}{5}=\frac{2\times14}{5\times14}=\frac{28}{70}\步骤三进行加法运算\\frac{28}{70}+\frac{12}{70}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}\分数的基本性质复习同分母分数加减法当两个分数的分母相同时，加减运算只需将分子进行加减，分母保持不变公式\\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}\异分母分数通分法当两个分数的分母不同时，需要先通分（找到最小公分母），使它们有相同的分母，再进行加减运算通分步骤

1.求出两个分母的最小公倍数

2.将每个分数的分子和分母同时乘以相应的数

3.使所有分数的分母都变成最小公倍数约分与通分的技巧练习题同分母分数加减1问题问题1\\frac{5}{8}+2\\frac{7}{9}-\frac{1}{8}=\\frac{2}{9}=\解析解析这是同分母分数加法，直接将分子相这是同分母分数减法，直接将分子相加，分母保持不变减，分母保持不变\\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5+1}{8}=\\frac{7}{9}-\frac{2}{9}=\frac{7-2}{9}=\frac{6}{8}\\frac{5}{9}\化简结果\\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\结果已经是最简分数，无需进一步约分答案\\frac{3}{4}\答案\\frac{5}{9}\第二章分数乘法与除法基础分数的乘法和除法是分数混合运算的重要组成部分与分数加减法不同，分数乘除法不需要通分，计算方法更为直接但在实际运算中，我们需要注意一些特殊情况和简便技巧本章我们将学习•分数乘法的计算方法和技巧•分数除法的计算方法和技巧•混合数的乘除法转换•分数乘除法的简便计算分数乘法计算步骤分数乘法是分数运算中相对简单的一种，计算规则如下分数相乘等于分子相乘除以分母相乘公式表示为\\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}\计算步骤

1.分子相乘得到新的分子

2.分母相乘得到新的分母

3.对结果进行约分，得到最简分数分数乘法的一个重要特点是不需要通分，直接乘即可这与分数加减法的计算方法有很大不同，需要特别注意分数乘法的简便计算技巧在进行分数乘法运算时，可以使用以下简便技巧交叉约分先约去一个分数的分子与另一个分数的分母的公因数，再进行乘法先约分后乘如果分子和分母有公因数，先约分再乘，可以减少计算量利用单位分数如果乘数中有单位分数（如\\frac{1}{n}\），可以直接用另一个分数除以n例如\\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}\分数除法计算步骤例题分数除法的核心规则是\\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\除以一个分数等于乘以这个分数的倒数步骤一公式表示为\\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}\计算步骤将除数\\frac{2}{5}\变成倒数\\frac{5}{2}\步骤二

1.将除数变成倒数

2.将除法变成乘法将除法变成乘法\\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}\

3.按照分数乘法的方法计算

4.对结果进行约分，得到最简分数步骤三这种除以分数等于乘以其倒数的方法大大简化了分数除法的计算过程计算分数乘法\\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{3\times5}{4\times2}=\frac{15}{8}\步骤四混合数乘除法混合数除法计算步骤混合数（带分数）是整数和真分数的和，如\2\frac{3}{4}\在进行混合数的乘除法运算时，我们通常需要先将混合数转化为假分数，然后再进行

1.将混合数转化为假分数运算

2.将除数变成倒数混合数转假分数的方法

3.按照分数乘法法则计算

4.将结果化为最简分数或带分数\a\frac{b}{c}=\frac{a\times c+b}{c}\举例\2\frac{1}{2}\times例如\2\frac{3}{4}=\frac{2\times4+3}{4}=1\frac{1}{3}\\frac{11}{4}\混合数乘法计算步骤解析第一步将混合数转化为假分数

1.将混合数转化为假分数\2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\，\1\frac{1}{3}=

