还剩28页未读，继续阅读
本资源只提供10页预览，全部文档请下载后查看！喜欢就下载吧，查找使用更方便
文本内容:
因数与倍数教学课件欢迎来到因数与倍数专题教学课件本课件针对人教版五年级下册数学内容，全面系统地覆盖因数与倍数的核心知识点，强调数学思维训练与实际应用能力的培养通过本课件的学习，学生将建立对因数与倍数的清晰概念，掌握相关计算方法，并能够灵活运用这些知识解决实际问题什么是因数和倍数？因数的定义倍数的定义如果一个整数a能够被另一个整数b整除（没有余数），我们就说b是a的因如果一个整数a能够被另一个整数b整除（没有余数），我们就说a是b的倍数，或者说a是b的倍数数举例说明举例说明以数字6为例以数字6为例，6的倍数有•6能被1整除，所以1是6的因数•6×1=6，所以6是6的倍数•6能被2整除，所以2是6的因数•6×2=12，所以12是6的倍数•6能被3整除，所以3是6的因数•6×3=18，所以18是6的倍数•6能被6整除，所以6是6的因数•......（无限多个）因此，6的所有因数是
1、
2、
3、66的倍数有
6、
12、
18、
24、
30、
36、......（无限多个）因数与倍数的关系整除关系如果a是b的因数，那么b就是a的倍数；反之亦然例如2是6的因数，同时6是2的倍数这种关系是相互的生活中的因数与倍数分苹果问题排队问题小明有12个苹果，想要平均分给几个同学，每人分得的苹果数量班级40名学生需要排队做操，可以排成几排？每排多少人？必须相同，而且不能剩余他可以怎么分？解答40的因数有
1、
2、
4、
5、
8、
10、
20、40解答他可以分给
1、
2、
3、
4、6或12个同学，因为这些数字都是所以可以排成12的因数•1排，每排40人•分给1人每人12个•2排，每排20人•分给2人每人6个•4排，每排10人•分给3人每人4个•5排，每排8人•分给4人每人3个•8排，每排5人•分给6人每人2个•10排，每排4人•分给12人每人1个•20排，每排2人•40排，每排1人时钟与日历1钟表上的数字安排（12小时制）与因数有关钟表上的12点能被多个数整除，这使得我们能够方便地划分时间段购物应用商店促销买3件商品打8折如果你买了6件、9件、12件等（3的倍数），都可以享受这个折扣节奏与音乐认识因数因数的基本性质任何一个整数至少有两个因数1和它本身这是因为任何数都能被1整除，也能被自身整除因数是有限的一个整数的因数个数是有限的，不会超过这个数本身因数都比原数小或等于原数因为如果一个数能被另一个数整除，那么这个除数一定不大于被除数例的所有因数12我们来找出12的所有因数
1.12÷1=12（整除），所以1是12的因数
2.12÷2=6（整除），所以2是12的因数
3.12÷3=4（整除），所以3是12的因数
4.12÷4=3（整除），所以4是12的因数
5.12÷5=2余2（不整除），所以5不是12的因数
6.12÷6=2（整除），所以6是12的因数因数的对称性
7.12÷12=1（整除），所以12是12的因数在寻找一个数的因数时，可以利用因数的对称性如果a是n的因数，且a≠n/a，那么n/a也是n的因数例如，对于12•1是12的因数，那么12/1=12也是12的因数•2是12的因数，那么12/2=6也是12的因数•3是12的因数，那么12/3=4也是12的因数利用这一性质，我们只需要检查到√n就可以找出所有因数对于12，我们只需要检查到√12≈
3.46，即检查
1、
2、
3、4就足够了因数总结12的所有因数为
1、
2、
3、
4、
6、12，共6个因数认识倍数倍数的无限性最小倍数与因数不同，每个数的倍数都是无限多的这是因为我们每个数的最小倍数就是它本身例如，5的最小倍数是可以将一个数乘以任意整数，得到无限多个倍数5×1=5倍数的递增性一个数的倍数是按照固定间隔递增的，相邻两个倍数之间的差等于这个数本身的前五个倍数5让我们列出5的前五个倍数倍数的判断方法
1.5×1=
52.5×2=10判断一个数是否为另一个数的倍数，只需要看能否被整除
3.5×3=15•35是5的倍数吗？35÷5=7（整除），所以35是5的倍数
4.5×4=20•42是5的倍数吗？42÷5=8余2（不整除），所以42不
5.5×5=25是5的倍数所以5的前五个倍数是
5、
10、
15、
20、25倍数的应用了解倍数可以帮助我们快速判断一个数是否能被另一个数整除，这在生活中有很多应用，如分组、排列等问题因数与倍数的区别数量的差异大小的差异互为因数倍数的关系因数有限个因数除了数本身外，其他因数都比原数小如果a是b的因数，那么b是a的倍数倍数无限个倍数除了数本身外，其他倍数都比原数大例如3是15的因数，同时15是3的倍数例如6的因数只有4个（
1、
2、
3、6），而6的倍数有无限多个（
6、
