正比例函数1教学课件

正比例函数1教学目标概念理解解析式掌握理解正比例函数的概念和基本特征，掌握变量之间的比例关系学会判定函数是否为正比例函数，并能根据已知条件求解其解析式图象绘制实际应用熟练绘制正比例函数图象，理解图象的特点和变化规律能够运用正比例函数的知识解决生活中的实际问题，培养数学建模能力数学在生活中的应用生活中的比例关系数学并非脱离现实的抽象概念，它就存在于我们的日常生活之中正比例关系在我们周围随处可见，了解这些关系有助于我们更好地理解世界，解决问题例如，蜡烛在燃烧过程中，其长度减少的厘米数与燃烧的时间成正比例关系这种现象可以用数学中的正比例函数来描述，通过合理利用这种比例关系，我们可以预测蜡烛在特定时间后的长度变化正比例关系的应用不仅限于此，它还广泛存在于物理、化学、经济等多个领域，是解决实际问题的重要工具情境导入蜡烛问题问题描述一根蜡烛在燃烧过程中，其长度减少的厘米数y与燃烧的时间x成正比例关系已知蜡烛燃烧6分钟，长度减少了

3.6厘米分析与建模设y为蜡烛减少的厘米数，x为燃烧的时间（分钟）根据题意，y与x成正比例关系，即存在一个常数k，使得y=kx已知x=6时，y=

3.6，代入方程

3.6=k×6解得k=

3.6÷6=

0.6因此，蜡烛长度减少的厘米数y与燃烧时间x的关系可表示为y=

0.6x这意味着蜡烛每燃烧1分钟，长度减少

0.6厘米通过蜡烛燃烧的实际实验，我们可以收集数据，建立数学模型，从而揭示物理现象背后的数学规律

0.

63.6厘米/分钟厘米蜡烛每分钟减少的长度探究常见正比例关系路程与时间总价与数量温度变化与时间当速度保持恒定时，行驶的路程s与行驶在商品单价固定的情况下，购买的总价y与在理想条件下，物体的温度变化ΔT与冷冻的时间成正比例关系购买的数量成正比例关系或加热的时间成正比例关系t xt其中为恒定的速度例如，匀速行驶的汽其中为单价例如，一个苹果元，买个其中为比例系数，与物体材质、环境等因v p52k车，每小时行驶60公里，则2小时行驶120需要10元，买3个需要15元素有关例如，某物体在冷冻环境中每分钟公里，小时行驶公里降温31802°C什么是正比例函数？正比例函数的定义正比例函数是指两个变量之间满足一个变量与另一个变量的比值为常数的函数关系在数学上，我们用函数表达式y=kx（其中k≠0）来表示正比例函数关键要素解析•函数形式y=kx，必须是这种形式•比例系数k为常数，且k≠0•两变量关系y与x成正比例，即y/x=k（当x≠0时）在正比例函数中，k被称为比例系数或常数项，它表示当自变量x变化一个单位时，因变量y的变化量k的正负决定了函数图象的倾斜方向，k的绝对值大小决定了图象倾斜的程度正比例函数是初中数学中最基本的函数类型之一，它描述了两个变量之间最简单的线性关系，即一个变量的值总是另一个变量的常数倍正比例函数的特点

1.y与x的比值恒等于常数k

2.当x=0时，y必定等于0正比例函数与一次函数的联系一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0一次函数表示的是自变量x与因变量y之间的线性关系，它的图象是一条直线，k决定直线的斜率，b决定直线在y轴上的截距特殊情况b=0当一次函数中的常数项b=0时，一次函数就变为y=kx（k≠0）此时，函数表达式恰好满足正比例函数的形式，因此我们可以说正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一次函数两者的区别与联系共同点•都是基本的初等函数•图象都是直线•都可表示为y=kx+b的形式区别正比例函数的解析式如何确定正比例函数的解析式实例分析正比例函数的一般形式为y=kx（k≠0），要确定一个具体的正比例函数，只需要求出比例系数k的值即可例题已知函数y=3x，当x=2时，求对应的y值由于正比例函数中y与x的比值恒等于k，即y/x=k（x≠0），因此只需要知道函数上任意一个点的坐标（x₀,y₀）（其中x₀≠0），就可以求解将x=2代入函数解析式y=3x中，得y=3×2=6出k=y₀/x₀所以当x=2时，y=6求解步骤反向求解

