圆的中考专题教学课件

圆的中考专题教学课件圆的定义与基本要素圆的定义圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合这个定义是理解圆的所有性质的基础基本要素圆心圆的中心点，是定义圆的基准点•O半径圆上任意一点到圆心的距离•r直径通过圆心且端点在圆上的线段，•d d=2r在数学表示中，我们通常用表示圆心，表示半径若圆心在坐标原点，则圆的标准方程为O rx²+y²=若圆心在点，则圆的标准方程为r²a,b x-a²+y-b²=r²圆的基本要素示意图包括圆心、半径、直径以及圆上的点理解这些基本要素是学习圆的几何性质的O r d基础在中考中，对圆的定义与基本要素的理解是解答相关问题的前提圆的基本性质等距性对称性圆上所有点到圆心的距离都等于半径这是圆具有中心对称性，关于圆心对称这意味着r圆最基本的性质，直接来源于圆的定义圆上任意一点，关于圆心对称的点也•P P表达式对于圆上任意点，在圆上P|OP|=r圆上任意一条弦，经过圆心的直径垂直这一性质是解决圆相关问题的基础，特别是•平分这条弦在判断点是否在圆上时，只需检验该点到圆心的距离是否等于半径圆上任意两点的连线，与圆心连线垂直•的一条直线是这两点的中垂线对称性在解题中常用于简化问题，特别是涉及对称图形的题目旋转不变性圆具有旋转不变性，无论如何旋转，圆的形状和大小保持不变这在研究圆的轨迹问题时非常有用在坐标系中，无论坐标轴如何旋转，圆的方程形式不变，只是参数、可能发生变化x-a²+y-b²=r²a b这一性质在处理旋转相关的几何问题时非常有用认识弧、弦和弦心距弧的定义及分类弦心距弧是圆上两点间的一段连续曲线根据长度可分为弦心距是指圆心到弦的垂直距离，记为d优弧长度大于半圆周的弧劣弧长度小于半圆周的弧半圆弧长度等于半圆周的弧两点确定的弧有两段，通常需要明确指定是哪一段弧在题目中，若无特殊说明，一般指劣弧弦的定义弦是连接圆上两点的线段特别地，通过圆心的弦称为直径，是圆的最长弦对于半径为r的圆，若弦长为L，则弦心距d与弦长L之间存在关系圆的基本作图方法过一点作圆尺规画圆给定圆心和圆上一点，作半径为的圆O A|OA|使用圆规和直尺作圆是几何作图的基本技能具体步骤将圆规开度调整为的长度