12、
18、
24、
30、...）例如8的因数都不超过8（
1、
2、
4、8），而8的倍数中除了8本身，其他都大于8（
16、
24、
32、...）最小与最大的比较比较项因数倍数最小值1（对于正整数）数本身最大值数本身无限大对于任何正整数n•n的最小因数总是1•n的最大因数总是n本身•n的最小倍数总是n本身•n没有最大倍数，因为倍数是无限的如何求一个数的因数用除法整除判定例找的全部因数18求一个数的所有因数，基本方法是用这个数除以从1开始的每一个整数，直到这个数我们来找出18的所有因数本身，看是否能整除步骤示范尝试除数计算结果是否为因数对应的另一个因数
1.从1开始，逐个尝试除法118÷1=18是
182.如果除尽（余数为0），则该除数是因数
3.如果有余数，则该除数不是因数218÷2=9是
94.继续尝试下一个整数，直到达到原数本身318÷3=6是6优化方法418÷4=4余2否-利用因数的对称性，我们只需要检查到√n518÷5=3余3否-•如果d是n的因数，那么n/d也是n的因数618÷6=3是3•只需要检查到√n，就可以找出所有因数918÷9=2是21818÷18=1是1通过上述过程，我们找到18的所有因数为
1、
2、
3、
6、
9、18如何求一个数的倍数用乘法定式例题列举的个倍数75求一个数的倍数非常简单，只需将这个数乘以连续的自然数即可我们来求7的前5个倍数步骤示范倍数序号计算过程结果
1.确定要求哪个数的倍数第1个7×
172.将该数乘以
1、
2、
3、
4、
5...等自然数
3.得到的结果就是该数的倍数序列第2个7×214倍数的通项公式第3个7×321对于数a，它的倍数可以表示为第4个7×428a×1,a×2,a×3,a×4,...第5个7×535通项公式a×n（其中n为正整数）所以7的前5个倍数是
7、
14、
21、
28、35倍数的特点•每个数都有无限多个倍数•相邻两个倍数之差等于这个数本身•所有倍数都能被这个数整除实际应用例题快速判断倍数小红每天存7元钱，那么她存钱的数量会是7的倍数请问她第10天时总共存了多少钱？判断一个数是否为另一个数的倍数，只需要看能否整除例如，判断63是否为7的倍数63÷7=9（整除），所以63是7的倍数解答7的第10个倍数=7×10=70元的特殊地位1是所有正整数的因数与任何数相乘得数本身11任何正整数都能被1整除，因此1是任何正整数的因数1×n=n，这是1的乘法特性，也使得1成为特殊的数既是自身的因数，也是倍数是乘法单位元111÷1=1，说明1是1的因数；1×1=1，说明1也是1的倍数在数学中，1被称为乘法单位元，因为任何数与1相乘都等于该数本身不是质数也不是合数1质数定义为只有1和它本身两个因数的数而1只有一个因数（1本身），所以1既不是质数也不是合数的倍数特性11的所有倍数就是所有正整数1,2,3,4,5,...这是因为任何正整数n都可以表示为1×n概念训练因数和倍数辨认练习题
（一）判断因数与倍数123判断题填空题选择题判断下列说法是否正确填写空白处选出正确答案
1.15是5的因数（）
1.24的所有因数有_____________________下列各数中，不是20的因数的是（）A.2B.4C.5D.
82.6是24的因数（）
2.7的前6个倍数是_____________________
3.30是5的倍数（）
3.8和12的公因数有_____________________下列各数中，是12的倍数的是（）A.24B.30C.40D.
604.25是100的因数（）
4.9和15的最小公倍数是_____________________图表辅助理解练习题解答判断题答案
1.15是5的因数（错）——15不是5的因数，而是5的倍数
2.6是24的因数（对）——24÷6=4（整除）
3.30是5的倍数（对）——30÷5=6（整除）
4.25是100的因数（对）——100÷25=4（整除）填空题答案
1.24的所有因数有
1、
2、
3、
4、
6、
8、
12、
242.7的前6个倍数是
7、
14、
21、
28、
35、
423.8和12的公因数有
1、
2、
44.9和15的最小公倍数是45选择题答案
1.D（8不是20的因数，因为20不能被8整除）
2.A和D（24和60都是12的倍数，30和40不是）公因数与公倍数公因数定义公倍数定义公因数是指同时是两个或多个整数的因数的数换句话说，如果一个数能公倍数是指同时是两个或多个整数的倍数的数换句话说，如果一个数能同时整除几个整数，那么这个数就是这几个整数的公因数被几个整数整除，那么这个数就是这几个整数的公倍数例和的公因数例和的公倍数4646我们先分别找出4和6的所有因数我们先分别找出4和6的前几个倍数•4的因数
1、
2、4•4的倍数
4、
8、
12、
