归一问题教学课件

归一问题教学课件什么是归一问题？归一是一种重要的数学思想方法，指的是在解决问题时，先求出一份（一个单位）的数量，然后根据这个一推导出全局的解答这种方法在小学数学教学中占有重要地位归一问题常见于单位计算中，如•单价问题先求出一个物品的价格，再计算多个物品的总价•单量问题先求出一个人、一天或一台设备的工作量，再计算总量•平均问题将总量平均分配到每个单位这种思维方式不仅在数学中应用广泛，在日常生活中也有普遍应用，是一种基础而重要的解题策略归一问题的实用意义解决实际问题的有效工具培养模型思维和应用意识与比例、倍数问题紧密相关在日常生活中，我们经常需要先找到一这通过归一问题的学习，学生能够建立起数学归一思想是理解比例、倍数关系的基础掌个基本单位才能解决问题例如计算购物模型思维，学会将复杂问题简化，先求出单握了归一方法，学生在学习比例、百分数等时的单价、分配工作量、确定生产效率等，位量，再通过乘法或除法求解整体问题，培更复杂概念时会更加轻松，为今后学习打下都需要运用归一思想养学生的逻辑思维能力坚实基础教材中的归一问题主题教材位置与内容安排在人教版三年级上册第71页例8中，首次系统引入了归一问题的解法这部分内容安排在多位数乘一位数单元中，是学生学习乘除法应用的重要环节教材设计思路•从简单的生活实例入手，如物品购买、工作分配等情境•引导学生思考一个单位的概念•通过两步法（先求一，再求多）解决问题•逐步建立数学模型思维归一问题的三要素份数指总量被分成的份数，如•人数•天数总量•件数指问题中涉及的全部数量，如•组数•总钱数份数是归一问题中的关键要素•总页数单份数•总重量指每一份的数量，如•总工作量总量通常是已知条件或最终要求解的对象•一个人的量•一天的工作量•一件物品的价格•一组的数量单份数是归一问题的核心单价、数量与总价模型基本数学模型单价、数量与总价的关系是归一问题最基础、最常见的模型归一思想应用这一模型体现了归一的核心思想——先求出一的量（单价），再通过乘法求解总量或通过除法求解份数生活中的单价-数量-总价关系示意这一模型不仅适用于价格计算，还可以扩展到多种情境•工作效率单位时间完成的工作量•速度问题单位时间内行驶的距离•密度问题单位体积内的质量归一问题的经典表达123照这样每个/每份平均到一份/一天/一人这是归一问题中最常见的表述方式，表示按直接指向单位量，是归一问题的显性表达强调将总量平均分配到每个单位的过程照同样的比例或关系进行计算例如一共花了15元买了3本书，每本书多例如4个工人6天完成一项工程，平均每例如3个人5天完成一项工作，照这样，少钱？人每天完成多少工程量？9个人几天能完成？买5本这样的书需要多少钱？这类表述需要进行两次除法运算，先除以人这里的照这样暗示了工作效率（每人每天数，再除以天数，求出最小单位量这类表述直接询问单位量或基于单位量的计完成的工作量）保持不变，是解题的关键条算，明确指向归一思想件解题三大步骤第三步检验答案是否合理第二步再求问题所关心的其它通过逆向思考或代入原条件，检查解答的正第一步先求一份是多少量确性这是归一问题解题的核心步骤，需要找出一基于第一步求得的单位量，利用乘法或除法检验方法可以用得到的答案回代原问题，的含义，可能是一个人、一天、一件物品求解问题所需的其他量验证是否符合题目条件等计算方法根据问题要求，可能需要用单位例如检验20块糖分给5个人，每人得到4计算方法通常通过除法运算，用总量除以量乘以新的份数，或用总量除以单位量块，与第一步求得的单位量一致，答案合份数来求得单位量例如如果有5个人，需要几块糖？4×5=理例如12块糖分给3个人，先求每人得到几块20块糖？12÷3=4块建立归一模型的方法找出一的含义画示意图分析在归一问题中，首先要明确一代表什么•一个人的工作量•一天的完成量•一件物品的价格•一千克材料的产量确定一的含义是建立模型的第一步，也是最关键的一步列数量关系式根据题目条件，建立数学关系式或者通过这些关系式，可以清晰地表达归一问题的核心结构示意图与数量线线段图的作用线段图是表示归一问题的有效工具，它能够•直观展示数量关系•帮助梳理已知与未知•引导正确的计算顺序•降低问题的抽象度线段图中的数量关系在线段图中，我们可以清晰地看到三要素之间的关系•每份数用单位线段表示•总份数线段的重复次数•总量所有线段的总长度通过线段图，总量=份数×单份数的关系变得直观可见，有助于学生理解归一问题的本质绘制线段图的步骤归一问题的线段图表示示例