1.|OA|确定圆心的位置

1.O以为圆心作圆

2.O调整圆规的开度等于所需的半径

2.r这是最基本的作圆方法，确定圆需要圆心和半径两个条件将圆规的针脚固定在圆心上

3.O旋转圆规，绘制出完整的圆

4.过三点作圆过两点作圆给定三点、、（不共线），作过这三点的圆A BC给定两点、，作过这两点的圆A B作的中垂线₁

1.AB l作的中垂线

1.AB l作的中垂线₂

2.BC l圆心必须在中垂线上（到、等距的点集）

2.l A B中垂线₁与₂的交点即为所求圆的圆心

3.l l O在上选取任意点作为圆心

3.lO以为半径作圆

4.|OA|以或为半径作圆

4.|OA||OB|三点确定一个唯一的圆（前提是三点不共线）注意过两点的圆有无数个，圆心在中垂线上练习给定、两点，请画出所有过这两点的圆解法是确定的中垂线，在中垂线上选取不同的点作为圆心，分别以这些点到（或）的距离为半径作圆这个练习有助于理解过两点的圆有无数个这一概念A BAB A B通过两点作圆性质探究过两点圆的数量给定平面上的两点和，过这两点的圆有无数个这是因为确定一个圆需要三个条件（如三点或圆心加半径），而两点只提供了两个条件A B在实际作图中，我们可以沿着的中垂线选取不同的点作为圆心，得到不同的圆，这些圆都经过和两点AB A B圆心轨迹对于所有过两点、的圆，其圆心的轨迹是、连线的中垂线这是因为A BO AB圆上任意点到圆心的距离相等（等于半径）•、都在圆上，所以•AB|OA|=|OB|到两点等距的点的轨迹是这两点连线的中垂线•中垂线性质的应用这一性质是中垂线基本性质的应用中垂线上的点到两端点的距离相等在几何问题中，若题目涉及到两点距离相等的点的轨迹，答案往往是这两点连线的中垂线特殊情况讨论当圆心位于连线上时，得到的是直径为的圆这是过两点、的所有圆中，半径最小的一个AB ABAB当圆心位于连线的中垂线上且到距离趋近于无穷大时，圆趋近于一条直线（过、的直线）这说明在极限情况下，圆可以退化为直线AB ABAB12通过三点定圆原理三点确定一个圆的条件平面上三点确定一个唯一的圆的前提条件是三点不共线如果三点共线，则无法确定一个圆（因为圆上任意三点不共线）从几何角度看，确定一个圆需要三个独立的条件三个不共线的点正好提供了这三个条件，因此可以确定一个唯一的圆圆心的确定方法给定三点A、B、C（不共线），确定经过这三点的圆的圆心O的方法是

1.作AB的中垂线l₁

2.作BC的中垂线l₂

3.中垂线l₁与l₂的交点O即为所求圆的圆心理论依据圆心到圆上任意点的距离相等，所以O到A、B、C的距离都相等，即O在AB的中垂线上，也在BC的中垂线上三角形外接圆与外心三角形外心的定义三角形的外心是到三角形三个顶点距离相等的点它是三角形三边中垂线的交点外心有一个重要特性以外心为圆心，到顶点的距离为半径所作的圆，正好经过三角形的三个顶点，这个圆称为三角形的外接圆外心的性质•三角形的外心是三边中垂线的交点•外心到三角形三个顶点的距离相等•锐角三角形的外心在三角形内部•直角三角形的外心在斜边中点•钝角三角形的外心在三角形外部外心的作法作三角形外心的步骤

1.作三角形任意两边的中垂线（例如AB和BC的中垂线）

2.这两条中垂线的交点即为外心O

3.以O为圆心，OA为半径作圆，这个圆就是三角形的外接圆圆的有关重要公式圆的面积公式其中为圆的半径，约等于这个公式表示圆的面积与半径的平方成正比，比例系数为rπ

3.14159π在实际计算中，通常取或π≈

3.14π≈

3.142圆的周长公式或表示为其中为圆的直径，这个公式表示圆的周长与半径成正比，比例系数为d d=2r2π弧长公式其中为圆心角的度数这个公式表示弧长与对应的圆心角成正比n当圆心角为弧度制时，弧长公式为α扇形面积公式其中为圆心角的度数这个公式表示扇形面积与对应的圆心角成正比n当圆心角为弧度制时，扇形面积公式为α这些公式是解决圆相关问题的基础工具在中考题目中，经常需要灵活运用这些公式计算圆、弧、扇形的面积和长度特别是在实际应用题中，这些公式是解题的关键例如，计算轮子转动的距离、圆形场地的面积等问题，都需要应用这些基本公式圆内角相关概念圆心角的定义圆心角是指顶点在圆心，两边分别通过圆上两点的角如果圆心为O，圆上两点为A、B，则∠AOB就是一个圆心角圆心角的度数与其对应弧所占圆周的比例成正比例如，一个90°的圆心角对应的弧长是整个圆周长的1/4圆周角的定义圆周角是指顶点在圆上，两边分别通过圆上另外两点的角如果圆上三点为A、B、C，则∠ABC就是一个圆周角，其中B是顶点圆周角的重要性质是圆周角等于其所对的圆心角的一半这是解决圆周角问题的关键弦切角的定义圆周角定理123圆周角定理的内容证明思路定理的重要推论圆周角定理是圆的几何中最重要的定理之一，它包含两个圆周角定理的证明可以分为三种情况圆周角定理有几个重要的推论主要内容当圆心位于圆周角的一边上时半圆内的圆周角是直角（当圆心角是°时，圆周角是°）

1.O ACB

1.18090圆周角等于对应圆心角的一半

1.当圆心位于圆周角的内部时同弧或等弧所对的圆周角相等（这是解决共圆问题

2.O ACB

2.同弧（或等弧）对应的圆周角相等的关键）

2.当圆心位于圆周角的外部时

3.O ACB如果四边形的对角互补（和为°），则四边形可以内接于圆用数学语言表述如果∠AOB是圆心角，∠ACB是与之证明的关键是利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质

