平移和旋转教学课件

平移和旋转教学优质课件第一章变换的基本概念什么是几何变换？定义与本质基本变换类型几何变换是一种数学操作，它改变图在平面几何中，有三种最基本的变形在平面或空间中的位置或形状变换平移（Translation）、旋转换可以理解为一个映射过程，将一个（Rotation）和反射（Reflection）图形的每一个点对应到新的位置，从这些变换都具有一个重要特性——它而产生一个新的图形们保持图形的大小和形状不变，只改变图形的位置或方向课程重点平移的定义平移是最直观的几何变换之一当我们说一个图形发生了平移，意味着整个图形沿着某一个确定的方向移动了固定的距离在平移过程中，图形的每一个点都按照相同的方向和距离进行移动，就像整个图形被搬动到了新的位置不变性质统一移动平移后的图形与原图形完全相同，图形上的每一个点都按照相同的向包括大小、形状、角度和边长都保量进行移动如果我们用向量a,b持不变这种性质使得平移成为一表示平移，那么图形上任意一点x,种刚体运动y都会移动到x+a,y+b生活实例旋转的定义旋转是另一种基本的几何变换当图形绕着一个固定点转动某个角度时，我们说这个图形发生了旋转这个固定点被称为旋转中心，而转动的角度称为旋转角旋转中心旋转角度可以位于图形内部、边界上或外部通常以度或弧度为单位正角度表示旋转中心在整个旋转过程中保持固定逆时针旋转，负角度表示顺时针旋不动，所有其他点都围绕它转动转常见的旋转角度有90°、180°、270°等实际应用风车的转动、钟表指针的运动、地球的自转、车轮的转动，这些都是旋转在现实生活中的体现变换的数学表达在数学中，我们用精确的公式来描述几何变换这些公式不仅帮助我们理解变换的本质，还能让我们准确地计算变换后图形的新位置平移变换公式旋转变换公式（绕原点）对于平移变换，如果原图形上的点坐标为x,当图形绕原点旋转角度θ时，原坐标x,y变换y，平移向量为dx,dy，那么变换后的新坐标为新坐标x,y为这是一个更复杂的变换，涉及三角函数公式这个公式表明，平移就是给每个点的坐标分别看起来复杂，但它准确地描述了每个点在旋转加上相应的平移量这种变换是线性的，非常后的新位置容易理解和计算注意角度θ通常以弧度为单位，正实例如果点A3,2向右平移5个单值表示逆时针旋转位，向上平移3个单位，那么新位置为A8,5第二章平移的性质与作图掌握平移的精髓平移的几何性质平移作为一种等距变换（保距变换），具有许多重要的几何性质深入理解这些性质有助于我们更好地掌握平移的本质，并在实际问题中正确应用图形全等性平移后的新图形与原图形完全全等这意味着两个图形的对应边长相等，对应角度相等，面积和周长也完全相同在数学上，我们用符号≅表示全等关系平行性保持原图形中平行的线段在平移后仍然保持平行关系不仅如此，平移前后对应的线段也互相平行，这是平移的一个重要特征距离不变性图形内任意两点之间的距离在平移前后保持不变这个性质保证了图形的大小和形状完全不受影响平移向量唯一性给定一个平移，所有点的移动都遵循同一个平移向量这个向量的大小表示平移距离，方向表示平移方向这些性质使得平移成为最简单也是最基础的几何变换，为学习其他更复杂的变换奠定了重要基础平移的作图步骤准确地作出平移图形是学习几何变换的基本技能通过系统的步骤，我们可以精确地绘制出任何图形的平移结果确定平移要素1首先明确平移的方向和距离平移方向可以用角度表示（如向右、向上、向东北等），平移距离通常用长度单位表示有时平移也可以用向量形式dx,dy来表示标记关键点2找出原图形的所有关键点，通常包括顶点、角点、端点等对于复杂图形，可以选择一些代表性的点给这些点标上字母，如A、B、C等移动关键点3按照确定的平移方向和距离，将每个关键点移动到新位置新位置通常用相应的字母加撇号表示，如A、B、C等连接新点4按照原图形的连接方式，将新位置的点连接起来，形成平移后的新图形检查新图形是否与原图形形状完全相同验证结果5检查对应点之间的距离是否等于平移距离，对应线段是否平行且相等，以确保作图的准确性平移示例演示实际操作演示让我们通过一个具体的例子来演示平移的作图过程假设我们有一个三角形ABC，其顶点坐标分别为A1,

