人教版数学圆的教学课件

人教版数学圆的教学课件目录123圆的基础知识圆的性质与重要定理圆的综合应用与典型例题圆的定义、基本元素及对称性垂径定理、圆心角、圆周角定理及切线性质弦长计算、角度求解、面积周长及实际应用第一章圆的基础知识什么是圆？圆是平面上到定点（圆心）距离相等的点的集合这个固定距离称为圆的半径圆心半径O r圆的中心点，到圆上任意点的距离都圆心到圆上任意点的距离，是圆的基相等本度量直径d通过圆心连接圆上两点的线段，长度为半径的两倍圆的数学表达式圆的基本元素示意图半径与直径的关系基本关系直径是通过圆心的弦，是圆内最长的弦其中为直径，为半径d r这一关系是圆的最基本性质之一，在各种计算中经常使用在计算中已知半径，则直径וr=5cm d=25cm=10cm已知直径，则半径÷•d=8cm r=8cm2=4cm圆的轴对称与中心对称轴对称性中心对称性圆是完美的轴对称图形，具有无数条对称轴圆是中心对称图形，圆心是对称中心O任意通过圆心的直线都是圆的对称轴圆上任意点关于圆心的对称点也在圆上••P P任意直径都是圆的一条对称轴连接和的直线必然通过圆心••P P O正是由于圆的这些对称特性，使它在数学和自然界中占有特殊地位第二章圆的性质与重要定理本章将介绍圆的关键性质与定理，包括垂径定理、圆周角定理及切线性质等内容垂径定理定理内容垂直于弦的直径平分弦及其对应的两条弧数学表述如图所示，为圆心，为弦，为直径，且⊥，则O ABCD CD AB平分于点，即•CD ABE AE=EB平分弧与弧，即弧弧，弧弧•CD ACBADB AC=BC AD=BD这一定理在解决圆的相关问题时经常使用证明要点利用三角形全等证明法，可以证明△≌△AOE BOE因此，，即直径平分弦AE=EB CD AB垂径定理推论推论内容平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧这是垂径定理的逆定理，同样适用于解决圆的相关问题应用示例在作图中，如需作弦的垂直平分线，可以连接圆心与弦的中点数学推导如果直径平分弦于点•CDABE则可以证明△≌△•AOE BOE因此∠∠•AEO=BEO由于∠∠°•AEO+BEO=180所以∠∠°，即⊥•AEO=BEO=90CDAB弦的垂直平分线性质作图应用弦的垂直平分线必然经过圆心可以用来定位圆心位置在只知道圆上三点的情况下确定圆心圆心角与弧的关系定义与关系圆心角是指顶点在圆心，两边均为半径的角圆心角的度数等于它所对弧的度数其中∠为圆心角，为对应的弧AOB AB⌒应用示例一周角（°）对应整个圆周•360半周角（°）对应半圆弧•180四分之一周角（°）对应四分之一圆弧这一关系是圆的基本性质，为圆周角定理提供基础•90通过这一关系，我们可以根据圆心角计算弧长其中为弧长，为圆心角的度数，为半径lθr圆周角定理定理内容圆周角等于它所对的圆心角的一半其中∠为圆周角，∠为对应的圆心角ACB AOB证明思路根据不同情况分类讨论当圆心在∠内部时•O ACB当圆心在∠一边上时•O ACB当圆心在∠外部时•O ACB各种情况均可证明圆周角等于对应圆心角的一半圆周角定理的重要应用求解几何问题中的未知角度•圆周角定理推论推论一推论二同弧或等弧所对的圆周角相等半圆所对的圆周角是直角如图，若弧是半圆，则∠°AB ACB=90如图，弧对应的所有圆周角都相等AB切线的性质切线的定义切线是与圆恰好相交于一点的直线，该点称为切点基本性质性质一切线垂直于过切点的半径即若是切点，是圆心，则⊥切线P OOP l性质二圆心到切线的距离等于半径即圆心到切线的距离O ld=r切线性质在几何问题中的应用判断直线与圆的位置关系•作圆的切线•计算切线长度•例如已知圆半径，圆心到直线的距离，则该直线与圆相交（因为）r=5cm d=3cm dr切线长定理定理内容从圆外一点引的两条切线长度相等，且该点到圆心的连线平分两条切线的夹角数学表述如图，为圆外一点，和为从点引的两条切线，为圆心，则P PA PB PO（两条切线长度相等）•PA=PB∠∠（平分∠）•APO=BPO POAPB这一定理在解决与切线相关的几何问题中非常有用证明思路连接、，由于切线垂直于半径，所以OA OB∠°∠°•OAP=90,OBP=90△和△中，（半径相等）•OAP OBPOA=OB是公共边•OP因此△≌△（直角三角形全等）•OAP OBP第三章圆的综合应用与典型例题本章将通过具体例题展示圆的性质在实际问题中的应用，加深对圆的理解例题已知圆的半径，求弦长1问题描述已知圆的半径，弦距离圆心的距离，求弦的长度O r=5cm ABd=3cm AB解题思路利用垂径定理和勾股定理求解设圆心到弦的垂线为，则

