乘船问题的教学课件

乘船问题教学什么是乘船问题？乘船问题是典型的数学应用题，常见于小学中高年级数学课程中这类问题主要涉及多个对象需要通过一条船从河的一岸到达另一岸，但船的容量有限，且可能存在其他限制条件解决乘船问题的关键在于•合理安排运输对象的过河顺序•严格遵守问题中的规则约束生活中的乘船现象摆渡场景旅行观光海上运输在许多江河湖泊地区，摆渡是当地居民旅游景点常设有观光船，游客需排队乘货轮在港口装卸货物时，需要精确计算日常出行的重要方式船夫需要考虑船船游览工作人员需要根据船的容量安货物重量和体积，合理安排装载顺序，的承载能力，合理安排客人和货物的运排游客上下船，保证安全和效率确保船舶平衡且不超载输顺序经典乘船故事引入狼羊菜过河老人与小孩过河盗贼与金币农夫带着一只狼、一只羊和一棵菜过河船一个老人带着两个小孩需要过河船只能承三个盗贼抢了8枚金币，乘船逃跑船只能小只能载农夫和一种东西如果没有农夫看载一个成人或两个小孩的重量小孩划船能载两人，且过河必须有人划船如何平分金管，狼会吃羊，羊会吃菜如何安排才能安力有限，不能单独划船如何安排过河？币且保证每个人都能安全过河？全过河？乘船问题的基本规则船的容量限制船每次只能载一定数量的人或物，通常为1-2人或物对象关系约束某些对象不能单独留在一起，如狼与羊、猫与鼠等，否则会发生危险过河方向规定船必须有人驾驶，且需要来回往返，直到所有对象都安全到达对岸问题一三人一船的最少次数问题描述甲、乙、丙三人需要过河，但河边只有一条小船小船一次最多只能载两人，且必须有人划船求三人全部过河的最少次数关键约束•船最多载两人•必须有人划船•船不能空着自动漂到对岸问题一解题步骤第次和最后一起过河3A B第次和过河，返回2A CB最后，B和A一起乘船过河这样，A、B、第次和过河，返回1A BA接着，A和C一起乘船过河到对岸然后，B C三人都到达了对岸，完成过河任务总共首先，A和B一起乘船过河到对岸然后，A一个人划船返回起点，A和C留在对岸此时需要3次过河一个人划船返回起点，B留在对岸此时状状态起点有B，对岸有A和C态起点有A和C，对岸有B操作演示用小船模型推演教具准备操作方法•纸质或塑料小船模型学生分组，每组获得一套教具通过实际操作小船和棋子，按照上一页的解题•代表人物的小棋子或卡片步骤推演过河过程这种直观的实操可•模拟河流的蓝色布条或纸带以帮助学生更好地理解问题，体验数学与现实生活的联系规律探究一总次数如何计算基本分析规律公式验证检查假设有n个人需要过河，船一次最多载2人对于n个人过河的最少次数T对于n=3的情况当n=1时，T=1T=2×3-3=3次理想情况下（不考虑划船返回）当n=2时，T=1对于n=4的情况•每次载2人，需要n/2次⌈⌉当n≥3时，T=2n-3T=2×4-3=5次•但船必须返回，增加次数拓展四人与一条两人船过河问题描述一种可能的解法甲、乙、丙、丁四人需要过河，条件与前面相同根据我们的公式，最

