找次品课教学课件

找次品优质课什么是找次品在我们的日常生活中，次品无处不在•超市里可能有一个重量不足的鸡蛋•工厂生产线上可能混入一个有缺陷的零件•一批硬币中可能混入一枚假币（重量不同）这些情况都需要我们找出那个与众不同的次品但如果物品数量很多，逐一检查将非常耗时有没有更高效的方法呢？本课学习目标123分析能力策略掌握思维培养学会分析找次品类数学问题的特点和条件，掌握找次品的最优策略，学会使用天平进行培养逻辑推理能力和优化思维，提高解决问理解问题本质最少次数的称量题的效率场景引入鸡蛋的故事小明在超市买了12个鸡蛋，回家后听妈妈说最近超市混入了一些重量不足的鸡蛋小明想要找出这个可能存在的次品鸡蛋已知条件•12个鸡蛋中可能有1个较轻的次品•家里有一个天平可以使用•要求最多用3次天平找出次品鸡蛋（如果存在）思考你能帮助小明设计一个方案吗？尝试想一想，如何安排这三次称量？找次品问题的基本特征唯一性可辨别性通常只有一件次品，其余物品完全相同次品的重量与其他物品不同（可能较轻或较重）工具限制优化目标只能使用天平进行称量比较，不能测量具体重量寻找最少的称量次数找出次品天平称量基础复习天平的三种状态左盘下沉表示左盘物品总重量大于右盘右盘下沉表示右盘物品总重量大于左盘平衡表示左右两盘物品总重量相等每次称量都能给我们提供一个三分支的信息左重、右重或平衡这意味着每次称量可以将物品分为三类在找次品问题中，我们需要充分利用天平的这三种状态来获取尽可能多的信息，从而减少称量次数问题起步个物品如何找次品3基本情况分析假设有3个小球（编号为

1、

2、3），其中1个较轻，如何用天平找出？方法一逐一比较

1.第一次称量1号和2号

2.如果平衡，说明3号是次品

3.如果不平衡，较轻的那个是次品这种简单情况下，我们只需要1次称量就能确定次品更一般的思路当物品数量为3时，我们可以直接取2个放在天平上称量•若平衡，则第3个是次品•若不平衡，则较轻的那个是次品案例探究个物品找次品8问题描述1有8个外表完全相同的小球，其中有1个较轻，其余7个重量相同要求用天平找出这个较轻的小球，最少需要几次称量？具体怎么称？思考方向•如果逐一比较，需要称量多少次？2•能否通过分组减少称量次数？•每次称量后，如何缩小可能的范围？小组活动请分成4-6人小组，讨论解决这个问题的策略尝试找出最少的称量次数和具体的称量方案分组策略与等分思想分组称量的基本思路当面对多个物品时，逐一比较效率低下更好的策略是采用分组称量

1.将物品分成数量相等的几组

2.每次称量比较不同组的总重量

3.根据称量结果，缩小次品可能在的范围关键思想等分法能最大化每次称量获得的信息量分组后的情况分析以8个球为例，可以先分成3组3个、3个和2个第一次称量比较两组各3个球如果平衡次品在剩余的2个球中如果不平衡次品在较轻的那组3个球中无论哪种情况，都将可能范围从8个缩小到了2-3个，大大提高了效率推理方法第一次称量后的分类初始状态18个小球，编号为1-8，其中1个较轻2第一次称量左盘

1、

2、3号球右盘

4、

5、6号球情况一左盘较轻3（

7、8号球不放在天平上）次品在

1、

2、3号球中第二次称量比较1号和2号4情况二右盘较轻次品在

4、

5、6号球中情况三两盘平衡5第二次称量比较4号和5号次品在

7、8号球中第二次称量比较7号和8号通过这种分组称量和推理方法，我们最多只需要2次称量就能从8个球中找出次品，比逐一比较的方法（最多需要7次）效率高得多优化思路分成几组最合适为什么要三等分？在找次品问题中，三等分是一种最优策略，原因如下•天平每次称量有三种可能结果左重、右重、平衡•三等分可以充分利用天平的这三种状态•每次称量后，都能将可能范围缩小到原来的1/3这种策略被称为三分查找法，是找次品问题的核心思想不能整除的情况处理当物品数量不能被3整除时，可以采用以下策略