2.按照分数乘法法则计算\frac{4}{3}\

3.将结果化为最简分数或带分数第二步计算分数乘法\\frac{5}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{5\times4}{2\times3}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\第三步转化为带分数练习题分数乘除法2问题问题1\\frac{2}{3}\times2\1\frac{1}{2}\div\frac{4}{5}=\\frac{3}{4}=\解析解析按照分数乘法法则，直接将分子相乘，分母相第一步将混合数转化为假分数乘\1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{2\times第二步将除数变成倒数4}{3\times5}=\frac{8}{15}\\\frac{3}{2}\div\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\times结果已是最简分数，无需进一步约分\frac{4}{3}\答案\\frac{8}{15}\第三步计算分数乘法也可以使用交叉约分法\\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{3\times\\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\4}{2\times3}=\frac{12}{6}=\frac{2}{1}=2\2和5没有公因数，3和4的公因数是1，无法约分，所以直接计算答案\2\第三章分数混合运算的计算顺序分数混合运算涉及多种运算符号，如何正确确定计算顺序是解题的关键在数学中，不同的运算有不同的优先级，按照约定俗成的规则进行计算才能得到正确结果本章我们将学习•数学运算的优先顺序规则•括号在混合运算中的作用•复杂混合运算的解题思路和步骤•常见混合运算的计算技巧计算顺序示例运算顺序规则回顾例题\\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}-\frac{1}{6}\在进行分数混合运算时，必须严格遵循以下运算顺序步骤一括号最先计算括号内的运算根据运算顺序，先计算乘法\\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\乘除其次计算乘法和除法（从左到右依次计算）加减最后计算加法和减法（从左到右依次计算）\\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{3\times2}{4\times3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\这个顺序可以用口诀先乘除，后加减，有括号先算括号来记忆步骤二当表达式中有多层括号时，应当从内层括号开始计算，逐层向外现在算式变为\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\从左到右计算加减法步骤三计算\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1\算式变为\1-\frac{1}{6}\步骤四计算\1-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\最终结果\\frac{5}{6}\括号优先原则例题括号在数学运算中起着非常重要的作用，它可以改变运算的顺序，使得括号内的运算优先进行在分数混合运算中，遇到括号应当\\left\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right\times\frac{3}{5}\

1.优先计算括号内的运算步骤一

2.将括号内的运算结果代入原式

3.按照运算顺序继续计算先计算括号内的加法\\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\多层括号的情况下，应当从内层括号开始，逐层向外计算括号的存在可以打破常规的运算顺序，因此在解题时要特别注意括号的作用通分\\frac{2}{3}=\frac{8}{12},\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\不同类型的括号按照小括号、中括号[]、大括号{}的顺序从内到外进行计算\\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}\步骤二将括号内的运算结果代入原式\\frac{11}{12}\times\frac{3}{5}\步骤三计算乘法练习题分数混合运算3问题\\frac{3}{5}+\frac{2}{7}\times\left\frac{1}{3}+\frac{4}{9}\right\解析步骤二步骤一代入原式\\frac{3}{5}+\frac{2}{7}\times\frac{7}{9}\首先计算括号内的表达式\\frac{1}{3}+\frac{4}{9}\通分\\frac{1}{3}=\frac{3}{9},\frac{4}{9}\\\frac{3}{9}+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}\步骤四步骤三计算加法\\frac{3}{5}+\frac{2}{9}\根据运算顺序，先计算乘法\\frac{2}{7}\times\frac{7}{9}\通分\\frac{3}{5}=\frac{27}{45},\frac{2}{9}=\frac{10}{45}\\\frac{2}{7}\times\frac{7}{9}=\frac{2\times7}{7\times9}=\frac{14}{63}=\frac{2}{9}\\\frac{27}{45}+\frac{10}{45}=\frac{37}{45}\答案\\frac{37}{45}\第四章分数混合运算中的简便运算技巧在进行分数混合运算时，掌握一些简便运算技巧可以大大提高计算效率，减少出错的可能性这些技巧基于分数的性质和运算规律，能够使复杂的计算变得简单明了本章我们将学习•运算律在分数混合运算中的应用•通分与约分的巧妙运用•提取公因数和公分母的方法•分数混合运算的常用简便技巧运算律的应用加法交换律和结合律运用运算律简化计算加法交换律\a+b=b+a\运用运算律可以重新组合运算顺序，使计算更加简便加法结合律\a+b+c=a+b+c\例如\\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\在分数加法中，这些运算律同样适用运用加法交换律和结合律\\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}\\\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=1+\frac{3}{8}=\frac{8}{8}+\frac{3}{8}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}\\\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\乘法交换律和结合律乘法交换律\a\times b=b\times a\乘法结合律\a\times b\times c=a\times b\times c\在分数乘法中\\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{c}{d}\times\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\times\frac{e}{f}=\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\times\frac{e}{f}\通分与约分的巧用通分的巧妙应用及时约分减少计算量在分数混合运算中，通分是一个关键步骤，尤其是在处理加减法时巧妙的通分可以简化计算过程在分数运算过程中，及时约分可以减少计算量，避免分子分母变得过大最小公分母法找出所有分母的最小公倍数作为公分母运算过程中约分每完成一步运算就约分，避免数字过大逐步通分法先将部分分数通分，再与其他分数进行通分交叉约分在分数乘法中，可以先约去一个分数的分子与另一个分数的分母的公因数分组通分法将分母相近的分数分组，先组内通分，再组间通分最大公因数约分利用最大公因数一次性将分数约为最简例如\\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\例如\\frac{12}{15}\times\frac{10}{18}\最小公分母是12\\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\练习题简便计算4问题\\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-\frac{1}{3}\解析（常规方法）解析（简便方法）

