函数极值教学比赛课件

函数极值教学目录0102函数极值基本概念极值求解方法与典型例题极值定义、极值点特征、费马定理与临界点、极值判定条件求解步骤、各类函数极值分析、特殊情况处理03极值的实际应用课堂小结与思考题经济学、物理学和工程学中的极值问题、实例分析第一章函数极值基本概念我们将探讨函数极值的基本定义、特性及判定方法，为后续的求解技巧和应用打下坚实基础极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值，而使函数取得极值的自变量点称区分概念为极值点局部极值是在点的某个邻域内比较得出的，而全局极值（最大局部极大值值、最小值）是在整个定义域内比较得出的若存在点的某个邻域，使得对于该邻域内的任意点都有，c xfc≥fx则称为函数的局部极大值理解极值的局部性质是解决相关问题的关键函数可能有多个极值点，fc每个点都是在其局部范围内的山峰或山谷局部极小值若存在点的某个邻域，使得对于该邻域内的任意点都有，c xfc≤fx则称为函数的局部极小值fc函数极值的直观理解在函数曲线上，极大值点表现为山峰，极小值点表现为山谷全局最大值是所有山峰中最高的一个，全局最小值是所有山谷中最低的一个局部极大值点函数曲线在该点附近向下凹，形成局部山峰局部极小值点函数曲线在该点附近向上凹，形成局部山谷全局最大值与最小值整个定义域内函数取值的上确界与下确界极值的数学表达极大值的严格数学定义邻域的概念点的邻域是指区间，其中是一个正数极值的判定基于点与其邻域内所cδc-δ,c+δδc极小值的严格数学定义有点的函数值比较极值点是函数图像上的特殊点，它在局部范围内具有最大或最小的函数值，是函数行为发生变化的关键位置第一章函数极值基本概念（续）接下来我们将深入探讨极值点的特征、费马定理以及判定极值的充分条件，这些是解决极值问题的理论基础费马定理与临界点费马定理如果函数在点处可导且取得极值，那么fx cfc=0临界点定义满足条件或不存在的点称为函数的临界点fc=0fc c极值点与临界点关系函数的极值点必是临界点，但临界点不一定是极值点费马定理为寻找极值点提供了必要条件，即函数的导数为零或不存在的点是可能的极值点但还需进一步判断这些临界点是否真的取得极值极值判定的第一种充分条件导数符号法极大值判定若在点的左侧，右侧，即导数由正变负，则点为极大值点c fx0fx0c极小值判定若在点的左侧，右侧，即导数由负变正，则点为极小值点c fx0fx0c无极值情况若导数符号不变或两侧均为零，则点不是极值点c导数符号变化法直观反映了函数在临界点附近的增减性变化，是判定极值最常用的方法之一导数符号变化与极值判定导数符号变化函数性质曲线特征由正变负点为极大值点曲线由上升变为下降fx c由负变正点为极小值点曲线由下降变为上升fx c符号不变点不是极值点曲线可能有水平切线，但无极值fx c通过分析导数符号的变化，我们可以确定函数在临界点处的行为这种方法直观且适用性广，特别适合处理导数表达式复杂的情况极值判定的第二种充分条件二阶导数法极大值判定若且，则点为极大值点fc=0fc0c极小值判定若且，则点为极小值点fc=0fc0c二阶导数的几何意义是曲线的凹凸性当时，曲线在点附近向下fc0c凹，形成山峰；当时，曲线在点附近向上凹，形成山谷fc0c判定失败若且，二阶导数法判定失败fc=0fc=0当时，需要使用导数符号法或更高阶导数来判定fc=0极值与最大值最小值的区别概念区别位置区别极值是局部概念，与临界点的邻域有极值点必在函数的内点（临界点）；关；最大值最小值是全局概念，与整最大值最小值可能在内点，也可能在个定义域有关定义域的端点数量区别函数可能有多个极值点；但最大值和最小值各至多有一个（若存在）在求解实际问题时，我们通常需要先找出所有的极值点，再与定义域的端点值进行比较，从而确定全局的最大值和最小值这是优化问题解决的基本思路第二章极值求解方法与典型例题本章将介绍求解函数极值的具体步骤和方法，并通过典型例题展示如何应用这些理论解决实际问题极值求解步骤求导数1fx应用导数公式或求导法则计算函数的一阶导数fx2求临界点解方程找出驻点，并检查不存在的点fx=0fx判定极值性质3利用导数符号变化或二阶导数判断每个临界点是极大值点、极小值点或非极值点4计算函数值将极值点代入原函数计算极值，必要时与端点