高中函数的概念教学课件

高中数学函数的概念·课程目标与内容导览认识函数定义及其三要素掌握常见表示方法详细解析函数的本质定义，明确定义域、对应法则和值域三大核心学习函数的四种表示方式解析式、赋值表、图像法和文字法集/要素，掌握函数概念的精确表述合对应法，能够灵活转换不同表示形式分析典型函数案例注重实际建模与生活联系通过一次函数、二次函数等典型案例，深入理解函数性质，提高解将函数概念与日常生活现象相结合，培养数学建模能力，体会函数题能力和数学思维在实际问题中的应用价值初识函数生活中的函数现象函数并非抽象的数学概念，而是源于生活中的普遍现象在我们的日常生活中，许多事物之间的关系实际上都可以用函数来描述气温随时间变化一天中的气温是时间的函数，每个时刻对应唯一的温度值气象站记录的温度曲线正是这种函数关系的直观表现商品售价与数量关系商品总价是购买数量的函数，比如每公斤元的苹果，购买公斤需支付10x元，形成线性函数关系10x身高与年龄的联系人的身高与年龄有着明确的函数关系，每个年龄段对应特定的平均身高，形成生长发育曲线北京某日小时气温变化曲线，展示了时间与温度之间的函数关系24函数在初中数学中的认知回顾初中函数概念回顾在初中阶段，我们已经接触过函数的基本概念•变量在一定范围内可以取不同值的量•自变量x可以任意取值的变量•因变量y随自变量变化而变化的变量•初中函数定义两个变量之间的依赖关系，其中一个变量的值确定后，另一个变量的值随之唯一确定这种描述侧重于变量间的依赖关系，强调唯一确定这一核心特征深入什么是函数？函数定义的本质高中阶段，我们用更加严格的数学语言来定义函数设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一A Bf A个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称为从集合到x B y f:A→B A集合的一个函数记作∈B y=fx,x A这个定义强调了几个关键点非空数集函数涉及的是数与数之间的关系确定的对应关系这种关系是明确的、可描述的唯一确定对中的每个元素，中有且仅有一个元素与之对应A xB y函数本质上是一种特殊的映射关系，它建立了两个集合之间的桥梁，并且这种桥梁满足一对一或多对一的特性，而不允许一对多函数的三要素对应法则将映射到的具体规则x y可以是解析式•定义域可以是图像•自变量所有可能取值的集合，记为或可以是表格或文字描述x D•dom f例表示将乘以再加的规则y=2x+1x21是函数的出发点•值域必须明确指定•决定函数的适用范围因变量所有可能取值的集合，记为或•y Rran f例的定义域为是函数的终点fx=√x[0,+∞•由定义域和对应法则共同决定•需要通过分析计算得出•例的值域为fx=x²[0,+∞函数的四种常见表示方法解析式表示赋值表表示图像法文字法集合对应法/用数学表达式直接给出与的关系通过表格列出和对应的值在坐标系中绘制函数图像用文字或集合符号描述对应关系x y x y例例直观展示整体变化趋势和特征例将映射为的平方y=2x+3,y=x²,y=sin x{1,3,2,5,3,