3.180对应的圆周角（是圆上一点，位于所在的优弧或劣C AB在每种情况下，都可以通过适当的辅助线和角度计算，推这些推论在解决圆的几何问题中有广泛的应用弧上），那么有导出圆周角与圆心角之间的关系圆周角定理是中考几何中的重要考点，它不仅用于直接计算角度，还是解决很多复杂几何问题的基础在中考题目中，经常需要识别圆周角和圆心角的关系，并利用定理求解未知角度此外，圆周角定理也是证明其他圆的性质的重要工具圆周角的常见拓展同弧同角原理在同一个圆中，同一弧所对的圆周角相等这个性质常用于解决共圆问题例如，如果点A、B、C、D在同一个圆上，并且点C、D在弧AB的同一侧，那么∠ACB=∠ADB这个性质可以写成其中O是圆心，∠AOB是对应的圆心角不同弧圆周角的关系如果在同一个圆中，点A、B、C、D四点在圆上，则•∠ACB+∠ADB=180°（当C、D在弧AB的异侧时）•∠ACB=∠ADB（当C、D在弧AB的同侧时）这些关系是解决四点共圆问题的关键弦切角定理及应用弦切角定理弦切角定理是圆的几何中另一个重要定理它的内容是弦切角等于该点到弦的另一端所形成的弧所对的圆周角用数学语言表述如果点P是圆上一点，PA是该点的切线，PB是一条弦，那么其中C是弧PB上任意一点（不同于P、B）这个定理也可以表述为弦切角等于它所夹弧对应的圆周角或者弦切角等于它所夹弧对应的圆心角的一半证明思路弦切角定理的证明可以利用切线的性质和圆周角定理来完成关键是理解切线与半径的垂直关系，以及圆周角的计算方法切线判定方法弦切角定理提供了判断直线是否为圆的切线的一种方法如果直线与圆有且仅有一个交点P，并且直线垂直于过点P的半径，那么这条直线就是圆的切线反之，如果一条直线是圆的切线，那么它与过切点的半径垂直应用示例【例题】如图所示，在⊙O中，点P是圆上一点，PA是该点的切线，PB是一条弦，∠APB=30°，求弧PB所对的圆心角∠POB的度数解析根据弦切角定理，弦切角等于所夹弧对应的圆周角又根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半因此，∠APB=∠POB÷2所以，∠POB=2×∠APB=2×30°=60°123弦切角的判定求切线应用步骤切线长公式给定圆上一点P和一条经过P的直线l，如果存在圆上另一点Q，使得∠QPl等于弧PQ所对的圆周

1.确定切点P从圆外一点P到圆的两条切线长相等角，则l是圆的切线圆的切线及性质切线的定义圆的切线是与圆只有一个交点的直线这个交点称为切点从几何意义上看，切线可以看作是圆上一点处的瞬时方向，它表示圆在该点的运动方向切线的基本性质唯一性过圆上一点有且仅有一条切线垂直性切线垂直于过切点的半径不相交性除切点外，切线与圆没有其他交点这些性质是解决切线问题的基础特别是切线垂直于半径这一性质，它是作切线和判断切线的关键作切线的常规方法