值比较确定最大最小值掌握这些步骤后，我们可以系统地分析函数的极值情况，为解决优化问题提供方法支持接下来，我们将通过具体例题展示这些步骤的应用例题求函数的极值1fx=x³-3x²+2步骤1求导数步骤2求临界点令fx=0，得x=0或x=2步骤3判定极值性质临界点左侧fx右侧fx判定负负非极值点x=0负正极小值点x=2例题求函数的极值2fx=|x|分段函数表达式导数分析x=0处导数不存在，但左导数为-1，右导数为1导数符号判定x=0处，导数由负变正，符合极小值条件绝对值函数的极值分析函数性质在处不可导，表现为图像的尖点fx=|x|x=0导数分析时，时，导数在处跳跃x0fx=-1x0fx=1x=0极值判断导数由负变正，为极小值点，极小值为x=00绝对值函数是一个重要的示例，它提醒我们在分析函数极值时必须考虑不可导点尽管导数在处不存在，但通过分析导数的符号变化，我们仍然可以确定这是一个极小值x=0点例题利用二阶导数判定极值3函数fx=x⁴-4x²临界点二阶导数值判定一阶导数fx=4x³-8x极大值点x=0f0=-80临界点解方程fx=0极小值点x=√2f√2=12·2-8=160得或±x=0x=√2极小值点x=-√2f-√2=160二阶导数fx=12x²-8计算极值f0=0f±√2=±√2⁴-4±√2²=4-8=-4函数fx=x⁴-4x²在x=0处取得极大值0，在x=±√2处取得极小值-4第二章极值求解方法与典型例题（续）接下来我们将探讨一些特殊情况下的极值判定方法，以及处理判别失败的情况极值判别失败的情况及处理二阶导数为零的情况当且时，二阶导数判别法失效fc=0fc=0处理方法一导数符号表分析导数在临界点两侧的符号变化，判断极值性质处理方法二高阶导数若为第一个不为零的导数，当为奇数时无极值，为偶数时，f^nc nf^nc0为极小值，为极大值f^nc0注意当二阶导数为零时，该点可能是极值点，也可能是拐点，需要进一步分析在实际问题中，结合函数图像的绘制往往可以帮助我们直观判断极值点的性质，特别是在判别法失效的情况下例题求函数的极值4fx=x³一阶导数fx=3x²临界点解方程fx=0，得3x²=0x=0二阶导数fx=6x，二阶导数判别法失效f0=0导数符号分析区间值函数性质fx函数递增x0fx0函数递增x0fx0三阶导数分析，恒为正数fx=6第三章极值的实际应用本章将探讨极值理论在实际问题中的应用，包括经济学、物理学和工程学中的优化问题，展示数学如何帮助解决现实中的挑战最大值最小值问题的实际意义经济学应用物理学应用工程学应用成本最小化、利润最大化、资源最优配置等问题最短时间路径、最小能量状态、最优传播路径等结构优化设计、材料使用最小化、系统性能最大在经济决策中至关重要通过建立函数模型并求物理问题通常表现为求解极值问题极值理论为化等工程问题需要通过极值分析找到最佳解决方解极值，可以帮助企业优化经营策略物理现象提供了数学解释案，提高效率和降低成本函数极值理论为解决实际优化问题提供了强大工具，将抽象的数学概念转化为具体的决策支持接下来，我们将通过具体例题展示这种应用例题运输费用最省问题5问题描述数学建模某工厂位于直线公路南侧公里处，需要将产品运送到公路北侧公里处的销设从工厂到公路的垂足为原点，在距离原点公里处过河1020x售点公路沿线可以选择任意地点过河已知公路运输费用为每公里元，1000总费用函数河上运输费用为每公里元问应在公路上的什么位置过河，使总运输费1500用最少？求极值对求导并令导数为Cx0解得公里x≈-10结论应在距工厂垂足西侧约公里处过河，此时总费用最小10例题面积最大化问题6问题描述在抛物线上找一点，过作抛物线的切线，切线与坐标轴围成一个三角形求当该三角形面积最大时，点的坐y=x²P PP标数学建模设点坐标为，则抛物线在点的切线方程为P t,t²P整理得y=2tx-t²切线与坐标轴交点分别为和0,-t²t/2,0三角形面积函数求极值对于，，面积函数单调递增，无极大值t0St0实际应用问题示例1容器设计问题设计一个体积固定的圆柱形容器，求圆柱的底面半径和高，使容器的表面积最小设底面半径为，高为•r h体积约束（常数）•πr²h=V表面积函数•S=2πr²+2πrh求导分析得最优比例为•h=2r2生产优化问题某厂生产一种产品，每天生产件的成本函数为，销售价格为元x Cx=