7...}f:{x|x x x}优点精确、简洁，便于计算和分优点直观，适合离散数据或复杂优点形象直观，便于观察整体规优点严谨，适合理论分析和定义析关系律形式化定义（集合语言）函数的集合定义用严格的数学语言表述函数定义给定两个非空集合A和B，如果存在一个规则f，使得A中的每个元素x都唯一对应B中的一个元素y，则称f是从A到B的一个函数，记作f A→B或y=fx,x∈A进一步，我们可以用数学符号更严格地表述为∀x∈A，∃!y∈B，使得y=fx其中•∀表示对于所有•∃!表示存在唯一定义域的理解与判定定义域的本质定义域是函数自变量x所有可能取值的集合，通常记为D或dom f正确理解和确定定义域是研究函数的第一步如何判定函数的定义域？原则保证函数解析式有意义的所有x值的集合常见限制条件分母不为零对于分式函数如fx=1/x，必须满足x≠0偶次根式下非负对于函数如gx=√x或hx=√1-x²，被开方数必须≥0对数函数真数为正如lnx或log₃x-1，真数必须大于0分段函数各段条件需综合各分段的定义条件若函数定义时未明确给出定义域，则默认为使函数解析式有意义的最大x值集合值域的判定方法值域的本质值域是函数因变量所有可能取值的集合，通常记为或值域的确定通常比定义域更复杂，需要结合函数y Rran f的具体形式和性质来分析常用的值域判定方法解析法通过解出，然后根据∈定义域确定的范围y=fx x=gy x y函数性质法利用函数的单调性、奇偶性、周期性等确定值域数形结合法结合函数图像直观判断值的范围y最值法对于具有最大值和最小值的函数，可通过求导等方法确定极值点，从而确定值域二次函数值域分析实例对于函数，∈fx=x²+2x R分析的最小值为（当时取到）•x²0x=0因此的最小值为•fx=x²+22对应法则的典型实例线性函数分段函数二次函数对应法则对应法则可以根据的不同取值区间有不同表对应法则y=2x+1x y=x²-4x+3达式这表示将的值代入解析式计算对于每个值，按照先平方，再乘以系数，最x x后加上常数项的步骤计算当时，וx=0y=20+1=1当时，×当时，וx=0y=0²-40+3=3•x=1y=21+1=3当时，×当时，וx=2y=2²-42+3=4-8+3=-1•x=2y=22+1=5此时对应法则分为两部分二次函数的对应法则遵循代数运算顺序，体现线性函数的对应法则表现为将乘以一个常数x了到的映射规则后再加上一个常数当时，x y•x≤0y=x²当时，•x0y=2x+1需要根据的取值确定使用哪个表达式计算x y图象直观演示函数图像的几何意义函数的图像是所有满足y=fx的点x,y在坐标平面上组成的点集通过图像，我们可以直观地看到•对定义域中的每个x值，图像上有且仅有一个对应的点•任意一条与图像相交的垂直于x轴的直线，交点不超过一个（即垂线测试）这正是函数一对一或多对一特性的几何体现典型函数图像分析通过观察y=x与y=x²的图像，我们可以发现•y=x是一条直线，每个x对应唯一的y=x•y=x²是一条抛物线，每个x对应唯一的y=x²•对于y=x²，不同的x值（如1和-1）可以对应相同的y值

（1）日常实际问题与函数建模函数建模的一般步骤省电费与用电量关系

1.确定变量明确自变量和因变量

2.收集数据获取变量间的对应关系

3.寻找规律分析数据，尝试找出数学关系

4.建立模型用函数表达式描述关系

5.验证模型检验模型的准确性和适用范围跳远成绩与风速函数模型研究表明，短跑或跳远成绩与风速存在函数关系若将风速记为v m/s，跳远成绩记为Lm，则可以建立模型Lv=L₀+

0.1v其中L₀是无风条件下的跳远成绩，

0.1是风速影响系数函数与映射的联系和区别映射的概念映射是一个更广泛的数学概念，是从集合到集合的对应法则，使得中每个元素都有中元素与之对应X Yf Xx Y函数与映射的联系函数是特殊的映射，是数集之间的映射•都要求定义域中的每个元素都有对应元素•都可以用箭头图表示对应关系•函数与映射的区别函数映射定义在数集之间可定义在任意集合之间强调唯一对应不一定要求唯一对应通常用解析式表示表示方式更加多样上图展示了函数与映射的关系函数是映射的特例，是定义在数集间且满足唯一对应性质的映射可以说，所有的函数都是映射，但并非所有的映射都是函数例如从人到身份证号的对应是函数（一个人只有一个身份证号）•从身份证号到人的对应是映射但不是函数（理论上可能存在重号）•从学生到选修课程的对应是映射但不是函数（一个学生可选多门课）•数学语言规范书写函数的严格数学表述函数定义的规范书写格式在数学中，我们经常需要用严格的符号语言来表述函数概念在解题和证明中，我们通常按照以下格式定义函数∀∈，∃∈x A!y B,y=fx定义函数f:A→B，其中A={x|x满足某条件}对于任意x∈A，fx=...例如定义函数f:R→R，fx=x²+1或设函数fx=2x-1，x∈[0,3]这句话读作对于集合中的任意元素，在集合中存在唯一的元素，使得等A xByy于fx常用数学符号及其含义∀对于所有（）•For all∃存在（）•There exists∃存在唯一（）•!There existsexactly one∈属于（）•Belongs to蕴含（）•Implies⟹等价于（）•If andonly if⟺在书写函数时，应当明确指出函数名称（通常用等字母表示）