1.AB OMOM=d=3cm根据勾股定理，在直角三角形中

2.OMA由于是弦的中点，所以××

3.M AB AB=2AM=24=8cm例题利用圆周角定理求角度2问题描述如图，O是圆心，AB是直径，点C在圆上，∠AOC=50°，求∠ABC的度数解题思路

1.由圆周角定理，∠ABC=∠AOC÷2=50°÷2=25°延伸问题如果点D也在圆上，且∠DOC=30°，求∠DCB的度数

1.由题意知弧DC对应的圆心角为∠DOC=30°

2.由圆周角定理，∠DCB=∠DOC÷2=30°÷2=15°例题切线问题3问题描述已知圆的半径，点在圆外，求O r=4cm P|OP|=8cm从点到圆的切线长

1.PO两条切线与圆的切点之间的距离

2.解题思路设点引的切线与圆相切于点，则P A在直角三角形中，∠°

1.OAP OAP=90，

2.|OA|=r=4cm|OP|=8cm由勾股定理

3.对于第二问设另一条切线的切点为，则B由切线长定理，

1.|PA|=|PB|=4√3cm连接，则为所求的两切点之间的距离

2.ABAB在△中，∠∠°

3.OAB OAB=OBA=90可以证明

4.AB=2√7cm一般公式若圆半径为，圆外点到圆心的距离为，则切线长为r Pd t例题圆内接多边形4问题描述在半径为的圆中，求内接正六边形的边长和面积R解题思路正六边形的每个内角为°

1.120圆心角为°÷°

2.3606=60正六边形的边长等于圆的半径

3.正六边形的面积

4.特殊情况内接正三角形，•a=R√3S=3√3/4R²内接正方形，•a=R√2S=2R²一般公式内接正五边形，•a=2Rsinπ/5S=5R²/2sin2π/5对于内接于半径为的圆的正边形R n随着边数增加，正多边形的周长和面积越来越接近圆的周长和面积生活中的圆烟囱铁皮制作案例问题背景某工厂需要制作一个圆锥形烟囱，底面半径为，高为，需要计算

1.5m4m制作铁皮的面积分析与计算烟囱为圆锥形，需要计算圆锥的母线长度

1.实际应用考虑因素需要考虑接缝余量，通常在计算面积基础上增加•5-10%侧面积（铁皮面积）

2.侧面展开图是一个扇形，扇形半径为母线长•扇形圆心角为•这一案例展示了圆的知识在实际工程中的应用圆锥侧面积公式回顾基本公式圆锥的侧面积等于底面周长与母线长的乘积的一半其中为底面半径，为母线长r l推导过程圆锥侧面展开为一个扇形扇形的半径等于圆锥的母线长