1.已知切点作切线若已知圆上一点P，要作过P点的切线

1.连接圆心O与点P

2.在P点作OP的垂线

3.这条垂线就是所求的切线

2.已知圆外一点作切线若已知圆外一点P，要作过P点到圆的切线

1.连接P与圆心O

2.作以PO为直径的圆，它与原圆的交点就是切点

3.连接P与切点，即为所求切线直线与圆的位置关系123相离相切相交直线与圆没有公共点，即直线在圆外直线与圆有且仅有一个公共点，即直线是圆的切线直线与圆有两个公共点，即直线是圆的割线判断条件直线到圆心的距离大于圆的半径判断条件直线到圆心的距离等于圆的半径判断条件直线到圆心的距离小于圆的半径若直线的方程为，圆心坐标为₀当时，直线与圆相切切点是圆心到直线的垂足当时，直线与圆相交两个交点之间的距离为l ax+by+c=0x,d=rdr₀，半径为，则直线到圆心的距离为yr在代数上，若将直线方程代入圆的方程，得到的一元二次方程有且仅有一个解，则直线与圆相切在代数上，若将直线方程代入圆的方程，得到的一元二次方程有两个不同的实数解，则直线与圆相交当时，直线与圆相离dr判别式与代数表达从代数角度看，直线与圆的位置关系可以通过判别式来确定如果直线方程是，圆的方程是₀₀，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于参数的ax+by+c=0x-x²+y-y²=r²一元二次方程设其判别式为，则Δ当时，直线与圆相离•Δ0当时，直线与圆相切•Δ=0当时，直线与圆相交•Δ0这种代数方法在解析几何中非常有用，特别是在处理复杂的位置关系问题时两圆的位置关系外离两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆的外部判断条件两圆心距大于两圆半径之和其中d是两圆心之间的距离，r₁和r₂是两圆的半径外切两圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部判断条件两圆心距等于两圆半径之和切点在连接两圆心的直线上相交两圆有两个公共点判断条件两圆心距小于两圆半径之和，且大于两圆半径之差的绝对值两个交点关于连接两圆心的直线对称内切两圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的内部判断条件两圆心距等于两圆半径之差的绝对值4切点在连接两圆心的直线上内含两圆没有公共点，且一个圆完全在另一个圆的内部判断条件两圆心距小于两圆半径之差的绝对值小圆完全位于大圆内部圆的尺规作图经典题已知圆心作切线已知外点作切线问题已知圆和圆外一点，过点作圆的切线问题已知圆和圆外一点，过点作圆的切线O PP OO PP O作法步骤另一种作法步骤连接与圆心连接与圆心

1.P O

1.P O作的中点在点作半径（为圆上任意一点）

2.PO M

2.O OAA以为圆心，或为半径作圆以为端点，为半径作弧，与的延长线交于点

3.M MPMO

3.P OAPO Q辅助圆与原圆的交点即为切点₁、₂作∠∠（为新作出的点）

4.O T T

4.OQR=QOA R连接₁、₂，即为所求的两条切线过作∥，交圆于点

5.PT PT

5.P PBOR B即为一条切线原理这个作法基于直径所对的圆周角是直角和切线垂直于半径两个性质在辅助圆中，∠₁和∠₂都是直角，因此

6.PBPT O PT O₁和₂都垂直于₁和₂，即为切线PT PTOT OT原理这个作法利用了相似三角形和平行线性质通过构造一系列的辅助线和点，最终得到切线经典作图演示作已知半径的圆的切线作三角形的外接圆问题已知圆和圆外一点，过点作圆的切线作三角形的内切圆OPP O问题已知三角形，作其外接圆ABC作法问题已知三角形，作其内切圆ABC作法连接

1.PO作法作三角形三边的中垂线，交于点

1.O以的中点为圆心，为半径作辅助圆

2.PO MMP作三角形三个内角的角平分线，交于点

1.I以为圆心，（或、）为半径作圆

2.O OAOB OC辅助圆与原圆的交点为切点₁、₂

3.TT从点向三边作垂线，垂足分别为、、

2.I DE F该圆即为三角形的外接圆

3.连接₁、₂即为所求切线

4.PT PT以为圆心，（或、）为半径作圆

3.I IDIE IF该圆即为三角形的内切圆

4.常考题型一关系判定圆和直线的基本判定题圆与圆的基本判定题这类题目主要考查如何判断直线与圆的位置关系，包括相交、相切、相离三种情况这类题目主要考查如何判断两个圆的位置关系，包括外离、外切、相交、内切、内含五种情况例题1已知圆C:x²+y²=25，直线l:3x+4y+k=0，求k的取值范围，使得直线l与圆C相交例题2已知两个圆C₁:x-1²+y²=4和C₂:x-a²+y²=1，求a的取值范围，使得两圆相交解析直线l与圆C相交的条件是直线到圆心的距离小于圆的半径解析两圆相交的条件是圆心距大于半径差的绝对值，小于半径和圆心为原点0,0，半径r=5C₁的圆心为1,0，半径r₁=2直线l到原点的距离为C₂的圆心为a,0，半径r₂=1圆心距为|a-1|两圆相交的条件是相交的条件是dr，即即|2-1||a-1|2+11|a-1|3解得|k|25，即-25k25分情况讨论当a-10时，1a-13，即2a4当a-10时，1-a-13，即11-a3，解得-2a0综合得到-2a0或2a4常考题型二圆内角度计算已知条件求圆心角已知条件求圆周角这类题目通常给出圆周角或弦切角的度数，要求计算对应的圆心角这类题目通常给出圆心角或其他条件，要求计算圆周角例题1在⊙O中，AB是直径，点C在直径AB上，点D在圆上，且∠ADC=30°，求圆心角∠AOD的度数例题2在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，∠ACB=40°，求圆心角∠AOC的度数解析解析