2、B3,

1、C2,4，现在要将这个三角形向右平移4个单位计算新坐标A1,2→A5,2，B3,1→B7,1，C2,4→C6,4在方格纸上标点先标出原三角形的三个顶点，然后标出平移后的新位置连接新顶点按照原三角形的边的连接方式，连接AB、BC、CA观察发现新三角形与原三角形完全相同，只是位置向右移动了4个单位课堂练习现在请同学们独立完成一个练习将边长为2的正方形DEFG（顶点坐标D0,

0、E2,

0、F2,

2、G0,2）向左上方平移3个单位（即向左3个单位，向上3个单位）计算新坐标并在方格纸上作图平移的坐标表示在坐标系中表示平移是非常直观和精确的方法通过坐标的变化，我们可以清楚地看到每个点是如何移动的，也可以用代数方法来处理几何问题坐标变化规律实践练习当图形进行平移时，每个点的坐标都按照相同的规律发生变化如果平移向让我们一起计算点B4,1在不同平移下的新坐标量为h,k，那么任意点x,y平移后的新坐标为x+h,y+k示例分析平移向量计算过程新坐标3,24+3,1+27,3点A2,3按平移向量5,-2进行平移-2,44-2,1+42,5•新x坐标2+5=7•新y坐标3+-2=10,-34+0,1-34,-2•平移后点A的坐标为7,1思考题如果知道原点坐标和平移后的坐标，如何求平移向量？掌握坐标表示方法后，我们就可以用计算器或计算机程序来快速处理大量的平移计算，这在工程和科学计算中非常有用第三章旋转的性质与作图探索旋转的奥妙旋转的几何性质旋转变换具有独特而重要的几何性质与平移不同，旋转改变了图形的方向，但仍然保持了图形的基本特征理解这些性质对于掌握旋转变换至关重要形状与大小不变旋转是一种等距变换，图形在旋转前后保持完全相同的形状和大小所有的边长、角度、面积和周长都不会发生任何改变这保证了旋转后的图形与原图形全等旋转中心固定在整个旋转过程中，有一个点始终保持不动，这个点就是旋转中心旋转中心可以位于图形内部、边界上，或者图形外部的任意位置距离关系保持图形上任意一点到旋转中心的距离在旋转前后保持不变这个性质是旋转的基本特征，也是我们进行旋转作图的理论基础角度关系保持旋转角度对图形上的每一个点都是相等的从旋转中心看，任意两个对应点之间的夹角都等于旋转角度这些性质使得旋转变换在实际应用中非常有用，从机械设计到计算机图形学，旋转都发挥着重要作用旋转的作图步骤准确作出旋转图形需要遵循系统性的步骤与平移不同，旋转作图通常需要使用圆规和量角器等工具，过程相对复杂但非常有趣确定旋转要素首先要明确三个基本要素旋转中心（通常用点O表示）、旋转角度（如90°、180°等）、旋转方向（顺时针或逆时针）这三个要素完全确定了一个旋转变换连接中心与关键点用直线连接旋转中心与原图形的每一个关键点（如顶点）这些连线称为旋转半径，它们的长度在旋转过程中保持不变按角度旋转点使用量角器测量旋转角度，在每条旋转半径上按照指定角度和方向找到新的点位置新点到旋转中心的距离与原点相同连接新位置点按照原图形的连接方式，将旋转后的新位置点连接起来，形成旋转后的新图形仔细检查新图形的形状和大小是否与原图形相同作图提示使用不同颜色的笔来区分原图形和旋转后的图形，这样可以更清楚地观察变换效果旋转角度示意理解不同旋转角度的效果是掌握旋转变换的关键让我们通过常见的旋转角度来深入理解旋转的特点°旋转°旋转90180图形转动四分之一圈顺时针90°旋转图形转动半圈，相当于绕旋转中心进行后，原来水平向右的方向变为竖直向点对称原来的上变成下，左变成右下；逆时针90°旋转后，水平向右变为竖这种旋转也被称为中心对称直向上这是最常用的旋转角度之一°旋转270图形转动四分之三圈，效果与-90°旋转相同也就是说，逆时针270°等同于顺时针90°特殊角度的规律360°旋转会使图形回到原来的位置，相当于没有变换因此，任何角度的旋转都可以化简为0°到360°之间的等价角度负角度表示与正角度相反的旋转方向旋转示例演示让我们通过一个具体的例子来演示旋转的完整过程我们将演示如何将一个三角形绕原点逆时针旋转90°原始图形设定验证计算过程设三角形ABC的顶点坐标为以点A2,1为例，验证旋转公式的应用•A2,1•B4,1•C3,3旋转中心原点O0,0旋转角度逆时针90°所以A坐标为-1,2，验证无误计算新坐标观察结果旋转后的三角形ABC与原三角使用旋转公式计算每个顶点的新位置形ABC形状完全相同，但方向发生了90°的•A2,1→A-1,2改变•B4,1→B-1,4•C3,3→C-3,3课堂练习请同学们尝试将正方形PQRS（顶点P1,