1.第1次甲和乙过河，甲返回少需要2×4-3=5次

2.第2次甲和丙过河，乙返回分组讨论任务

3.第3次乙和丁过河，甲返回

4.第4次甲和乙过河，丙返回请学生分组讨论如何安排这四人的过河顺序，才能在5次内完成任务？

5.第5次丙和甲过河有几种不同的方案？问题二动物过河的约束条件经典狼羊菜问题核心约束条件问题特点一位农夫带着一只狼、一只羊和一棵菜要物理约束船只能载农夫和一样东西与前面的问题不同，这类问题的难点在于过河小船只能载农夫和一样东西如果满足安全约束条件，而不仅仅是寻找最少安全约束狼不能与羊单独相处没有农夫看管，狼会吃羊，羊会吃菜请次数需要通过合理的安排，避免危险组安全约束羊不能与菜单独相处问农夫如何安排才能使三样东西都安全过合单独相处操作约束船必须有农夫驾驶河？动物过河问题情景图危险情况示意安全组合示意危险组合1狼和羊单独相处，狼会安全组合1狼和菜可以单独相处吃掉羊安全组合2农夫在场时的任何组合危险组合2羊和菜单独相处，羊会吃掉菜问题二的最优解分析第步农夫带狼过河2第步农夫带羊过河1农夫带狼过河，将狼留在对岸，但此时狼和羊不能共处，所以农夫必首先，农夫带羊过河，将羊留在对岸，农夫独自返回此时岸边状须带羊返回此时岸边状态起点有羊和菜，对岸有狼态起点有狼和菜（安全），对岸有羊第步农夫带羊过河4第步农夫带菜过河3最后，农夫带羊过河至此，农夫、狼、羊、菜都安全到达对岸，任农夫带菜过河，将菜和狼留在对岸（狼不吃菜，安全），农夫独自返务完成回此时岸边状态起点有羊，对岸有狼和菜这个解法需要7次划船（来回各算一次），是最优解关键在于正确处理羊这个中间物，它既不能与狼共处，也不能与菜共处互动练习模拟狼羊菜过河分组活动将全班分成4-5人小组，每组准备•代表农夫、狼、羊、菜的卡片或玩偶•一条蓝色纸带或布条代表河流•一个小纸船模型学生轮流扮演农夫，其他学生观察并确保每一步都符合规则数学建模思维渗透状态转移图的绘制状态转移规则乘船问题可以用状态转移图来表示每每次划船，F的值必定改变，而W、S、C个状态表示各物体在河的哪一边，箭头中至多有一个值改变表示一次划船动作合法状态必须满足以狼羊菜问题为例，可以用四元组•当F≠S时，必须有W≠S（否则狼吃F,W,S,C表示状态羊）•F=0表示农夫在起点，F=1表示农夫•当F≠S时，必须有S≠C（否则羊吃在终点菜）•W、S、C分别表示狼、羊、菜的位通过状态转移图，可以清晰地看出所有置可能的过河路径，从中找出最短路径即为最优解乘船问题的常见变形船容量变化角色数量增加船可能载1人、2人或更多，影响过河策略和最少次数增加角色数量，复杂化问题例船能载3人时，7人过河的最少次数是多少？例3只狼、3只羊和1个农夫如何安全过河？约束条件变化时间限制增加或修改角色间的约束关系添加时间因素，如过河需要不同时间例父亲不允许女儿与其他男性单独相处；盗贼不能与警察单独相例过河时间分别为1分钟、2分钟、5分钟和10分钟的四人，如何在处17分钟内全部过河？通过这些变形，可以拓展乘船问题的难度和多样性，培养学生灵活应用数学知识解决问题的能力乘船问题的解决策略建表法创建表格记录每一步的状态变化，清晰直观地展示过河过程适合初学者使用画图法绘制状态转移图，用节点表示状态，用箭头表示转移可以直观地看出所有可能的路径列表推理通过逻辑推理，一步步分析可能的行动及其结果，排除不可行的方案，找出最优解策略选择建议不同的解题策略适合不同复杂度的问题和不同学习阶段的学生•初学者可以从建表法入手，直观易懂•中等水平的学生可以尝试画图法，培养系统思考能力•高水平学生可以使用列表推理，锻炼逻辑思维能力教师示范画图法快速解题步骤一确定状态表示以狼羊菜问题为例，用F,W,S,C表示状态，其中F、W、S、C分别表示农夫、狼、羊、菜的位置（0表示在起点，1表示在终点）初始状态为0,0,0,0，目标状态为1,1,1,1步骤二标注合法状态根据约束条件，排除非法状态例如，0,1,1,0表示农夫和菜在起点，狼和羊在终点，此时羊会被狼吃掉，是非法状态步骤三连接相邻状态在合法状态之间画箭头，表示一次划船动作例如，从0,0,0,0可以到达1,0,1,0，表示农夫带羊过河步骤四寻找最短路径在状态图中，从初始状态到目标状态的最短路径即为最优解可以使用广度优先搜索算法快速找到动手环节设计自己的过河难题创造性任务鼓励学生发挥创造力，设计自己的乘船过河问题要求包括