16、
20、
24、
28、
32、
36、
40、...•6的因数
1、
2、
3、6•6的倍数
6、
12、
18、
24、
30、
36、
42、
48、...比较两组因数，可以发现同时出现在两组中的数是
1、2比较两组倍数，可以发现同时出现在两组中的数是
12、
24、
36、...所以4和6的公因数是
1、2所以4和6的公倍数有
12、
24、
36、
48、...公因数的性质公倍数的性质•任何两个正整数至少有1个公因数（即1）•任何两个正整数都有无限多个公倍数•公因数的个数是有限的•所有公倍数都不小于这些数中的最大值•所有公因数都不大于这些数中的最小值•相邻两个公倍数之差不一定等于某一个固定的数应用实例蜂鸣器问题有两个蜂鸣器，一个每4秒响一次，另一个每6秒响一次如果它们同时开始响，那么下一次同时响是什么时候？解答需要找出4和6的最小公倍数4和6的最小公倍数是12，所以蜂鸣器会在12秒后同时响公因数与公倍数的关系对于任意两个正整数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数有以下关系最大公因数×最小公倍数=a×b例如4和6的最大公因数是2，最小公倍数是12，而2×12=24=4×6最大公因数最大公因数的概念辗转相除法（欧几里得算法）最大公因数（Greatest CommonDivisor，简称GCD），也称为最大公约辗转相除法是一种高效求最大公因数的方法，其步骤如下数，是指几个整数共有因数中最大的一个
1.用较大数除以较小数求最大公因数的方法
2.如果余数为0，则较小数就是最大公因数
3.如果余数不为0，则用较小数除以余数列举法列出所有的公因数，取最大的一个
4.重复步骤2和3，直到余数为0短除法将这些数同时除以它们的公因数，直到互质辗转相除法示例辗转相除法（欧几里得算法）利用递归求解列举法示例求48和36的最大公因数求12和18的最大公因数
1.48÷36=1余
122.36÷12=3余0•12的因数
1、
2、
3、
4、
6、12•18的因数
1、
2、
3、
6、
9、18余数为0时，除数12即为最大公因数•12和18的公因数
1、
2、
3、6所以48和36的最大公因数是12其中最大的是6，所以12和18的最大公因数是6最大公因数的应用最大公因数在实际生活中有很多应用，例如•将物品平均分配有36个苹果和48个橘子，要平均分给学生，每人分得的苹果数和橘子数都相同，且不能有剩余，最多可以分给多少人？•答案36和48的最大公因数是12，所以最多可以分给12人互质数如果两个整数的最大公因数是1，那么这两个数互质例如15和16的最大公因数是1，所以15和16互质互质的概念在数学中非常重要，特别是在分数化简和密码学中最小公倍数最小公倍数的概念例题求和的最小公倍数68方法一列举法最小公倍数（Least CommonMultiple，简称LCM），是指几个整数共有的倍数中最小的一个正整数6的倍数
6、
12、
18、
24、
30、
36、
42、
48、...最小公倍数的重要性8的倍数
8、
16、
24、
32、
40、
48、...最小公倍数在解决周期性问题、分数运算等方面有重要应用它可以帮助我们找到共同的倍数
24、
48、...几个事件同时发生的最早时间点，或者为分数加减法提供公分母求最小公倍数的方法其中最小的是24，所以6和8的最小公倍数是24方法二公式法列举法列出每个数的倍数，找出第一个公共倍数6和8的最大公因数是2公式法利用最大公因数与最小公倍数的关系a和b的最小公倍数=a×b÷它们的最大公因数6和8的最小公倍数=6×8÷2=48÷2=24方法三质因数分解法质因数分解法分解成质因数乘积，取各质因数的最高次幂的乘积6=2×38=2³取各质因数的最高次幂2³×3=8×3=24所以6和8的最小公倍数是24最小公倍数的应用最小公倍数在实际生活中有很多应用，例如•时间周期问题一个信号灯每4分钟闪一次，另一个每6分钟闪一次，它们同时闪烁后，最早什么时候会再次同时闪烁？•答案4和6的最小公倍数是12，所以12分钟后它们会再次同时闪烁多个数的最小公倍数求三个或更多数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个结果与第三个数的最小公倍数，依此类推例如求
4、
6、10的最小公倍数
1.4和6的最小公倍数是
122.12和10的最小公倍数是60所以
4、
6、10的最小公倍数是60质数与合数质数定义合数定义质数（素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身外，还有以外不再有其他因数的自然数其他因数的自然数质数的特点合数的特点•只有两个因数1和它本身•至少有三个因数（