1、Q3,

1、R3,

3、S1,3）绕点2,2顺时针旋转90°，计算新的顶点坐标并画图验证旋转的坐标公式详解旋转变换的坐标公式是几何变换中最重要的数学工具之一深入理解这些公式不仅有助于准确计算，更能帮助我们理解旋转的数学本质基本旋转公式推导公式应用实例当点x,y绕原点旋转角度θ时，新坐标的计算基于三角恒等式设原点的极坐标表示为r,让我们通过实际计算来巩固理解α，那么例题点绕原点旋转°3,4180•原坐标x=r cosα，y=r sinαθ=180°=π弧度•旋转后x=r cosα+θ，y=r sinα+θcos180°=-1，sin180°=0利用三角函数的和角公式展开，最终得到旋转变换的标准公式记忆技巧x的公式中，cos项为正，sin项为负；y的公式中，两项都为正所以新坐标为-3,-4角度cosθsinθ特点0°10不变90°01逆时针1/4圈180°-10中心对称270°0-1顺时针1/4圈熟练掌握这些公式后，我们就能够处理任意角度的旋转问题，为进一步学习复合变换打下坚实基础第四章平移与旋转的综合应用变换的艺术组合组合变换示例在实际应用中，图形往往需要经历多种变换的组合平移和旋转的组合变换是最常见的复合变换之一理解组合变换的特点和规律，对于解决复杂的几何问题具有重要意义先旋转后平移图形首先绕指定点旋转，改变方向后再进行平移由于旋转改变了图形的方向，后续的平移效果会与第一种情况不同先平移后旋转图形首先按照指定向量进行平移，移动到新位置后，再绕指定点进行旋转这种顺序下，最终结果取决于平移向量和旋转的参数顺序的重要性一般情况下，先平移后旋转与先旋转后平移得到的结果是不同的这说明变换的顺序对最终结果有决定性影响实际计算演示₂重要结论两种方案的最终位置完全不同！A分别为-1,3和1,1以正方形为例，设顶点A1,1课堂练习方案一先向右平移2个单位，再绕原点旋转90°₁•平移后A3,1请同学们独立完成将三角形ABC（A0,