1.f,g,h定义域（必要时需明确指出）

2.常见函数类型一览123一次函数二次函数分段函数一般形式一般形式由多个定义在不同区间上的函数组成fx=kx+b k≠0fx=ax²+bx+c a≠0图像是一条直线图像是一条抛物线••为斜率，为截距顶点坐标为•k b•-b/2a,f-b/2a定义域通常为，值域也通常为开口方向由决定向上开口，向下开口•R R•a a0a0单调性由的符号决定时单调递增，时单调递减对称轴为•k k0k0•x=-b/2a定义域为，值域由开口方向决定•R定义域为₁∪₂∪∪•D D...Dₙ值域需分段讨论•各分段交界处需特别注意连续性•函数定义域与值域综合案例综合案例分析下面通过一个具体例子，综合分析函数的定义域和值域例题求函数的定义域和值域fx=√2-x定义域分析由于函数为根式函数，被开方数必须大于等于，因此0所以函数的定义域为-∞,2]值域分析设，则，且y=√2-x y≥0由于∈，代入上式得x-∞,2]这对任何实数恒成立y另外，由于必须在内，所以没有额外限制2-y²-∞,2]由可知，因此函数的值域为y=√2-x y≥0[0,+∞图像分析函数的图像如上所示从图中可以直观看出fx=√2-x实例分析抛物线与实际问题抛物体运动的物理模型当一个物体在竖直方向上抛出后，其高度h与时间t之间的关系可以用函数表示其中•h₀是初始高度（米）•v₀是初始速度（米/秒）•g是重力加速度（约

9.8米/秒²）•t是时间（秒）物理量的函数意义在这个模型中•定义域t≥0（时间不能为负）•值域h≥0（高度不小于地面，假设地面高度为0）•对应法则二次函数关系函数定义常见误区误区一对应不唯一误区二忽略定义域误区三混淆函数与方程错误观点认为可以表示一个函数，错误观点认为与是完错误观点认为和表示x²=4fx=1/x gx=1/x y=2x+12x-y+1=0自变量为，因变量为全相同的函数相同的函数x x²正确分析正确分析正确分析方程有两个解或若未明确指定定义域，则默认为使解析函数强调的是到的对应关系，是因•x²=4x=2x=-2••x yy式有意义的最大集合变量这说明确定的关系中，给定值•x²=4y（如），对应的值不唯一对于，默认定义域为方程表示的是和满足的关系，两者地4x•fx=1/x R\{0}•x y（即去掉的实数集）位平等函数要求确定时唯一，而非确定时0•x yyx唯一但若指定，，则的定义明确指出是因变量，符合函数•gx=1/xx0g•y=2x+1y域为定义正确的函数表示应为，其中是自0,+∞•y=x²x变量，是因变量定义域不同，则为不同的函数，即使解只是变量间的等式关系，需y••2x-y+1=0析式形式相同转化为形式才表示函数y=fx判断题与选择题练习判断下列关系是否为函数多变量函数判断一个圆上的点到圆心的距离分析圆上任意点到圆心的距离都等于半径，是一个常数这是从圆上的点到距离的映射，且每个点对应唯一的距离值（即半径）有时我们会遇到多个自变量的情况，此时需要明确判断哪些是自变量，哪些是因变量因此是函数例题判断下列表达式是否可以表示函数若是，请指出自变量和因变量平面上的点到原点的距离分析平面上的每一点x,y到原点的距离为√x²+y²，是唯一确定的这是从平面上的点到距离的映射，且每个点对应唯一的距离值因此是函数z=x²+y²方程x²+y²=1表示的关系分析这是单位圆方程对于x∈[-1,1]，有y=±√1-x²，即一个x值对应两个y值违反了函数一个x对应唯一一个y的原则因此不是函数分析该表达式中，x和y是自变量，z是因变量对于平面上任意一点x,y，都有唯一确定的z值与之对应这是一个二元函数，自变量是有序对x,y，因变量是z因此是函数函数表示方法训练表格与解析式转换图像与解析式转换给定函数的部分值表x-2-1012fx30-103分析观察数据规律，发现f-2=f2=3，f-1=f1=0，且f0=-1，这种对称性暗示函数可能是偶函数，且是二次函数的形式尝试用fx=ax²+b的形式表示代入x=0，得-1=a·0²+b，即b=-1代入x=1，得0=a·1²+-1，即a=1所以fx=x²-1验证f-2=-2²-1=4-1=3，f2=2²-1=4-1=3，与表格吻合拓展函数与实际数学问题利率函数与银行存款增长人口变化与年增长率分析银行存款的增长是一个典型的函数应用场景若初始存款为P，年利率为r，则n年后的本息和S可表示为这是一个指数函数，自变量是时间n，因变量是本息和S例如，存入10000元，年利率为3%，则•1年后S1=10000×1+3%¹=10300元•5年后S5=10000×1+3%⁵≈11593元•10年后S10=10000×1+3%¹⁰≈13439元如果考虑复利按季度计算，则函数变为函数模型的变化反映了现实计算规则的变化网课与案例应用AI图像识别中的函数建模实时数据与函数图像动态演示在现代人工智能领域，函数概念广泛应用于图像处理和识别技术中例如，灰度图像可以看作是一个二元函数其中和是像素的坐标，是灰度值（通常在之间）xyfx,y0-255图像处理的许多操作实际上是对这个函数进行变换亮度调整fx,y=fx,y+c对比度调整fx,y=a·fx,y图像平滑周围像素的平均值fx,y=边缘检测计算的梯度fx,y这些都是函数思想在现代技术中的应用，体现了数学与实际技术的紧密结合现代教育技术利用计算机可以动态展示函数图像，帮助学生直观理解函数性质参数变化实时调整参数、、，观察函数图像的变化a bc y=ax²+bx+c实时数据将传感器收集的温度、声音等数据实时转换为函数图像交互式探索允许学生拖拽函数图像的关键点，体验函数变化例如，在等数学软件中，可以创建滑动条控制参数，实时观察函数图像的平移、伸缩等变换，这大大增强了函数概GeoGebra念的直观性和可理解性分组讨论与小组展示课堂互动活动设计将全班分为个小组，每组人，完成以下任务4-63-5从日常生活中找出至少个能用函数描述的现象