1.确定已知量和未知量

2.画出表示单位量的基本线段

3.根据份数重复基本线段例题擦玻璃问题1问题描述思路分析3人一起擦玻璃，一共擦了12块照这样计这是一个典型的归一问题，我们需要算，6人一起擦玻璃，能擦多少块？

1.找一1人能擦多少块玻璃？

2.计算总量6人能擦多少块？关键是理解照这样表示工作效率（每人擦玻璃的数量）保持不变这个问题的解题思路体现了归一问题的核心思想先求单位量，再求总量通过找到一个人能擦多少块玻璃这个单位量，我们可以轻松计算出不同人数下的工作总量例题详细解析1解题过程问题回顾3人一起擦玻璃，一共擦了12块照这样计算，6人一起擦玻璃，能擦多少块？第一步求出1人擦多少块玻璃这一步运用了除法，将总量（12块玻璃）除以人数（3人），得到单位量（1人擦4块）第二步求出6人能擦多少块玻璃这一步运用了乘法，将单位量（1人擦4块）乘以新的人数（6人），得到新的总量（24块）验证与解释我们可以通过比例关系验证结果人数增加了2倍（从3人变为6人），在工作效率相同的情况下，工作量也应增加2倍（从12块变为24块）例题做豆腐问题2问题描述用5千克黄豆可以做20千克豆腐照这样计算，做32千克豆腐需要多少千克黄豆？思路分析这是一个原料与产品之间关系的归一问题我们需要

1.找一1千克豆腐需要多少千克黄豆？

2.计算总量32千克豆腐需要多少千克黄豆？这里的照这样表示原料与产品之间的转化率保持不变豆腐制作过程中，黄豆和成品豆腐之间存在固定的转化比例理解这一比例关系是解决此类问题的关键这类问题在生活中很常见，如•原料与产品的转化•材料与成品的关系•投入与产出的比例例题详细解析2问题回顾第一步求出1千克豆腐需要多少千克黄豆用5千克黄豆可以做20千克豆腐照这样计算，做32千克豆腐需要多少千克黄豆？或者表示为分数形式这一步我们将黄豆的重量（5千克）除以豆腐的重量（20千克），得到单位量（1千克豆腐需要

0.25千克或1/4千克黄豆）第二步求出32千克豆腐需要多少千克黄豆综合算式我们也可以用一个综合算式来解决这个问题或者这一步将单位量（1千克豆腐需要

0.25千克黄豆）乘以新的豆腐重量（32千克），得到所需的黄豆总重量（8千克）归一问题的常见类型平均问题涉及平均分配或平均值的计算•求平均值总量÷份数单价问题•求总量平均值×份数•求份数总量÷平均值涉及物品价格的计算例4人分30元，平均每人多少？•求单价总价÷数量•求总价单价×数量比例换算•求数量总价÷单价涉及等比例关系的计算例3本书15元，5本书多少钱？•求单位比例已知量÷基准量•求新量单位比例×新基准量例5千克面粉做20个面包，做15个需多少面粉？例题读书页数问题3问题描述小明3天读完一本故事书的24页照这样计算1小明平均每天读多少页？25天能读完多少页？思路分析这是一个典型的归一问题，关注点是每天读多少页这个单位量

1.第1问直接求单位量每天读多少页

2.第2问基于单位量求新情况5天读多少页照这样表示阅读速度（每天的阅读页数）保持不变这类问题在学习生活中非常常见，如•学习进度规划•时间与工作量的关系•速度与距离的计算例题详细解析3问题理解求解第1问平均每天读多少页求解第2问5天能读完多少页小明3天读完一本故事书的24页我们需要计算每天的阅读量，以及5天的阅读总量这里我们用总页数（24页）除以总天数（3用每天的阅读量（8页）乘以新的天数（5天），得到平均每天的阅读量（8页）天），得到5天的阅读总量（40页）答案1小明平均每天读8页；25天能读完40页数学与生活中的归一问题生活中的归一应用归一问题在日常生活中有广泛应用商品定价计算单价、比较不同包装商品的性价比分组作业分配工作量、估计完成时间用水用电计算根据单价计算费用、预估用量烹饪配方按人数调整食材用量时间规划根据进度安排学习或工作计划体育锻炼计算运动强度、制定训练计划提升实际分析与迁移能力通过归一问题的学习，学生能够归一思想在日常生活中的应用无处不在•建立数学与生活的联系•培养实际问题分析能力•提高数学知识迁移应用能力•发展逻辑思维和推理能力归一与逆向思维正向解题逆向检验从已知条件出发，通过求单位量，再求解问题用逆推法检验答案的正确性，验证解题过程要求的量例如3本书15元，求5本书多少元？例如检验5本书25元是否合理正向思路先求1本书多少元，再求5本书多少逆向思路如果5本书25元，则1本书5元，3元本书15元，与原条件相符多解思路条件回代尝试不同的解题路径，培养思维灵活性将得到的答案代回原问题，检查是否满足题目条件例如直接用比例关系解题例如验证1本书5元是否符合3本书15元比例思路3本书15元=5本书x元，x=15÷3×5=25元回代过程5×3=15，符合原条件常见陷阱与易错点12忽略照这样的含义题意理解不清导致错列等式许多学生不理解照这样表示的是单位量（效率、比例等）保持不变，而不是未正确识别题目中的三要素（总量、份数、单份数），导致等式列错方向绝对量保持不变例如5千克黄豆做20千克豆腐，32千克豆腐需要多少黄豆？例如3人5天完成工作，6人需要多少天？错误等式32÷20×5=8（错误地认为是正比关系）错误思路认为人数增加一倍，天数也增加一倍，答10天正确分析先求1千克豆腐需要多少黄豆（5÷20=