0、B2,

0、C1,2）按以下两种方案变换，比较结果₂•旋转后A-1,

31.先向上平移3个单位，再绕原点逆时针旋转90°方案二先绕原点旋转90°，再向右平移2个单位

2.先绕原点逆时针旋转90°，再向上平移3个单位₁•旋转后A-1,1旋转中心不在原点的处理在实际问题中，旋转中心往往不在坐标原点这种情况下，我们需要采用特殊的处理方法来进行计算和作图这个过程虽然复杂，但遵循清晰的逻辑步骤平移至原点首先将整个图形（包括要旋转的图形和旋转中心）进行平移，使旋转中心移动到坐标原点如果旋转中心为a,b，则平移向量为-a,-b绕原点旋转在新的坐标系中，旋转中心现在位于原点，可以直接使用标准的旋转公式进行计算这一步相对简单，是我们已经熟悉的操作平移回原位置旋转完成后，将整个结果（旋转后的图形和旋转中心）按照与第一步相反的方向平移，即平移向量a,b，恢复到原来的坐标系数学公式表达具体实例设原点坐标为x,y，旋转中心为a,b，旋转角度为θ，则最终坐将点P4,2绕点C2,1逆时针旋转90°标x,y的计算公式为平移至原点P→2,1,C→0,0绕原点旋转90°2,1→-1,2平移回原位置-1,2→1,3所以P的坐标为1,3这个公式综合了三个步骤的运算，可以直接得出最终结果验证用公式直接计算也得到相同结果掌握这种方法后，我们就能处理任意旋转中心的旋转问题，大大扩展了几何变换的应用范围生活中的平移与旋转几何变换不仅是数学理论，更是现实世界中无处不在的现象从日常生活到高科技应用，平移和旋转的概念帮助我们理解和控制周围的物理世界机械臂运动轨迹机器人路径规划动画制作技术工业机器人的机械臂通过精确的旋转和平移组合，能够完成复杂的装配任务自主移动机器人需要在复杂环境中规划路径，避开障碍物到达目标点路径规在电影和游戏的3D动画制作中，角色和物体的每一个动作都是通过几何变换实每个关节的旋转角度和整体的平移距离都需要精确计算，确保机械臂能够准确划算法大量使用平移和旋转变换来计算机器人的运动轨迹机器人不仅要计算现的动画师通过控制关键帧之间的平移和旋转参数，创造出流畅自然的动作到达目标位置这种应用直接体现了几何变换在现代制造业中的重要价值直线移动（平移），还要考虑转向动作（旋转），确保行进路线最优且安全效果现代动画软件都内置了强大的变换工具，让创作者能够轻松实现复杂的视觉效果更多应用领域建筑设计航空航天医学影像建筑师使用几何变换来设计复杂的建筑结构，特别是那些具有旋转对称性或飞机和航天器的姿态控制系统需要实时计算和执行精确的旋转变换，确保飞CT和MRI等医学影像设备通过旋转扫描获取人体内部图像，图像重建过程大量重复模块的建筑行器保持正确的飞行姿态使用几何变换算法第五章平移与旋转的课堂练习巩固理论，提升技能练习题平移1通过系统性的练习来巩固平移的概念和技能这些练习题从简单到复杂，帮助学生逐步掌握平移的各个方面123基础平移作图平移向量计算实际应用问题在坐标纸上画出三角形DEF，顶点坐标为D1,

2、E4,

1、已知正方形ABCD的顶点A从2,3移动到A5,1，其他顶点也进行一个机器人在工厂车间中移动，它从位置10,15开始，需要到F2,4将此三角形按平移向量3,-2进行平移，画出平移后的三了相同的平移如果B的原坐标为4,3，求B的坐标并说明这达位置25,8计算机器人需要执行的平移向量，并在坐标图上角形DEF，并标注新顶点的坐标要求使用不同颜色区分原图个平移的向量表示和几何意义画出移动路径如果机器人携带的零件是一个边长为3的正方形和新图形形，画出零件在起始和终止位置的示意图解题步骤提示评分标准

1.仔细读题，明确已知条件和要求•坐标计算正确（40分）

2.在坐标纸上准确标出原图形•作图准确清晰（30分）

3.计算平移后各点的新坐标•标注完整规范（20分）

4.按照作图要求绘制新图形•过程步骤清楚（10分）

5.检查结果的合理性练习题旋转2旋转练习题旨在帮助学生掌握旋转变换的各种情况，包括不同旋转中心、不同角度的旋转，以及旋转的坐标计算方法绕原点旋转绕任意点旋转特殊角度旋转将直角三角形OAB（O0,

