函数奇偶性教学课件

函数奇偶性教学课件第一章函数奇偶性的基本概念函数奇偶性是函数的一种重要性质，它反映了函数在自变量取正值和负值时的对应关系通过学习函数的奇偶性，我们可以更深入地理解函数的本质特征，为后续的数学学习打下坚实基础什么是函数的奇偶性？奇函数定义偶函数定义对于定义域关于原点对称的函数，如果对于任意∈定义域，都有对于定义域关于原点对称的函数，如果对于任意∈定义域，都有fx x fx xf-x=-fx f-x=fx则称函数为奇函数则称函数为偶函数fx fx函数奇偶性的几何意义偶函数的几何特征奇函数的几何特征偶函数的图像关于轴对称这意味着如果点在函数图像上，那么点也在函数图像上奇函数的图像关于原点对称这意味着如果点在函数图像上，那么点也在函数图像上y x,y-x,y x,y-x,-y课堂互动判断下列函数的奇偶性123fx=x²fx=x³fx=x+1代入得代入得代入得-x f-x=-x²=x²-x f-x=-x³=-x³-x f-x=-x+1因为，所以是偶函数因为，所以是奇函数而f-x=fx fx=x²f-x=-fx fx=x³fx=x+1章节小结核心知识点下一步学习奇函数满足，图像关于原点对称f-x=-fx偶函数满足，图像关于轴对称f-x=fx y判断奇偶性的前提函数定义域关于原点对称第二章奇偶函数的判定方法在掌握了函数奇偶性的基本概念后，我们需要学习如何有效地判断一个函数的奇偶性本章将介绍三种常用的判定方法代入法、图像观察法和表达式分析法方法一代入法验证代入法步骤例题分析