1.尽量平均分配，差异不超过1个

2.利用已知正品作为平衡砝码

3.灵活调整分组，确保每次称量都能最大限度缩小范围递推规律分析123个物品个物品个物品3927只需1次称量比较其中2需要2次称量先将9个分需要3次称量先将27个分个，若平衡则第3个是次品，成3组各3个，比较其中2组；成3组各9个，比较其中2组；否则较轻的是次品第二次在确定的3个中找出第二次在确定的9个中再分次品3组；第三次在最后3个中找出次品通过上述例子，我们可以归纳出一个重要规律若有3^n个物品，则最多需要n次称量就能找出次品这是因为每次称量后，我们都能将可能范围缩小到原来的1/3这种分组递推法体现了数学中的指数递推关系数学广角中的分步推理问题树可视化我们可以用问题树决策树来可视化找次品的推理过程•树的根节点代表初始状态•每个分支代表一次称量的三种可能结果•树的每一层代表一次称量•叶子节点代表最终找到次品的结果这种树状结构直观地展示了推理的全过程，有助于我们理解找次品的策略以8个小球找次品为例，决策树如下•第一层分为三种情况（左轻、右轻、平衡）•第二层在确定的2-3个球中再次称量•叶子节点确定次品是哪一个球通过决策树，我们可以清晰地看到每次称量后的可能情况，以及如何根据不同情况进行下一步操作解决策略对数思想三分法原理天平的三种状态（左重、右重、平衡）对应三种可能性，可将范围缩小到1/3信息量最大化每次称量都要尽可能获取最多信息，将待检测物品分为三组对数关系n个物品找次品的最少称量次数m与log₃n有关m≥log₃n对数思想是找次品问题的数学本质当我们有n个物品时，如果每次称量能将范围缩小到原来的1/3，那么经过k次称量后，我们可以处理的最大物品数量为3^k反过来说，对于n个物品，我们至少需要log₃n（向上取整）次称量这种思想在计算机科学中的时间复杂度分析中也有广泛应用，体现了数学与信息科学的紧密联系经典例题详解1初始状态8个小球编号1-8，其中1个较轻，其余重量相同第一次称量左盘

1、

2、3号球右盘

4、

5、6号球观察若左盘较轻，次品在1-3中；若右盘较轻，次品在4-6中；若平衡，次品在7-8中第二次称量情况一（左轻）比较1和2情况二（右轻）比较4和5情况三（平衡）比较7和8确定结果根据第二次称量结果，直接确定哪个球是次品最多只需2次称量这个例子充分展示了三等分策略的优势通过合理分组，每次称量都能最大限度地缩小次品的可能范围，从而用最少的称量次数找出次品经典例题详解2个球找次品完整解析27第一次称量将27个球分成三组，每组9个比较第一组和第二组•若平衡次品在第三组9个球中•若第一组较轻次品在第一组9个球中•若第二组较轻次品在第二组9个球中第二次称量将确定的那组9个球再分成三组，每组3个比较其中两组•若平衡次品在第三小组3个球中•若某组较轻次品在该组3个球中第三次称量将确定的那组3个球中的2个放在天平上比较•若平衡次品是第三个球•若某个球较轻该球即为次品通过这三次称量，我们一定能从27个球中找出唯一的次品这个例子完美展示了三分法在大量物品中找次品的高效性非整除数量情况讨论10个物品的处理方法利用已知正品作为参照当物品数量为10个时，无法整除为3组，另一种策略是找出已知的正品作为参照可以采用以下策略

1.分为

3、

3、4三组

1.第一次称3vs3，若平衡则这6个都是正品

2.先称量3vs3，若平衡则次品在剩余4个中

2.利用已知的正品作为参照，可以一次比较多个可疑物品

3.若不平衡，次品在较轻的那组3个中一般性原则处理非3的幂次数量的物品时•尽量均匀分组，差异最小•优先确定正品，作为后续称量的参照•灵活调整策略，最大化信息获取在实际应用中，我们常常会遇到非理想数量的物品掌握这些灵活处理原则，可以帮助我们应对各种复杂情况梳理策略总结1步骤一分成三组将n个物品尽可能均匀地分成三组，差异不超过1个例如9个物品分为