1.确定角色（人物、动物或物品）

2.设置船的容量和约束条件

3.确保问题有解，且挑战适度

4.编写清晰的问题描述展示与交流设计完成后，学生可以•与小组成员交换问题并尝试解决•选出最有创意的问题在全班展示•讨论不同问题的难点和解题策略归纳总结常见规则与陷阱禁忌组合的识别中间物的处理在乘船问题中，识别禁忌组合是关键这些组合通常是问题的核有些物体或人物在问题中起到中间物的作用，它们与多个对象有心约束条件，如狼不能与羊单独相处，父亲不允许女儿与其他男性约束关系，如狼羊菜问题中的羊处理好这些中间物是解题的单独相处等解题时必须避免这些组合出现关键通常需要优先处理它们思维定势的突破状态回溯的必要性许多学生在解题时容易陷入思维定势，如认为物体过河后就不能再有时候，为了达到最终目标，必须接受某些物体暂时回到起点的情返回，或者过于死板地遵循某种模式要鼓励灵活思考，尝试反向况这种回溯是许多乘船问题解法中的必要步骤，不应被视为浪思维或暂时性倒退费或失败操作活动制作环保小船活动目标通过制作小船，加深学生对船的结构和浮力原理的理解，同时培养环保意识和动手能力材料准备•废弃塑料瓶或瓶盖•泡沫板或海绵•一次性筷子或竹签•彩色纸或布•胶水和剪刀制作步骤

1.将塑料瓶切开，制作船身游戏活动出海比赛游戏设置游戏规则在教室或操场设置一个海域（可以设定船的容量限制和特殊规则（如某是一块蓝色布或画出的区域），将学些物品不能同时运输）学生需要合生分成几组，每组扮演一条船的船理安排运输顺序，既要保证安全，又员每组需要运输一系列物品（如书要争取速度最快完成任务的小组获本、文具等）从港口到岛屿胜教育意义通过游戏形式，学生能够体验乘船问题的实际应用，培养团队合作能力和策略思维游戏结束后，引导学生反思自己的策略是否最优，有什么改进空间实验探究小船前进的原理船舶推进原理小船前进的原理涉及物理学中的作用力和反作用力定律我们可以通过简单的实验来探究不同推动方式的效果风力推动利用风帆捕捉风力桨力推动通过划桨产生反作用力喷射推动利用水流喷射的反作用力实验设计准备一个水槽和多种推进方式的小船

1.带风帆的小船，用扇子制造风

2.带小桨的小船，用筷子模拟划桨

3.带气球的小船，放气产生喷射力记录不同推进方式下小船的速度和稳定性，比较它们的优缺点学生讨论如何让船跑得更快风力方案手推方案使用嘴吹或扇子产生风力，推动带有风帆的小船前进讨论点风帆用手或工具直接推动小船讨论点如何控制推力的大小和方向，避的大小、形状和位置如何影响船的速度？免小船翻倒？推力的持续性如何保证？橡皮筋动力气球反推力利用橡皮筋的弹性势能转化为动能，驱动小船前进讨论点如何设利用气球放气产生的反推力使小船前进讨论点气球的固定位置和计橡皮筋的缠绕方式和释放机制？放气口的方向如何影响船的行进？鼓励学生进行小组讨论，设计并测试自己的方案，比较不同方案的优缺点，选出最有效的推进方式乘船问题与科学创新从动画片获取灵感创新思维培养许多动画片中有关于船只和渡河的创意鼓励学生打破常规思维，提出创新的解场景，如决方案•《哆啦A梦》中的各种神奇道具