0、A3,

0、B0,4）绕原点逆正方形PQRS的顶点坐标为P1,

1、Q3,

1、R3,

3、点M4,3绕原点分别旋转90°、180°、270°和360°（均为时针旋转90°计算旋转后各顶点的坐标，并在坐标系S1,3将此正方形绕点2,2顺时针旋转180°使用几何逆时针），计算各种情况下的新坐标观察坐标变化的中画出旋转前后的两个三角形用圆弧和箭头标出旋转作图方法和坐标计算方法两种方式求解，比较结果是否规律，总结特殊角度旋转的简便计算方法方向和角度一致详细解题指导对于旋转中心不在原点的情况，建议使用以下步骤常见错误预防方法确定旋转要素明确旋转中心、角度和方向角度方向搞混明确规定正负角度

2.应用平移-旋转-平移方法•将图形平移使旋转中心到原点旋转中心位置错误仔细标记旋转中心•绕原点进行指定角度的旋转坐标计算失误分步骤仔细计算•将结果平移回原坐标系验证结果检查旋转后图形的形状和大小是否保持不变作图不够准确使用专业绘图工具几何作图验证用圆规和量角器验证计算结果练习题组合变换3组合变换是几何变换的高级应用，要求学生综合运用平移和旋转的知识，理解变换顺序对结果的影响，培养解决复杂几何问题的能力变换方案先平移后旋转1A给定等腰三角形ABC，A1,

0、B3,

0、C2,2首先将三角形向上平移4个单位，然后绕点2,3逆时针旋转90°计算最终各顶点的坐标，并在坐标系中画出变换的完整过程，包括原图形、中间图形和最终图形变换方案先旋转后平移2B使用同一个三角形ABC，首先绕点2,1逆时针旋转90°，然后向上平移4个单位计算最终各顶点的坐标，同样画出完整的变换过程结果比较与分析3比较方案A和方案B的最终结果，分析为什么两种变换顺序会产生不同的效果计算两个最终图形之间的位置差异，并用几何语言描述这种差异解题策略扩展思考题处理组合变换时，要严格按照给定顺序逐步进行问题在什么情况下，先平移后旋转与先旋转后平移会得到相同的结果？关键提醒绝对不能颠倒变换的顺序！每一步变提示考虑旋转中心的特殊位置或特殊的平移向量换都要以前一步的结果为基础这个问题的答案将帮助学生深入理解变换的本质和相互关系₁₁₁₂₂₂•用不同的符号表示各阶段的图形（如A BC、A BC）•每步变换后都要验证图形的几何性质•最终要检查整体变换的合理性通过这些综合性练习，学生不仅巩固了基本的变换技能，更培养了分析复杂几何问题的思维能力课堂小结经过系统的学习，我们已经全面掌握了平移和旋转这两种基本几何变换让我们回顾和总结本课的核心内容，确保每个重要概念都得到了充分理解平移变换核心旋转变换要点平移是图形的整体移动，保持大小、形状、方向完全不变每个点都按旋转是图形绕固定点的转动，改变方向但保持大小形状不变旋转由中相同向量移动，变换公式简单直观x,y→x+dx,y+dy心、角度、方向三要素确定，坐标公式涉及三角函数实际应用认识几何作图技能认识到几何变换在现实世界中的广泛应用，从机械工程到计算机图掌握了使用圆规、直尺、量角器等工具进行精确作图的方法能够形学，变换无处不在通过几何作图验证代数计算的结果组合变换理解坐标计算能力深刻理解了变换顺序的重要性，掌握了分析和计算组合变换的系统方熟练运用变换公式进行坐标计算，特别是旋转中心不在原点时的复合计法算方法学习成果检验通过本课学习，学生应该能够•准确识别和描述平移与旋转变换•理解变换的几何性质和代数表达•熟练进行几何作图和坐标计算•掌握组合变换的分析方法•正确处理各种复杂变换问题•培养严谨的数学思维习惯。