1.由题知，AB是直径，点C在AB上，所以C也在直径上

1.由题知，AB是直径，点C在圆上

2.∠ADC=30°，点D在圆上

2.∠ACB是一个圆周角，且其中一边经过圆心（因为AB是直径）

3.注意到∠ADC是弦切角（因为DC是弦，AD是切线）

3.在圆中，直径所对的圆周角是直角，即∠ACB=90°（其中B是与B关于O对称的点）

4.根据弦切角定理，∠ADC等于弧AC对应的圆周角

4.所以∠BCB=90°-40°=50°

5.又根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半

5.由圆周角定理，∠BCB所对应的圆心角是∠BOB=2×50°=100°

6.所以∠AOD=2×∠ADC=2×30°=60°

6.而∠AOC=180°-∠BOB÷2=180°-100°÷2=180°-50°=130°圆内角度计算口诀解题策略常考题型三长度与面积扇形面积计算弦长计算扇形面积是圆内角度计算的重要应用例题3在半径为8cm的⊙O中，弦AB的弦心距为4cm，求弦AB的长度例题1在半径为6cm的⊙O中，扇形AOB的圆心角为60°，求扇形AOB的面积解析解析弦长公式L=2√r²-d²扇形面积公式S扇形=θ/360°×πr²其中r是半径，d是弦心距代入数据S=60°/360°×π×6²=1/6×π×36=6πcm²代入数据L=2√8²-4²=2√64-16=2√48=2×4√3=8√3cm弧长计算综合应用例题2在半径为10cm的⊙O中，弧AB的圆心角为45°，求弧AB的长度例题4在⊙O中，半径为5cm，弦AB=8cm，求该弦所对应的圆心角∠AOB的度数和弧AB的长度解析解析弧长公式l=θ/360°×2πr

1.求弦心距d=√r²-L/2²=√5²-4²=√25-16=3cm代入数据l=45°/360°×2π×10=1/8×2π×10=

2.5πcm

2.求圆心角cos∠AOB/2=d/r=3/

53.∠AOB/2=arccos3/5≈

53.13°

4.∠AOB≈

106.26°

5.弧长l=∠AOB/360°×2πr=

106.26°/360°×2π×5≈

9.27cm常考题型四切线与切点切线长公式切线长是指从圆外一点到切点的距离公式如果点P到圆心O的距离为d，圆的半径为r，则从P点到圆的切线长为其中T是切点例题1已知圆O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为13cm，求从点P到圆O的切线长解析根据切线长公式PT=√d²-r²=√13²-5²=√169-25=√144=12cm切点坐标推理例题2已知圆C:x²+y²=25，点P7,0，求过点P的两条切线的切点坐标解析

1.圆心为原点O0,0，半径r=

52.点P到圆心的距离d=|OP|=

73.切线长PT=√d²-r²=√49-25=√24=2√

64.切点T到圆心的距离|OT|=r=

55.由于切线垂直于半径，利用垂直关系和切线长，可以求出切点坐标

6.设切点Tx,y，则有例题讲解

7.x-7x+y²=0（切线垂直于半径）

8.x²+y²=25（点T在圆上）例题3已知圆O的半径为3，点P在圆外，|OP|=5，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，求弧AB所对的圆心角的度数