1.l扇形的弧长等于圆锥底面的周长

2.2πr扇形的面积公式××

3.S=1/2r l代入得侧××

4.S=1/22πr l=πrl应用示例已知圆锥底面半径，高，求侧面积r=3cm h=4cm解圆锥全面积公式侧面积底面积全面积其中为底面半径，为母线长底面是一个圆，面积为r lπr²全面积是侧面积与底面积的和母线长计算公式l=√r²+h²应用示例已知圆锥底面半径，高，求全面积r=6cm h=8cm解母线长

1.l=√r²+h²=√36+64=√100=10cm侧面积侧××

2.S=πrl=π610=60πcm²底面积底×

3.S=πr²=π36=36πcm²全面积全侧底

4.S=S+S=60π+36π=96πcm²圆的面积与周长公式圆的面积其中为圆的半径r面积的推导可以将圆分割成无数个小三角形，每个三角形的面积为×××，积分1/2r rdθ得到πr²圆的周长常用的值近似其中为圆的半径πr也可表示为•π≈

3.

14159...简化计算可用或•π≈

3.1422/7应用示例其中为圆的直径d已知圆的半径，则r=5cm面积וS=πr²=π25=25πcm²≈

78.5cm²周长וC=2πr=2π5=10πcm≈

31.4cm圆的面积计算实例

78.5%314%

706.5%r=5cm r=10cm r=15cmS=πr²=π×25=25π≈

78.5cm²S=πr²=π×100=100π≈314cm²S=πr²=π×225=225π≈

706.5cm²圆的周长计算实例

31.4%

62.8%

94.2%r=5cm r=10cm r=15cmC=2πr=2π×5=10π≈

31.4cm C=2πr=2π×10=20π≈

62.8cm C=2πr=2π×15=30π≈

94.2cm从上面的计算可以看出，圆的周长与半径成正比当半径增加到2倍时，周长也增加到2倍；当半径增加到3倍时，周长也增加到3倍应用问题一个圆形跑道的半径为50米，运动员沿跑道跑一圈走多少米？解跑道周长C=2πr=2π×50=100π≈314米如果运动员跑10圈，总路程为314×10=3140米，约为

3.14公里课堂互动圆的性质探究实验一验证垂径定理实验二探究切线性质材料圆规、直尺、铅笔、纸步骤画一个圆

1.O任意画一条弦

2.AB连接圆心与弦的中点

3.O ABM测量∠，验证其为直角

4.OMB测量弦两端到点的距离，验证

5.M AM=BM讨论观察是否符合垂径定理，思考其在实际中的应用材料圆规、直尺、铅笔、纸、量角器步骤画一个圆

1.O在圆外取一点

2.P从点引两条切线，切点分别为、

3.P AB测量切线和的长度

4.PAPB知识点总结010203圆的定义与基本元素圆的重要性质与定理圆的面积与周长•圆是平面上到定点距离相等的点的集合•垂径定理垂直于弦的直径平分弦及其对应的弧•面积S=πr²•基本元素圆心、半径、直径、弦、弧•圆周角定理圆周角等于对应圆心角的一半•周长C=2πr•圆是轴对称图形与中心对称图形•切线性质切线垂直于过切点的半径•圆锥侧面积S侧=πrl•圆锥全面积S全=πrl+r结束语掌握圆的知识，开启几何世界的大门圆作为最完美的几何图形之一，蕴含着丰富的数学思想和美学价值通过学习圆的性质和定理，我们不仅掌握了解决几何问题的工具，也培养了严谨的逻辑思维和空间想象能力希望同学们能够在日常生活中留意圆形物体，思考其中蕴含的数学原理•将所学知识应用到实际问题中，体会数学的实用价值•通过动手实验，亲自验证圆的各种性质，加深理解•圆的学习是几何探索的起点，而非终点希望这门课程能够激发你对数学的兴趣，引领你在数学世界中不断探索前行！。