3、

3、3；10个物品分为

3、

3、4；27个物品分为

9、

9、92步骤二天平称量推理将其中两组放在天平两端称量，根据结果判断•若平衡次品在未称量的那组中•若不平衡次品在较轻的那组中3步骤三不断缩小范围对确定含有次品的那组物品，重复步骤一和步骤二，直到找出次品每次称量都将范围缩小到原来的1/3左右找次品问题的核心在于三分法策略，即每次尽可能将范围缩小到原来的1/3掌握这个策略，我们可以用最少的称量次数解决各种找次品问题拓展应用有重次品1找重次品与找轻次品在前面的讨论中，我们假设次品是较轻的如果次品是较重的，策略会有什么不同？结论基本策略不变！•分组方法相同仍然采用三等分•推理逻辑相反关注较重的一方•称量次数不变仍然与log₃n有关例如对于9个球，其中1个较重，仍然可以用2次称量找出轻重未知的情况如果不知道次品是较轻还是较重，问题会变得更复杂•需要额外的称量来确定次品的性质（轻或重）•需要更精细的分组策略•通常需要比标准情况多1次称量这种变式可以培养学生的灵活思维能力，是数学广角单元的重要拓展拓展应用多件次品2两件次品情形策略调整如果有两件次品（同样较轻），问题复杂度处理多件次品时的一般策略会显著增加•先确定次品所在的组•分组策略需要调整•逐步缩小范围•每次称量获得的信息减少•利用已知正品作为参照•需要更多的称量次数数学分析k件次品的情况下•每次称量可区分的情况减少•信息熵增加•称量次数与物品数量和次品数量都有关多件次品的找次品问题涉及到更复杂的组合数学和信息论知识，是高级数学思维的良好训练在实际应用中，这种情况也很常见，例如在质量控制中需要找出多个不合格产品实际问题模拟工厂质检场景某工厂生产了一批零件，其中混入了一个重量不足的次品质检员需要用天平找出这个次品，以确保产品质量问题设置•20个外观相同的零件，其中1个较轻•只有一个天平可用，不能测量具体重量•要求用最少的称量次数找出次品请同学们运用所学知识，设计一个最优方案，帮助质检员解决这个问题思路提示

1.20不是3的幂次方，需要特殊处理

2.可以分成

6、

7、7三组

3.第一次称量比较6vs

74.根据结果缩小范围，继续使用三分法这种实际问题模拟有助于学生理解找次品策略在现实生活中的应用价值，培养解决实际问题的能力小组动手实验实验材料•每组一个天平1•8-12枚外观相同的硬币（其中一枚重量不同）•记录纸和笔实验步骤

1.组长从教师处领取实验材料

2.小组讨论并设计称量策略

23.按照设计的方案进行操作

4.记录每次称量的结果和推理过程

5.统计总共使用的称量次数实验要求•小组合作，共同完成3•清晰记录每一步的操作和推理•比较不同策略的效率•尝试设计最优方案通过实际操作，学生可以更直观地理解找次品的策略和原理，培养动手能力和团队协作精神实验结束后，各小组可以分享自己的方案和心得，促进交流和学习培养能力归纳与推断能力培养目标通过找次品问题的学习，我们可以培养以下关键能力逻辑推理能力根据每次称量结果进行合理推断归纳总结能力发现规律并形成通用策略优化思维寻找最少称量次数的解决方案系统性思考将问题拆解为可管理的步骤归纳通用流程这些能力不仅适用于数学问题，也是解决各种实际问题的基础请同学们尝试总结一个通用的找次品流程