1.先将\\frac{1}{3}\通分

1.注意到\\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\

2.计算\\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-

2.直接计算\\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{3}{9}=\frac{2+4-3}{9}=\frac{1}{3}\\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\答案\\frac{1}{3}\答案\\frac{1}{3}\在这个例子中，我们可以看到简便计算的优势通过观察分数的特点，直接将同分母的分数相加，然后再进行减法，可以减少通分的步骤，使计算更加简便第五章分数混合运算典型例题解析掌握分数混合运算的基本规则和技巧后，我们需要通过典型例题的分析和解答来巩固所学知识，提高解题能力本章将详细解析几个典型的分数混合运算例题，展示解题思路和方法本章我们将学习•复杂分数混合运算的解题思路•带分数在混合运算中的处理方法•含有括号的分数混合运算解法•分数除法在混合运算中的应用例题复杂混合运算1问题\\frac{3}{4}\times\left\frac{2}{5}+\frac{1}{10}\right-\frac{1}{3}\解题思路第二步计算乘法\\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}\

1.遵循运算顺序先计算括号内的表达式\\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{3\times

2.再进行乘法运算1}{4\times2}=\frac{3}{8}\

3.最后进行减法运算第三步计算减法\\frac{3}{8}-\frac{1}{3}\解析通分\\frac{3}{8}=\frac{9}{24},\frac{1}{3}=第一步计算括号内的表达式\\frac{2}{5}+\frac{8}{24}\\frac{1}{10}\\\frac{9}{24}-\frac{8}{24}=\frac{1}{24}\通分\\frac{2}{5}=\frac{4}{10},\frac{1}{10}\答案\\frac{1}{24}\\\frac{4}{10}+\frac{1}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\例题带分数混合运算2问题\2\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\解题思路第二步计算乘法\\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}\

1.将带分数转化为假分数\\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}=\frac{

32.按照运算顺序，先计算乘法\times5}{4\times6}=\frac{15}{24}=

3.再进行加法运算\frac{5}{8}\解析第三步计算加法\\frac{7}{3}+\frac{5}{8}\第一步将带分数转化为假分数\2\frac{1}{3}=\frac{2\times3+1}{3}=通分\\frac{7}{3}=\frac{56}{24},\frac{5}{8}\frac{7}{3}\=\frac{15}{24}\\\frac{56}{24}+\frac{15}{24}=\frac{71}{24}=2\frac{23}{24}\答案\2\frac{23}{24}\例题分数除法混合运算3问题\\frac{5}{8}\div\left\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right\解题思路第二步将除法转化为乘以倒数

1.先计算括号内的加法\\frac{5}{8}\div\frac{3}{8}=\frac{5}{8}\times\frac{8}{3}\

2.将除法转化为乘以倒数

3.进行乘法运算第三步计算乘法解析\\frac{5}{8}\times\frac{8}{3}=\frac{5\times8}{8\times3}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}第一步计算括号内的加法\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}\答案\1\frac{2}{3}\通分\\frac{1}{4}=\frac{2}{8},\frac{1}{8}\\\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}\练习题综合训练5问题\\frac{7}{12}+\frac{3}{8}\times\frac{4}{9}-\frac{1}{6}\div\frac{2}{3}\步骤一根据运算顺序，先计算乘除法\\frac{3}{8}\times\frac{4}{9}=\frac{3\times4}{8\times9}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}\div\frac{2}{3}=\frac{1}{6}\times\frac{3}{2}=\frac{1\times3}{6\times2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\步骤二代入原式\\frac{7}{12}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\步骤三通分\\frac{7}{12}=\frac{7}{12},\frac{1}{6}=\frac{2}{12},\frac{1}{4}=\frac{3}{12}\步骤四计算加减法\\frac{7}{12}+\frac{2}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7+2-3}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\答案\\frac{1}{2}\第六章分数混合运算应用题分数混合运算不仅仅是数学课本上的抽象概念，它在我们的日常生活中有着广泛的应用通过学习和解决分数混合运算的应用题，我们可以更好地理解分数的实际意义，提高解决实际问题的能力本章我们将学习•生活中的分数应用场景•工程计算中的分数混合运算•分数应用题的解题思路和方法•如何将实际问题转化为分数混合运算应用题生活中的分数运算1水果分配问题一箱苹果，\\frac{3}{5}\被卖出，剩余的\\frac{1}{4}\被送人，剩下多少？分析这是一个典型的分数应用题，需要我们通过分数混合运算来解决