1.能否设计一种自动返回的船？•《海贼王》中的各种特殊船只

2.能否利用其他物体（如树干、浮板）辅助过河？•《猫和老鼠》中汤姆的即兴创造

3.能否改变河流本身（如建桥、填学生可以从这些场景中获取灵感，思考土）？创新的过河方案这种发散思维有助于培养学生的创新能力和解决问题的多样化思路综合应用题练习123三对夫妻过河问题特殊能力过河问题时间限制过河问题三对夫妻需要过河，船只能载两人有个特一个父亲带着三个孩子过河，船只能载父亲四个人过桥，桥一次只能通过两人，夜间需殊规定任何一位妻子都不能与其他丈夫单和一个孩子大孩子会划船但不能单独看管要手电筒照明，只有一个手电筒四人的过独相处（无论是在船上还是在岸边）问至其他孩子，二孩子和三孩子不会划船如何桥时间分别为1分钟、2分钟、5分钟和10分少需要几次才能让所有人安全过河？安排才能让所有人安全过河？钟两人一起过桥时，速度取决于较慢者如何在17分钟内让所有人过桥？这些综合应用题涵盖了不同类型的约束条件和解题思路，学生可以尝试一题多解，比较不同解法的优缺点错误分析与经验分享常见思维误区一次性思维误认为物体过河后就不能再返回，导致无法找到最优解忽视约束条件在解题过程中遗忘或忽略部分约束条件，导致解法不可行贪心策略不当总是优先考虑局部最优，而非全局最优，导致陷入死胡同应对策略总结回顾乘船问题的定义1乘船问题是一类典型的数学应用题，涉及多个对象通过有限容量的船只从河的一岸到达另一岸，同时需要满足特定的约束条件2主要解题方法建表法、画图法、列表推理等多种方法可以用来解决乘船问题，不同的方法适合不同复杂度的问题和不同学习阶段的学生乘船问题的变形3通过改变船的容量、角色数量、约束条件等因素，可以构造出多种类型的乘船问题，难度各异4生活启示乘船问题不仅是数学知识的应用，也培养了团队合作、科学思考和资源优化配置的能力，这些都是现实生活中非常重要的素质拓展延伸趣味乘船故事与谜题《出海》儿歌小船小船慢慢走，江河湖海去游走左边右边看一看，小心别把船儿翻一二三四五六七，小船带我去冒险！这首简单的儿歌可以帮助低年级学生记忆乘船的基本概念，也可以作为课堂热身活动趣味谜语谜面一只狐狸、一只兔子和一棵萝卜要过河船只能载一人和一物如果狐狸和兔子单独在一起，兔子会被吃掉；如果兔子和萝卜单独在一起，萝卜会被吃掉请问如何安排才能让三者都安全过河？提示这个谜语与狼羊菜问题类似，但解法可能有所不同鼓励学生比较两个问题的异同课堂小结与任务布置核心知识点回顾•乘船问题的基本规则与约束条件•最少次数计算公式T=2n-3（n≥3）•禁忌组合的识别与处理•多种解题方法的应用课后亲子实践自制小船漂流记录

1.与家长一起制作一艘环保小船

2.在安全的水域进行试航

3.记录小船的航行情况

4.思考如何改进小船的设计

5.将记录整理成一份小报告希望通过本次课程，同学们不仅学会了乘船问题的解题技巧，更培养了逻辑思维能力和创新精神记住，数学就在我们的生活中，让我们用数学的眼光发现世界的奥秘！。