9.解方程组得切点坐标为T₁5,0和T₂35/13,±60/13解析

1.连接OA、OB、OP、PA、PB

2.由切线性质知，OA⊥PA，OB⊥PB

3.在三角形OPA中，∠OAP=90°，|OA|=3，|OP|=

54.由勾股定理，|PA|=√|OP|²-|OA|²=√25-9=

45.同理，|PB|=

46.在三角形OPA中，cos∠AOP=|OA|/|OP|×|OP|/|OA|×cos∠OAP=3/5×1×0=

07.由于cos∠AOP=3/5，可以求得∠AOP=arccos3/5≈

53.13°

8.由对称性，∠BOP=∠AOP≈

53.13°

9.所以弧AB所对的圆心角∠AOB=2×∠AOP≈

106.26°另一种解法利用三角形的面积公式三角形PAB的面积可以通过两种方式计算

1.S△PAB=1/2×|PA|×|PB|×sin∠APB=1/2×4×4×sin∠APB探究活动三点定圆与外心应用活动目标通过实际操作，理解三点定圆的原理以及三角形外心的性质，培养几何直观和空间想象能力材料准备•尺规作图工具（直尺、圆规）•方格纸或坐标纸•彩色笔活动步骤

1.在纸上任意标记三个不共线的点A、B、C

2.作AB的中垂线l₁•以A、B为圆心，以大于|AB|/2的相同半径作两个圆•连接两圆的交点，得到AB的中垂线l₁

3.同理作BC的中垂线l₂

4.l₁与l₂的交点O即为外接圆的圆心

5.以O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆

6.验证这个圆是否过A、B、C三点压轴题破解思路圆与几何综合中考压轴题常常将圆的知识与其他几何知识结合，形成综合性强的题目解决这类题目的基本策略包括叠加法

1.将复杂图形分解为基本图形的组合，分别求解后再综合例如一个由圆弧和直线段组成的复杂图形，可以分解为若干个扇形和三角形，分别计算面积后求和转化法

2.将一个难以直接求解的问题，转化为已知的问题例如求证四点共圆的问题，可以转化为证明对角互补的问题（四边形的对角和为360°）辅助线法

3.通过添加适当的辅助线，简化问题或揭示隐含的几何关系例如在切线问题中，连接圆心与切点，利用切线垂直于半径的性质典型压轴真题讲解例题如图，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，AC与BC相交于点D，DE⊥AB于点E，且DE交⊙O于点F（F≠D），求证DF=DE证明

1.连接OD、OF

2.由于AB是直径，所以∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）

3.点D在AC与BC的交点上，所以四边形ADBC是一个内接四边形

4.在内接四边形中，对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

5.由题知DE⊥AB，所以∠DEA=90°

6.在三角形DEA中，∠DEA=90°，所以∠DAE+∠ADE=90°

7.在三角形DOF中，由于点F在⊙O上，所以|OF|=|OA|=|OB|

8.结合以上条件，通过角度关系和相似三角形，可以证明△DEF是等腰三角形

9.因此，DF=DE合作探究圆的多解问题多解题如三点共圆某些几何问题有多种解法，通过比较不同的解法，可以加深对几何概念的理解，培养灵活的思维能力例题已知三角形ABC的三个顶点A、B、C在同一个圆上，求证∠C=180°-∠A-∠B解法一（圆周角定理）

1.由于A、B、C三点在同一个圆上，所以三角形ABC是内接于圆的

2.在内接四边形中，对角互补，即和为180°

3.三角形ABC可以看作是缺少一个顶点的内接四边形

4.由内角和公式知，∠A+∠B+∠C=180°

5.因此，∠C=180°-∠A-∠B解法二（代数方法）

1.设圆心为O，连接OA、OB、OC

2.在三角形AOB中，∠AOB=2∠ACB（圆心角等于圆周角的两倍）

3.同理，∠BOC=2∠BAC，∠COA=2∠CBA

4.由于∠AOB+∠BOC+∠COA=360°（圆心角的和）

5.代入上面的关系，得到2∠ACB+2∠BAC+2∠CBA=360°

6.简化得∠ACB+∠BAC+∠CBA=180°

7.即∠C+∠A+∠B=180°，因此∠C=180°-∠A-∠B圆与三角形、四边形综合题圆心、外心、内心辨析三角形与圆有密切的关系，理解三角形的三心（内心、外心、重心）对解决综合题有重要帮助外心三角形三边中垂线的交点，是三角形外接圆的圆心•到三角形三个顶点的距离相等•作法作三边的中垂线，交点即为外心•锐角三角形的外心在三角形内部•直角三角形的外心在斜边中点•钝角三角形的外心在三角形外部内心三角形三个内角的角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心•到三角形三边的距离相等•作法作三个内角的角平分线，交点即为内心•内心一定在三角形内部重心三角形三条中线的交点•到三个顶点的距离不相等•重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2:1•重心一定在三角形内部中考高频综合型题目例题1已知三角形ABC的内切圆的圆心为I，切点分别为D、E、F，求证AF+BD+CE=AB+BC+CA证明

