大数与凑整教学课件

大数与凑整教学课件目录第一章大数的认识与性质第二章凑整的技巧与方法第三章大数与凑整的应用实践探索大数的概念、位值系统、读写规则以及学习如何利用凑整简化计算，掌握各种运算基本运算中的凑整技巧第一章大数的认识与性质什么是大数？大数是指超过千、万、百万等数量级的数字，在日常生活和学习中经常遇到中国人口约亿•14地球到月球的距离约公里•384,400一栋高楼的造价可能达到数亿元•理解和掌握大数的概念与运算，有助于我们培养良好的数感•提高估算能力•大数的位值系统十进制位名表个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位...数字拆解示例个百万个十万个万个千个百个十个一1,234,567=1+2+3+4+5+6+7大数的读写规则阿拉伯数字与中文数字对应练习写出下面的数1阿0123456789六百五十三万七千九百八十一拉伯答案6,537,981数字练习读出下面的数2中零一二三四五六七八九文1,020,009数答案一百零二万零九字计数单位

十、百、千、万、亿大数读法从高位到低位，按照数字计数单位的方式+大数的比较与大小判断比较位数位数多的数大于位数少的数例1,000,000999,999同位数比较从最高位开始比较，遇到不同的数字，数字大的那个数大例1,234,5671,234,556完全相同所有位上的数字都相同，则两数相等例1,234,567=1,234,567例题比较与的大小1,320,0001,320,100大数的加减法基础加法原理减法原理按位对齐，从低位到高位计算按位对齐，从低位到高位计算••每位相加超过需要进位不够减时需要借位•10•例题演示练习题1,234,567+876,543-------9000-4370-----------2,111,1104630注意进位，进到十位；解析个位；十位需借位变为7+3=1010-0=00，进到百位；依此类推，；百位需借位变为，6+4+1=1111010-7=398；千位8-3=58-4=4大数的乘除法基础乘法的分解与估算除法的整除与余数可以将大数拆分为更易计算的部分应用短除法和长除法解决大数除法问题••例××××例÷÷÷•15430=154310=46210=4,620•10223=513=17乘法计算示例除法计算示例246×35-----1230246×57380246×30-----8610结果17------3513---2121---0大数的四则运算定律分配律应用示例交换律计算35×102方法一直接计算35×102=3,570方法二使用分配律35×a+b=b+a102=35×100+2=35×100+35×2=3,500+70××a b=b a=3,570例5+8=8+5例××79=97结合律a+b+c=a+b+c××××运用这些定律，我们可以选择更简便的计算方法，提高计算效率a bc=a bc例2+3+4=2+3+4分配律×××a b+c=a b+a c例×××34+5=34+35大数的估算技巧近似值概念例题估算29889+近似值是与精确值接近的数，通常取整9909+234数以简化计算方法将各数凑整四舍五入根据下一位的数值决定是•否进位29889≈30000凑整估算将数字调整为便于计算的•9909≈10000整数234≈200四舍五入法则估算结果30000+小于，舍去•510000+200=40200大于或等于，进位•5实际结果40032误差40200-40032=约

1680.42%第二章凑整的技巧与方法在本章中，我们将学习凑整的概念、原理和各种运算中的凑整技巧，掌握如何通过凑整简化计算过程，提高计算效率什么是凑整？凑整是一种将不规则的数字调整为便于计算的整数（如整

十、整百、整千等）的方法，目的是简化计算过程，提高计算效率凑整的本质凑整的目的通过适当调整数字，转化为更容易计简化计算过程，减少计算量，提高计算的形式，再根据数学定律进行计算算速度和准确性凑整的应用生活中的凑整例子适用于加、减、乘、除四则运算，尤其在心算和估算中非常有用商品定价￥￥

99.8≈100时间估计分钟小时53≈1距离计算公里公里

9.2≈10凑整加法技巧凑整加法的基本思路将加数调整为整

十、整百、整千等，计算后再补偿调整量常用策略向上凑整加大，后续减去多加的部分•向下凑整减小，后续加上减少的部分•例题计算29889+9909+234凑整思路29889+9909+234=29889+111+9909-111+234=30000+9798+234=30000+9798+202+32=30000+10000+32=40032通过合理的凑整，我们可以将复杂的加法转化为简单的整数加法，提高计算效率凑整减法技巧凑整减法的基本思路例题计算9000-4370凑整减法主要有两种思路方法一减数分解将被减数或减数凑整为整

