正正比例 教学 课件

正比例知识教学课件学习目标123理解正比例的意义学会判断两量是否成正比例能解决实际应用问题学习正比例的基本概念，明确两个量之间成通过比值分析、表格数据和图像特征，准确学会运用正比例关系解决日常生活和学习中正比例的数学条件和特征，掌握正比例的本判断两个变量之间是否构成正比例关系的实际问题，培养数学思维和应用能力质含义正比例初体验思考以下问题•如果1个人买，总价是多少？•如果2个人买，总价是多少？•如果10个人买，总价是多少？•如果人数翻倍，总价会如何变化？你是否注意到一个规律当购买人数增加到原来的2倍，3倍...时，需要支付的总价也相应地增加到原来的2倍，3倍...想一想这个情景班级要统一购买一套数学练习册，每本练习册的价格是15元什么是正比例？正比例的定义在实际生活中，常常有两种相关联的量，当其中一种量变为原来的若干倍时，另一种量也变为原来的相同倍数，这种关系叫做正比例关系用数学语言表达两个变量x和y之间的关系可以表示为其中k是一个常数，我们称之为比例常数在正比例关系中，两个变量之间的比值始终保持不变正比例的关键特征成倍增减比值恒定常见量一种量变为原来的几倍（或几分之一），另两个量之间的比值保持不变•速度恒定时，时间与路程一种量也变为原来的几倍（或几分之一）•单价固定时，数量与总价例如速度不变时，时间增加到3倍，路程•工作效率相同时，工人数与完成工作量也增加到3倍•比例尺固定时，图上距离与实际距离这个不变的比值k就是比例常数判断是否为正比例判断方法示例1购书人数x总价y比值y/x要判断两个变量是否成正比例关系，我们需要检查以下条件115元

151.检查两个变量的比值是否恒定（即y/x是否为常数）345元

152.检查一个变量变为原来的几倍时，另一个变量是否也变为原来的同样倍数575元

153.检查这些数据是否可以用y=kx的形式表示结论比值恒为15，是正比例关系示例2工作天数x收入y比值y/x1100元1002210元1053330元110结论正比例与反比例对比正比例关系•一同增减一个量增加，另一个量也增加•数学表达式y=kx•比值恒定y/x=k•例如速度不变时，时间和路程成正比例反比例关系•一增一减一个量增加，另一个量减少•数学表达式y=k/x•乘积恒定y•x=k•例如路程不变时，速度和时间成反比例实例分析正比例分析与解答设瓶数为x，总价为y元当x=1时，y=3元根据正比例关系，我们有其中k=3（单价）所以，当x=5时验证比值y/x=15/5=3，与k值相同问题案例引入非正比例关系许多人认为读书时间越长，视力就越差这种关系是否是正比例关系呢？阅读时间小时1234视力变化微小轻微明显很大分析•阅读时间增加到2倍，视力下降却不是原来的2倍•阅读时间与视力下降之间的比值不恒定•无法用y=kx表示这种关系结论阅读时间与视力下降不成正比例关系正比例的表示方法123关系式表示文字表述表格表示y与x成正比例或y正比于xx1234例如购买同一种商品，总价与数量成正比其中k是比例常数，表示单位x对应的y值例y5101520例如总价y=15×人数xy/x5555注意表格中y/x的值始终保持不变图像认识正比例正比例图像的特点•是一条直线•必定通过原点0,0•直线的斜率等于比例常数k•k值越大，直线越陡峭•k为正值时，直线向右上方倾斜•k为负值时，直线向右下方倾斜正比例关系y=kx在坐标系中的图像是一条通过原点的直线图像分析举例时长用电量关系图像分析-在相同功率的情况下，电器的使用时间与用电量成正比例关系数据表格图像特点分析•图像是一条直线使用时间1234•直线通过原点小时•斜率为

0.5（每增加1小时，用电量增加

0.5度）用电量

0.

511.52度比例常数k=

0.5，表示每小时用电

0.5度用电量=

0.5×使用时间比例常数的含义\k\比例常数的物理意义k在正比例关系y=kx中，比例常数k表示每单位x对应的y值•k=y/x•k表示单位变化率•k表示直线斜率实例解释每本书5元，则k=5，表示每增加1本书，总价增加5元速度为60千米/小时，则k=60，表示每增加1小时，行驶距离增加60千米情境比例常数k意义购物单价每件商品的价格行驶速度每小时行驶的距离工作效率每小时完成的工作量缩放比例尺判别练习与互动判断以下关系是否成正比例1人数与座椅数2匀速运动中的时间与路程3书本数量与颜色数量分析学校为每位学生准备一张座椅分析在速度保持不变的情况下，如果分析书本数量增加并不一定导致颜色如果学生人数增加到2倍，需要的座椅数时间增加到3倍，路程也会增加到3倍数量的同比例增加即使书本数量增加也增加到2倍到2倍，书本的颜色种类可能保持不变或结论时间与路程成正比例关系比例以不同比例变化结论人数与座椅数成正比例关系比常数k=v（速度），表示每增加1个时间例常数k=1，表示每增加1名学生，需要单位，路程增加v个距离单位结论书本数量与颜色数量不成正比例增加1张座椅关系巩固练习选一选1判断下列各组数据中的两个变量是否成正比例关系123数据组数据组数据组A BCx2468x1234x5101520y6121824y3579y2468分析计算y/x的值分析计算y/x的值分析计算y/x的值6÷2=3，12÷4=3，18÷6=3，24÷8=33÷1=3，5÷2=