0.25千克），再求32千克正确思路人数增加一倍，工作效率增加一倍，天数减少一半，答

2.5天豆腐需要多少黄豆（

0.25×32=8千克）34未明确一的含义计算结果未回到问题情境在复合归一问题中，未能准确识别一的含义，导致混淆得到数值结果后，未能结合实际情境给出有意义的答案例如4人3天完成一项工作，求每人每天完成多少工作量？例如计算出每人每天完成1/12的工作量，但未说明这表示12个人天可以完成整项工作错误理解直接用1除以12（错误地认为总工作量是1）正确分析设总工作量为1，则每人每天完成的工作量为1÷4÷3=1/12归一问题画图法数形结合——线段图的应用线段图是解决归一问题的有力工具，它能够•将抽象的数量关系可视化•帮助学生理清思路•减少计算错误•培养形象思维能力线段图绘制步骤

1.确定基本单位，画出表示单位量的线段

2.根据已知条件，画出对应的线段组合

3.标注已知量和未知量

4.根据线段之间的关系列式求解以3本书15元，5本书多少元为例，线段图表示

1.画出表示1本书价格的基本线段

2.连续画出3个这样的线段，标注总价15元

3.再连续画出5个基本线段，标注总价为问号

4.根据线段图关系，列式求解15÷3×5=25元一题多解，拓展思维归一法解题比例法解题综合算式法例题5千克黄豆做20千克豆腐，做32千克豆腐需同样的例题可以用比例法解决直接用一个综合算式解决要多少千克黄豆？设做32千克豆腐需要x千克黄豆归一法

1.求1千克豆腐需要的黄豆量5÷20=

0.25千克这种方法简洁明了，但需要学生对比例关系有深入

2.求32千克豆腐需要的黄豆量

0.25×32=8千理解解得x=5×32÷20=8千克克交互讨论实际归一案例小组讨论活动设计组织学生进行小组讨论，探索生活中的归一问题

1.每组3-4人，讨论生活中遇到的需要运用归一思想的实际问题

2.选择一个实际案例，分析其中的一是什么，以及如何应用归一思想解决

3.小组代表向全班分享讨论结果

4.教师引导全班讨论各种案例的共同点和不同点实际案例示例学生可能讨论的生活案例购物比价500克装的饼干售价15元，800克装售价22元，哪种更划算？分工合作4人3天完成一项作业，如果只有3人，需要多少天？烹饪调整一个6人份的菜谱需要300克肉，做8人份需要多少肉？费用计算上月用电300度，电费180元，这个月用电350度，预计电费是多少？归一问题变式训练1基础变式互换未知量将总量、份数、单位量三者中的不同元素设为未知量•已知总量和份数，求单位量2提高变式复合归一•已知单位量和份数，求总量•已知总量和单位量，求份数涉及多个单位量的归一问题例题3本书15元，每本书多少元？5本这样的书多少元？15元能买几本•两步归一先求出第一个单位量，再求第二个单位量这样的书？•多重单位如每人每天、每千克每小时等例题4人3天完成一项工作，6人几天完成？每人每天完成多少工作量？3综合变式比值关系涉及比值和比例关系的归一问题•正比关系两个量成正比，一个量增大，另一个也增大•反比关系两个量成反比，一个量增大，另一个减小4应用变式实际情境例题生产一批零件，5台机器8小时完成如果使用8台机器，需要多少将归一问题放入丰富的实际情境中小时？•情境分析需要从复杂情境中提取有效信息•数据解读需要理解图表、数据等多种形式的信息与倍数、比例问题的联系归一是倍数、比例问题的基础归一思想是理解倍数关系和比例关系的基础•倍数关系以一为基准，计算几倍关系•比例关系两组数据之间的对应关系，可通过归一化简•百分数以100为基准的特殊比例关系掌握归一思想，有助于学生更好地理解这些相关概念融会贯通提升解题能力通过建立归