1、它本身和至少一个其他因数）•最小的质数是2（也是唯一的偶数质数）•可以被分解为两个较小正整数的乘积•质数不能被分解为两个较小正整数的乘积•最小的合数是4最小的几个质数最小的几个合数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,61,67,71,73,79,83,89,97,...28,30,...以内的质数表特殊情况既不是质数也不是合数10012,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,数字1只有一个因数（1本身），不满足质数至少有两59,61,67,71,73,79,83,89,97个因数的定义，也不满足合数至少有三个因数的定义，所以1既不是质数也不是合数共25个质数质数的无限性欧几里得在《几何原本》中证明了质数的数量是无限的，这是数学史上最早的严格数学证明之一怎么判断一个数是不是质数试除法介绍小练习判断、是否为质数1721判断是否为质数17判断一个数是否为质数的基本方法是试除法，即用较小的数去尝试整除这个数试除法步骤17的平方根约为
4.12，所以我们只需要检查17能否被
2、
3、4整除•17÷2=8余1（不整除）
1.从2开始，尝试用较小的数去除这个数•17÷3=5余2（不整除）
2.如果能被某个数整除，则不是质数•17÷4=4余1（不整除）
3.如果不能被任何较小的数整除，则是质数优化只需要检查到√n17不能被2到4中的任何数整除，所以17是质数判断是否为质数21实际上，我们只需要检查到√n就足够了这是因为如果n不是质数，那么n可以表示为n=a×b，其中a和b都是大于1的整数如果a和b都大于√n，那么a×b就会大21的平方根约为
4.58，所以我们只需要检查21能否被
2、
3、4整除于n，这与n=a×b矛盾因此，n的一个因数必定小于或等于√n•21÷2=10余1（不整除）•21÷3=7（整除）21能被3整除，所以21不是质数，而是合数筛选法判断质数埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）是一种简单且高效的方法，用于找出一定范围内的所有质数其步骤为
1.列出2到n的所有整数
2.从2开始，将2的所有倍数（2除外）标记为合数
3.找出下一个未被标记的数
（3），将其所有倍数（3除外）标记为合数
4.重复步骤3，直到处理完所有小于或等于√n的数
5.剩下未被标记的数都是质数快速判断法则对于特定的数，有一些快速判断的规则•除2以外的偶数都不是质数•能被3整除的数（除3外）不是质数•能被5整除的数（除5外）不是质数•大于3的质数一定是形如6k±1的数（其中k是自然数），但并非所有形如6k±1的数都是质数质因数分解质因数概念分解步骤质因数是指一个合数的因数中，是质数的因数
1.尝试用最小的质数2去除这个数
2.如果能整除，则2是一个质因数，结果继续分解例如，12的因数有
1、
2、
3、
4、
6、12，其中2和3是质数，所以2和3是12的质因数
3.如果不能整除，尝试下一个质数（
3、
5、
7、
11...）质因数分解
4.重复步骤2和3，直到得到一个质数为止实例分解36质因数分解是将一个合数表示成几个质数乘积的形式，这种分解方式是唯一的，这就是算术基本定理•36÷2=18（整除），2是质因数标准形式•18÷2=9（整除），2是质因数•9÷2=4余1（不整除）数的标准分解式是将这个数写成质数幂的乘积形式•9÷3=3（整除），3是质因数例如12=2²×3•3是质数，无法继续分解所以36=2×2×3×3=2²×3²质因数分解的应用质因数分解在数学中有广泛的应用，特别是在求最大公因数和最小公倍数时•求最大公因数取共同质因数的最小次幂的乘积•求最小公倍数取所有不同质因数的最大次幂的乘积例题通过质因数分解求最大公因数和最小公倍数求24和36的最大公因数和最小公倍数24=2³×336=2²×3²最大公因数取共同质因数的最小次幂的乘积=2²×3=12最小公倍数取所有不同质因数的最大次幂的乘积=2³×3²=72分解质因数的方法连续短除法树状图法连续短除法是一种常用的质因数分解方法，它通过连续除以质数来分解一个数树状图法是一种更直观的质因数分解方法，它通过画一棵树来表示分解过程连续短除法步骤树状图法步骤
1.用最小的质数2去除这个数，直到不能整除为止
1.将要分解的数写在树的顶部
2.然后用下一个质数3去除，再用
5、
7、11等
2.找出一个可以整除它的质数，分成两个分支
3.每次除尽后，在右边记下这个质数
3.对非质数的分支继续分解，直到所有分支都是质数
4.最后将所有质数相乘，就得到了质因数分解的结果