2.5，7÷3≈

2.33，2÷5=

0.4，4÷10=

0.4，6÷15=

0.4，9÷4=

2.258÷20=

0.4所有的比值都等于3，因此这组数据成正比值不相等，因此这组数据不成正比例所有的比值都等于

0.4，因此这组数据成比例关系关系正比例关系巩固练习填空题2填写下列正比例关系中的未知数解题思路与答案

1.已知y与x成正比例，当x=3时，y=12，求当x=7时，y=

2.已知y与x成正比例，当x=5时，y=25，求当x=8时，y=

1.求k k=12÷3=4；所以y=4×7=

283.已知y与x成正比例，当x=2时，y=6，求当y=15时，x=

2.求k k=25÷5=5；所以y=5×8=

404.已知y与x成正比例，当x=4时，y=10，求比例常数k=

3.求k k=6÷2=3；代入y=kx得15=3x，所以x=15÷3=

55.已知y与x成正比例，比例常数k=

2.5，求当x=6时，y=

4.k=y÷x=10÷4=

2.

55.y=k×x=

2.5×6=15解题关键•先确定比例常数k•利用y=kx关系式求解正比例生活应用购物应用配餐应用交通应用在超市购物时，同一种商品的总价与购买数量成学校食堂配餐时，食材用量与就餐人数成正比匀速行驶时，行驶距离与时间成正比例正比例例例如高铁以300km/h的速度行驶，1小时行驶例如一袋大米售价30元，购买3袋需要90元，例如100人需要25kg米，那么400人需要300km，2小时行驶600km购买5袋需要150元100kg米应用估算不同时间下的行驶距离或到达时间应用快速计算不同数量商品的总价应用根据人数变化调整食材采购量巧用正比例解决问题示例批量采购费用某学校购买钢笔，已知30支钢笔需要210元现在需要购买50支同样的钢笔，应该准备多少钱？解题过程设购买x支钢笔需要y元，则总价与数量成正比例已知x=30，y=210根据正比例关系答购买50支钢笔需要准备350元乘法法则加速计算利用正比例关系的乘法法则，我们可以快速解决许多实际问题如果x变为x，则y变为y错误易混辨析1易误解情况举例说明学生常常将两个变量的和或差与另一个变量之间的关系误认为正比例关系问题一个长方形，长度是宽度的2倍当宽度增加到2倍时，长度与宽度之和是否也增加到2倍？原始状态宽=a，长=2a，和=3a宽度变为2倍宽=2a，长=4a，和=6a比较6a/3a=2，看似成正比例错误分析正确认识这是一种特殊情况！因为原始关系是线性的（长=2×宽）两个变量的和与其中一个变量之间的关系，一般情况下不成正比例关系反例如果长=宽+5，则只有在特殊情况下（如线性关系y=kx），才可能成正比例原始状态宽=a，长=a+5，和=2a+5宽度变为2倍宽=2a，长=2a+5，和=4a+5比较4a+5/2a+5≠2，不成正比例错误易混辨析2案例剖析x1234正比例y=3x36912累加关系y=x+23456注意观察•正比例关系中，x增加1倍，y也增加1倍；x增加2倍，y也增加2倍•累加关系中，x每增加1，y也只增加1；不是成倍增加•正比例比值y/x恒定=3•累加关系比值y/x不恒定3,2,

1.67,

1.5实际问题综合训练多量关系题示例某工厂8名工人，工作效率相同，生产一批零件需要6天现在需要在3天内完成同样的一批零件，应该安排多少名工人？分析量与量之间的关系在工作效率相同、工作总量不变的情况下，工人数量与完成工作所需时间成反比例关系但是，工人数量与工作效率（单位时间内的工作量）成正比例关系确定正比例关系设工人数量为x，完成的工作量为y，则y与x成正比例关系8名工人6天完成的工作量=8×6=48（人•天）这也是完成该批零件所需的总工作量根据新条件求解设需要安排x名工人在3天内完成工作根据工作量相等x×3=48解得x=48÷3=16（人）验证结果合理性8名工人需要6天，时间减少到一半（3天），工人数量应增加到2倍（16人）思维拓展比例尺与正比例比例尺与正比例的关系设地图上的距离为x厘米，实际距离为y厘米，则其中k为比例尺的数值例如比例尺1:100000时，k=100000应用举例地图上两地距离为5厘米，比例尺为1:50000，求实际距离解实际距离=5×50000=250000厘米=