十、整百等

1.9000-4370=9000-将减法转化为加法（利用减去一个数等于

2.4000-370=5000-370=加上这个数的相反数）4630方法二同时调整减法凑整时，要注意被减数和减数的调整需保持平衡，以确保结果正确9000-4370=9000+30-4370-30=9030-4400=4630练习题计算1540-789凑整解法1540-789=1540-800+11=740+11=751凑整乘法技巧乘法凑整是将因数调整为整

十、整百等，利用分配律进行计算，特别适合心算和估算拆分法1将一个因数拆分为整数部分和余数部分例××××2435=2430+5=2430+245=720+120=8402调整法将因数调整为整

十、整百等，计算后再补偿例×××分解质因数法39835=10035-235=3500-70=3430将因数分解为更易计算的形式例××××2536=2549=1009=900例题计算×62432凑整思路××××62432=600+2432=60032+2432××××=60030+6002+2430+242=18000+1200+720+48=19968凑整除法技巧除法凑整的基本思路例题计算÷103524除法凑整主要有以下几种方法方法一调整被除数将被除数或除数凑整为整

十、整百等

1.÷÷同时调整被除数和除数，保持商不变103524≈103224=

432.将除数分解为更易计算的形式方法二调整除数

3.注意除法凑整时，需要保持被除数和÷÷103524=1035除数的比例关系，以确保结果准确×÷×252524≈

41.425/24≈

43.1方法三同时调整÷×103524=1035÷×252425=25875÷600≈

43.1除法凑整可以简化计算过程，特别是在不需要精确结果的情况下，可以快速得到近似值凑整的数学原理交换律1a+b=b+a结合律2a+b+c=a+b+c分配律3×××a b+c=a b+a c等式性质4等式两边同加、同减、同乘、同除一个数，等式仍然成立例题解析凑整在加法中的原理计算387+296凑整思路387+296=387+300-4=687-4=683原理分析将拆分（应用等式性质）

1.296296=300-4代入原式

2.387+296=387+300-4应用分配律

3.387+300-4=387+300-4计算结果

4.387+300-4=687-4=683凑整与奇偶数的关系奇数与偶数的定义奇数加偶数的凑整策略偶数能被整除的数，如•20,2,4,6,

8...例题计算奇数不能被整除的数，如85+46•21,3,5,7,

9...策略调整为偶数偶数奇偶性对凑整的影响1+85+46=84+46+1=130+1=131偶数±偶数偶数•=•奇数±奇数=偶数策略2调整为奇数+奇数奇数±偶数奇数•=85+46=85+45+1=130+1=131偶数×任何数偶数•=奇数×奇数奇数•=凑整的误差分析

0.5%5%2平均误差率最大误差容忍关键规则大多数凑整计算的误差范围一般估算可接受的最大误差控制误差的主要原则数量控制误差的原则误差计算示例对大数的调整影响较小，对小数的调整

1.影响较大计算499+498，估算为500+500=1000乘除法中的凑整误差会被放大，需要特

2.别注意实际结果499+498=997误差1000-997=3误差率÷3997≈

0.3%理解并控制凑整带来的误差，是保证计算准确性的关键在实际应用中，应根据具体情况选择合适的凑整方法，以平衡计算效率和准确性第三章大数与凑整的应用实践在本章中，我们将学习如何将大数和凑整的知识应用到实际问题中，培养数学思维能力，解决生活和学习中的各种问题生活中的大数应用人口统计财务预算距离测量中国人口约亿，需要理解和处理人口普查、增长率等大家庭和企业预算规划，需要计算收入、支出、储蓄等大数旅行规划、地图导航中的距离计算，常涉及公里、英里等大14数据数凑整在日常生活中的应用情景超市购物，手中有元，想快速估算能否购买以下物品300大米元，食用油元，蔬菜元，水果元，肉类元

58.

845.

935.

287.