1.将函数表达式中的x替换为-x，得到f-x判断函数fx=x⁴-3x²+2的奇偶性化简的表达式

2.f-x计算f-x比较与的关系

3.f-x fxf-x=-x⁴-3-x²+2若，则为偶函数•f-x=fx若，则为奇函数=x⁴-3x²+2•f-x=-fx若都不满足，则既非奇函数也非偶函数•=fx方法二图像观察法奇函数图像特征偶函数图像特征奇函数的图像关于原点对称如果将图像沿原点旋转°，偶函数的图像关于轴对称如果将图像沿轴翻折，图像形状y=sin x180y=cos xy y图像形状保持不变保持不变方法三利用函数表达式的性质多项式函数奇偶性判定规则例题判断fx=x⁵-x³+x的奇偶性若多项式函数只含偶次幂项，则为偶函数分析函数中只包含的奇次幂项（、、）x x⁵x³x若多项式函数只含奇次幂项，则为奇函数根据多项式函数奇偶性判定规则，仅含奇次幂的多项式函数为奇函数若多项式函数同时含有奇次幂和偶次幂项，则既非奇函数也非偶函数验证f-x=-x⁵--x³+-x=-x⁵+x³-x=-x⁵-x³+x=-fx课堂练习判定以下函数奇偶性fx=|x|fx=x/1+x²fx=e^x计算计算计算f-x=|-x|=|x|=fx f-x=-x/1+-x²=-x/f-x=e^-x1+x²=-fx因为，所以是偶函数而f-x=fx fx=|x|fx=e^x因为，所以f-x=-fx fx=x/1+是奇函数x²章节小结图像观察法通过观察函数图像的对称性，直观判断函数的奇偶性，适合复杂函数的判断代入法将代入函数表达式，比较与的关-xf-x fx系，是最基础也是最可靠的判定方法表达式分析法根据函数表达式的特点快速判断，特别适用于多项式、三角函数等常见函数类型第三章奇偶函数的性质及运算在掌握了函数奇偶性的基本概念和判定方法后，我们进一步学习奇偶函数在运算中的性质规律了解这些性质不仅有助于我们更深入理解函数奇偶性，还能帮助我们简化复杂函数的奇偶性判断性质一奇偶函数的加减法偶函数加偶函数奇函数加奇函数若和都是偶函数，则若和都是奇函数，则fx gx fx gx是偶函数是奇函数hx=fx+gx hx=fx+gx证明证明h-x=f-x+g-x=fx h-x=f-x+g-x=-fx+gx=hx-gx=-fx+gx=-hx奇函数与偶函数相加若是奇函数，是偶函数，则fx gx既不是奇函数也不是偶函数hx=fx+gx性质二奇偶函数的乘法偶函数乘偶函数奇函数乘奇函数奇函数乘偶函数若和都是偶函数，则若和都是奇函数，则若是奇函数，是偶函数，则fx gxfx gxfx gx是偶函数是偶函数是奇函数hx=fx·gx hx=fx·gx hx=fx·gx证明证明证明h-x=f-x·g-x h-x=f-x·g-x h-x=f-x·g-x=fx·gx=-fx·-gx=-fx·gx=hx=fx·gx=hx性质三奇偶函数的复合与商复合函数奇偶性商函数奇偶性设和为两个函数，为它们的复合函数，则设和为两个函数，为它们的商函数，则fx gx hx=fgx fx gx hx=fx/gx若为偶函数，为偶函数，则为偶函数若为偶函数，为偶函数，则为偶函数fx gx hx fx gx hx若为偶函数，为奇函数，则为偶函数若为奇函数，为奇函数，则为偶函数fx gx hx fxgxhx若为奇函数，为偶函数，则为奇函数若为偶函数，为奇函数，则为奇函数fxgxhx fxgxhx若为奇函数，为奇函数，则为奇函数若为奇函数，为偶函数，则为奇函数fxgxhx fxgxhx例题演示计算并判断函数的和与积的奇偶性例题判断fx=x²和gx=x³的和与积的奇偶性积函数₂h x=fx·gx=x²·x³=x⁵已知是偶函数，是奇函数由奇偶函数的乘法性质可知，偶函数与奇函数的积是奇函数fx=x²gx=x³和函数h₁x=fx+gx=x²+x³验证h₂-x=-x²·-x³=x²·-x³=-x⁵由奇偶函数的加法性质可知，偶函数与奇函数的和既不是奇函数也不是偶函数而h₂x=x⁵验证h₁-x=-x²+-x³=x²-x³因此h₂-x=-h₂x而₁h x=x²+x³因此₁₁且₁₁h-x≠h xh-x≠-h x结论₁既不是奇函数也不是偶函数h x课堂互动设计函数表达式，判断其奇偶性1设计一个既是奇函数又是偶函数的函数表达式思考函数同时满足和意味着什么？fx f-x=fx f-x=-fx解答，得到，即fx=f-x=-fx fx=-fx fx=0结论只有这个零函数同时满足奇函数和偶函数的定义fx=02设计一个由基本初等函数构成的奇函数可以选择奇函数的基本组合方式单个奇函数