1.根据已知条件，找出一组对应的x值和y值例题已知正比例函数上有一点4,12，求这个函数的解析式

2.将这组值代入公式k=y/x，计算出比例系数k

3.代入正比例函数的一般式y=kx，得到具体的函数解析式解设此正比例函数为y=kx代入已知点4,12，得12=k×4解得k=12÷4=3所以此正比例函数的解析式为y=3x判定正比例函数的方法检查函数表达式形式验证比值是否为常数正比例函数必须是形如y=kx（k≠0）的形式首先观察变量间的关系对于任意x≠0，计算y/x是否为常数如果y/x的值恒定不变，则为正比式，检查是否可以化简为y=kx的形式，其中k为非零常数例函数例如是正比例函数，而不是正比例函数例如对于，无论取何值（不为），，始终为常数y=2x y=2x+1y=3x x0y/x=3x/x=33检查图象特征分析实际意义正比例函数的图象必定是一条过原点的直线如果已知函数图象是直在实际问题中，观察两个变量之间是否存在一个量是另一个量的常数线且通过原点，则该函数是正比例函数倍的关系如果存在这种关系，则它们之间构成正比例函数0,0反之，如果函数图象不过原点，则一定不是正比例函数例如固定单价下，总价是数量的常数倍，所以总价与数量成正比例关系掌握以上判定方法，可以帮助我们快速识别正比例函数，并在实际问题中正确应用正比例函数的知识判断函数实例分析实例一速度与时间的关系实例二质量与体积的关系问题某物体做加速运动，其速度v=2t，其中t为时间（秒），v为速度（米/秒）这个函数是否为正比例函数？问题物体的质量m=

7.8V，其中V为体积（立方米），m为质量（千克）这个函数是否为正比例函数？分析函数表达式为v=2t，形式上符合y=kx的形式，其中k=2≠0分析函数表达式为m=

7.8V，形式上符合y=kx的形式，其中k=

7.8≠0从物理意义上看，速度v是时间t的2倍，满足一个量是另一个量的常数倍的特征从物理意义上看，

7.8是物质的密度，表示每立方米物质的质量质量m是体积V的

7.8倍，满足一个量是另一个量的常数倍的特征检查比值v/t=2t/t=2（当t≠0时），比值为常数检查比值m/V=

7.8V/V=

7.8（当V≠0时），比值为常数结论函数v=2t是正比例函数结论函数m=

7.8V是正比例函数练习判定与写解析式温度与时间水箱注水弹簧伸长某物体在冷藏箱中冷却，温度T与时间t的关系为T=-2t，其中t为分钟，水箱以恒定速率注水，水量V与时间t的关系为V=5t，其中t为分钟，V弹簧受力F与伸长量x的关系为F=kx+b，其中k、b为常数，且b≠0T为摄氏度为升分析F=kx+b形式不符合y=kx分析T=-2t形式符合y=kx，且k=-2≠0分析V=5t形式符合y=kx，且k=5≠0结论不是正比例函数结论是正比例函数，比例系数k=-2结论是正比例函数，比例系数k=5判定流程总结

1.检查函数表达式是否能化简为y=kx形式

2.确认k是否为非零常数

3.必要时可检验y/x是否为常数x≠

04.结合实际意义分析判断正比例函数的图象概念图象的基本特征正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条过原点的直线这条直线的斜率就是比例系数k，它表示函数图象的倾斜程度当k0时，函数图象是一条向右上方倾斜的直线；当k0时，函数图象是一条向右下方倾斜的直线|k|的值越大，直线的倾斜程度越大绘制图象的基本步骤列表计算选取几个x的值（包括正值、负值和零），计算对应的y值，并整理成表格描点根据计算出的坐标点，在坐标系中标出这些点连线将这些点用直线连接起来，得到函数图象正比例函数的图象始终过原点，这是它区别于其他一次函数的最明显特征正比例函数图象特点•过原点0,0•是一条直线•斜率等于比例系数k•不存在平行于坐标轴的情况描点作图基本技巧选择x的取值绘制函数图象时，为了得到较准确的图象，我们需要选取足够多的点通常选择•原点x=0，计算y=0•正值选择几个正的x值，如x=