4.将所有质数相乘，得到质因数分解的结果连续短除法示例分解6060÷2=30230÷2=15215÷3=535÷5=15所以60=2×2×3×5=2²×3×5综合练习因数倍数知识应用数表填写训练参考答案完成下表，找出各数的所有因数和前5个倍数数所有因数前5个倍数数所有因数前5个倍数
881、
2、
4、
88、
16、
24、
32、
4015151、
3、
5、
1515、
30、
45、
60、
7524241、
2、
3、
4、
6、
8、
12、
2424、
48、
72、
96、120填空训练12如果一个数能被6整除，那么它一定能被（）和（）整除一个数的质因数分解是2³×5²，这个数是（）答案2和3答案8×25=2003416和24的最大公因数是（），最小公倍数是（）质数的因数有（）个答案8和48答案2反思易错点因数与倍数的混淆质数与合数的判断公因数和公倍数的计算很多学生容易混淆因数和倍数的概念记住如果a能被b整除，则b是a的因判断质数时，很多学生只检查是否能被
2、
3、5整除，这在小数情况下可能求最小公倍数时，不能简单地将两数相乘，而应考虑它们的公因数正确的数，a是b的倍数有效，但对大数可能会出错正确的方法是检查到√n公式是最小公倍数=a×b÷最大公因数数学思维拓展倍数规律因数分解中的数学规律不同数因数数量比较在研究因数和倍数时，我们可以发现一些有趣的数学规律不同的数可能有相同数量的因数，也可能有不同数量的因数因数的数量与数的大小并不成正比因数个数规律例比较因数个数
1.₁ᵃ₂ᵇ₃ᶜ如果一个数的质因数分解是p×p×p×...，那么这个数的因数个数是a+1×b+1×数质因数分解因数个数计算因数个数c+1×...122²×32+1×1+16例如60=2²×3×560的因数个数=2+1×1+1×1+1=3×2×2=12362²×3²2+1×2+19验证60的因数有
1、
2、
3、
4、
5、
6、
10、
12、
15、
20、
30、60，共12个602²×3×52+1×1+1×12相邻倍数的差
2.1+1平方数的因数个数
3.任何数n的相邻两个倍数之差等于n本身如果n是完全平方数，那么n的因数个数是奇数；如果n不是完全平方数，那么n的因数个数是偶数这是因为因数通常成对出现，如a和n/a，但在完全平方数中，√n与自身配对倍数的数字规律因数和与倍数和的关系某些数的倍数有特定的数字规律，例如对于完全数一个数的所有真因数（除了数本身以外的因数）之和等于这个数本身•9的倍数各位数字之和必定能被9整除例如6的真因数有
1、
2、3，它们的和为1+2+3=6，所以6是完全数•3的倍数各位数字之和必定能被3整除其他完全数
28、
496、8128等（非常稀少）•11的倍数奇偶位数字之和的差是11的倍数数形结合因数与倍数的可视化用方阵图展示因数组成因数树结构图方阵图是展示一个数的因数结构的好方法通过排列小方格，我们可以直观地因数树是另一种可视化因数分解的方法，特别适合展示质因数分解过程看到一个数可以分解成哪些因数的乘积例36的因数树例数字的方阵图12从36开始，我们可以不断地将它分解为更小的因数，直到所有叶子节点都是质12可以表示为以下几种方阵数•1×12的方阵1行12列第一层分解•2×6的方阵2行6列•3×4的方阵3行4列36=4×9通过这些不同的排列，我们可以看出12的所有因数对1,12,2,6,3,4第二层分解方阵图与因数4=2×2观察方阵图，我们可以发现9=3×3•方阵的行数和列数都是这个数的因数•方阵的形状种类数等于这个数的因数对数量最终结果•方阵图特别适合解释长方形面积与边长的关系36=2×2×3×3=2²×3²因数树清晰地展示了一个数如何一步步分解为质因数的乘积，有助于理解质因数分解的过程倍数的数轴表示埃拉托斯特尼筛法的可视化在数轴上，一个数的倍数呈等距分布例如，3的倍数在数轴上每隔3个单埃拉托斯特尼筛法可以通过网格图来可视化从2开始，将所有2的倍数位出现一次这种可视化方法有助于理解倍数的周期性（除了2本身）标记出来，然后是3的倍数，以此类推最后未被标记的数就是质数因数分解的柱状图对于质因数分解，我们可以用柱状图来表示每个质因数的幂次，这样可以直观地比较不同数的质因数组成实际生活中的倍数问题小学数学竞赛题举例生活中的周期性问题例题拍手游戏例题灯光闪烁13一群学生围成一圈玩游戏每个学生依次数数，如果数到3的倍数或含有数字3的数时，不能报数而要拍手从1开始，第15个需要拍一个红灯每4秒闪一次，一个绿灯每6秒闪一次，一个黄灯每10秒闪一次如果三盏灯同时闪烁，多少秒后它们会再次同时闪烁？手的数是多少？解答思路解答思路
1.求
4、
6、10的最小公倍数
1.找出需要拍手的数3,6,9,12,13,15,18,21,23,24,27,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,...