1.fx=sin x两个奇函数的和

2.fx=x³+x奇函数与偶函数的积

3.fx=x·cos x验证以为例fx=x·cos xf-x=-x·cos-x=-x·cosx=-x·cos x=-fx章节小结加减法乘法复合与商偶偶偶偶×偶偶复合遵循特定规则•+=•=•奇奇奇奇×奇偶商函数奇偶性取决于分子分母•+=•=•奇偶非奇非偶奇×偶奇•+=•=第四章典型函数奇偶性分析在数学学习中，我们经常遇到一些典型函数，如多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等了解这些常见函数的奇偶性特征，能够帮助我们更好地理解和应用这些函数多项式函数的奇偶性只含偶次幂项的多项式函数只含奇次幂项的多项式函数混合项多项式函数形如₀₂₄₂形如₁₃₅同时包含奇次幂和偶次幂项的多项式函数fx=a+a x²+a x⁴+...+a x^2n fx=a x+a x³+a x⁵+...+ₙ₂a x^2n+1这类函数是偶函数，图像关于轴对称ₙ₊₁这类函数既不是奇函数也不是偶函数y这类函数是奇函数，图像关于原点对称例如fx=3+2x²-x⁴例如fx=x-2x³+x⁵三角函数的奇偶性基本三角函数的奇偶性复合三角函数的奇偶性是奇函数对于复合三角函数，可以应用奇偶函数运算规则判断sin xsin-x=-sin x是偶函数cos xcos-x=cos x是偶函数（奇函数的平方）sin²x是奇函数tan xtan-x=-tan x是偶函数（偶函数的平方）cos²x是奇函数cot xcot-x=-cot x是奇函数（奇函数乘偶函数）sin x·cos x是偶函数sec xsec-x=sec x是奇函数csc xcsc-x=-csc x这些奇偶性可以通过三角恒等式进行验证，也可以从图像上直观观察指数与对数函数的奇偶性指数函数对数函数基本指数函数（且）基本对数函数（且fx=aˣa0a≠1fx=log_ax a0a既不是奇函数也不是偶函数）定义域为，不关于原点对称≠10,+∞验证⁻±因此无法讨论其奇偶性f-x=aˣ=1/aˣ≠aˣ特殊情况是偶函数扩展函数的定义域为fx=e^x+e^-xfx=log_a|x|，仍不满足奇偶性判断条件R\{0}验证f-x=e^-x+e^x=fx双曲函数双曲正弦是奇函数sinh x=e^x-e^-x/2双曲余弦是偶函数cosh x=e^x+e^-x/2课堂练习判断以下函数的奇偶性123fx=x⁶-x⁴+x²fx=sin x+cos xfx=e^x+e^-x分析函数中只包含的偶次幂项（、、分析是奇函数，是偶函数分析需要通过代入法验证x x⁶x⁴sin xcos x）x²根据奇偶函数的加法性质，奇函数与偶函数计算f-x=e^-x+e^--x=e^-x根据多项式函数奇偶性判定规则，仅含偶次的和既不是奇函数也不是偶函数+e^x幂的多项式函数为偶函数验证而f-x=sin-x+cos-x=-sin fx=e^x+e^-x验证f-x=-x⁶--x⁴+-x²=x⁶x+cos x因此f-x=fx-x⁴+x²=fx而fx=sin x+cos x结论为偶函数fx因此且f-x≠fx f-x≠-fx结论既不是奇函数也不是偶函数fx章节小结100%100%100%偶函数奇函数非奇非偶只含偶次幂的多项式只含奇次幂的多项式含混合次幂的多项式••••cos x,sec x•sin x,tan x,cot x,csc x•sin x+cos x•|x|,x²•x³,x/1+x²•e^x,log x•e^x+e^-x,cosh x•e^x-e^-x,sinh x•x+1,x²+x第五章函数奇偶性的应用与拓展函数的奇偶性不仅是函数的一种性质，更是解决数学问题的有力工具通过利用函数的奇偶性，我们可以简化计算、预测函数行为、分析函数图像等奇偶性在函数图像绘制中的应用减少绘图工作量例题演示绘制y=x³-x的图像对于奇函数和偶函数，我们只需绘制一半图像（的部分），然分析函数只含奇次幂项，是奇函数x≥0fx=x³-x后根据对称性补全另一半图像即可步骤偶函数沿轴对称复制•y确定函数在区间的图像

1.x≥0奇函数沿原点中心对称复制•找出关键点当时，；当时，

2.x=0y=0x=1y=0这种方法不仅可以减少工作量，还能提高绘图的准确性绘制部分的曲线

3.x≥0课堂总结与思考题函数奇偶性的核心要点回顾拓展思考函数既奇又偶的特殊情况思考一个函数能否既是奇函数又是偶函数？0102fx奇偶性定义偶函数满足，奇函几何意义偶函数图像关于轴对称，奇函若既是奇函数又是偶函数，则同时满足f-x=fx yfx数满足数图像关于原点对称f-x=-fx（偶函数性质）f-x=fx（奇函数性质）0304f-x=-fx判定方法代入法、图像观察法、表达式分运算性质奇偶函数的加减法、乘法、复合由上述两式可得fx=-fx析法与商的奇偶性规律解得fx=005应用简化积分计算、辅助函数图像绘制结束语运算规律基础概念理解奇偶函数的加减法、乘法等运算规律掌握奇偶函数的定义、几何意义及判定方法常见函数熟悉常见函数的奇偶性特征拓展思考实际应用深入理解奇偶性在数学中的意义能够运用奇偶性简化计算、辅助绘图函数的奇偶性是理解函数性质的重要工具，它不仅能帮助我们简化计算、预测函数行为，还能帮助我们更深入地理解函数图像的对称性希望通过本课件的学习，同学们能够掌握判断函数奇偶性的方法，并能在实际问题中灵活应用这些知识。