1、

2、3等•负值选择几个负的x值，如x=-

1、-

2、-3等•特殊值根据具体函数选择便于计算的特殊值坐标系设置技巧绘制函数图象时，坐标系的设置也很重要•根据函数值的范围选择合适的比例尺•确保原点0,0位于坐标系中的适当位置•标注清晰的坐标轴和刻度示例图象1y=2x函数分析函数y=2x是一个正比例函数，比例系数k=20，因此其图象是一条过原点、向右上方倾斜的直线计算步骤选取x的值-2,-1,0,1,2计算对应的y值•当x=-2时，y=2×-2=-4•当x=-1时，y=2×-1=-2•当x=0时，y=2×0=0•当x=1时，y=2×1=2•当x=2时，y=2×2=4整理成表格作图过程x-2-

10121.在坐标系中标出上述计算得到的点-2,-4,-1,-2,0,0,1,2,2,

42.用直尺将这些点连接起来，得到一条直线y-4-

20243.检查直线是否过原点0,

04.标注函数表达式y=2x从图象可以看出，这是一条过原点、向右上方倾斜的直线，斜率为2当x每增加1个单位时，y增加2个单位，这与比例系数k=2相符示例2y=-

1.5x图象函数分析函数y=-

1.5x是一个正比例函数，比例系数k=-

1.50，因此其图象是一条过原点、向右下方倾斜的直线计算步骤选取x的值-2,-1,0,1,2计算对应的y值•当x=-2时，y=-

1.5×-2=3•当x=-1时，y=-

1.5×-1=

1.5•当x=0时，y=-

1.5×0=0•当x=1时，y=-

1.5×1=-

1.5•当x=2时，y=-

1.5×2=-3整理成表格x-2-1012y

31.50-

1.5-3其他函数图象示例示例3y=-4x函数y=-4x的比例系数k=-40，其图象是一条过原点、向右下方倾斜的直线计算几个点的坐标•当x=-1时，y=-4×-1=4•当x=0时，y=-4×0=0•当x=1时，y=-4×1=-4根据这些点绘制图象，得到一条过原点、向右下方倾斜的直线，斜率为-4示例4y=1/3x函数y=1/3x的比例系数k=1/30，其图象是一条过原点、向右上方倾斜的直线计算几个点的坐标•当x=-3时，y=1/3×-3=-1•当x=0时，y=1/3×0=0•当x=3时，y=1/3×3=1•当x=6时，y=1/3×6=2不同k值的图象比较通过比较y=2x、y=-

1.5x、y=-4x和y=1/3x的图象，我们可以得出以下结论•所有正比例函数的图象都是过原点的直线•当k0时，图象在第

一、三象限；当k0时，图象在第

二、四象限探究对图象倾斜的影响kk0的情况当比例系数k0时，函数图象是一条向右上方倾斜的直线，位于坐标系的第

一、三象限例如y=2x、y=

0.5x等特点x增大，y增大；x减小，y减小当k=1时，图象是一条过原点、倾斜角度为45°的直线k0的情况当比例系数k0时，函数图象是一条向右下方倾斜的直线，位于坐标系的第

二、四象限例如y=-

1.5x、y=-4x等特点x增大，y减小；x减小，y增大当k=-1时，图象是一条过原点、倾斜角度为-45°的直线|k|大小的影响|k|的值表示直线的斜率的绝对值，它决定了图象倾斜的程度•|k|越大，直线的倾斜程度越大，图象越陡峭•|k|越小，直线的倾斜程度越小，图象越平缓例如y=5x比y=2x更陡峭；y=-