1.分析问题条件物品数量、次品特征

2.设计最优分组策略通常是三等分

3.执行第一次称量并记录结果

4.根据结果缩小范围

5.重复分组-称量-推理过程

6.直到确定次品这种归纳能力有助于形成结构化思维，提高解决问题的效率常见易错点解析忽略剩余分组不均错误忽略未放在天平上的物品错误将物品分成数量差异过大的几组正确未称量的物品也提供了重要信息正确尽量均匀分组，最大化信息获取推理不当错误未正确利用天平的三种状态正确充分利用平衡/不平衡的信息策略不优不连贯思考错误使用二分法而非三分法正确利用天平的三种状态采用三分法错误每次称量独立思考，不连接前面结果正确基于前面称量结果不断缩小范围通过分析这些常见错误，我们可以更深入地理解找次品问题的本质，避免思考陷阱，提高解决问题的准确性和效率数学建模启蒙连接决策树与信息理论找次品问题可以引导学生了解更高级的数学概念决策树每次称量相当于决策树的一个分支点信息熵每次称量获取的信息量最优化寻找最少称量次数的策略这些概念是数学建模和信息科学的基础，能够激发学生对高级数学的兴趣实际应用意义找次品问题的思想在现实中有广泛应用综合提升题目训练1问题描述1有20个外表完全相同的小球，其中有1个较轻，其余19个重量相同请问仅用天平，最多用3次称量能否找出这个较轻的小球？如果能，请说明具体方案分析思路根据前面学习的对数关系2•3次称量最多可以处理3³=27个物品•2027，理论上3次称量应该足够•关键是设计合适的分组策略解决方案

1.第一次将20个球分成

6、

7、7三组，比较7vs

732.若平衡次品在6个球中，再将6个球分成

2、

2、2三组继续

3.若不平衡次品在较轻的7个球中，再分成

2、

2、3三组继续

4.第三次称量可以在最后2-3个球中确定次品这个综合题目要求学生灵活运用三分法策略，处理非3的幂次数量的物品，是对前面所学知识的综合应用和检验综合提升题目训练2问题描述有15个外表完全相同的小球，其中有1个次品（可能较轻也可能较重），其余14个重量相同请问最少需要几次称量才能确定次品及其性质（较轻还是较重）？难点分析•次品性质未知（轻重不确定）•每次称量需要同时推断位置和性质•需要特殊的分组策略解题思路

1.第一次称量选取5vs5，余5个不称拓展思考机器学习与找次品监督学习1信息增益2每次称量都在最大化获取信息决策树算法3找次品的过程类似决策树的构建大数据筛选4高效从大量数据中找出异常值人工智能质检5工业

4.0中的智能检测系统找次品问题的思想与现代机器学习和人工智能有着深刻的联系在机器学习中，决策树算法正是基于类似的信息增益原理，通过最优划分特征来分类数据每次称量就像是选择一个最优的特征进行分类在大数据时代，高效从海量数据中找出异常值（相当于次品）是一个核心任务通过学习找次品问题，学生可以初步接触到数据科学和人工智能的基本思想，为未来学习奠定基础知识回顾与巩固决策树推理利用问题树可视化推理过程，每对数关系最优化思想次称量是一个决策点n个物品找次品的最少称量次数寻找最少称量次数的解决方案，与log₃n相关体现数学最优化思想三等分策略实际应用将物品尽可能均匀分成三组，充质量控制、故障诊断、算法设计分利用天平的三种状态等领域都有应用本课我们学习了找次品问题的分析方法和解决策略，掌握了三等分法的核心思想，理解了称量次数与物品数量的对数关系，并探讨了各种拓展应用这些知识不仅有助于解决数学问题，也培养了逻辑推理和优化思维能力，为今后学习更复杂的数学概念奠定了基础本课小结与作业核心知识点总结

1.找次品问题的基本特征与分析方法

2.三等分策略与最优称量次数

3.对数关系n个物品需要log₃n次称量

4.各种特殊情况的处理方法

5.实际应用与拓展思考学习建议课后作业

1.动手实践使用硬币或其他物品模拟找次品过程，加深理解•基础题设计方案，用最少的称量次数从12个球中找出较轻的次品

2.图示法尝试用决策树图示法表示解题过程，提高思维清晰度•提高题若有13个球，其中1个次品（不知道是较轻还是较重），最

3.拓展阅读了解信息论和决策树在计算机科学中的应用少需要几次称量才能确定？•实践活动在日常生活中寻找找次品问题的例子，并尝试应用所学

4.生活应用留心生活中的相关问题，如检测伪钞、查找故障等策略解决数学思维不仅仅存在于课本中，更存在于我们的日常生活中善于发现和应用，数学将成为我们解决问题的强大工具！。