0.01x²+4x+100p=10-

0.01x件求日产量为多少时利润最大/总收入•Rx=px=10x-

0.01x²利润函数•Px=Rx-Cx=6x-

0.02x²-100求导分析得时利润最大•x=150这些例子展示了极值理论在实际问题中的应用，通过建立数学模型并求解极值，我们能够找到现实问题的最优解第三章极值的实际应用（续）进一步探讨极值在更复杂问题中的应用，以及将理论与实践结合的重要性极值问题的总结与思考数学工具的综合运用解决极值问题需要灵活运用导数、方程求解、函数分析等多种数学工具，培养综合思维和分析能力理论与实际问题的转化将实际问题转化为数学模型是解决实际优化问题的关键一步，需要深入理解问题本质和数学理论的联系多种方法的灵活选择面对不同类型的函数和问题，应灵活选择导数符号法、二阶导数法或其他方法，提高分析效率数学不仅是一种工具，更是一种思维方式通过极值问题的学习，我们培养了优化思维和分析能力，这些能力将帮助我们解决各种实际问题鼓励学生在解题过程中尝试多种方法，加深对极值理论的理解，并思考如何将这些理论应用到自己感兴趣的领域课堂小结基本概念求解方法极值的定义与特征导数符号变化判定法••费马定理与临界点二阶导数判定法••极值与最值的区别特殊情况的处理技巧••思维拓展实际应用优化思想的普遍性经济学优化问题••数学建模的重要性物理学最优路径••多元函数极值的引入工程学设计优化••通过本次课程的学习，我们系统掌握了函数极值的理论基础、求解方法和实际应用，为后续学习优化理论和解决实际问题奠定了基础思考题与拓展设计实际问题1请设计一个来自日常生活或专业领域的实际问题，建立函数模型并求解其极值例如设计一个最省材料的包装盒、规划一条最短路径等多元函数极值探索2思考如何将单变量函数极值的方法拓展到二元函数的极值分析中？试初步z=fx,y了解偏导数、矩阵等概念Hessian条件极值问题3探索在约束条件下求解极值的问题，如拉格朗日乘数法的初步应用例如在周长一定的情况下，求面积最大的矩形下节课预告函数的最值与优化问题闭区间上连续函数的最值定理•约束优化问题与拉格朗日乘数法•实际优化问题的综合应用•请在下次课前完成至少一道思考题，并准备在课堂上分享你的解题思路和心得体会优秀的解答将获得加分奖励。