2.4=2²
2.第15个需要拍手的数是
303.6=2×3例题水果分组
24.10=2×
55.最小公倍数=2²×3×5=60有60个苹果和75个橘子，要平均分给若干学生，每人分得的苹果数和橘子数都相同，且不能有剩余最多可以分给多少人？
6.所以60秒后三盏灯会再次同时闪烁解答思路例题兔子繁殖
41.求60和75的最大公因数一对兔子每个月生一对小兔子，每对小兔子出生后第三个月开始也每月生一对小兔子假设所有兔子都不死，问一年后共有多少对兔
2.60=2²×3×5子？
3.75=3×5²这个问题涉及到著名的斐波那契数列，其中每个数都是前两个数的和，与倍数概念有所不同，但也体现了数学规律在实际问题中的应
4.最大公因数=3×5=15用
5.所以最多可以分给15人时间问题空间排列问题日历中的许多规律都与倍数有关例如，每7天循环一次的星期，每30或31天循环一次的月份，以及每365或366天循环一次的年在摆放物品时，我们经常需要考虑因数问题例如，在一个长方形的展示区域摆放正方形的展板，如何摆放才能不浪费空间？这份就需要考虑区域面积的因数分解时钟的12小时制和60分钟制也与因数倍数密切相关，这也是为什么时间单位在转换时会有不同的进制在建筑和设计中，需要考虑空间的合理划分，这往往涉及到长度和宽度的因数问题综合应用解决实际问题例题几人排队分组，如何分成相同人数问题描述数学模型同余方程组一个班级的学生进行体育活动，老师要求他们排成每队人数相同的队伍如果每队2人，会多出1人；如果每队3这实际上是一个同余方程组问题，可以用中国剩余定理解决但在小学阶段，我们可以用试数法或推理法人，会多出2人；如果每队4人，会多出3人；如果每队5人，恰好可以分完问这个班级共有多少学生？解答分析思路我们知道x除以5余0，所以x是5的倍数设学生总数为x，根据题意可得可以列出5的倍数5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,...•x÷2=商......1（余数为1）然后检查这些数除以
2、
3、4的余数•x÷3=商......2（余数为2）•x÷4=商......3（余数为3）数除以2的余数除以3的余数除以4的余数•x÷5=商......0（余数为0）5121也就是说，x除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余
1.找出所有3的倍数并涂黄色例如，选定数字7谜题示例
2.找出所有4的倍数并涂蓝色•第一个学生1•我是一个两位数，我是8的倍数，我的十位数字与个位数字之和是9我是
3.找出既是3的倍数又是4的倍数的数并涂绿色•第二个学生2谁？（答案72）•我有8个因数，我是60的因数，我不是质数我是谁？（答案30）完成后，讨论这些数的规律，发现既是3的倍数又是4的倍数的数实际上是12的倍•...数•第七个学生拍手（因为7是7的倍数）这种活动结合了知识应用和游戏元素，能够激发学生的学习兴趣•...•第十七个学生拍手（因为17含有数字7）这个游戏可以训练学生快速判断倍数和识别数字的能力比赛激发兴趣最快因数挑战赛最小公倍数擂台赛老师给出一个数，学生比赛谁能最快地写出这个数的所有因数可以按照以下规则进行两名学生一组，老师给出两个数，学生比赛谁能最快算出这两个数的最小公倍数可以采用不同的方法•个人赛每个学生独立完成•列举法列出两个数的倍数，找出第一个公共倍数•团体赛小组成员合作完成•质因数分解法分解成质因数乘积，取各质因数的最高次幂的乘积•接力赛每个小组成员负责找出一部分因数•公式法利用最大公因数与最小公倍数的关系通过竞赛形式，既能提高学生的计算速度，也能加深对因数概念的理解这个比赛不仅考验计算速度，还鼓励学生使用不同的解题策略巩固提升典型题汇编123选择题判断题填空题下列各数中，不是12的因数的是（）A.2B.3C.4D.
51.如果a是b的因数，那么a一定小于b（）
1.24的所有因数有_____________________
2.如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数（）
2.15和40的最大公因数是_______，最小公倍数是_______下列各数中，是45的倍数的是（）A.90B.180C.270D.
3603.任何数都是1的倍数（）
3.一个数的质因数分解是2³×5²，这个数是_______简答题
1.求36和48的最大公因数和最小公倍数
2.一个农场有32只鸡和40只兔子，要平均分给若干人，每人分得的鸡和兔子数量都相同，且不能有剩余最多可以分给多少人？
3.判断37是否为质数，并说明理由
4.将90分解质因数参考答案选择题
1.D
2.B,C,D错题复盘与易错点解析常见错误类型概念混淆错误示例认为15是3的因数（实际上15是3的倍数）纠正方法牢记定义-如果a能被b整除，则b是a的因数，a是b的倍数计算错误错误示例认为24和36的最大公因数是6（实际上是12）纠正方法熟练掌握求最大公因数的方法，如辗转相除法或质因数分解法不完整列举错误示例列举24的因数时漏掉了8（完整应为
1、
2、
3、
4、
6、
8、
12、24）纠正方法使用系统性方法，如从小到大尝试除法，或利用因数的对称性公式应用错误错误示例求最小公倍数时直接相乘（如6和8的最小公倍数计算为6×8=48，实际上是24）纠正方法正确应用公式最小公倍数=a×b÷最大公因数易错题型解析纠错与方法总结多步骤质因数分解有效的学习策略
1.错误示例分解84时只分解到84=4×21，没有继续分解到质因数•建立概念图将因数、倍数、质数、合数等概念之间的关系整理成概念图•规律总结针对常见的整除性质进行总结（如
2、
3、
5、9的整除特征）正确分解84=4×21=2²×3×7=2²×3×7•错题本建设记录易错点，写出正确解法和错误原因解决方法记住质因数分解的目标是将数分解为若干质数的乘积，必须分解到不能再•反向验证求出答案后，通过验算检查结果的正确性分为止预防错误的方法倍数判断题