1.连接AI、BI、CI

2.由内切圆的性质，ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB

3.在三角形AIF中，∠AFI=90°，所以三角形AIF是直角三角形

4.同理，三角形BDI和三角形CEI也是直角三角形

5.由内切圆的性质，I到三边的距离相等，设为r

6.由三角形面积公式，S△ABC=1/2AB·CF+BC·AD+CA·BE

7.另一方面，S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△CAI=1/2AB·r+BC·r+CA·r=1/2rAB+BC+CA

8.比较两式，得到AB·CF+BC·AD+CA·BE=rAB+BC+CA近三年中考真题精讲

（一）年某市考题，切线与圆公式综合2023题目如图，在⊙O中，半径为4，A、B是圆上两点，∠AOB=60°，点P在圆外，且PA和PB都是⊙O的切线，点P到圆心O的距离为8求线段AB的长度和△PAB的面积解析

1.连接OA、OB、OP

2.由已知，|OA|=|OB|=4（圆的半径），∠AOB=60°

3.在△AOB中，由余弦定理

4.|AB|²=|OA|²+|OB|²-2·|OA|·|OB|·cos∠AOB

5.|AB|²=4²+4²-2·4·4·cos60°

6.|AB|²=16+16-2·16·

0.

57.|AB|²=32-16=

168.|AB|=4接下来求△PAB的面积

1.由于PA和PB是切线，所以|PA|=|PB|（切线长相等）

2.设|PA|=|PB|=x

3.由切线长公式x=√|OP|²-|OA|²=√8²-4²=√64-16=√48=4√

34.△PAB的面积可以用海伦公式计算

5.S△PAB=√ss-as-bs-c，其中s=a+b+c/2，a=|PA|，b=|PB|，c=|AB|

6.代入数据a=b=4√3，c=

47.s=4√3+4√3+4/2=8√3+4/2=4√3+

28.S△PAB=√4√3+24√3+2-4√34√3+2-4√34√3+2-

49.S△PAB=√4√3+2224√3-

210.S△PAB=√44√3+24√3-

211.S△PAB=√44√3²-2²

12.S△PAB=√448-

413.S△PAB=√4·44=√176=4√11详细步骤分析第一部分求线段AB的长度这部分主要利用了余弦定理由于OA和OB都是半径，所以△AOB是等腰三角形在等腰三角形中，知道两边的长度和夹角，可以直接用余弦定理求第三边余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC代入已知条件，得到|AB|=4第二部分求△PAB的面积首先需要确定点P到A和B的距离由于PA和PB都是切线，所以|PA|=|PB|利用切线长公式，可以计算出|PA|=|PB|=4√3切线长公式从圆外一点到圆的切线长=√点到圆心的距离²-半径²知道三角形的三边长后，可以用海伦公式计算面积近三年中考真题精讲

（二）年典型旋转与圆大题分解2024题目如图，在平面直角坐标系中，点A0,1，点B0,-1，M是线段AB上的一个动点过点M作MB的垂线，交x轴于点P，再过点P作PA的垂线，交y轴于点Q1当M点在线段AB上移动时，求证点Q的轨迹是一个圆；2求这个圆的方程证明第1问证明点Q的轨迹是一个圆