669.8凑整估算60+45+35+90+70=300结论预算刚好足够，但要注意可能没有余额通过凑整，我们可以在日常生活中快速进行估算，提高决策效率走楼梯问题与大数凑整问题描述一个楼梯有级，每次可以走级或级，问有多少种不同的走法？n12分析与解答这个问题与斐波那契数列相关，假设表示走级楼梯的不同走法数fn n（只有种走法）•f1=11（可以走或直接走）•f2=21+12•f3=f2+f1=3•f4=f3+f2=5•f5=f4+f3=8•...利用凑整简化计算计算时，可以使用矩阵幂运算加速计算f20数论基础与凑整整除性质数与合数整除性规则可以帮助我们快速判断一个数是否能被另一个数整除，常见规则质数只能被和自身整除的数1能被整除个位是合数除了和自身外，还能被其他数整除的数•20,2,4,6,81•能被3整除各位数字和能被3整除质因数分解可以帮助我们更好地理解数字结构能被整除个位是或•505凑整中的数论应用例题计算×68125利用数论知识可以帮助我们选择更合适的凑整策略利用数论知识的凑整解法利用整除性判断凑整方向•÷通过质因数分解简化乘除法计算125=5³=10008•利用同余原理进行凑整××÷÷•68125=6810008=680008=8500经典凑整题目解析例题某班学生人数凑整计算例题奖励金分配的凑整应用12问题某班学生人数在至人之间，如果人一组，则多人；如果人一组，则问题某公司有个部门，根据业绩分配奖金第一部门应得奖金比第二部门多，4050314310%多人；如果人一组，则多人问该班有多少学生？比第三部门多如果奖金总额为元，各部门应得多少？25320%50400解析设学生人数为，则解析设第三部门奖金为，则x x÷商第二部门×x3=...1→x=3k+1x1+10%=

1.1x÷商第一部门×x4=...2→x=4m+2x1+20%=

1.2x÷商总额x5=...3→x=5n+3x+

1.1x+

1.2x=

3.3x=50400通过凑整÷x=3k+1=4m+2=5n+

33.3x=33x10=50400通过凑整和同余分析，得到×÷÷x=43x=504001033=50400033=

15272.

7...≈15273小组互动练习小组讨论问题提出学生在小组内讨论解题思路，选择合适的凑整策略教师提出凑整计算问题，每组学生接收不同的问题计算实践小组成员合作完成计算，记录计算过程和结果反馈优化教师和其他小组提供反馈，共同优化凑整方法思路分享小组代表上台展示计算思路和结果，交流凑整技巧小组练习题目示例组计算×A399825组计算÷÷B10266+7384组计算C4999+3001+8999+6001组计算D2345-1567+4321-3456大数与凑整的思维训练数感与量感培养创造性解决问题理解数的大小和相对关系灵活变通，不拘泥于固定公式••能够快速估算结果的合理范围善于发现数字间的规律和联系••对计算结果的正确性有感性认识根据具体情况选择最合适的方法••逻辑推理能力思维训练示例分析问题的关键要素•挑战不使用计算器，在寻找最优的计算路径30•秒内计算×998997灵活运用数学定律和性质•凑整思路×998997=×9981000-3=××9981000-9983=998000-2994=995006课堂小结大数的计算大数的认识掌握大数的加减乘除基本运算，理解并应用四则运算定律掌握大数的概念、位值系统和读写规则，培养对大数的感性认识凑整的技巧学习各种凑整方法，包括加减乘除中的凑整技巧和误差控制思维提升实际应用通过学习大数与凑整，提升数感、逻辑思维和创造性解决问题的能力将大数与凑整知识应用于实际问题解决，培养实践能力拓展阅读与练习资源推荐书籍在线练习平台《数学思维训练》解析数学思维方•-每日一题法和技巧《趣味数学与凑整》通过有趣案例•-提供针对大数与凑整的日常学习凑整练习题，帮助巩固所学知识《大数据时代的数学》探索大数在•-现代社会的应用数学竞赛平台《数学之美》揭示数学在各领域的•-优美应用参加在线数学竞赛，挑战更网络资源高难度的大数与凑整问题中国教育网数学频道提供丰富的•-教学资源学习应用数学乐网站有针对性的练习和解析•-推荐数学学习应用，随时随可汗学院数学课程系统性学习数•-地进行大数与凑整练习学知识谢谢聆听期待大家用大数与凑整解决更多数学问题！欢迎提问与交流。