2.5公里这是正比例关系的直接应用，在地理、测绘等学科中有重要作用比例尺的概念比例尺是地图上距离与实际距离之间的比值关系例如1:100000表示地图上1厘米代表实际距离100000厘米（即1公里）进阶正比例函数概念函数视角下的正比例从初中数学的角度看，正比例关系可以表示为一种特殊的函数，称为正比例函数正比例函数的一般形式其中k为比例常数，也是函数的系数正比例函数的特点•定义域通常为全体实数•值域通常为全体实数•图像通过原点的直线•单调性k0时单调递增，k0时单调递减正比例函数是初中数学中最基础的函数之一，它是线性函数y=kx+b的特例（当b=0时）理解正比例函数的概念，将为你在初中阶段学习更复杂的函数打下基础图像观察与变化比例常数变化对直线的影响典型值对应的图像k正比例函数y=kx的图像是一条过原点的直线，k值的不同会导致直线的倾斜程度不同当值变化时k函数图像特点y=x k=1角平分线，与x轴成45°角•k值越大，直线越陡峭（斜率越大）•k值越小（但大于0），直线越平缓y=2x k=2比y=x更陡峭•k=0时，图像是x轴（不是正比例函数）y=

0.5x k=

0.5比y=x更平缓•k0时，直线向右下方倾斜y=-x k=-1与y=x关于x轴对称学习成果自检随堂小测试12判断题填空题

1.两个变量的比值是常数，则这两个变量成y与x成正比例，当x=4时，y=12，则比例常数正比例关系√k=

32.成正比例关系的两个变量，一个变量增正比例函数y=kx的图像一定通过点0,0大，另一个变量也一定增大×，当k0时不成立3计算题y与x成正比例，当x=2时，y=8求比例常数k的值4当x=5时，y的值20当y=16时，x的值4正比例与数学思想数量关系思想正比例帮助我们理解变量之间的依存关系，培养观察和分析数量变化规律的能力数学建模思想通过正比例关系，我们学会用数学模型（y=kx）来描述现实问题，这是数学应用的基础函数思想正比例是最简单的函数关系，帮助我们建立对应观念和变量思想，为后续学习函数奠定基础数形结合思想数学思想的培养通过图像直观理解正比例的性质，培养数形结合的思维方式学习正比例不仅是为了掌握一种数学关系，更是为了培养以下数学思想小组协作活动实际数据收集与分析活动选择研究主题每组选择一个可能存在正比例关系的实际问题，如•弹簧拉伸长度与挂重的关系•不同数量的相同商品的总价•行走步数与距离的关系•水龙头流水时间与水量的关系设计数据收集表格设计合理的表格，包括•自变量和因变量•多组数据点（至少5组）•比值计算栏确保数据收集方法科学、准确数据分析与判断对收集的数据进行分析•计算各组数据的比值•判断比值是否接近恒定•讨论是否成正比例关系•若成正比例，确定比例常数k成果展示与交流以小组为单位•展示数据收集过程和结果•说明判断理由•分享研究中的发现和困惑•回答其他同学的提问课外延伸科学中的正比例温度与物质膨胀单摆周期与长度欧姆定律在一定温度范围内，物体的长度增加量与温度升高单摆的周期与摆长的平方根成正比例关系在恒定温度下，导体中的电流强度与两端电压成正量成正比例关系比例关系这一关系可表示为T=2π√L/g₀这一关系可表示为ΔL=αLΔT这一关系可表示为I=U/R虽然T与L不成正比例，但T与√L成正比例，比例常₀其中α为线膨胀系数，L为初始长度，ΔT为温度变数为2π/√g其中R为电阻，当R不变时，I与U成正比例，比例常化量数为1/R课外小调查建议总结与知识点梳理定义特征两个变量x和y，若y=kx（k≠0为常数），则y与x成•比值恒定y/x=k正比例关系•成倍变化x变为n倍，y也变为n倍特征一个量变为原来的几倍，另一个量也变为原来•函数关系y=kx的几倍解题判别解题步骤判断两个变量是否成正比例关系•判断是否成正比例•计算不同数据对的比值y/x•确定比例常数k•检查比值是否相等•利用y=kx求解未知量•验证成倍变化规律图像应用正比例关系的图像是一条过原点的直线生活应用购物计算、工程估算、时间规划等k值决定直线斜率k0向右上倾斜，k0向右下倾科学应用物理定律（胡克定律、欧姆定律等）、比斜例尺等k值越大，直线越陡峭课堂反思与展望疑惑与提问记录你在学习过程中遇到的困难或疑惑•哪些知识点还不太理解？•在解题过程中遇到了什么障碍？•对正比例的应用有什么新的想法？知识延伸正比例是数学中最基础的函数关系之一，它将为你学习更复杂的数学概念（如反比例、一次函数、二次函数等）奠定基础学习收获思考并记录你在本节课中的收获•你对正比例的理解是什么？•你能举出生活中的几个正比例例子吗？•你掌握了哪些判断正比例的方法？•正比例知识对你解决实际问题有何帮助？。