2.•概念辨析通过对比学习，区分相似但不同的概念错误示例判断366是否为6的倍数时，只看个位是否为偶数•多角度思考用不同方法解同一个问题，对比结果正确方法判断一个数是否为6的倍数，需要同时判断它是否为2和3的倍数366能•实际应用通过生活中的实例理解抽象概念被2整除（偶数），但366的各位数字之和3+6+6=15能被3整除，所以366能被6整•规律归纳总结题型特点和解题思路除拓展阅读数学家与因数倍数埃拉托色尼筛法故事质数猜想简介埃拉托色尼（Eratosthenes，约公元前276年-前194年）是古希腊的数学质数分布是数学中最迷人的主题之一，几个世纪以来，数学家们提出了许家、地理学家和天文学家他是亚历山大图书馆的馆长，也是首次精确测多关于质数的猜想，其中一些至今仍未被证明量地球周长的人哥德巴赫猜想埃拉托色尼发明了一种被称为埃拉托色尼筛法的算法，用于找出一定范1742年，德国数学家哥德巴赫提出任何大于2的偶数都可以表示为两个围内的所有质数这个方法简单而有效质数之和例如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5或3+7这个看似简单的
1.列出2到n的所有整数猜想至今未被完全证明孪生质数猜想
2.找出第一个质数
（2），将所有2的倍数（除了2本身）标记为合数
3.找出下一个未被标记的数
（3），将所有3的倍数（除了3本身）标记为合数孪生质数是指相差为2的一对质数，如3,5,5,7,11,13,17,19等孪生质数猜想认为存在无穷多对孪生质数，但这也尚未被证明
4.重复此过程，直到处理完所有小于或等于√n的质数梅森质数
5.剩下未被标记的数就是质数ⁿ这个方法至今仍被广泛使用，是计算机科学中寻找质数的基础算法之一形如2-1的质数称为梅森质数目前已知的最大质数都是梅森质数，寻找更大的梅森质数是现代计算机科学的一个研究方向欧几里得与最大公因数古希腊数学家欧几里得（约公元前325年-前265年）在其著作《几何原本》中提出了求最大公因数的方法——辗转相除法，也称为欧几里得算法这个算法不仅在数学中具有重要地位，在现代密码学和计算机科学中也有广泛应用例如，RSA加密算法就依赖于大数的质因数分解难题高斯与算术基本定理德国数学家卡尔•弗里德里希•高斯（1777-1855）被誉为数学王子，他系统证明了算术基本定理每个大于1的自然数都可以唯一地分解为质数的乘积这个定理是数论的基础，也是质因数分解理论的核心高斯在18岁时就证明了正十七边形可以用尺规作图，这个发现与质因数分解密切相关课外探究与数学游戏因数倍数扑克游戏自编小题激发探索这是一种利用普通扑克牌进行的数学游戏，可以帮助学生巩固因数倍数知识鼓励学生自己编写与因数倍数相关的题目，这不仅能巩固知识，还能培养创造游戏规则性思维题目类型建议
1.将扑克牌中的J、Q、K、A分别代表
11、
12、
13、1•找规律题发现数列中的因数倍数规律
2.每位玩家轮流出牌，每次可以出一张或多张牌•应用题设计与生活相关的因数倍数问题
3.如果上一位玩家出的牌数字之和为n，那么下一位玩家必须出的牌数字之和为n的因数或倍数•趣味题编写有趣的数学谜题或故事题学生作品示例
4.如果无法出牌，则罚抽一张牌
5.最先出完手中牌的玩家获胜变式质数对决小明编的题目我是一个两位数，我是8的倍数，我的十位数字与个位数字之差是3，我的十位规则类似，但要求玩家必须出质数或者出的牌数字之和为质数这可以帮助学数字比个位数字大我是谁？生熟悉常见的质数小红编的题目有一种特殊的数，它的每个因数（除了1和它本身）之和等于它本身30以内有几个这样的数？数学魔方探究编程与因数倍数魔方的旋转和复原过程中蕴含着丰富的数学原理，其中就包括排列组合和对于有编程基础的学生，可以尝试编写简单的程序来群论等与因数倍数相关的知识•计算一个数的所有因数探究活动记录不同的魔方操作序列，观察这些操作重复多少次后会回到•判断一个数是否为质数初始状态，分析其中的数学规律•找出一定范围内的所有质数（实现埃拉托色尼筛法）•计算两个数的最大公因数和最小公倍数这种活动不仅能巩固数学知识，还能培养计算思维能力数独与因数倍数数独是一种流行的数字游戏，虽然传统数独与因数倍数没有直接关系，但可以设计变式数独，要求填入的数满足特定的因数倍数关系例如设计一个因数数独，要求每一行、每一列和每个3×3宫格中的数字不仅要互不相同，还要满足某些因数倍数关系知识归纳与思维导图基本概念计算方法•因数如果a能被b整除，则b是a的因数•求因数试除法、利用因数的对称性•倍数如果a能被b整除，则a是b的倍数•求倍数乘法定式，a的倍数为a×1,a×2,a×3,...•质数大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数•最大公因数列举法、短除法、辗转相除法•合数大于1的自然数中，除了1和它本身外，还有其他因数的数•最小公倍数列举法、公式法、质因数分解法•质因数一个合数的因数中，是质数的因数•质因数分解连续短除法、树状图法3重要性质应用场景•a和b的最大公因数×最小公倍数=a×b•平均分配问题（如分苹果、排队等）•互质数的最大公因数为1•周期性问题（如灯光闪烁、公交车运行等）•质因数分解的唯一性（算术基本定理）•公约数问题（如最大化正方形地砖等）•一个数的因数个数=质因数分解中各质数指数加1的乘积•分数运算（如通分、约分等）•倍数的判断法则（如
2、
3、
5、9的整除特征）•密码学应用（如RSA加密算法）结构化表格特征比较因数倍数比较项质数合数数量有限个无限个因数个数恰好2个（1和它本身）至少3个大小关系不大于原数不小于原数最小值24最小值1（对于正整数）数本身例子2,3,5,7,11,13,...4,6,8,9,10,12,...最大值数本身无限大判断方法试除法（检查到√n）能被1和它本身以外的数整除查找方法试除法乘法定式特殊性质除2外都是奇数可以分解为质数的乘积整除性质总结•能被2整除的数个位是
0、
2、
4、
6、8的数•能被3整除的数各位数字之和能被3整除的数•能被4整除的数末两位数能被4整除的数•能被5整除的数个位是0或5的数•能被6整除的数同时能被2和3整除的数•能被9整除的数各位数字之和能被9整除的数单元检测题基础题（每题分，共分）220选择题提高题（每题分，共分）530下列各数中，是质数的是（）A.1B.2C.4D.