一、倍数、比例三者之间的联系，学生能够•灵活选择解题策略，根据问题特点选用最合适的方法•深化对数量关系的理解，形成系统的数学知识网络•提高解决复杂问题的能力，应对多种变式和实际情境•发展数学思维的广度和深度，培养数学素养典型练习1分析问题这是一个典型的归一问题，需要先求出铅笔的总数，再学校买来一批铅笔，平均每个学生发5支，可以发给求能发给多少学生360名学生如果平均每个学生发4支，可以发给多少关键是理解一的含义变化从每人5支变为每人4名学生？支第一步答案求铅笔总数如果平均每个学生发4支铅笔，可以发给450名学生这里我们用每人支数（5支）乘以人数（360人），得到铅笔总数（1800支）检验第二步验证我们的答案求能发给多少名学生计算450人每人4支的总数，等于1800支，与铅笔总数用铅笔总数（1800支）除以新的每人支数（4支），得相符，答案正确到能发给的学生人数（450人）典型练习2问题解题过程工厂加工一批零件，8台机器连续工作6小时可以完成如果只用4台机器，需要多少小时才能完成同样的工作？第一步求出工作总量（用工作份数表示）8台机器工作6小时=8×6=48个机器小时这表示完成这批零件的工作总量相当于1台机器工作48小时分析与图示第二步求4台机器需要的工作时间4台机器工作x小时=48个机器小时x=48÷4=12小时这是一个工作效率的归一问题，关键是理解一的含义1台机器1小时的工作量第三步检验结果4台机器工作12小时=4×12=48个机器小时与工作总量相符，答案正确我们可以通过绘制图示来辅助思考答案如果只用4台机器，需要12小时才能完成同样的工作提升归一问题的创新解法单位时间工作量法函数思想多维归一思想针对工作效率类问题，可以用单位时间工作量将归一问题中的变量关系看作函数关系，分析在复杂问题中，可能需要在多个维度上应用归思想解决变量间的依存关系一思想例题甲独自做需6天完成，乙独自做需8天完例题3千克苹果15元，5千克苹果多少元？例题4人3天完成一项工作，每人每天工作8成，两人合作需几天？小时如果6人每天工作6小时，几天能完成？函数思想解法解法•设fx表示x千克苹果的价格•甲一天完成1/6工作量•总工作量4人×3天×8小时=96人时•已知f3=15•乙一天完成1/8工作量•新情况下每天工作量6人×6小时=36人•根据价格与重量成正比，fx=kx，其中k时/天•两人一天完成1/6+1/8=4+3/24=是单价7/24工作量•完成工作需要天数96÷36=

2.

6...天，约•代入f3=15，得k=52天7小时•完成全部工作需要24/7=33/7天•所以f5=5×5=25元这种方法将复杂的多维问题转化为单一的工作这种方法直接从单位时间的工作量入手，避免这种方法引入了函数概念，为高年级学习做铺量度量，简化了分析过程了复杂的比例关系分析垫总结归纳归一问题归一核心1先求出单位量，再求解整体问题关键要素2总量、份数、单位量三者的关系思维方法3分析问题、找出一的含义、建立数学模型、合理运用乘除法解题策略4三步法（求单位量、求目标量、检验答案）、图示辅助、类比思考、逆向验证应用领域5单价问题、工作效率问题、比例换算问题、平均分配问题、浓度问题、速度问题等多种实际情境归一问题是小学数学中的重要思想方法，它不仅是解决特定类型问题的工具，更是培养学生逻辑思维和模型思想的有效途径通过归一问题的学习，学生能够建立起数量关系的基本认识，为后续学习比例、函数等概念奠定基础课堂小结与思考归一问题的重要价值通过本课的学习，我们认识到归一问题不仅是一种解题方法，更是一种重要的数学思想•归一思想是处理数量关系的基本方法，贯穿于小学至高中数学•掌握归一方法，能够帮助我们解决生活中的实际问题•归一思想是理解比例、函数等高级概念的基础•培养归一思维，有助于提升逻辑分析和推理能力在今后的学习中，我们应当注意识别各种问题中的归一思想，灵活应用这一方法解决问题拓展思考课后可以思考以下问题，拓展归一思想的应用。