0.5x比y=-2x更平缓通过比较不同k值的正比例函数图象，我们可以直观地理解比例系数k对图象的影响这有助于我们根据具体的函数表达式，快速判断其图象的大致形状和位置正比例函数零点与定义域零点的概念定义域的讨论函数的零点是指使函数值等于0的自变量的值，即满足fx=0的x值函数的定义域是指自变量x所有可能取值的集合对于正比例函数y=kx（k≠0），自变量x可以取任意实数值，不存在使函数无意义的x值对于正比例函数y=kx（k≠0），令y=0，得到因此，正比例函数y=kx的定义域是全体实数，用集合表示为R或-∞,+∞kx=0值域的讨论由于k≠0，所以x=0因此，正比例函数y=kx的零点是x=0，对应的函数图象上的点是原点0,0函数的值域是指因变量y所有可能取值的集合对于正比例函数y=kx（k≠0），当x取遍全体实数时，y也取遍全体实数所有正比例函数的零点都是x=0，这也是为什么所有正比例函数的图象都必须经过原点的原因因此，正比例函数y=kx的值域也是全体实数，用集合表示为R或-∞,+∞图象性质归纳过原点直线性质正比例函数的图象必定经过原点0,0这是因为当时，，对应坐标系中的原点这也x=0y=k×0=0正比例函数的图象是一条直线，这是因为它y=kx是区分正比例函数和其他一次函数的重要特征满足线性关系，即自变量每变化一个单位，因变x量变化个单位y k斜率与k比例系数决定了图象的斜率，也就是图象倾k斜的程度越大，图象越陡峭；越小，|k||k|图象越平缓时，图象倾斜角度为k=145°特殊角度当k=1时，图象是一条过原点、倾斜角度为45°的倾斜方向直线；当时，图象是一条过原点、倾斜角度k=-1当时，图象向右上方倾斜，位于第

一、三象k0为的直线这些特殊情况值得记忆-45°限；当时，图象向右下方倾斜，位于第

二、k0四象限的符号决定了图象的倾斜方向k掌握正比例函数图象的这些性质，有助于我们快速判断和绘制正比例函数的图象，也有助于我们在实际问题中灵活应用正比例函数的知识正比例函数的表达与建模应用生活中的正比例现象数学建模的步骤正比例函数在我们的日常生活中无处不在，了解如何识别和应用这些关系，对解决实际问题非常有帮助以下是一些常见的正比例关将实际问题转化为数学模型，是应用数学解决问题的重要方法对于正比例关系，建模的基本步骤如下系实例确定变量明确问题中的自变量和因变量蜡烛燃烧蜡烛的长度减少与燃烧时间成正比例判断关系分析变量之间是否满足正比例关系温度变化在理想条件下，物体的温度变化与冷冻或加热时间成正比例确定系数根据已知条件，计算比例系数k路程计算匀速运动中，行驶的路程与行驶的时间成正比例建立模型写出函数表达式y=kx商品定价在单价固定的情况下，总价与购买数量成正比例应用模型利用建立的模型解决实际问题弹簧形变在弹性限度内，弹簧的伸长量与拉力成正比例（胡克定律）数形结合思想体验什么是数形结合思想数形结合是数学中一种重要的思想方法，它是指在解决问题时，将代数（数）与几何（形）相结合，利用代数和几何的相互转化，从不同角度思考和解决问题在学习正比例函数时，数形结合思想体现在以下几个方面•通过函数表达式（数）推断图象特征（形）•通过图象特征（形）判断函数类型和性质（数）•将实际问题转化为函数模型，再利用图象进行分析数形结合思想是数学思维的重要组成部分，它能帮助我们更深入、更全面地理解数学概念，解决数学问题数形结合的应用实例例题已知一个正比例函数的图象经过点2,6，求该函数的解析式，并判断点-3,-9是否在图象上解由于是正比例函数，其解析式形如y=kx（k≠0）图象经过点2,6，代入解析式6=k×2解得k=3所以，该函数的解析式为y=3x实用案例蜡烛燃烧1问题描述一根蜡烛在燃烧过程中，其长度减少的厘米数与燃烧的时间成正比例关系已知蜡烛每分钟减少

0.6厘米问燃烧10分钟后，蜡烛的长度减少了多少厘米？建立数学模型设y为蜡烛减少的长度（厘米），x为燃烧的时间（分钟）根据题意，y与x成正比例关系，即y=kx，其中k为比例系数已知每分钟减少