1.设整箱苹果为

12.被卖出的部分是\\frac{3}{5}\

3.剩余的部分是\1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\

4.送人的部分是剩余的\\frac{1}{4}\，即\\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}\

5.最终剩余的部分是\\frac{2}{5}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}-\frac{1}{10}=\frac{3}{10}\解答设整箱苹果为1份第一步卖出\\frac{3}{5}\后，剩余\1-\frac{3}{5}=\frac{5}{5}-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\第二步从剩余的\\frac{2}{5}\中送出\\frac{1}{4}\，即送出\\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}\第三步最终剩余\\frac{2}{5}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}-\frac{1}{10}=\frac{3}{10}\答案最终剩下\\frac{3}{10}\箱苹果应用题工程计算中的分数混合运算2管道工作效率问题A管道单独工作需要3小时完成注水任务，B管道单独工作需要2小时完成同样的任务如果两个管道同时工作，需要多少小时才能完成注水任务？分析这是一个工作效率问题，我们可以用分数来表示单位时间内完成的工作量

1.A管道的效率是\\frac{1}{3}\任务/小时

2.B管道的效率是\\frac{1}{2}\任务/小时

3.两管道同时工作的效率是\\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\任务/小时

4.求完成1个任务需要的时间解答第一步计算A管道的效率A管道3小时完成任务，单位时间效率为\\frac{1}{3}\任务/小时第二步计算B管道的效率B管道2小时完成任务，单位时间效率为\\frac{1}{2}\任务/小时第三步计算两管道同时工作的效率\\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}\任务/小时第四步计算完成时间效率是\\frac{5}{6}\任务/小时，完成1个任务需要\\frac{1}{\frac{5}{6}}=1\times\frac{6}{5}=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}\小时练习题应用题训练6设计问题一块长方形土地，长为米，宽为米小明用去这块土地的来种菜，剩下的128\\frac{2}{3}\用来种花，余下的用来建小路请问\\frac{1}{4}\用来种菜的面积是多少平方米？

1.用来种花的面积是多少平方米？

2.用来建小路的面积是多少平方米？

3.解析

3.用来种花的面积首先计算土地的总面积种花面积=剩余面积×\\frac{1}{4}\=32×\\frac{1}{4}\=8平方米总面积=长×宽=12×8=96平方米

4.用来建小路的面积

1.用来种菜的面积小路面积=剩余面积-种花面积=32-8=24平方米种菜面积=总面积×\\frac{2}{3}\=96×\\frac{2}{3}\=64平方米答案

2.剩余的面积

1.用来种菜的面积是64平方米剩余面积=总面积-种菜面积=96-64=32平方米

2.用来种花的面积是8平方米复习与总结分数混合运算的关键步骤回顾运算顺序分数加减法先算括号内，再算乘除，最后算加减在同级运算中，从左到右进行计算需要先通分，使分母相同，然后对分子进行加减运算分数乘法分数除法分子相乘，分母相乘，然后约分得到最简分数除以一个分数等于乘以这个分数的倒数，转化为乘法后计算运算顺序与简便技巧总结

1.通分的技巧找出最小公分母，或者逐步通分，减少计算量

2.约分的技巧及时约分，避免分子分母过大；利用最大公因数一次性约分

3.运算律的应用灵活运用交换律、结合律等，简化计算过程

4.分数混合运算的应用将实际问题转化为分数运算，利用分数的性质解决问题结束语通过本课程的学习，我们已经掌握了分数混合运算的基本原理和方法分数运算是数学学习的重要基础，它不仅在数学学科内部有着广泛的应用，还与我们的日常生活密切相关掌握分数混合运算，我们能够•培养严谨的数学思维•提高解决实际问题的能力•为学习更高阶的数学内容打下基础•在日常生活中灵活应用数学知识记住，数学学习的关键在于理解和实践要真正掌握分数混合运算，需要

1.理解基本概念和运算规则

2.熟练掌握计算技巧

3.勤加练习，巩固所学知识

4.灵活应用，解决实际问题。