91.求144和210的最大公因数和最小公倍数
2.找出100以内，既是3的倍数又是7的倍数的所有数下列各数中，不是6的倍数的是（）A.12B.18C.20D.
243.判断97是否为质数，并说明理由
4.一个数的质因数分解是2³×3²×5，求这个数的所有因数的个数24的因数有（）个A.6B.8C.12D.
245.如果一个两位数能被3整除，个位数字是5，那么这个数是多少？
6.有40个苹果，36个橘子和48个梨，要平均分给若干学生，每人得到的苹果、橘子和梨的数量都相同，且不能有剩15和40的最大公因数是（）A.5B.10C.15D.20余最多可以分给多少人？应用题（共分）5018和27的最小公倍数是（）A.54B.81C.108D.486填空题
1.小明每3天去一次图书馆，小红每5天去一次图书馆如果他们今天同时去了图书馆，那么下一次他们同时去图书馆是几天后？（10分）
1.36的所有因数是_____________________
2.有一批图书，如果每3本、每4本或每5本分，都正好剩2本；如果每7本分，恰好分完求这批图书的最少本数（15分）
2.7的前5个倍数是_____________________
3.一个长方形花坛，长12米，宽8米，要用边长相同的正方形瓷砖铺满，且不能破坏瓷砖瓷砖的边长最大是多少
3.8和12的最大公因数是_______，最小公倍数是_______米？需要多少块瓷砖？（10分）
4.54=_______（写出质因数分解式）
4.某工厂生产A、B、C三种产品，A产品每3天生产一批，B产品每4天生产一批，C产品每6天生产一批如果今天三
5.一个数的因数有
1、
2、
4、
5、
10、20，这个数是_______种产品同时生产，那么接下来的30天内，有几天会同时生产这三种产品？（15分）本节总结与学习反思核心知识点回顾学习成果反思基本概念通过本单元的学习，你应该能够
1.准确识别和计算一个数的因数和倍数我们学习了因数、倍数的定义和区别，明确了它们之间的相互关系因数是有限的，倍数
2.正确求解最大公因数和最小公倍数是无限的；因数不大于原数，倍数不小于原数
3.判断一个数是质数还是合数
4.熟练进行质因数分解公因数与公倍数
5.运用因数倍数知识解决实际问题能力提升公因数是同时是几个数的因数的数，公倍数是同时是几个数的倍数的数最大公因数和最小公倍数在解决实际问题中有广泛应用通过因数倍数的学习，你的以下能力得到了提升质数与合数•计算能力熟练进行整除判断和因数分解•推理能力通过数学规律推导结论质数只有1和它本身两个因数，合数有三个或以上因数质因数分解是将合数表示成质数乘•应用能力将数学知识应用于实际情境积的形式，这种分解是唯一的•发现能力观察数与数之间的关系和规律•验证能力通过多种方法验证结果的正确性计算方法我们掌握了求因数、倍数、最大公因数、最小公倍数的多种方法，以及判断质数和进行质因数分解的技巧学习方法总结•概念理解通过定义和举例，清晰区分相关概念•方法掌握熟练运用多种求解方法，灵活选择最适合的方法•规律归纳总结数的整除性质，提高计算效率•实际应用将抽象概念与实际问题相结合，提高解决问题的能力•多样练习通过多种类型的题目巩固知识，培养思维能力鼓励自主巩固、课下深化自主学习建议课后可以通过以下方式继续深化学习•整理笔记将课堂笔记整理成结构化的知识网络•刷题练习针对薄弱环节进行有针对性的练习•小组讨论与同学交流解题思路和方法•生活应用尝试在日常生活中发现因数倍数的应用拓展探究方向对于有兴趣的同学，可以进一步探索。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