0.6厘米，即当x=1时，y=

0.6，代入y=kx得

0.6=k×1解得k=

0.6所以，蜡烛长度减少的厘米数y与燃烧时间x的关系为y=

0.6x问题求解当x=10分钟时，代入函数表达式y=

0.6x y=

0.6×10=6（厘米）所以，燃烧10分钟后，蜡烛的长度减少了6厘米图象分析该正比例函数y=

0.6x的图象是一条过原点、向右上方倾斜的直线，斜率为

0.6从图象上看，x=10对应的y值为6，这与我们的计算结果一致通过这个例子，我们可以看到正比例函数在实际问题中的应用，以及如何利用函数模型解决问题实用案例冷冻温度2问题描述某物体放入冷冻箱中，其温度下降的摄氏度与冷冻时间成正比例关系，且关系式为T=-2t，其中T表示温度变化（摄氏度），t表示时间（分钟）问放入冷冻箱5分钟后，物体的温度下降了多少摄氏度？函数分析函数T=-2t是一个正比例函数，比例系数k=-2负号表示温度是下降的，即随着时间的增加，温度变化为负值，表示温度在降低问题求解比例系数的绝对值|k|=2表示每分钟温度下降2摄氏度当t=5分钟时，代入函数表达式T=-2t T=-2×5=-10（摄氏度）所以，放入冷冻箱5分钟后，物体的温度下降了10摄氏度单位与实际含义分析在这个问题中，需要注意的是单位和符号的实际含义•T的单位是摄氏度，t的单位是分钟•T为负值表示温度下降，如T=-10表示温度下降了10摄氏度•比例系数k=-2的单位是摄氏度/分钟，表示每分钟温度变化的速率理解这些实际含义，有助于我们正确应用数学模型解决实际问题例题精讲1问题描述某商品的单价是5元/个，购买x个这样的商品需要支付y元1写出y与x之间的函数关系式2画出函数图象3购买8个这样的商品需要支付多少元？分析与解答1设购买x个商品需要支付y元由题意知，单价是5元/个，所以总价y=单价×数量=5x所以，y与x之间的函数关系式为y=5x这是一个正比例函数，比例系数k=5作图步骤2函数y=5x的图象是一条过原点的直线选取几个点计算坐标当x=0时，y=5×0=0当x=1时，y=5×1=5当x=2时，y=5×2=10根据这些点绘制图象应用解答3购买8个这样的商品需要支付的金额将x=8代入函数关系式y=5x y=5×8=40（元）所以，购买8个这样的商品需要支付40元这个例题展示了正比例函数在商业计算中的应用通过建立正比例函数模型，我们可以方便地计算不同数量商品的总价，也可以通过图象直观地表示总价与数量的关系综合应用运动里程建模问题描述一辆汽车做匀速运动，速度为30千米/小时1写出汽车行驶的路程y（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系式2画出这个函数的图象3根据图象，分析行驶

1.5小时后，汽车行驶了多少千米分析与解答1设汽车行驶的路程为y千米，行驶时间为t小时由题意知，汽车做匀速运动，速度为30千米/小时根据路程=速度×时间，有y=30t作图与分析所以，汽车行驶的路程y与行驶时间t之间的函数关系式为y=30t2函数y=30t的图象是一条过原点的直线这是一个正比例函数，比例系数k=30选取几个点计算坐标•当t=0时，y=30×0=0•当t=1时，y=30×1=30•当t=2时，y=30×2=60根据这些点绘制图象3从图象上看，当t=

1.5时，对应的y值为y=30×

1.5=45（千米）所以，行驶

1.5小时后，汽车行驶了45千米这个例子展示了正比例函数在物理运动中的应用，以及如何利用函数图象进行实际问题的分析和求解拓展同比例变换什么是同比例变换同比例变换是指对函数中的自变量和因变量进行同比例的缩放或放大，观察这种变换对函数图象的影响对于正比例函数y=kx，如果对x和y都乘以同一个非零常数m，得到新的关系X=mx，Y=my，则Y与X之间的关系仍然是正比例函数，且比例系数不变推导过程已知y=kx，X=mx，Y=my（m≠0）将x=X/m代入y=kx，得y=k×X/m=k/m×X又因为Y=my，所以Y=m×y=m×k/m×X=k×X所以，Y=kX，这仍然是一个正比例函数，且比例系数仍为k图象变化分析同比例变换前后，函数的图象形状不变，仍然是一条过原点的直线，斜率也不变这种变换实际上相当于对坐标系进行了缩放，但并没有改变函数本身的性质应用实例例如，对于正比例函数y=2x•如果对x和y都乘以3，得到X=3x，Y=3y，则Y与X的关系为Y=2X•如果对x和y都乘以