1.由题意，点A0,1，点B0,-1，点M在线段AB上

2.设点M的坐标为0,t，其中-1≤t≤

13.过点M作MB的垂线，即作垂直于y轴的水平线

4.该水平线与x轴的交点P的坐标为x₁,

05.由于P点在过M的水平线上，所以P的坐标为x₁,t

6.又因为P在x轴上，所以t=0，这意味着M必须位于原点0,

07.但这与题意不符，所以这里需要重新理解题意重新理解题意

1.点A0,1，点B0,-1都在y轴上

2.设点M的坐标为0,t，其中-1≤t≤

13.过点M作MB的垂线，即作垂直于MB的直线

4.由于MB在y轴上，其方向向量为0,-1-t，所以垂线的方向向量为1,

05.因此，过点M的垂线方程为y=t

6.该垂线与x轴交点P的坐标为x₁,

07.代入y=t得t=0，但这与我们的假设不符近三年中考真题精讲

（三）最新真题三点定圆建模型2025题目在平面直角坐标系中，三点A2,0，B0,2，C-2,0不共线1求证这三点在同一个圆上；2求过这三点的圆的方程；3已知点D0,-2，判断点D是否在2中的圆上，并说明理由解答第1问证明三点A、B、C在同一个圆上方法一利用三点共圆的判定方法

1.计算|AB|²|AB|²=2-0²+0-2²=4+4=

82.计算|BC|²|BC|²=0--2²+2-0²=4+4=

83.计算|CA|²|CA|²=-2-2²+0-0²=16+0=

164.在△ABC中，|AB|²+|BC|²=8+8=16=|CA|²

5.由于|AB|²+|BC|²=|CA|²，所以∠ABC=90°（勾股定理的逆定理）

6.在三角形中，如果有一个角是直角，那么三点一定在以斜边为直径的圆上

7.因此，点A、B、C在同一个圆上，这个圆的直径是AC方法二利用圆的解析几何方法

1.假设过A、B、C三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=

02.代入点A2,04+0+2D+0+F=0，即2D+F=-

4...

13.代入点B0,20+4+0+2E+F=0，即2E+F=-

4...

24.代入点C-2,04+0-2D+0+F=0，即-2D+F=-

4...

35.由1和3可得2D+F=-4和-2D+F=-

46.解得4D=0，即D=0，代入1得F=-

47.由2可得2E+-4=-4，解得E=

08.所以圆的方程为x²+y²-4=0，即x²+y²=

49.验证点A、B、C是否满足这个方程•点A2,02²+0²=4+0=4✓•点B0,20²+2²=0+4=4✓•点C-2,0-2²+0²=4+0=4✓

10.三点都满足圆的方程，所以它们在同一个圆上第2问求过三点的圆的方程在第1问中，我们已经求出了圆的方程为x²+y²=4，即以原点为圆心，半径为2的圆第3问判断点D0,-2是否在圆上

1.将点D0,-2的坐标代入圆的方程x²+y²=4圆的专题思维导图基本概念圆心、半径、直径等几何性质圆心角、圆周角、切线计算公式面积、周长、弧长应用问题三点定圆、切线作图核心知识框架梳理圆的知识体系可以分为以下几个核心部分基本概念包括圆的定义、圆心、半径、直径、弧、弦、弦心距等基本要素这是理解圆几何的基础课堂总结与考前建议知识点易错提醒在学习圆的过程中，学生常常容易犯以下错误概念混淆将圆心角与圆周角混淆，或者弄错圆心角与圆周角的大小关系公式记忆不准圆的面积、周长、弧长、扇形面积等公式记忆不准确性质应用不当在解题过程中，没有正确应用切线性质、圆周角定理等位置关系判断错误在判断直线与圆、圆与圆的位置关系时出错作图不规范在尺规作图中，步骤不规范或不完整巩固方式与冲刺建议为了更好地掌握圆的知识，建议采取以下巩固方式概念梳理用思维导图或表格形式梳理圆的基本概念、性质和定理，形成系统的知识框架公式记忆将常用公式整理成卡片，随时复习，加深记忆典型例题分析精选典型例题，分析解题思路和方法，归纳解题技巧错题集整理将做错的题目整理成错题集，分析错误原因，避免再犯实际操作进行尺规作图的实际操作，加深对作图方法的理解考前冲刺策略在中考前的冲刺阶段，建议采取以下策略重点复习重点复习圆的基本性质、圆周角定理、切线性质等核心内容真题训练做近几年的中考真题，熟悉出题形式和解题要求综合应用做一些综合性强的题目，锻炼综合运用各种知识的能力时间控制在做题时注意控制时间，提高解题效率解题规范注意解题过程的规范性，包括作图的规范性和计算的准确性心态调整在复习和考试过程中，保持良好的心态也非常重要•保持自信，相信自己的能力•遇到难题不要慌张，冷静分析，找出解题思路•注意休息，保持充沛的精力。