1.2分析这些现象中的自变量、因变量和对应关系

2.尝试建立数学模型，写出可能的函数表达式

3.准备分钟的小组展示，向全班分享你们的函数故事

4.5可能的讨论方向手机充电过程中电量随时间变化•不同品牌商品的价格与质量关系•学习时间与考试成绩的关系•汽车油耗与速度的关系•植物高度与生长时间的关系•小组展示评分标准评分项目评分标准创意性选题的独特性和创新性25%准确性函数关系描述的准确性25%完整性函数三要素分析的完整性25%表达能力展示的清晰度和逻辑性25%现代科技与函数手机电池剩余量曲线短视频点赞量随时间变化智能手机电池的放电过程可以用函数模型描述若将使用时间（小时）作为自变量，电池剩余电量（百分比）作为因变量，则可以t p近似表示为其中是与使用强度相关的常数k然而，实际的放电曲线并非严格的线性关系，更准确的模型可能是其中和是由电池特性决定的参数a b这个模型可以解释我们日常观察到的现象电池电量在剩余以下时往往会下降得更快20%在社交媒体平台上，视频获得的点赞数通常遵循类似形曲线的增长模式，可以用函数描述SLogistic其中是时刻的累计点赞数•Lt t是最终可能达到的最大点赞数•K是增长率参数•r₀是增长中点的时间•t这个函数模型反映了信息传播的规律初始阶段曝光有限，点赞增长缓慢

1.拓展函数本质概念哲学反思决定性关系的哲学意义从函数观看世界规律函数的核心特征——确定的对应关系——实际上反映了世界的一种基本规律因果关系当因确定时，果也随之确定从哲学角度看，函数概念体现了确定性原理在相同条件下，相同的原因产生相同的结果还原论思想复杂系统可以通过分析其组成部分的关系来理解预测的可能性通过函数关系，我们可以根据当前状态预测未来状态伟大的科学家拉普拉斯曾说如果有一个智能体知道宇宙中每个粒子的位置和动量，并能分析这些数据，那么它就能预见宇宙的过去和未来这正是函数思想的极致体现知识点梳理与结构图三要素定义域的取值范围函数概念•x对应法则映射规则•两集合间的确定对应•值域的取值集合•y唯一性原则•集合语言表述表示方法•解析式表示•赋值表表示•图像表示•拓展思考文字集合表示•/函数与映射•实际应用哲学意义•物理模型•跨学科联系•经济预测•现代技术应用•生活现象•技术发展•小结与课堂再思考函数定义的核心理解培养函数思想，夯实后续学习基础通过本次课程，我们系统学习了函数的概念、三要素、表示方法及应用，现在让我们再次回顾函数的核心要点函数是从集合到集合的一种特殊映射，它保证中每个元素都有且仅有一个中的元素与之对应A BA B这一定义蕴含了函数的两个关键特性确定性自变量确定，因变量也随之确定唯一性一个自变量值对应唯一的因变量值函数三要素定义域、对应法则、值域构成了函数的完整描述，三者缺一不可————函数思想不仅是一个数学概念，更是一种思维方式，它将贯穿高中数学学习的始终在代数中研究函数的性质和变换•在几何中用函数描述图形的性质•在概率统计中用函数表示随机变量的分布•在微积分中研究函数的极限、导数和积分•掌握函数概念，就像获得了一把打开数学世界的钥匙，它将帮助我们理解自然科学和社会科学中的各种现象，建立数学模型，解决实际问题。