0.5，得到X=

0.5x，Y=

0.5y，则Y与X的关系为Y=2X课堂练习判断与作图11判断以下式子是否为正比例函数a.y=3x+1b.y=-

0.5xc.xy=4d.y=x²分析与解答a.y=3x+1不是正比例函数，因为它含有常数项1，不符合y=kx的形式b.y=-

0.5x是正比例函数，因为它符合y=kx的形式，其中k=-

0.5≠0c.xy=4可以转化为y=4/x，不符合y=kx的形式，所以不是正比例函数d.y=x²不是正比例函数，因为它不符合y=kx的形式2作出y=-3x与y=

0.8x的图象对于y=-3x•选取点0,0,1,-3,-1,3•在坐标系中标出这些点，并连成一条直线•得到一条过原点、向右下方倾斜的直线，斜率为-3对于y=

0.8x•选取点0,0,1,

0.8,5,4,-5,-4•在坐标系中标出这些点，并连成一条直线•得到一条过原点、向右上方倾斜的直线，斜率为

0.8通过这些练习，学生可以加深对正比例函数判定方法的理解，并提高绘制函数图象的能力特别是对于不同k值的正比例函数，通过比较它们的图象，可以更直观地理解k对图象的影响课堂练习生活建模2用水量与费用自由落体运动弹簧伸长家庭用水，水费与用水量成正比例关系若每立方米水价为4物体自由落体时，下落距离与时间的平方成正比例关系设下在弹性限度内，弹簧的伸长量与拉力成正比例关系（胡克定元，设用水量为x立方米，水费为y元，则函数关系式为y=4x落时间为t秒，下落距离为h米，则函数关系式为h=

4.9t²（注律）设拉力为F牛顿，伸长量为x厘米，则函数关系式可能意这不是正比例函数，因为不是形如y=kx的形式）为x=

0.5F实际建模练习请同学们思考并描述你身边的正比例实例，并尝试写出对应的函数表达式例如

1.放学后步行回家，行走的路程与时间的关系

2.购买同一种铅笔，总价与数量的关系

3.长跑运动中，消耗的热量与跑步时间的关系在描述这些实例时，需要注意明确变量之间是否真的满足正比例关系、单位是什么、比例系数的实际意义是什么等这些都是正确建立数学模型的关键课堂小结图象特征图象为过原点的直线，k决定斜率，k0向右上倾斜，k0向右下倾斜判定方法实际应用检查函数表达式是否为y=kx形式，或检验y/x是否为常数（x≠0）应用于路程计算、商品定价、温度变化等多种实际问题函数定义解题技巧正比例函数形如y=kx（k≠0），表示两个变量之间的比值为常数借助图象分析，灵活运用比例关系，建立数学模型解决实际问k题4本课重点回顾•正比例函数的定义y=kx（k≠0）•正比例函数与一次函数的关系正比例函数是b=0时的一次函数•判定正比例函数的方法检查表达式形式、验证比值是否为常数•正比例函数图象的特点过原点的直线，k决定斜率和倾斜方向•解析式的确定利用一个已知点求解比例系数k•实际应用建立数学模型，解决现实问题课后作业与思考1解析式判断与求解1判断以下函数是否为正比例函数•a.y=

2.5x•b.y=3x-1•c.y=x/2•d.y=x²+x2已知正比例函数过点4,6，求函数解析式2图象绘制与分析1在同一坐标系中画出以下函数的图象•a.y=2x•b.y=-x•c.y=

0.5x2比较这三个函数图象的异同，分析k对图象的影响3实际应用问题1一辆汽车做匀速运动，速度为45千米/小时•a.写出路程s（千米）与时间t（小时）的函数关系式•b.

2.5小时行驶多少千米？•c.行驶180千米需要多少小时？2某商店销售一种糖果，每千克售价12元•a.写出总价y（元）与购买重量x（千克）的函数关系式•b.购买

2.5千克需要多少钱？•c.花费96元可以购买多少千克？4生活中的正比例探索并记录生活中至少3个正比例关系的实例，写出对应的函数表达式，并解释比例系数的实际意义可以考虑以下方面•体育运动中的物理量关系•购物消费中的价格关系。